ضرب دکارتی مجموعه ها و مختصات دکارتی – به زبان ساده
در نظریه مجموعهها، ضرب دکارتی از اهمیت خاصی برخوردار است. زیرا مفاهیم دیگر مثل رابطه و تابع براساس آن بنا نهاده شده‌اند. البته به عنوان تعمیم ضرب دکارتی دو مجموعه، می‌توان از ضرب دکارتی n مجموعه نیز صحبت کرد. مطالعات «رنه دکارت» (Rene Descartes) فیلسوف و دانشمند بزرگ فرانسوی در زمینه مجموعهها در قرن ۱۵ میلادی، موجب به وجود آمدن مفهوم جدیدی در ریاضیات به نام ضرب مجموعهها گردید. به همین دلیل این مفهوم به نام ضرب دکارتی یا ضرب کارتزین معرف است. البته بعدها این مفهوم گسترش پیدا کرد و در هندسه تحلیلی به کار رفت.
ضرب دکارتی دو مجموعه
همانطور که می‌دانید، هر مجموعه بوسیله اعضای آن مشخص می‌شود. تشخیص اینکه آیا شئ درون مجموعه قرار دارد یا خیر به عهده قانون عضویت مجموعه است. بنابراین برای تعیین یک مجموعه یا باید اعضای آن را یک به یک معرفی کنیم یا قانون عضویت را برای آن بنویسیم.
برای اینکه ضرب دکارتی دو مجموعه را بهتر بشناسیم، ابتدا به معرفی «زوج مرتب» (Ordered Pair) پرداخته سپس از آن برای معرفی ضرب دو مجموعه کمک می‌گیریم.
زوج مرتب
اگر x و y دو شئ باشند، زوج مرتب x و y را به صورت نشان می‌دهند. در این حالت، عنصر اول یعنی x را مولفه اول و عنصر دوم یعنی y را مولفه دوم می‌نامند. در زوج مرتب، ترتیب قرار گیری عناصر در مولفه‌ها مهم است.
نکته: جابجایی مولفه‌ها، باعث ایجاد زوج مرتب جدید می‌شود. به این ترتیب برای دو زوج مرتب و لزوما تساوی برقرار نیست. در نتیجه خواهیم داشت:
ضرب دوکارتی دو مجموعه A و B
ضرب دکارتی دو مجموعه نیز خود یک مجموعه است که بوسیله قانون عضویت، تعریف می‌شود. فرض کنید A و B دو مجموعه باشند، آنگاه ضرب دکارتی یا «ضرب کارتزین» (Cartesian Product) این دو مجموعه، توسط مجموعه زیر مشخص می‌شود:
$$\large \displaystyle A\times B=\{\,(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\,\}$$آزمون ضرب دکارتی
۱. کدام عامل باعث می‌شود یک زوج مرتب با جابجاکردن جای عناصرش مفهوم متفاوتی نسبت به یک مجموعه ساده داشته باشد؟
یکسان بودن اعضا در مجموعه و زوج مرتب
امکان مرتب‌سازی عناصر بر اساس ارزش عددی
توانایی حذف عناصر تکراری در هر ساختار
اهمیت محل هر عنصر در زوج مرتب
در زوج مرتب، «اهمیت محل هر عنصر در زوج مرتب» باعث می‌شود که (x,y) با (y,x) متفاوت باشد و هر کدام یک شی‌ء مستقل تلقی شود. در حالی که مجموعه ساده محل عناصر اهمیتی ندارد و جابجایی تاثیری بر ماهیت آن نمی‌گذارد. وجود همین تفاوت، مجموعه و زوج مرتب را از هم متمایز می‌کند.
۲. اگر مجموعه A دارای سه عضو و مجموعه B دارای دو عضو باشد، ضرب دکارتی A × B چند عضو دارد و هر عضو آن چه فرمی دارد؟
شش عضو دارد و اعضا فقط به شکل حاصل جمع نمایش داده می‌شوند.
شش عضو دارد و هر عضو یک زوج مرتب به صورت (a,b) است.
چهار عضو دارد و اعضا به صورت سه‌تایی هستند.
پنج عضو دارد و هر عضو یک جفت بدون ترتیب بین عناصر است.
در ضرب دکارتی دو مجموعه با سه و دو عضو، حاصل شش عضو خواهد داشت چون تعداد اعضا از ضرب تعداد عناصر دو مجموعه به دست می‌آید. هر عضو نیز به صورت زوج مرتب نمایش داده می‌شود، یعنی اول عنصر از A و دوم عنصر از B انتخاب می‌گردد.
۳. در دستگاه مختصات دکارتی دو بعدی، چه رابطه‌ای میان علامت‌های x و y در زوج مرتب وجود دارد که ناحیه قرارگیری هر نقطه را روی صفحه تعیین می‌کند؟
تنها بزرگی مقدار x و y مهم است و علامت‌ها تاثیری در ناحیه ندارند.
اگر x و y مخالف علامت باشند، نقطه حتما روی یکی از محورها قرار می‌گیرد.
هر زمانی که هر دو مولفه مثبت باشند، نقطه در یک ناحیه وگرنه فقط مکان نقطه تغییر می‌کند.
ترکیب مثبت یا منفی بودن x و y هر کدام، موقعیت نقطه را در یکی از چهار ناحیه صفحه مشخص می‌کند.
در دستگاه مختصات دکارتی دو بعدی، ترکیب علامت‌های x و y در زوج مرتب تعیین می‌کند که نقطه در کدام یکی از چهار ناحیه صفحه قرار دارد؛ مثلا هر دو مثبت بودن یا مثبت و منفی بودن موجب جایگزینی نقطه در ربع‌های مختلف می‌شود.
مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید
عالی هست
عالی هست واقعا دم همتون گرم
به نظرم خیلی خوب توضیح دادین
فقط ای کاش نحوه محاسبه اون نقطه در فضای سه بعدی رو می‌گفتین چجوری به دست آوردین برای من یکم نامفهوم بود
ولی درکل ۹۹/۹۹درصد مطالب برای من مفید بود