ریاضی 18817 بازدید

شاید اغلب مردم فکر کنند «بی‌نهایت» (Infinity) به معنی بسیار بزرگ یا بسیار زیاد است. در حالیکه از لحاظ علمی، بی نهایت به معنی بی‌پایان یا شمارش ناپذیر است. از آنجایی که در ریاضیات از مفهوم بی‌نهایت استفاده‌های زیادی می‌شود، در این نوشتار سعی می‌کنیم با بی نهایت و مفهوم آن بیشتر آشنا شده و اشتباهاتی که ممکن است در درک آن وجود داشته باشد را برطرف کنیم.

فیلم آموزشی بی‌نهایت و مفهوم آن

دانلود ویدیو

بی نهایت، پایان ندارد

ایده بی‌نهایت برای چیزهایی که دارای پایانی نیستند به کار می‌رود. متاسفانه (یا خوشبختانه) در دنیای واقعی و معمولی ما چیزی نیست که پایانی نداشته باشد، به همین دلیل با حواس پنچگانه نمی‌توان بی نهایت را درک کرد. پس تنها راه باقی مانده برای درک بی‌نهایت، تصور کردن آن است.

اگر با تفکر در مورد بی‌نهایت، مفاهیم «بی‌پایان» (Endless) یا «بی‌کران بودن» (Boundless) در ذهن شما قرار می‌گیرد، بی‌نهایت را درست درک کرده‌اید. در مقابل هر چیزی که «با پایان» (Finite) یا «کران‌دار» (Bounded) است، بی‌نهایت نیست.

شاید در بحث پدیده‌های بی‌پایان تصور شود که بی‌نهایت به معنی افزایش مداوم باشد. ولی باز هم این تصور صحیح نیست. بی‌نهایت چیزی نیست که بی‌پایان بودنش به علت رشد یا افزایش باشد. پس باید پذیرفت که بی‌نهایت به عنوان یک مفهوم به معنی چیزی است که با تصور هر چیز خیلی خیلی …. بزرگ باز هم از آن بزرگتر است. در نتیجه نمی‌توان بی‌نهایت را اندازه‌گیری کرد. حتی اندازه کهکشان‌ها نیز بی‌نهایت نیست.

بی نهایت، مفهومی ساده

هر چند به نظر می‌رسد بی‌نهایت بسیار پیچیده است، ولی هر روز با مفاهیمی سروکار داریم که بی‌نهایت در تعریف آن‌ها نقش دارد. برای مثال در هندسه، تعریف انواع خط به صورت زیر تعریف می‌شوند:

  • خط، از دو طرف ادامه دارد و برای آن نقطه شروع یا پایانی وجود ندارد.
  • نیم خط، خطی است که از یک طرف دارای پایان است.
  • پاره خط، دارای ابتدا و انتها پس پایان‌دار است.

lines and line segment

 

برای روشن شدن موضوع به مثال‌های دیگری در این زمینه توجه کنید.

  • مجموعه اعداد طبیعی، یک مجموعه بی‌پایان است و تعداد اعضای این مجموعه بی نهایت است.
  • کسر $$\frac{1}{3}$$ که یک عدد متناهی است که به صورت $$0.\overline{3}$$ نوشته می‌شود. علامت بالای رقم 3 که به صورت یک پاره‌خط ظاهر شده، بیان می‌کند که تعداد رقم ۳ در آن بی‌نهایت است و هیچگاه پایان نمی‌یابد.
  • یک دنباله نامتناهی از حرف A که در انتهای آن حرف B ظاهر شود، هرگز وجود ندارد، زیرا هیچگاه حرف A‌ در این دنباله پایان نمی‌یابند تا حرف B ظاهر شود.
  • بی‌نهایت نقطه روی یک خط قرار دارد حتی اگر پاره خط باشد. زیرا خط از بی‌نهایت نقطه تشکیل شده است. تقسیم خط به اجزای کوچکتر هرگز از بی‌نهایت نقطه آن نمی‌کاهد.

متناهی و اعداد بزرگ

اعداد بسیار بزرگی برای انسان شناخته شده است که حتی از تعداد ذرات بنیادی جهان بزرگتر هستند. برای مثال «گوگول» (Googol) نام عددی است که به صورت ۱ با ۱۰۰ صفر در جلویش نمایش داده می‌شود. به بیان دیگر می‌توان آن را به صورت $$10^{100}$$ نشان داد. به راحتی می‌توان این عدد بسیار بزرگ را بسیار بسیار بزرگتر کرد. برای مثال می توان یک گوگول را به توان ۱۰۰ رساند و نوشت $$10^{100^{100}}$$. با توجه به اینکه بالاخره تعداد ارقام این اعداد متناهی است، هیچکدام بی‌نهایت نیستند.

استفاده از بی نهایت

گاهی در محاسبات از بی‌نهایت به مانند اعداد استفاده می‌کنیم و گاهی نیز نتیجه را ناشناخته و بی‌معنی می‌شناسیم. معمولا در ریاضیات برای نمایش بی نهایت از نماد $$\infty$$ استفاده می‌شود.

اگر بنویسیم $$-\infty<x<\infty$$ به این معنی است که x یک عدد حقیقی است. این نامساوی را به صورت «x از منفی بی‌نهایت تا بی‌نهایت» می‌خوانیم. همچنین اگر بنویسیم $$\infty+1$$ مشخص است اضافه کردن ۱ به بی نهایت به آن چیزی اضافه نمی‌کند. بنابراین خواهیم داشت $$\infty+1=\infty$$. جدول زیر به درک روابط و محاسبات مربوط به $$\infty$$ به ما کمک می‌کند.

$$\infty+\infty=\infty$$
$$-\infty+(-\infty)=-\infty$$
$$\infty\times \infty= \infty$$
$$-\infty\times -\infty=\infty$$
$$-\infty\times \infty=-\infty$$
$$x+\infty =\infty$$
$$x+(-\infty) =-\infty$$
$$x-\infty =-\infty$$
$$x-(-\infty) =\infty$$
x>0
$$x\times \infty=\infty$$
$$x\times (-\infty)=-\infty$$
x<0
$$x\times \infty=- \infty$$
$$x\times (-\infty)=\infty$$

عملیات زیر برای بی نهایت تعریف نشده است.

$$0 \times \infty$$
$$0 \times \infty$$
$$\infty+-\infty$$
$$\infty-\infty$$
$$\infty / \infty$$
$$\infty^0$$
$$1^{\infty}$$
$$\frac{\infty}{\infty}$$

نکته: توجه داشته باشید که بی‌نهایت، یک معنی حدی برای توابع نیز دارد. به این معنی که برای نمایش دادن رفتار یک نسبت یا عدد برای مقادیر بسیار بسیار بزرگ به کار می‌رود. در این حالت می‌گویم، مثلا تابع در نقطه ۱ دارای حد بی‌نهایت است. در حالیکه مفهوم تعریف نشده، یک رابطه حدی را نشان نمی‌دهد. به رابطه‌های زیر توجه کنید.

$$ \large \lim_{x \to 1} \dfrac{4}{(x-1)^2} = \infty, $$

در مقابل تقسیم زیر را «نامعین» (با نماد «ن») می‌نامیم.

$$ \large \dfrac{4}{0} = ن $$

مجموعه‌های نامتناهی و بی نهایت

اگر به بررسی مجموعه‌های نامتناهی مشغول هستید، حتما به تعداد اعضای چنین مجموعه‌هایی سروکار دارید. به این ترتیب می‌توان برای اجتماع این گونه مجموعه‌ها، تعداد اعضا را مشخص کرد. برای بیان اندازه مجموعه اعداد طبیعی از نام الف-صفر استفاده می‌شود که آن را به صورت $$\aleph_0$$ نشان می‌دهند. به این ترتیب می‌توان تعداد اعضای مجموعه‌های نامتناهی را با استفاده از تناظر با مجموعه اعداد طبیعی نشان داد.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 29 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “بی نهایت و مفهوم آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

  • سلام
    چیزی که در مورد بینهایت برای من مسلّم و قطعی است، این است که بی نهایت نمیتواند دارای یک مرکز واحد و یگانه و منحصر به فرد باشد. زیرا مرکز دار بودن هر چیزی نشانه محدود بودن و محیط و مرز داشتن آن چیز می باشد. اما بینهایت میتواند دارای مراکز بیشمار محلی و منطقه ای باشد. هرکدام از این محله و یا منطقه ها را می توان یک جهان و مجموعه در حال افزایش آنها را جهان های موازی و بیشمار نامید. از آنجاییکه تقسیم بینهایت به واحد های محدود جهانی پایان ناپذیر می باشد، میتوان چنین تقسیمی را ” کثرت پایان ناپذیر ماورایی ” نامید. این ایده را میتوان به عنوان یک دلیل غیر قابل رد در جهت اثبات وجود جهان های موازی و بیشمار در نظر گرفت. دلیل دوم به شرح زیر می باشد: هستی بیکران هرگز قادر نخواهد بود که از یک حالت کلی به یک کلی دیگر تغییر و تحول یابد، زیرا برای این حرکت تحولی به بینهایت زمان ها نیاز خواهد داشت. لذا برای رفع این مشکل هستی بیکران با آگاهی و دانش و قدرت مطلق و بیکران، خودرا به هستی های محدود و متناهی و مساوی تقسیم نموده است، تا این هستی های محدود هرکدام بتوانند در طی یک زمان معین از یک حالت کلی به یک حالت کلی دیگر تحول یابند. و این تحولات از طریق وقوع مه بانگ های متوالی و بیشمار بر اثر نوسانات متواتر یا پی در پی کیهانی صورت می پذیرند. حرکت هستی های محدود و متناهی دو جهته میباشد؛ یکی نزولی و دیگری صعودی و منزل به منزل.
    حال باید تعداد منازل را تعیین کرد. حدس و گمان و احتمال این حقیر عدد ۷ میباشد.
    که از لحاظ عددی با وادی ها و شهر های هفتگانه عشق عارفان بزرگ دینی تطابق دارد، اما محتوایی کاملا متفاوت.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *