محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

۵۱۰۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۰ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵۲ دقیقه
محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

یکی از کاربرد‌های مهم انتگرال سه‌گانه محاسبه حجم یک ناحیه است. بنابراین در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال نحوه محاسبه حجم با انتگرال سه گانه را توضیح دهیم.

997696
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

روش محاسبه حجم

در حالت کلی ناحیه‌ای سه‌بعدی هم‌چون U \large U را در نظر بگیرید. حجم این ناحیه در مختصات کارتزینی برابر است با:

V=Udxdydz \large V = \iiint \limits_U { d x d y d z}

این حجم را می‌توان با استفاده از مختصات استوانه‌ای، به صورت زیر نیز محاسبه کرد.

V=Uρdρdφdz \large V = \iiint \limits _ U { \rho d \rho d \varphi d z }

به همین صورت رابطه محاسبه حجم در مختصات کروی به صورت زیر خواهد بود.

V=Uρ2sinθdρdφdθ \large V = \iiint \limits _ U { { \rho ^ 2 } \sin \theta d \rho d \varphi d \theta }

در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که در آن‌ها این روش‌ها توضیح داده شده‌اند.

مثال ۱

حجم مخروطی به ارتفاع HH و شعاع قاعده RR را بیابید.

همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌توان دید، این مخروط توسط دو صفحه زیر محدود شده‌اند.

z=HRx2+y2,z=H \large z = { \large \frac { H } { R} \normalsize} \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } , z = H

cone

حجم ناحیه فوق را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

V=Udxdydz=RRdxR2x2R2x2dyHRx2+y2Hdz \large {V = \iiint\limits_U {dxdydz} } = {\int\limits_{ – R } ^ R { d x } \int \limits _ { – \sqrt {{R^2} – { x ^ 2 } } } ^ { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } { d y } \int \limits _ { \frac { H } { R } \sqrt {{ x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } ^ H { d z } }

انتگرال فوق را می‌توان در مختصات استوانه‌ای و در بازه‌های زیر محاسبه کرد.

0φ2π,      0ρR  ,        ρzH \large {0 \le \varphi \le 2\pi ,\;\;\;}\kern-0.3pt {0 \le \rho \le R \ \ , \ \ \;\;\;}\kern-0.3pt {\rho \le z \le H }

عبارت انتگرالی بیان شده در بالا را می‌توان در مختصات استوانه‌ای به صورت زیر بیان کرد:

V=0Rρdρ02πdφHRρHdz \large V = \int\limits_0^R {\rho d\rho } \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits _ { \frac { H } { R } \rho } ^ H { d z }

نهایتا حجم مخروط برابر خواهد بود با:

V=amp;0Rρdρ02πdφHRρHdzamp;=2π0RρdρHRρHdzamp;=2π0Rρdρ[zz=HRρz=H]amp;=2π0Rρ(HHRρ)dρamp;=2π0R(HρHRρ2)dρamp;=2π[(ρ2H2ρ3H3R)ρ=0ρ=R]amp;=2π(R2H2R3H3R)amp;=2πR2H6amp;=πR2H3 \large \begin {align*} V = & \int \limits _ 0 ^ R { \rho d \rho } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \varphi } \int\limits_{\frac{H}{R}\rho }^H {dz} \\ & = {2\pi \int\limits_0^R {\rho d\rho } \int\limits_{\frac{H}{R}\rho }^H {dz} } \\ & = {2\pi \int\limits_0^R {\rho d\rho } \cdot \left[ {\left. z \right|_{z = \frac { H } { R } \rho } ^ { z = H } } \right] } \\ & = {2\pi \int\limits_0^R {\rho \left( {H – \frac { H } { R} \rho } \right)d\rho } } \\ & = {2\pi \int\limits_0^R {\left( {H\rho – \frac{H}{R}{\rho ^2}} \right)d\rho } } \\ & = {2\pi \left[ {\left. {\left( {\frac { { { \rho ^ 2 } H } } { 2 } – \frac{{{\rho ^3}H}}{{3R}}} \right)} \right|_{\rho = 0 } ^ { \rho = R}} \right] } \\ & = { 2 \pi \left( { \frac { { { R ^ 2 } H } } { 2 } – \frac { { { R ^ 3 } H } } { { 3 R } } } \right) } \\ & = { \frac { { 2 \pi { R ^ 2 } H } } { 6 } } \\ & = {\frac { { \pi { R ^ 2 } H }} { 3 } } \end {align*}

مثال ۲

حجم چهار وجهی را بیابید که صفحات محدود کننده آن از نقاط A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3) A \left ( { 1 , 0 , 0 } \right ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 3 ) عبور می‌کند.

با توجه به نقاط بیان شده، شکل ناحیه به صورت زیر خواهد بود.

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه

معادله خط AB A B برابر با y=22x y = 2 – 2x است. بنابراین متغیر x x در بازه 0x1 0 \le x \le 1 و y y در بازه 0y22x\large 0 \le y \le 2 – 2 x قرار خواهد داشت. از طرفی معادله صفحه نیز برابر است با:

x1+y2+z3=1\large \frac { x } { 1 } + \frac { y } { 2 } + \frac { z } { 3 } = 1

در حالت کلی معادله صفحه ABC\large A B C برابر است با:

6x+3y+2z=6    or    z=33x32y\large { 6 x + 3 y + 2 z = 6 \; \; \text{or} \; \; } \kern-0.3pt { z = 3 – 3 x – \frac { 3 } { 2 } y }

هدف از نوشتن معادله صفحه، بدست آوردن بازه z\large z است. بدین منظور این بازه را از صفر تا معادله صفحه در نظر می‌گیریم. لذا بازه z\large z برابر است با:

0z33x32y\large 0 \le z \le 3 – 3x – {\large\frac{3}{2}\normalsize} y

نهایتا حاصل انتگرال برابر است با:

\requirecancelVamp;=Udxdydzamp;=01dx022xdy033x32ydzamp;=01dx022xdy[z033x32y]=01dx022x(33x32y)dyamp;=01dx[(3y3xy34y2)y=0y=22x]amp;=01[3(22x)3x(22x)34(22x)2]dxamp;=01[66x6x+6x234(48x+4x2)]dxamp;=01(612x+6x23+6x3x2)dxamp;=301(12x+x2)dxamp;=3[(xx2+x33)01]amp;=3(112+133)=1\large \require{cancel} \begin {align*} V & = \iiint\limits_U { d x d y d z } \\ & = {\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_0^{2 – 2x} {dy} \int\limits_0^{3 – 3x – \frac{3}{2}y} {dz} } \\ & = {\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_0^{2 – 2x} {dy} \cdot \left[ {\left. z \right|_0^{3 – 3x – \frac{3}{2}y}} \right] } = {\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_0^{2 – 2x} {\left( {3 – 3x – \frac{3}{2}y} \right)dy} } \\ & = {\int\limits_0^1 {dx} \cdot}\kern0pt{ \Big[ {\left. {\left( {3y – 3xy – \frac{3}{4}{y^2}} \right)} \right|_{y = 0}^{y = 2 – 2x}} \Big] } \\ & = {\int\limits_0^1 {\Big[ {3\left( {2 – 2x} \right) – 3x\left( {2 – 2x} \right) }}-{{ \frac{3}{4}{{\left( {2 – 2x} \right)}^2}} \Big] dx} } \\ & = {\int\limits_0^1 {\Big[ {6 – 6x – 6x + 6{x^2} }}-{{ \frac{3}{4}\left( {4 – 8x + 4{x^2}} \right)} \Big] dx} } \\ & = {\int\limits_0^1 {\left( { { 6 } – { 12 x } +{6{x^2}} }\right.}-{\left.{ {3} + {6x} – {3{x^2}}} \right)dx} } \\ & = {3\int\limits_0^1 {\left( { {1} – { 2 x } + { x ^ 2 } } \right ) d x } } \\ & = {3\left[ {\left. {\left( {x – { x ^ 2 } + \frac { { { x ^ 3 } }} { 3 } } \right)} \right| _ 0 ^ 1 } \right] } \\ & = {3 \cdot \left ( { \cancel { 1 } – \cancel { 1 ^ 2 } + \frac { { { 1 ^ 3} } } { 3 } } \right ) } = { 1 } \end {align*}

مثال ۳

حجم ناحیه محصور بین دو سهمی گون زیر را بدست آورید.

z1=x2+y2     ,     z2=1x2y2\large {{z_1} = {x^2} + { y ^ 2 } \; \; \ , \ \;\;}\kern-0.3pt { { z _ 2 } = 1 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } }

این ناحیه به شکل زیر خواهد بود.

volume by triple integral

ناحیه فوق به صورت محیطی متقارن است. بنابراین با در نظر گرفتن ρ2=x2+y2 \large { \rho ^ 2 } = { x ^ 2 } + { y ^ 2 } رابطه دو سهموی را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

z1=ρ2     ,     z2=1ρ2 \large { { z _ 1 } = { \rho ^ 2 } \; \; \ , \ \;\;}\kern-0.3pt { { z _ 2 } = 1 – { \rho ^ 2 } }

با برابر قرار دادن رابطه دو سهمی، منحنی برخورد آن‌ها به صورت زیر بدست خواهد آمد.

ρ2=1ρ2    2ρ2=1    ρ2=12    or    z=12=22 \large { { \rho ^ 2 } = 1 – {\rho ^2} \; \; } \Rightarrow { 2 { \rho ^ 2 } = 1 \; \; } \Rightarrow { { \rho ^ 2 } = \frac { 1 } { 2 } \; \; } \kern0pt {\text{or}\;\;z = \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } = \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } }

به ازای این مقدار از ρ \large \rho ، مقدار z \large z برابر خواهد بود با:

z=(22)2=12 \large z = { \left ( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } \right ) ^ 2 } = \frac { 1 } { 2 }

با بدست آمدن ماکزیمم مقدار ρ \large \rho ، اندازه حجم برابر می‌شود با:

V=amp;Udxdydzamp;=02πdφ022ρdρρ21ρ2dzamp;=02πdφ022ρdρ[zρ21ρ2]amp;=02πdφ022ρ(1ρ2ρ2)dρamp;=2π022(ρ2ρ3)dρamp;=2π[(ρ222ρ44)022]amp;=2π[(22)22(22)42]amp;=π(1214)amp;=π4 \large \begin {align*} V = & \iiint \limits _ U { d x d y d z } \\ & = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \varphi \int \limits _ 0 ^ { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } { \rho d \rho } \int \limits _ { { \rho ^ 2 } } ^ { 1 – { \rho ^ 2 } } { d z } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \varphi } \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\rho d\rho } \cdot \left[ {\left. z \right|_{{\rho ^2}}^{1 – {\rho ^2}}} \right] } \\ & = {\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\rho \left( {1 – {\rho ^2} – {\rho ^2}} \right)d\rho } } \\ & = {2\pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left( {\rho – 2{\rho ^3}} \right)d\rho } } \\ & = { 2 \pi \left[ {\left. {\left( {\frac{{{\rho ^2}}}{2} – \frac { { 2 { \rho ^ 4 } } } {4 } } \right ) } \right|_0 ^ { \frac { { \sqrt 2 } }{ 2 } } } \right] } \\ & = {2\pi \left[ {\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{2} – \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^4}}}{2}} \right] } \\ & = {\pi \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{4}} \right) } \\ & = {\frac{\pi }{4} } \end {align*}

مثال ۴

حجم ناحیه محصور شده به سهمی‌گون x2+y2=z \large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = z و کره‌ی x2+y2+z2=6 \large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 6 را بدست آورید.

در ابتدا باید منحنی تقاطع این دو سطح را بدست آورد. بدین منظور داریم:

z+z2=6    z2+z6=0    z1,2=1±52=2,3 \large { z + { z ^ 2 } = 6 \; \; } \Rightarrow { { z ^ 2 } + z – 6 = 0 \; \; } \Rightarrow { { z _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 1 \pm 5 } } { 2 } = 2 , – 3 }

توجه داشته باشید که ریشه‌ منفی نشان دهنده محل برخورد کره با سطح پایینی سهمی‌گون است؛ بنابراین آن را در نظر نمی‌گیریم. منحنی برخورد دو رویه و ناحیه مدنظر در شکل زیر نشان داده شده است.

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه

همان‌طور که در بالا نیز شرح داده شد دو رویه در z=2 \large z = 2 با هم برخورد می‌کنند. بنابراین تصویر ناحیه برخورد، دیسکی است که درون دایره زیر قرار می‌گیرد.

x2+y2=2 \large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 2

در بالای حجم مدنظر، کره و در زیر آن سهمی قرار گرفته است. بنابراین اندازه حجم را می‌توان در مختصات کارتزینی به صورت زیر بیان کرد:

V=Udxdydz=22dx02x2dyx2+y26x2y2dz \large {V = \iiint \limits _ U { d x d y d z } } = { \int \limits _ { – \sqrt 2 } ^ { \sqrt 2 } { d x } \int \limits _ 0 ^ {\sqrt {2 – {x^2}} } {dy} \int\limits _ { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } ^ { \sqrt { 6 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } } { d z } }

با توجه به ناحیه انتگرال‌گیری، مناسب آن است که انتگرال را در مختصات استوانه‌ای بنویسیم. بدین منظور انتگرال فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

V=02πdφ02ρdρρ26ρ2dz \large { V } = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \varphi } \int \limits _ 0 ^ { \sqrt 2 } { \rho d \rho } \int \limits _ { { \rho ^ 2 } } ^ { \sqrt { 6 – { \rho ^ 2 } } } { d z } }

توجه داشته باشید که در رابطه فوق، ρ \large \rho در رابطه ρ2=x2+y2 \large {\rho ^2} = {x^2} + {y^2} صدق می‌کند. حاصل انتگرال به صورت زیر ساده می‌شود.

Vamp;=02πdφ02ρdρρ26ρ2dzamp;=02πdφ02ρdρ[zρ26ρ2]amp;=02πdφ02ρ(6ρ2ρ2)dρamp;=2π02ρ(6ρ2ρ2)dρamp;=π02(6ρ2ρ2)dρ2 \large \begin {align*} V & = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \varphi } \int \limits _ 0 ^ {\sqrt 2 } {\rho d\rho } \int\limits_{{\rho ^2}}^{\sqrt {6 – {\rho ^2}} } {dz} \\ & = {\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\rho d\rho } \cdot \left[ {\left. z \right|_{{\rho ^2}}^{\sqrt {6 – {\rho ^2}} }} \right] } \\ & = {\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\rho \left( {\sqrt {6 – {\rho ^2}} – {\rho ^2}} \right)d\rho } } \\ & = {2\pi \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\rho \left( {\sqrt {6 – {\rho ^2}} – {\rho ^2}} \right)d\rho } } \\ & = {\pi \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {6 – {\rho ^2}} – {\rho ^2}} \right)d{\rho ^2}}} \end {align*}

نهایتا با استفاده از تغییر متغیر ρ2=t \large { \rho ^ 2 } = t ، مقدار حجم برابر با عدد زیر بدست می‌آید.

V=π02(6ρ2ρ2)dρ2amp;=π02(6tt)dtamp;=π[(2(6t)323t22)02]amp;=π[23(432632)2]amp;=π[23(668)2]amp;=π(461632)amp;=2π(66113)\large \begin {align*} {V }={ \pi \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {6 – {\rho ^2}} – {\rho ^2}} \right)d{\rho ^2}} } & = {\pi \int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {6 – t} – t} \right)dt} } \\ & = {\pi \left[ {\left. {\left( { – \frac{{2{{\left( {6 – t} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{3} – \frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2} \right] } \\ & = {\pi \left[ { – \frac{2}{3}\left( {{4^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} – {6^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right) – 2} \right] } \\ & = {\pi \left[ {\frac{2}{3}\left( {6\sqrt 6 – 8} \right) – 2} \right] } \\ & = {\pi \left( {4\sqrt 6 – \frac{{16}}{3} – 2} \right) } \\ & = {2\pi \left( {\frac{{6\sqrt 6 – 11}}{3}} \right) } \end {align*}

فیلم‌ های آموزش محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی محاسبه حجم با انتگرال سه‌گانه

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از محاسبه حجم با انتگرال سه‌گانه

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۱۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۱ دیدگاه برای «محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)»

مثالها و فیلمها خیلی خوب بودن.ممنون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *