پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به معادله خط را مورد بررسی قرار دادیم. در این مطلب قصد داریم تا به اندازه یک بُعد فراتر رفته و معادله صفحه را در فضای سه‌بعدی توضیح دهیم.

معادله صفحه در فضا

فرض کنید می‌خواهیم معادله‌ی صفحه‌ای را بنویسیم که مختصات نقطه‌ای هم‌چون $$P _ 0 = (x _ 0 , y _ 0 , z _ 0)$$ روی آن معلوم است. همان‌طور که احتمالا می‌دانید به ‌منظور نوشتن معادله یک خط در فضای دوبعدی نیازمند شیب آن خط بودیم. در حالتی که با صفحه‌ای سه‌بعدی سر و کار داریم، آن‌چه که این نقش را ایفا می‌کند، بردار عمود به صفحه است. بنابراین به منظور نوشتن معادله یک صفحه بایستی یک نقطه از آن و بردار عمود به صفحه معلوم باشند. شکل زیر صفحه‌ای را نشان می‌دهد که در آن نقطه $$P _ 0 $$ و بردار عمود $$\overrightarrow { n } < a , b , c >$$ مشخص شده است. در ابتدا نقطه‌ای فرضی همچون $$ P = ( x , y , z )$$ را تصور کنید که روی صفحه قرار گرفته است.

معادله صفحه

اگر از مبدا به نقاط P و P0 خطوطی رسم شوند، دو بردار بدست می‌آید. همان‌طور که در تصویر فوق نیز می‌بینید بردار $$ \overrightarrow { r } – \overrightarrow { r_0 } $$ عمود بر بردار $$\overrightarrow { n }$$ عمود است. بنابراین حاصل‌ضرب داخلی بردار‌های $$ \overrightarrow { r } – \overrightarrow { r_0 } $$ در $$\overrightarrow { n }$$ برابر با صفر است. در نتیجه می‌توان گفت:

Equation-Plane

رابطه فوق در حقیقت معادله برداری یک صفحه خوانده می‌شود. بدیهی است که ما به دنبال شکل جبری معادله صفحه هستیم. شکلی مفید‌تر از رابطه فوق، به صورت زیر است. اگر بردار‌های r و r0 به ترتیب به صورت $$ < x , y , z > $$ و $$ < x _ 0, y_ 0 , z_ 0 > $$ نوشته شوند، رابطه فوق به صورت زیر قابل بازنویسی خواهد بود:

$$\begin{align*}\left\langle { a , b , c } \right\rangle \small \bullet \left( {\left\langle { x , y, z} \right \rangle – \left\langle {{ x _0},{ y _0},{ z _0}} \right\rangle } \right)& = 0\\ \left\langle { a , b , c } \right\rangle \small \bullet \left\langle { x – { x _0}, y – {y_0}, z – {z_0}} \right\rangle & = 0\end{align*}$$

با انجام حاصل ضرب بالا، شکل کلی معادله صفحه به صورت زیر بدست می‌آید:

$$a \left ( { x – { x _ 0}} \right) + b \left( { y – { y _ 0}} \right) + c \left( { z – { z _ 0}} \right) = 0$$

رابطه فوق، شکل اسکالر معادله صفحه نامیده می‌شود. البته معادله بالا را به‌ صورت زیر نیز بیان می‌کنند:

$$ a x + b y + c z = d $$

توجه داشته باشید که در رابطه بالا عدد d برابر با $$ d = a { x _0} + b { y _0} + c { z _0} $$ است. بنابراین اگر رابطه‌ صفحه‌ای به صورت بالا بیان شود، بلافاصله می‌توان بردار عمود بر آن را به صورت زیر در نظر گرفت.

$$ \overrightarrow n = \left \langle { a , b , c} \right \rangle $$

مثال ۱

معادله صفحه‌ای را بیابید که نقاط $$ P = \left( {1, – 2,0} \right) $$ و $$ Q = \left( { 3 , 1 , 4 } \right) $$ و $$ R = \left( {0, – 1,2} \right) $$ روی آن قرار گرفته‌اند.

نکته بسیار مهم در بدست آوردن معادله صفحه این است که در برخی از موارد ممکن است بردار عمود به صفحه به صورت مستقیم ارائه نشود. در این موارد دو بردار تشکیل داده و حاصل‌ضرب خارجی آن‌ها را برابر با بردار عمود وارد به صفحه در نظر بگیرید.

برای نمونه با توجه به دو نقطه ارائه شده دو بردار $$ \overrightarrow { P Q } $$ و $$ \overrightarrow { P R } $$ به ترتیب برابرند با:

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$ \overrightarrow {P Q} = \left \langle {2,3,4} \right\rangle \hspace{ 0.25in }\hspace{0.25 in}\overrightarrow {P R} = \left\langle { – 1,1,2} \right\rangle $$

حال با استفاده از ضرب خارجی دو بردار داریم:

$$\overrightarrow n = \overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i}&{\overrightarrow j}&{\overrightarrow k}\\2&3&4\\{ – 1}&1&2\end{array}} \right|\,\,\,\, = 2\overrightarrow i – 8\overrightarrow j + 5\overrightarrow k$$

در نتیجه معادله صفحه به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\begin{align*}2\left( { x – 1 } \right) – 8 \left( { y + 2} \right) + 5 \left( { z – 0} \right) & = 0\\ 2 x – 8 y + 5 z & = 18\end{align*}$$

مثال ۲

فرض کنید صفحه‌ای مطابق با رابطه $$- x + 2 z = 1 0 $$ توصیف شود. وضعیت این صفحه نسبت به خط $$\overrightarrow r = \left\langle {5,2 – t,10 + 4 t} \right\rangle $$ به چه صورت است؟

در حقیقت هدف ما این است که بدانیم خط مفروض نسبت به صفحه ارائه شده عمود یا موازی است و یا این که صفحه را قطع می‌کند. با توجه به رابطه ارائه شده، بردار عمود به صفحه برابر با $$\overrightarrow n = \left\langle { – 1 , 0 , 2} \right \rangle $$ است. از طرفی با توجه به رابطه ارائه شده برای $$\overrightarrow {r}$$، بردار موازی این خط به صورت $$v = \left \langle {0, – 1,4} \right \rangle$$ است.

همان‌طور که می‌دانید اگر حاصل ضرب خارجی دو بردار برابر با صفر باشد، به معنی آن است که دو بردار مفروض موازی هم هستند. بنابراین اگر حاصل ضرب خارجی دو بردار v و n نیز برابر با صفر باشد، دو بردار موازی بوده و خط r عمود بر صفحه است. در نتیجه حاصل ضرب خارجی دو بردار برابر است با:

$$\overrightarrow n \times \overrightarrow v = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i}&{\overrightarrow j}&{\overrightarrow k}\\{ – 1}&0&2\\0&{ – 1}&4\end{array}} \right|\,\,\,\, = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \ne \overrightarrow 0$$

بنابراین خط r قطعا عمود به صفحه نیست. در حقیقت ممکن است خط r موازی با صفحه باشد. به منظور اعتبارسنجی این موضوع نیز می‌توان از ضرب داخلی استفاده کرد. همان‌طور که می‌دانید اگر حاصل ضرب داخلی دو بردار برابر با صفر باشد، در این صورت دو بردار عمود به یکدیگر بوده و خط r موازی صفحه خواهد بود. در نتیجه حاصل ضرب داخلی دو بردار برابر است با:

$$\overrightarrow n\small \bullet \overrightarrow v = 0 + 0 + 8 = 8 \ne 0$$

حاصل ضرب داخلی غیر صفر بوده که به معنای آن است دو بردار عمود به یکدیگر نیستند. لذا خطِ r نه موازی صفحه و نه عمود بر آن است.

مثال ۳

معادله گذرنده از سه نقطه (1,2,3)، (۲,4,6) و (9-,6-,3-) را بیابید. همان‌طور که قبلا نیز بیان شد، معمولا در حالاتی که نقاطی روی صفحه به منظور نوشتن معادله ارائه می‌شود، بهتر است در ابتدا دو بردار تشکیل داده و با استفاده از ضرب خارجی آن‌ها، بردار عمود به صفحه را بدست آورد. در شکل زیر می‌بینید که با استفاده از ۳ نقطه دو بردار تشکیل شده و با توجه به قرار داشتن آن‌ها در یک صفحه حاصل‌ضرب خارجیشان به صفحه عمود شده است.

Equation-Plane

در این حالت نیز در ابتدا دو بردار b و c را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$\overrightarrow{b} = (2,4,6) – (1,2,3) = (1,2,3) \enspace , \enspace \overrightarrow{c} =(1,2,3) – (-3,-6,-9) = (4, 8, 12)$$

در مرحله بعد حاصل ضرب خارجی دو بردار فوق به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\begin{align*}
\overrightarrow{n} &= \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\\
&=
\left|
\begin{array}{rrr}
\overrightarrow{ i } & \overrightarrow{ j } & \overrightarrow{ k }\\
1 & 2 & 3\\
4 & 8 & 12
\end{array}
\right|
\\
&= \overrightarrow { i } (24 -24) – \overrightarrow { j } (12 -12) + \overrightarrow { k } (8 -8)\\
&= (0, 0, 0)
\end{align*}$$

همان‌طور که می‌بینید حاصل ضرب خارجی این دو بردار برابر با صفر است! حال این سوال مطرح می‌شود که صفر بودن ضرب خارجی به چه معنا و معادله صفحه به چه صورت قابل دست یابی است؟

توجه داشته باشید که ما با سه نقطه مواجه هستیم که حاصل ضرب خارجی بردار‌های ایجاد شده‌ در نتیجه آن‌ها، برابر با صفر است. این جمله به معنای آن است که سه نقطه روی یک خط قرار دارند. لذا سه نقطه‌ی روی یک خط، شرایطی کافی به‌منظور توصیف یک صفحه را دارا نیستند. برای نمونه همان‌طور که در شکل زیر نیز مشاهده می‌کنید، سه نقطه وجود دارد که دو صفحه‌ی متفاوت می‌تواند خط گذرنده از آن‌ها را قطع کند.

معادله صفحه

مثال ۴

معادله دو صفحه به صورت $$3x + 6y – 5z = – 3$$ و $$- 2x + 7y – z = 24$$ است. با فرض این که دو صفحه در یک خط همدیگر را قطع کنند، معادله خط مذکور را بیابید.

احتمالا همان‌طور که می‌دانید برای نوشتن معادله یک خط نیازمند بردار هادی و یک نقطه از آن هستیم. بدیهی است که نقطه قرار گرفته روی خط متقاطع، روی هر دو صفحه نیز قرار خواهد داشت. هم‌چنین واضح است که خط مقطع دو صفحه یکی از صفحات اصلی را قطع می‌کند. برای نمونه در ابتدا z=0 را در معادله دو صفحه قرار می‌دهیم. در این صورت با حل دو معادله بدست آمده، محل تقاطع خط مشترک با صفحه‌ی z بدست می‌آید.

$$ \begin {align*} 3 x + 6 y & = – 3\\ – 2 x + 7 y & = 24 \end {align*} $$

با حل دستگاه دو معادله دو مجهول فوق، مقادیر x و y برابرند با:

$$ x = – 5\hspace{0.5in}\,\,\,\,y = 2 $$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

مقادیر بدست آمده x و y نشان می‌دهند که خط مشترک دو صفحه مذکور، صفحه‌ی x-y را در نقطه $$ \left( { – 5 , 2 , 0 } \right) $$ قطع می‌کند. از طرفی هما‌نطور که در شکل زیر نشان داده شده بردار هادی خط مشترک دو صفحه، به بردار‌های نرمال دو صفحه عمود هستند.

Equation-Plane

لذا بردار هادی را می‌توان برابر با حاصل‌ضرب خارجی بردار‌های نرمال تصور کرد. با توجه به رابطه دو صفحه، بردار‌های نرمال آن‌ها برابرند با:

$$ { \overrightarrow n_1} = \left \langle {3,6, – 5} \right \rangle \hspace { 0.75 in } { \overrightarrow n_2} = \left\langle { – 2 , 7, – 1} \right \rangle $$

در نتیجه حاصل ضرب خارجی دو بردار برابر است با:

$$ \begin{align*}{ { \overrightarrow n}_1} \times {{\overrightarrow n}_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i}&{\overrightarrow j}&{\overrightarrow k}\\3&6&{ – 5}\\{ – 2}&7&{ – 1}\end{array}} \right| = – 6\overrightarrow i + 10\overrightarrow j + 21\overrightarrow k – \left( { – 3\overrightarrow j} \right) – \left( { – 35 \overrightarrow i} \right) – \left( { – 12\overrightarrow k} \right) = 29 \overrightarrow i + 13 \overrightarrow j + 33\overrightarrow k\end {align*} $$

در مرحله آخر، شکل پارامتری معادله خط در فضا نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\overrightarrow r\left( t \right) = \left\langle { – 5,2,0} \right\rangle + t\left\langle {29,13,33} \right\rangle = \left\langle { – 5 + 29t,2 + 13t,33t} \right\rangle }} $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۸۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

5 نظر در “معادله صفحه — به زبان ساده

  • سلام
    سوالی داشتم، در متن های بالا اشاره که
    می خواستم بپرسم که بردار عمود بر صفحه چگونه می تواند شبیه به نقش شیب را ایفا کند؟؟

    1. سید سراج حمیدی — says: ۷ اسفند، ۱۴۰۰ در ۷:۱۶ ق٫ظ

      سلام.
      فرض کنید میله‌ای عمود به یک صفحه متصل کرده‌اید. اگر میله را در دست بگیرید و در جهت‌های مختلف بچرخانید، جهات قرار‌گیری صفحه نیز با پیروی از تغییرات جهت میله تغییر می‌کند. این میله بردار عمود بر صفحه است. شیب خط نیز چنین خاصیتی دارد. اگر ماش شیب را بدانیم، جهت قرارگیری خط نسبت به خط افق را داریم. به‌طور مشابه، با داشتن خط عمود بر صفحه، جهت قرارگیری صفحه را می‌دانیم.
      موفق باشید.

  • سلام

    ببخشید حاصل ضرب داخلی بردارهای 3 نقطه اگر صفر بشه به این معنیه که اون 3 نقطه روی یک خط هستند و نه ضرب خارجی !

    لطفا اصلاح بفرمایید

    1. سید سراج حمیدی — says: ۲ خرداد، ۱۴۰۰ در ۵:۰۸ ب٫ظ

      سلام.
      وقتی دو بردار روی هم بیفتند، ضرب خارجی آن‌ها برابر با صفر خواهد بود. آنچه در متن نوشته شده، صحیح است. دو بردار عمود بر هم ضرب داخلی‌شان صفر است.
      سپاس از همراهی‌تان.

  • سلام من نتونستم جواب این مسئله رو پیدا کنم
    معادله صفحه ای را بیابید که خط های
    x=3+2t
    y=t
    z=8-t
    را در بر گرفته باشد و با صفحه
    2x+4y+8z=17 موازی باشد

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *