علوم پایه , فیزیک 1793 بازدید

در این مقاله سعی داریم به طور خیلی ساده مروری بر پیدایش فیزیک کوانتومی داشته و در نهایت به معادله‌ای تحت عنوان معادله شرودینگر برسیم که توصیف‌ کننده امواج وابسته به ذرات میکروسکوپی است. با ما در ادامه مقاله همراه باشید.

پیدایش کلمه کوانتیده

می‌توان گفت سرآغاز فیزیک کوانتوم به اوایل قرن بیستم میلادی، یعنی زمانی که دانشمند و فیزیکدان مشهور آلمانی ماکس پلانک (Max Planck) سعی در توجیه تابش جسم سیاه داشت، بر‌ می‌گردد. آن زمان پلانک از واژه نا‌آشنای کوانتیزه (کوانتیده) برای بیان مقدار انرژی تابش شده از جسم سیاه استفاده کرد. اساساً مفهوم کوانتیده، در مقابل مفهوم پیوسته، برای متغیرهایی که تنها مقادیر مشخصی را می‌توانند اختیار کنند، نظیر تابش الکترومغناطیسی به کار می‌رود.

ماکس پلانک
ماکس پلانک (1858-1947)

اجازه دهید با یک مثال جالب این مفهوم را برای همیشه در ذهن شما ثبت کنیم. فرض کنید لوله‌ای که درون آن پر از اسمارتیز است در دست دارید. در اینجا تعداد اسمارتیزها عددی مشخص بوده و به صورت گسسته (۱،۲،۳ و …) شمارش می‌شود. شما می‌توانید لوله را به قسمت‌های مختلفی تقسیم کنید یا لوله‌های دیگری را نیز اختیار کنید. در این صورت تعداد اسمارتیزها ممکن است که کم یا اضافه شود، با این حال، ما برای شمارش تعداد اسمارتیزها بازهم از مقداری گسسته (کوانتیده) استفاده می‌کنیم. نظرتان چیست که لوله را یک پرتو نور و اسمارتیزها را فوتون‌ها در نظر بگیریم؟!

پلانک هنگام کار روی تابش جسم سیاه و نارسایی‌هایی آن که به «فاجعه فرابنفش» (Ultraviolet Catastrophe) معروف است، پی برد که انرژی تابش الکترومغناطیسی نمی‌تواند مقادیر پیوسته‌ای داشته باشد. طبق قوانین الکترومغناطیس کلاسیک، تعداد مُدهایی (حالت‌هایی) که یک موج الکترومغناطیسی می‌تواند در کاواک ۳ بعدی ارتعاش کند، با مربع فرکانس متناسب است. درواقع مطابق با قانون ریلی-جینز (Rayleigh-Jeans)، مقدار توان نیز با مربع فرکانس برابر بوده و این امر بدین معنی است که در فرکانس‌های خیلی بالا (بی‌نهایت) مقدار توان نیز باید بی‌نهایت شود. دلیل نام‌گذاری «فاجعه فرانبفش» روی این نارسایی همین امر است. چرا که در فرکانس‌های ناحیه فرانبفش و بالاتر تجربه و روابط ریاضی دو چیز متفاوت را نتیجه می‌دادند.

پلانک گفت که انرژی تابش الکترومغناطیسی از قوانین کلاسیکی پیروی نمی‌کند، بلکه این انرژی در بسته‌هایی متناسب با فرکانس و به طور گسسته (کوانتیده) تغییر می‌کند. انرژی تابش الکترومغناطیسی مطابق با رابطه زیر منتشر می‌شود:

$$E=hf$$

گاهی اوقات رابطه فوق را به صورت نیز $$E=ℏω$$ می‌نویسند. در رابطه فوق $$h$$ ثابت پلانک با مقدار عددی $$6.626×10^{-34}j.s$$ است. مقدار $$ℏ$$ نیز برابر با $$ℏ=\frac{h}{2\pi}$$ در نظر گرفته می‌شود. این رابطه بیانگر این است که در فرکانس‌های بی‌نهایت مقدار انرژی به صفر می‌رسد. رفتار کوانتوم به دلیل وجود h که مقداری غیر صفر دارد، متفاوت با رفتار کلاسیکی است.

بسته‌های کوچک نور

اگر شما برای مدتی نوری را روی سطح یک فلز بتابانید، مشاهده می‌کنید که سطح آن گرم شده و نتیجه می‌گیرید که نور به سطح فلز، انرژی منتقل می‌کند. شاید استدلال کنید که اگر برای مدتی طولانی نور را روی سطح جسمی بتابانید، انرژی لازم برای جدا شدن الکترون از مدارش رفته رفته فراهم شده و در نهایت الکترون رها و باعث ایجاد گرما در سطح جسم می‌شود. از همین استدلال احتمالاً نتیجه بگیرید که حتی اگر با نوری خیلی ضعیف اما برای مدت خیلی طولانی این کار را انجام دهید، الکترون انرژی لازم برای رها شدن از سطح جسم را به دست می‌آورد!

اما بر خلاف تصور و استدلال اولیه، نتایج آزمایش فیزیکدانان بیانگر مطلب دیگری است. در واقع ممکن است که تابش نوری مشخص بر سطح یک فلز باعث جدایی الکترون و در نتیجه ایجاد گرما در سطح آن شود، اما اگر همان نور را برای فلز با عناصر دیگری به کار ببریم این اتفاق رخ ندهد. با تکرار آزمایش با نوری پر انرژی‌تر (نوری با فرکانس بالاتر) مشاهده شد که الکترون انرژی لازم برای رهایی از مدارش را دریافت می‌کند. در واقع در اینجا، مدت زمان و حتی شدت نور تابیده شده ملاک نیست، بلکه انرژی لازم برای جدایی الکترون، فقط تابعی از رنگ (فرکانس) نور تابیده شده است.

البرت اینشتین
البرت اینشتین (1879-1955)

مسئله فوق که به پدیده «فوتوالکتریک» (Photoelectric) معروف است، به دست آلبرت اینشتین حل و فرمول‌بندی شد. او دیدگاه و تئوری کوانتیده بودن ماکس پلانک را در خصوص نور، اعمال و بیان کرد که نور جریان پیوسته‌ای از انرژی نیست. بلکه نور متشکل از تعداد زیادی بسته‌های کوچک انرژی بوده که مقدار انرژیش تابعی از طول موج یا فرکانس $$(f=c/\lambda)$$ است.

اثر فوتوالکتریک
انرژی نور در بسته‌هایی به نام فوتون نهفته است. انرژی فوتون طبق رابطه انرژی پلانک وابسته به طول موج است.

بنابراین مطابق با تعبیر فوق، تنها نور (شامل بسته‌های انرژی که اسمشان را فوتون می‌گذاریم) با انرژی کافی توانایی جدا کردن الکترون از سطح جسمی که به آن می‌تابد را فارغ از مدت زمان و شدت تابش، دارد. مطابق با معادله پلانک $$(E=hf)$$ واضح است که چرا تغییر رنگ (در واقع تغیر فرکانس) نور باعث جدا شدن الکترون از سطح جسم می‌شود. اینشتین نشان داد که انرژی الکترون آزاد شده از سطح جسم برابر با مقدار زیر است:

$$E=hf-\phi$$

در رابطه فوق، $$\phi$$ به تابع کار جسم معروف بوده و بیانگر حداقل میزان انرژی لازم برای جدا شدن الکترون از سطح جسم است.

معادله شرودینگر

حال که با مقدماتی از چگونگی پیدایش فیزیک کوانتوم آشنا شدید، به سراغ معادله‌ای می‌رویم که رفتار موجی ذرات را توصیف می‌کند. در مقاله «دوگانگی موج و ذره — به زبان ساده» دیدیم که دوبروی به هر ذره با تکانه $$p$$، موجی با طولی موج $$\lambda$$ نسبت داد. موج مذکور به موج مادی یا «امواج ذرات» (Matter Waves) معروف است. اروین شرودینگر معادله‌ای را بر اساس قضیه طول موج دوبروی توسعه داد که موج وابسته به ذرات و چگونگی تغییر حالت سیستم‌های کوانتومی را توصیف می‌کند. برای رسیدن به معادله مذکور روند زیر را طی می‌کنیم.

معادله شرودینگر

با پاسخ معادله موج استاندارد زیر شروع می‌کنیم:

$$\begin{equation*} A(x,t) = A_{0}e^{i(kx-\omega t)} \end{equation*}$$
(۱)

از معادله فوق مشخص است که موج به مختصه مکانی ($$x$$) و زمانی ($$t$$) وابسته است. معادله (۱) در واقع پاسخ معادله موج زیر است. در ادامه قصد بررسی این معادله موج را داریم. می‌خواهیم نشان دهیم، معادله موج (۲) برای توصیف امواج وابسته به ذرات (منظور امواجی که حرکت یک الکترون را شرح می‌دهند) مناسب نیست.

$$\begin{equation*} \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} \end{equation*}$$
(۲)

معادله فوق بیان می‌کند که اگر دو مرتبه از معادله توصیف موج $$A$$ (معادله ۱) نسبت به متغیر $$x$$ مشتق گرفته شود، نتیجه حاصل با مشتق مرتبه دوم موج $$A$$ نسبت به زمان $$t$$ با ضریب  $$\frac{1}{c^2}$$ متناسب است.

برای اینکه درستی عبارت فوق (معادله ۲) را تحقیق کنیم، از معادله موج $$A$$ نسبت به مختصه مکانی $$x$$ دوبار مشتق می‌گیریم:

$$\frac{\partial^{2} A}{\partial x^2} = -k^{2}A_{0}e^{ikx}e^{-i\omega t}=-k^2A$$
(۳)

حال از معادله موج $$A$$ نسبت به متغیر زمانی $$t$$ دوبار مشتق می‌گیریم:

$$\frac{\partial^{2} A}{\partial t^2} = -\omega^{2}A_{0}e^{ikx}e^{-i\omega t}=-\omega^2A$$
(۴)

طبق معادله (2) و محاسبات انجام شده داریم:

$$-k^{2}A = \frac{-\omega^2A}{c^2}$$
(5)

که با ساده کردن $$A$$ از طرفین معادله خواهیم داشت:

$$\begin{equation*} \omega = ck \end{equation*}$$
(۶)

حال دو رابطه مهم فیزیک کوانتوم، یعنی فرمول انرژی ($$E=hf$$) و طول موج دوبروی ($$\lambda=\frac{h}{p}$$) را در نظر بگیرید. این روابط را به فرم زیر بازنویسی می‌کنیم. یادآور می‌شویم که $$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$ ، $$ℏ=\frac{h}{2\pi}$$ و $$\omega=2\pi f$$ هستند.

$$\begin{equation*} E=\hbar\omega \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} p = \hbar k \end{equation*}$$
(7)

از روابط (۷) و (۶) نتیجه می‌شود:

$$\frac{E}{\hbar} = c \frac{p}{\hbar}$$
$$E=pc$$
(8)

لوییس دوبروی
لوییس دوبروی (1892-1987) (دوبروی به هر ذره با تکانه $$p$$، موجی با طول موج $$\lambda$$ را اطلاق کرد.)

برای ذرات یا اجسام غیر نسبیتی رابطه (۸) ناکارآمد بوده و رابطه بین انرژی و تکانه به فرم آشنای کلاسیکی زیر است:

$$\begin{equation*} E=\frac{p^2}{2m} \end{equation*}$$
(9)

به نظر می‌رسد که مطابق با روابط فوق، معادله موج (۲) برای توصیف امواج وابسته به ذرات ناکارآمد باشد. چرا که معادله (۲) رابطه بین ω و $$k$$ را به فرم خطی $$\begin{equation*} \omega = ck \end{equation*}$$ نتیجه داد. شاید یک راه حل برای رفع این مشکل این باشد که رابطه بین ω و $$k$$ به شکل $$ω∝k^2$$ تغییر کند. برای این کار معادله موجی به فرم زیر را امتحان می‌کنیم:

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \alpha\frac{\partial \psi}{\partial t}$$
(10)

در معادله فوق $$A$$ را با نماد ψ که بیانگر نمایش موجی در مکانیک کوانتوم است (یک قرار داد)، جایگزین می‌کنیم. توجه شود که ψ موجی همانند رابطه (۱) است. با انجام محاسبات خواهیم داشت:

$$\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^2} = -k^{2}\psi_{0}e^{ikx}e^{i\omega t}=-k^2\psi$$
$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\omega\psi$$
(11)

که در نتیجه :

$$-k^2=-i\alpha\omega \rightarrow \omega=\frac{k^2}{i\alpha}$$
(12)

با جایگذاری $$\omega$$ در رابطه $$\begin{equation*} E=\hbar\omega \end{equation*}$$ خواهیم داشت:

$$E=\hbar\frac{k^2}{i\alpha}$$
(13)

با تعریف مقدار ثابت α به فرم زیر:

$$\alpha=\frac{-2mi}{\hbar}$$
(14)

معادله (13) به فرم زیر نتیجه می‌شود:

$$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}$$
(15)

حال به نظر می‌رسد که معادله موجی در دست داریم که جوابی صحیح برای توصیف انرژی ماده را نتیجه‌ می‌دهد. اجازه دهید یک بار دیگر معادله (10) را با جایگذاری مقدار ثابت α بازنویسی کنیم:

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{-2mi}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t}$$
(16)

با انجام کمی عملیات ریاضی می‌توان آن را به فرم زیر نوشت:

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$
(17)

تقریباً به معادله مد نظرمان برای توصیف موجی ذرات رسیدیم. با جایگذاری معادلات (۱۱) در معادله (۱۷)، انرژی ذره به شکل زیر به دست می‌آید:

$$E\psi=\left(\frac{p^2}{2m}\right)\psi$$
(18)

به طور کلی یک ذره می‌تواند از محیط اطراف انرژی بگیرد. برای مثال تحت تاثیر یک پتانسیل باشد. بنابراین برای کامل شدن معادله (18)، تغییر جزئی زیر را وارد معادله می‌کنیم:

$$E\psi=\left(\frac{p^2}{2m} + V\right)\psi$$
(19)

رابطه فوق بیان می‌کند که معادله موج باید به فرم زیر در آید.

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V\right)\psi$$
(20)

معادله فوق به معادله شرودینگر یک بعدی وابسته به زمان معروف است. با در نظر گرفتن مختصه مکانی $$y$$ و $$z$$ یعنی حالت کلی‌تر ۳ بعدی، مشتق مرتبه دوم مکانی $$x$$ با عبارت لاپلاس جایگزین و معادله به شکل کلی زیر در می‌آید:

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{\hbar^2}{2m}\triangledown^{2}+V\right)\psi$$
(21)

معادله فوق در اواخر سال 1925 میلادی توسط اروین شرودینگر (Erwin Schrödinger) فرمول‌بندی شد. به طور کل این معادله چگونگی تغییر حالت سیستم‌های کوانتومی را شرح می‌دهد.

اروین شرودینگر
اروین شرودینگر (1887-1961)

وابستگی زمانی معادله شرودینگر

در قسمت قبل با معادلاتی برای توصیف موجی ذرات نظیر الکترون آشنا شدیم که پتانسیل متناظر با آن‌ها وابستگی زمانی نداشت و به طور ناگهانی با گذشت زمان تغییر نمی‌کرد. اما در اغلب مواقع شرایط اینگونه ساده نیست. از این‌ رو برای حل این دست از مسائل از روش جداسازی متغیرها در معادله شرودینگر استفاده می‌کنیم.

در قدم اول فرض می‌کنیم که معادله (۱) را بتوان به دو تابع $$u$$ و $$T$$ تفکیک کرد. تابع $$u$$ فقط تابعی از مختصه مکانی $$x$$ و تابع $$T$$ فقط تابعی از مختصه زمانی $$t$$ است.

$$\psi(x,t)=u(x)T(t)$$
(22)

با جایگذاری رابطه فوق در معادله شرودینگر (20) داریم:

$$i\hbar\frac{\partial uT}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 uT}{\partial x^2} + VuT$$
(23)

با کمی انجام محاسبات ریاضی ساده، معادله فوق به شکل زیر در می‌آید:

$$i\hbar\frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{u}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + V$$
(24)

سمت راست معادله فوق فقط تابعی از مختصه مکانی و سمت چپ فقط تابعی از مختصه زمانی است. حال فرض کنید که زمان مقداری تغییر کند. از آنجا که سمت راست معادله، مستقل از زمان است، تغییر در زمان باعث برهم خوردن تساوی در معادله می‌شود. برای رفع این مشکل دو طرف معادله را برابر با مقدار ثابت $$E$$ قرار می‌دهیم. در این صورت خواهیم داشت:

$$\begin{equation*} i\hbar\frac{\partial T}{\partial t} =ET \end{equation*}$$
(25)

$$\begin{equation*} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + Vu = Eu \end{equation*}$$
(2۶)

بنابراین برای مسائلی که تابع پتانسیل آن‌ها مستقل از زمان است، می‌توان معادله (۲۵) را نادیده گرفت و از رابطه (26) که به رابطه شرودینگر مستقل از زمان معروف است، استفاده کرد. حال برای اینکه صحت مطالب گفته شده را بسنجیم، برای یک ذره آزاد یعنی ذره‌ای که تحت تاثیر هیچ پتانسیلی نیست ($$V=0$$) معادله (26) را حل می‌کنیم. جواب معادله تابعی به فرم زیر است:

$$u=Ae^{ikx}$$
(27)

که در آن $$k$$ مقدار زیر را دارد:

$$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$$
(28)

معادله (۲۷) در واقع قسمت مکانی معادله موج رابطه (۱) ($$\psi = Ae^{i(kx-\omega t)}$$) است. در اینجا $$E$$ مقدار انرژی کل سیستم بوده و اگر ما مقدار آن را بدانیم خیلی راحت می‌توانیم با معادله موج کار کنیم. برای سیستمی با $$E$$ ثابت، مولفه $$T$$ تاثیری بر تابع موج ψ (معادله ۲۲) نداشته و در نتیجه مربع اندازه تابع موج ($$|\psi |^2$$) برابر با مربع اندازه مولفه u ($$|u |^2$$) تابع موج است. در واقع داریم:

$$\int^{\infty}_{-\infty} |u|^2dx=1$$
(29)

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه فیزیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

telegram
twitter

اشکان ابوالحسنی

«اشکان ابوالحسنی» دانشجو مقطع دکتری واحد علوم و تحقیقات تهران در رشته مهندسی برق مخابرات، گرایش میدان و امواج است. علاقه خاص او به فرکانس‌های ناحیه اپتیکی و مکانیک کوانتومی باعث شده که در حال حاضر در دو زمینه‌ مخابرات نوری و محاسبات کوانتومی تحقیق و پژوهش کند. او در حال حاضر، آموزش‌هایی را در دو زمینه فیزیک و مهندسی برق (مخابرات) در مجله فرادرس می‌نویسد.

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برچسب‌ها