ریاضی، علوم پایه 466 بازدید

مساحت مثلث با سه ضلع، معمولا به روش فرمول هرون محاسبه می‌شود. در این آموزش، نحوه استفاده از فرمول هرون برای تعیین مساحت مثلث با سه ضلع مشخص را به همراه چند مثال توضیح می‌دهیم. در انتها نیز، فرم‌های مختلف این فرمول را ارائه می‌کنیم.

مثلث چیست؟

مثلث (به انگلیسی Triangle)، یکی از شکل‌های هندسی اصلی است که از سه ضلع و سه راس تشکیل می‌شود. تصویر زیر، یک مثلث مختلف اضلاع را نمایش می‌دهد. در این نوع مثلث، اندازه هر سه ضلع و هر سه زاویه با یکدیگر تفاوت دارد.

مثلث مختلف الاضلاع با طول ضلع و زوایای متفاوت
مثلث مختلف الاضلاع

مساحت مثلث چیست؟

مساحت مثلث، سطح درون سه ضلع آن است. در تصویر زیر، ناحیه هاشور خورده، سطح داخل مثلث یا همان مساحت مثلث را نمایش می‌دهد.

نمایش سطح محدود به ضلع‌های مثلث (مساحت مثلث)
نمایش مساحت مثلث

روش‌های مختلفی برای محاسبه سطح درون مثلث وجود دارد که از پرکاربردترین آن‌ها می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

  • محاسبه مساحت مثلث با قاعده و ارتفاع (حاصل‌ضرب قاعده ضرب‌در ارتفاع تقسیم بر دو)
  • روش هرون یا فرمول محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع
  • روش مثلثاتی یا فرمول محاسبه مساحت مثلث با سینوس

مساحت مثلث با سه ضلع مختلف چگونه بدست می آید ؟

مساحت مثلث با سه ضلع با استفاده از فرمول هرون به دست می‌آید. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

  • A: مساحت
  • s: نصف محیط مثلث
  • a: طول ضلع اول
  • b: طول ضلع دوم
  • c: طول ضلع سوم

نصف محیط مثلث، از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

فرمول هرون، روش اصلی محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع مشخص است. البته این فرمول به شکل‌های مختلفی نوشته می‌شود که در بخش‌های بعدی به معرفی آن‌ها خواهیم پرداخت.

مثال محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع مساوی

مساحت مثلث متساوی الاضلاع زیر چقدر است؟

مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 8
مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 8

مثلث متساوی الاضلاع، مثلثی با اندازه ضلع‌های برابر است. برای محاسبه مساحت این مثلث، فرمول هرون را می‌نویسیم:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

  • A: مساحت
  • s: نصف محیط مثلث
  • a: اندازه ضلع اول برابر 8
  • b: اندازه ضلع دوم برابر 8
  • c: اندازه ضلع سوم برابر 8

نصف محیط مثلث به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

$$
s=\frac{8+8+8}{2}
$$

$$
s=\frac{24}{2}
$$

$$
s=12
$$

عدد بالا را به همراه اندازه ضلع‌ها درون فرمول هرون قرار می‌دهیم:

$$
A=\sqrt{12(12-8)(12-8)(12-8)}
$$

$$
A=\sqrt{12(12)}
$$

$$
A=\sqrt{144}
$$

$$
A=12
$$

مساحت مثلث برابر 12 است. البته در این مثال، عدد بالا با استفاده رابطه مخصوص مساحت متساوی الاضلاع نیز به دست می‌آمد.

مثال محاسبه مساحت مثلث با 3 ضلع معلوم

مساحت مثلثی با اندازه ضلع‌های 3، 6 و 7 سانتی‌متر را محاسبه کنید.

برای شروع، اطلاعات مسئله را یادداشت می‌کنیم:

  • a=3
  • b=6
  • c=7

سپس، فرمول هرون را می‌نویسیم:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

اکنون، باید نصف محیط مثلث را نیز به دست بیاوریم:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

$$
s=\frac{3+6+7}{2}
$$

$$
s=\frac{16}{2}
$$

$$
s=8
$$

عدد بالا را به همراه اندازه‌های ضلع درون فرمول هرون قرار می‌دهیم:

$$
A=\sqrt{8(8-3)(8-6)(8-7)}
$$

$$
A=\sqrt{8(5)(2)(1)}
$$

$$
A=\sqrt{8(10)}
$$

$$
A=\sqrt{80}
$$

$$
A≈8.94
$$

مساحت مثلث، تقریبا برابر 8/94 سانتی‌متر مربع است.

مثال محاسبه ارتفاع سقف شیروانی

شخصی، سقف خانه چوبی خود را به صورت شیروانی ساخته است. اگر عرض این خانه برابر 8 متر و عرض هر طرف سقف برابر 5 متر باشد (تصویر زیر)، ارتفاع سقف شیروانی چقدر خواهد بود؟

خانه چوبی با سقف شیروانی
خانه چوبی با سقف شیروانی

همان طور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، نمای جانبی سقف شیروانی به شکل مثلث است. به دلیل مشخص بودن اندازه هر سه ضلع این مثلث، می‌توانیم از فرمول هرون برای محاسبه مساحت آن و از فرمول کلی مساحت برای تعیین ارتفاع سقف شیروانی استفاده کنیم. در اولین مرحله، اطلاعات مسئله را می‌نویسیم:

  • a: ضلع اول مثلث برابر 5 متر
  • b: ضلع دوم مثلث برابر 5 متر
  • c: ضلع سوم مثلث برابر 8 متر

به منظور استفاده از فرمول هرون، به نصف محیط مثلث بالا نیاز داریم. بنابراین، این مقدار را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$
s=\frac{5+5+8}{2}
$$

$$
s=\frac{18}{2}
$$

$$
s=9
$$

عدد بالا را به همراه اندازه ضلع‌ها درون فرمول هرون قرار می‌دهیم:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

$$
A=\sqrt{9(9-5)(9-5)(9-8)}
$$

$$
A=\sqrt{9(4)(4)(1)}
$$

$$
A=\sqrt{9(16)}
$$

$$
A=\sqrt{144}
$$

$$
A=12
$$

مساحت مقطع مثلثی شکل سقف شیروانی برابر 12 متر مربع است. اکنون، فرمول کلی مساحت مستطیل را می‌نویسیم:

۲ ÷ (قاعده $$\times$$ ارتفاع) = مساحت مثلث

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

  • A: مساحت مثلث برابر 12 متر مربع
  • b: ضلع نظیر ارتفاع سقف شیروانی برابر 8 متر
  • h: ارتفاع سقف شیروانی

مقادیر موجود را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم و رابطه را بر حسب h حل می‌کنیم:

$$
12 = \frac {h \times 8 } { 2 }
$$

$$
12 \times 2 = h \times 8
$$

$$
\frac {12 \times 2} {8} = h
$$

$$
3 = h
$$

در نتیجه، ارتفاع بخش شیروانی سقف برابر 3 متر است.

مثال تعیین مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر و یک ساق

مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر 13 سانتی‌متر و اندازه ساق 5 سانتی‌متر را حساب کنید.

بر اساس قضیه فیثاغورس در مثلث‌های قائم الزاویه، رابطه بین ساق‌ها و وترهای این مثلث عبارت است از:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

  • c: وتر مثلث قائم الزاویه برابر 13 سانتی‌متر
  • a: یکی از ساق‌های مثلث برابر 5 سانتی‌متر
  • b: ساق دیگر مثلث

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
13^ { 2 } = 5^ { 2 } + b^ {2}
$$

$$
169 = 25 + b^ {2}
$$

$$
b^ { 2 } = 169 – 25
$$

$$
b^ { 2 } = 144
$$

$$
b = \sqrt {144}
$$

$$
b = 12
$$

اندازه ساق دیگر مثلث برابر 12 سانتی‌متر است. با داشتن اندازه تمام ضلع‌های مثلث، فرمول هرون را می‌نویسیم:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

از میان اطلاعات مورد نیاز در این فرمول، پارامتر s (نصف محیط) باقی مانده است. این پارامتر را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

$$
s=\frac{5+12+13}{2}
$$

$$
s=\frac{30}{2}
$$

$$
s=15
$$

عدد بالا را به همراه اندازه‌های ضلع‌ها درون رابطه هرون قرار می‌دهیم:

$$
A=\sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}
$$

$$
A=\sqrt{15(10)(3)(2)}
$$

$$
A=\sqrt{15(60)}
$$

$$
A=\sqrt{900}
$$

$$
A=30
$$

مساحت مثلث برابر 30 سانتی‌متر مربع است. البته برای حل مساحت مثلث‌های قائم الزاویه، فرمول ساده‌تری وجود دارد که در مطلب «فرمول مساحت مثلث — انواع روش‌های محاسبه مساحت» به آن پرداخته‌ایم.

شکل های مختلف فرمول مساحت مثلث با سه ضلع متفاوت

فرمول هرون، به شکل‌های مختلفی نوشته می‌شود. پرکاربردترین فرم این فرمول را در بخش قبلی معرفی کردیم. فرم‌های دیگر فرمول هرون عبارت هستند از:

$$
\begin{aligned}
&A=\frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \\
&A=\frac{1}{4} \sqrt{[(a+b+c)(a+b-c)] \times[(+(a-b)+c)(-(a+b)+c)]} \\
&A=\frac{1}{4} \sqrt{\left[(a+b)^{2}-c^{2}\right] \times\left[c^{2}-(a-b)^{2}\right]} \\
&A=\frac{1}{4} \sqrt{4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}} \\
&A=\frac{1}{4} \sqrt{2\left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)} \\
&A=\frac{1}{4} \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}
\end{aligned}
$$

سوالات متداول محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع

در این بخش، به برخی از سوالات متداول در زمینه محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع پاسخ می‌دهیم.

از چه فرمولی برای محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع استفاده می‌شود؟

به منظور محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع، از «فرمول هرون» (Heron’s formula) استفاده می‌شود.

اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه مساحت مثلث به روش هرون چه هستند؟

برای محاسبه مساحت مثلث با استفاده از روش هرون، باید اندازه تمام ضلع‌های مثلث و نصف محیط آن مشخص باشد.

روش هرون برای محاسبه مساحت کدام مثلث کاربرد دارد؟

فرمول هرون برای محاسبه مساحت تمام مثلث‌ها با اندازه ضلع‌های مشخص (مثلث ض ض ض) کاربرد دارد.

مطالب پیشنهادی برای مطالعه در زمینه «محاسبه محیط و مساحت مثلث — انواع مثلث و تمامی فرمول ها»:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 9 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *