مساحت متوازی الاضلاع با سینوس — به زبان ساده + حل مثال

۳۱۲۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۱ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
مساحت متوازی الاضلاع با سینوس — به زبان ساده + حل مثال

برای مساحت متوازی الاضلاع با سینوس، از زاویه بین دو ضلع مجاور یا زاویه بین دو قطر استفاده می‌شود. اگر اندازه دو ضلع مجاور یا اندازه دو قطر را داشته باشیم، می‌توانیم مساحت متوازی‌الاضلاع الاضلاع را به کمک فرمول «حاصلضرب ضلع‌های مجاور در سینوس زاویه بین آن‌‌ها» یا «یک‌دوم حاصل‌ضرب قطرها در سینوس زاویه بین آن‌ها» به دست بیاوریم. در این آموزش، فرمول‌ها و نکات مرتبط با محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با سینوس را به همراه حل چند مثال ارائه می‌کنیم.

997696

روش های محاسبه مساحت متوازی الاضلاع چه هستند؟

محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع، معمولا با ضرب قاعده در ارتفاع نظیر آن انجام می‌گیرد.

البته، فرمول مورد استفاده برای تعیین مساحت متوازی‌الاضلاع، به اندازه‌های معلوم بستگی دارد.

ارتفاع و قاعده متوازی الاضلاع

جدول زیر، برخی از فرمول‌های مساحت متوازی الاضلاع را با توجه به اندازه‌های معلوم نمایش می‌دهد.

فرمولاندازه‌های مورد نیازعبارت جبری
مساحت با قاعده و ارتفاعb: قاعده متوازی‌الاضلاع

h: ارتفاع نظیر قاعده

S=bh S = b h
مساحت با ضرب خارجی ضلع‌هاa: بردار یکی از ضلع‌ها

b: بردار ضلع مجاور a

S=a×b S= |\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}|
مساحت با ضرب خارجی قطرهاd1: بردار قطر اول

d2: بردار قطر دوم

S=۱۲d۱×d۲ S= \frac {۱}{۲}|\overrightarrow {d_{۱}} \times \overrightarrow {d_{۲}}|

اگر اندازه‌ها یا بردارهای معرفی شده در جدول بالا را ندانیم یا امکان تعیین آن‌ها را نداشته باشیم، باید به سراغ روش‌های دیگری نظیر فرمول مساحت متوازی الاضلاع با سینوس برویم.

مساحت متوازی الاضلاع با سینوس چگونه بدست می‌آید؟

مساحت متوازی الاضلاع با سینوس، توسط اندازه دو ضلع و زاویه بین یا دو قطر و زاویه بین به دست می‌آید. به طور کلی، دو روش برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با سینوس وجود دارد که در ادامه به معرفی آن‌ها می‌پردازیم.

مساحت متوازی الاضلاع با دو ضلع

در متوازی‌الاضلاع، ضلع‌های روبه‌رویی و زاویه‌های روبه‌رویی با هم برابر هستند. تصویر زیر، اندازه این ضلع‌ها زاویه‌ها را با حروف نمایش می‌دهد.

ضلع‌های متوازی الاضلاع و زاویه بین آن‌ها برای تعیین مساحت متوازی الاضلاع با سینوس

اگر زاویه بین دو ضلع متوازی‌الاضلاع را با α و β نمایش دهیم، فرمول محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

S=absinα S = ab \sin {\alpha}

در متوازی‌الاضلاع، زاویه راس‌های روبه‌رویی با هم برابر هستند. علاوه بر این، زاویه راس‌های مجاور، مکمل یکدیگرند. به دلیل برابر بودن سینوس زاویه‌های مکمل، استفاده از زاویه α یا β در نتیجه مساحت تاثیری نخواهد داشت. به عبارت دیگر، می‌توانیم به جای فرمول بالا از فرمول زیر نیز استفاده کنیم:

S=absinβ S = ab \sin {\beta}

مثال 1: محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع با سینوس و ضلع

اندازه ضلع‌های یک متوازی‌الاضلاع برابر 80 و 40 سانتی‌متر است. اگر زاویه یکی از راس‌ها برابر با 56 درجه باشد، مساحت متوازی‌الاضلاع چقدر خواهد بود؟

بر اساس فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع با ضلع، داریم:

S=absinα S = ab \sin {\alpha}

  • S: مساحت متوازی‌الاضلاع
  • a: اندازه یکی از ضلع‌ها برابر 80 سانتی‌متر
  • b: اندازه ضلع دیگر برابر 40 سانتی‌متر
  • α: یکی زاویه‌ها برابر 56 درجه

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

S=۸۰×۴۰×sin۵۶ S = ۸۰ \times ۴۰ \times \sin {۵۶^{\circ}}

سینوس زاویه 56 درجه حدود برابر 0/83 است:

S=۳۲۰۰×۰/۸۳ S = ۳۲۰۰ \times ۰/۸۳

S=۲۶۵۶ S = ۲۶۵۶

در نتیجه، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر 2656 سانتی‌متر مربع است.

مثال ۲: محاسبه ارتفاع نظیر متوازی‌الاضلاع با سینوس

ضلع‌های مجاور متوازی‌الاضلاعی، 12 و 15 متر هستند. با فرض زاویه 36 درجه‌ای بین این دو ضلع، ارتفاع نظیر هر ضلع را حساب کنید.

در این مثال، اندازه دو ضلع و زاویه بین داده شده است. با استفاده از این اطلاعات می‌توانیم مساحت متوازی‌الاضلاع را به دست بیاوریم. با این وجود، صورت سوال، از ما اندازه ارتفاع‌های نظیر را می‌خواهد. می‌دانیم که یکی از روش‌های محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع، ضرب قاعده یا همان ضلع در ارتفاع نظیر است:

S=bh S = b h

از طرفی، مساحت متوازی‌الاضلاع با دو ضلع نیز از فرمول زیر به دست می‌آید:

S=absinα S = ab \sin {\alpha}

اگر این دو فرمول را برابر با یکدیگر قرار دهیم، امکان تعیین ارتفاع با استفاده از اندازه ضلع‌ها فراهم می‌شود:

bh=absinα bh= ab \sin {\alpha}

  • b: قاعده نظیر
  • h: ارتفاع نظیر
  • a: اندازه ضلع مجاور قاعده
  • α: یکی از زاویه‌های متوازی‌الاضلاع

نکته مهم در این مسئله، این است که برای به دست آوردن ارتفاع‌های نظیر، باید محاسبات را دو بار انجام دهیم. در مرحله اول، ارتفاع نظیر ضلع 12 متری را تعیین می‌کنیم:

bh=absinα bh= ab \sin {\alpha}

  • b: قاعده نظیر برابر 12 متر
  • h: ارتفاع نظیر
  • a: ضلع مجاور قاعده برابر 15 متر
  • α: یکی از زاویه‌های متوازی‌الاضلاع برابر 36 درجه

سینوس زاویه 36 درجه، تقریبا برابر 0/59 است:

۱۲h=۱۲×۱۵×sin۳۶ ۱۲ h= ۱۲ \times ۱۵ \times \sin {۳۶^{\circ}}

h=۱۵×۰/۵۹ h= ۱۵ \times ۰/۵۹

h=۸/۸۵ h= ۸/۸۵

ارتفاع نظیر ضلع 12 متری برابر ۸/۸۵ است. اکنون، ارتفاع نظیر ضلع 15 متری را محاسبه می‌کنیم:

bh=absinα bh= ab \sin {\alpha}

  • b: قاعده نظیر برابر ۱۵ متر
  • h: ارتفاع نظیر
  • a: ضلع مجاور قاعده برابر ۱۲ متر
  • α: یکی از زاویه‌های متوازی‌الاضلاع برابر 36 درجه

۱۵h=۱۵×۱۲×sin۳۶ ۱۵ h= ۱۵ \times ۱۲ \times \sin {۳۶^{\circ}}

h=۱۲×۰/۵۹ h= ۱۲ \times ۰/۵۹

h=۷/۰۸ h= ۷/۰۸

در نتیجه، ارتفاع نظیر ضلع 15 متری برابر 7/08 است.

مساحت متوازی الاضلاع با دو قطر

در بخش‌های قبلی، فرمول محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با بردارهای قطر را معرفی کردیم. آن فرمول، بر اساس ضرب خارجی بردارها نوشته شده بود.

از این‌رو، نیازی به دانستن زاویه بین قطرها وجود نداشت. متوازی الاضلاع زیر را در نظر بگیرید.

قطرهای متوازی الاضلاع و زاویه بین آن‌ها برای تعیین مساحت متوازی الاضلاع با سینوس

اندازه قطرهای متوازی‌الاضلاع با p و q و اندازه زاویه بین آن‌ها با α و β نمایش داده شده است. بر اساس این اندازه‌ها، فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع با دو قطر و زاویه بین به صورت زیر نوشته می‌شود:

S=۱۲pqsinα S = \frac {۱}{۲} pq \sin {\alpha}

زاویه‌های مقابل در محل برخورد قطرها، با هم برابر بوده و زاویه‌های مجاور، مکمل یکدیگرند. بنابراین، استفاده از هر یک از زاویه‌ها، تاثیری بر روی نتیجه نهایی نخواهد داشت. به عبارت دیگر، به جای فرمول بالا می‌توانیم از فرمول زیر نیز استفاده کنیم:

S=۱۲pqsinβ S = \frac {۱}{۲} pq \sin {\beta}

مثال ۳: محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع با سینوس و قطر

متوازی‌الاضلاعی به قطرهای 18 و 21 میلی‌متر را در نظر بگیرید. با فرض وجود زاویه 43 درجه‌ای بین قطرها، مساحت آن را به دست بیاورید.

فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع با سینوس و قطر عبارت است از:

S=۱۲pqsinα S = \frac {۱}{۲} pq \sin {\alpha}

  • S: مساحت متوازی‌الاضلاع
  • p: اندازه یکی از قطرها برابر 18 میلی‌متر
  • q: اندازه قطر دیگر برابر 21 میلی‌متر
  • α: زاویه بین قطرها برابر 43 درجه

S=۱۲×۱۸×۲۱×sin۴۳ S = \frac {۱}{۲} \times ۱۸ \times ۲۱ \times \sin {۴۳^{\circ}}

سینوس زاویه 43 درجه، حدودا برابر 0/68 است:

S=۱۲×۱۸×۲۱×۰/۶۸ S = \frac {۱}{۲} \times ۱۸ \times ۲۱ \times ۰/۶۸

S=۱۲۸/۵۲ S = ۱۲۸/۵۲

در نتیجه، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر 128/52 است.

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «محاسبه محیط و مساحت متوازی الاضلاع — هر آنچه باید بدانید» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

بر اساس رای ۱۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *