فضای برداری چیست؟ — به زبان ساده

فضای برداری یکی از مفاهیمی است که به ویژه در جبر خطی کاربرد فراوانی دارد و احتمالاً در قضایای مختلف با آن مواجه شده‌اید. در این آموزش، با فضای برداری آشنا می‌شویم.

چرا به فضای برداری نیاز داریم؟

قبل از تعریف رسمی فضای برداری، به این پرسش پاسخ می‌دهیم که چرا به فضاهای برداری نیاز داریم. طبق مطالبی که تاکنون فرا گرفته‌ایم، می‌توانیم مسائلی مانند مسئله زیر را حل کنیم.

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

مسئله ۱: $$ x _ 1 , x _ 2 , x _ 3 \in \mathbb { R } $$ را بیابید که جواب دستگاه معادلات خطی زیر است:

$$ \large \begin {equation} \begin {aligned}
& \begin {array} { l }
3 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 0 x _ { 3 } = 8 \\
1 x _ { 1 } + 0 x _ { 2 } + 1 x_ { 3 } = 2
\end {array} \\
& 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 8 x _ { 3 } = 7
\end {aligned} \end {equation} $$

همچنین می‌توانیم مسئله ۱ را به شکل ماتریسی زیر بنویسیم.

مسئله ۱ (بازنویسی شده): $$ x _ 1 , x _ 2 , x _ 3 \in \mathbb { R } $$ را بیابید که جواب معادله ماتریسی زیر هستند:

$$ \large \begin {equation} \left ( \begin {array} { l l l }
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 3 & 8
\end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
x _ { 3 }
\end {array} \right ) =\left ( \begin {array} { l }
8 \\
2 \\
7
\end {array} \right ) \end {equation} $$

مسئله ۱ را می‌توانیم به شکل زیرنیز بیان کنیم.

مسئله ۱ (بازنویسی مجدد): $$ x _ 1 , x _ 2 , x _ 3 \in \mathbb { R } $$ را بیابید که جواب معادله زیر است:

$$ \large \begin {equation} x _ { 1 } \left ( \begin {array} { l }
3 \\
1 \\
2
\end {array} \right ) + x _ { 2 } \left ( \begin {array} { l }
2 \\
0 \\
3
\end {array} \right ) + x _ { 3 } \left ( \begin {array} { l }
0 \\
1 \\
8
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { l }
8 \\
2 \\
7
\end {array} \right ) \end {equation} $$

استفاده از ماتریس‌های ستونی مسئله را مشابه دو مسئله بعدی خواهد کرد که هر دوی آن‌ها در ریاضیات و علوم ظاهر می‌شوند.

مسئله ۲: $$ x _ 1 , x _ 2 , x _ 3 \in \mathbb { R } $$ را از معادله زیر بیابید:

$$ \large \begin {equation} x _ { 1 } \left ( 3 t ^{ 2 } + 5 t - 2 \right ) + x _ { 2 } \left ( 0 t ^ { 2 } - t + 6 \right ) + x _ { 3 } \left ( 9 t ^ { 2 } + 0 t + 1 \right ) = 6 t ^ { 2 } + 9 t + 2 \end {equation} $$

مسئله ۳: $$ x _ 1 , x _ 2 , x _ 3, x _ 4 , \cdots \in \mathbb { C } $$ را به گونه‌ای بیابد که داشته باشیم:

$$ \large x _ 1 ( \sin (\pi t )) + x _ 2 (\sin ( 2 \pi t )) + x _ 3 ( \sin ( 3 \pi t )) + \cdots = e ^ { 5 i t } $$

مسئله ۳ نوعی از مسائل است که فیزیکدانان اگر تکانه یک ذره در یک جعبه را بدانند و بخواهند انرژی آن را بیابند، باید آن را حل کنند.

در مسائل ۱، ۲ و ۳ یک نوع شیء ریاضی مشخص (ماتریس‌های ستونی در مسئله ۱، چندجمله‌ای‌ها در مسئله ۲ و توابع در مسئله ۳) وجود دارد و هدف ما این است که با یافتن مقادیر صحیح ضرایب $$ x _ i $$ آن شیء را در سمت راست معادله به عنوان یک مجموع از اهداف در سمت چپ بنویسیم. تا زمانی که ضرب اعداد اشیاء و جمع آن‌ها با هم ممکن باشد، می‌توانیم مثال‌هایی از این نوع مسئله را با استفاده از هر نوع شیء ریاضی پیدا کنیم.

از دانسته‌های خود چگونگی حل مسئله ۱ را می‌دانیم که در آن، «شیء ریاضیاتی» همان «ماتریس‌های ستونی» هستند و ضرایب اعدادی حقیقی‌اند. اما مسائل ۲ و ۳ را چگونه حل می‌کنیم؟ آیا باید زمان زیادی را صرف یادگیری این موضوع کنیم که وقتی «نوع شیء ریاضیاتی» به جای ماتریس‌های ستونی چندجمله‌ای باشد، چگونه این دست مسائل را حل کنیم؟ و آیا باید همین کار را برای توابع انجام دهیم؟ اگر ضرایب به جای آنکه حقیقی باشند، مختلط باشند، باید چه‌کار کنیم؟ آیا باید زمان زیادی را صرف یادگیری این موضوع کنیم؟

خوشبختانه می‌توانیم همه این مسائل را با اصول نظری واحد و روش‌های مشابه حل کنیم. اما شاید این پرسش برایتان پیش بیاید که چگونه می‌توان مسائلی از انواع مختلف را با قضایا و روش‌های ثابت، بدون توجه به انواع اشیاء ریاضی، حل کرد. آیا همه این قضایا با جمله زیر آغاز می‌شوند؟

«فرض کنید مجموعه‌ای از بردارهای ستونی یا چندجمله‌ای‌ها یا توابع یا هر نوع شیء ریاضیاتی دیگر داریم که می‌توان اعداد را در آن‌ها ضرب و با آن‌ها را با یکدیگر جمع کرد.»

در واقع، این همان جایی است که بسیاری از قضایا آغاز می‌شوند. اما ریاضیدانان علاقه دارند خلاصه بنویسند؛ بنابراین، اصطلاح «فضای برداری» (Vector Space) را برای بیان هر نوع شیء ریاضی که بتوان در آن عددی ضرب کرد و آن‌ها را با هم جمع کرد معرفی کرده‌اند. به همین دلیل است که به جای جملات بالا، قضایا با عبارت زیر آغاز می‌شوند:

«فرض کنید $$ V $$ یک فضای برداری باشد...»

تعریف فضای برداری

قبل از بیان تعریف رسمی یک فضای برداری، باید مفهوم یک «میدان» (Field) از اعداد (البته تعریف صحیح حلقه جابه‌جایی به‌ جای اعداد است) را تعریف کنیم. این «اعداد» در واقع اعدادی هستند که می‌توانند به عنوان ضریب باشند و در مسائل ۱ و ۲ به عنوان $$ \mathbb {R} $$ و در مسئله ۳ به عنوان $$ \mathbb { C } $$ هستند.

تعریف: یک میدان مجموعه $$ \mathbb {F}$$ از اعداد به همراه این ویژگی است که اگر $$ a , b \in \mathbb {F}$$، آنگاه $$ a + b $$، $$ a - b $$، $$ a b $$ و $$ a / b $$ نیز در $$ \mathbb { F} $$ هستند (البته، با فرض اینکه در $$ a / b $$ نامساوی $$ b \neq 0 $$ را داشته باشیم).

مثال‌: با جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد مجموعه اعداد زیر آشنایی داریم:

$$ \large \begin {align*} \mathbb { N } & = \{ 0 , 1 , 2 , 3 , \ldots \} \\ \mathbb { Z } & = \{ \ldots , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 ,2 , 3 , \ldots \} \\ \mathbb { Q } & = \left \{ \frac { a } { b } | a , b \in \mathbb { Z } , b \neq 0 \right \} \\ \mathbb { R } & = \text {all real numbers} \\ \mathbb { C } & = \{ a + b i | a , b \in \mathbb { R } \} \end {align*} $$

البته همه این مجموعه اعداد میدان اعداد نیستند. برای مثال، ۳ و ۵ در $$ \mathbb{N}$$ قرار دارند، اما $$ 3 - 5 $$ در این مجموعه نیست. همچنین، ۳ و ۵ در $$ \mathbb { Z} $$ هستند، اما $$ 3 / 5 $$ در آن نیست. این موضوع نشان می‌دهد که $$ \mathbb { N} $$ و $$ \mathbb { Z} $$ میدان اعداد نیستند. البته، $$ \mathbb{Q}$$، $$ \mathbb {R}$$ و $$ \mathbb { C} $$ همه میدان‌های عددی هستند.

مثال‌های دیگری نیز از میدان‌ها وجود دارد، اما در این مطلب، فرض می‌کنیم اصطلاح «میدان» به معنی $$ \mathbb {Q}$$، $$ \mathbb { R} $$ و $$ \mathbb { C } $$ است.

تعریف: یک فضای برداری از مجموعه $$ V $$ (اعضای $$ V $$ بردار نامیده می‌شوند)، میدان $$ \mathbb { F} $$ (اعضای $$ \mathbb{F}$$ اسکالر نامیده می‌شوند) و دو عمل زیر تشکیل می‌شود:

• جمع برداری که دو بردار $$ v , w \in V $$ را می‌گیرد و بردار سومی تولید می‌کند که به صورت $$ v + w \in V $$ نوشته می‌شود.
• ضرب اسکالر یا نرده‌ای که عدد $$ c \in \mathbb { F} $$ و بردار $$ v \in V $$ را می‌گیرد و بردار $$ c v \in V $$ را تولید می‌کند.

این فضای برداری در شرایط زیر (که اصول نامیده می‌شوند)، صدق می‌کند:

• (۱) شرکت‌پذیری جمع برداری: برای همه $$ u , v , w \in V$$، تساوی $$ ( u + v ) + w = u + ( v + w ) $$ را داریم.
• (۲) وجود یک بردار صفر: برداری در $$ V $$ وجود دارد که به صورت $$ 0 $$ نوشته و بردار صفر نامیده می‌شود و ویژگی $$ u + 0 = u $$ برای هر $$ u \in V $$ برقرار است.
• (۳)‌ وجود قرینه: برای هر $$ u \in V $$، برداری در $$ V $$ وجود دارد که به صورت $$ - u $$ نوشته شده و قرینه $$ u $$ نامیده می‌شود که دارای ویژگی $$ u + ( - u ) = 0 $$ است.
• (۴) شرکت‌پذیری ضرب: برای هر $$ a , b \in \mathbb {F}$$ و $$ u \in V $$، تساوی $$ ( a b ) u = a ( b u) $$ برقرار است.
• (۵) توزیع‌پذیری: برای هر $$ a , b \in \mathbb { F} $$ و $$ u , v \in { V} $$، تساوی $$ (a + b ) u = a u + b u $$ و $$ a ( u + v ) = au + a v $$ برقرار است.
• (۶) یکانی: برای هر $$ u \in V $$، رابطه $$ 1 u = u $$ برقرار است.

مراجع مختلف تعریف‌های متفاوت برای تعریف یک میدان برداری ارائه می‌کنند. برای مثال، طبق یک تعریف، دو اصل دیگر نیز وجود دارد: مجموع دو بردار باید یک بردار باشد و ضرب یک بردار در یک اسکالر یک بردار باشد. در تعریف بالا، این اصول بخشی از تعریف عملیات جمع برداری و ضرب نرده‌ای هستند. البته، دو راه برای نوشتن تعریف مشابه وجود دارد: در هر دو حالت، مجموع دو بردار و ضرب اسکالر در بردار باید یک بردار باشد.

با هر شیوه نوشتنی، تعریف یک فضای برداری ممکن است برای بار اول ملموس نباشد. اما مشخص می‌کند که ما از قبل با مثال‌های زیادی از فضاهای برداری آشنایی داریم. در ادامه، مثالی را بیان می‌کنیم.

یک مثال آشنا از فضای برداری $$ \LARGE \mathbb { R}^ n $$

فرض کنید $$ V $$ مجموعه‌ای از ماتریس‌های برداری $$ n $$ در $$ 1 $$ از اعداد حقیقی بوده و میدان اسکالرها $$ \mathbb { R} $$ باشد.

فیلم آموزش ریاضی فیزیک ۱ در فرادرس

کلیک کنید

همچنین فرض کنید جمع برداری و ضرب نرده‌ای به صورت زیر تعریف شده‌اند:

$$ \large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\ \vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\ y _ { 2 } \\ \vdots \\ y _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ), \quad \quad c \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
c x _ { 1 } \\
c x _ { 2 } \\
\vdots \\
c x _ { n }
\end {array} \right ) $$

اکنون شرایطی را که برای فضای برداری در $$ \mathbb  {R} $$ برقرار بودند اعتبارسنجی می‌کنیم.

۱. شرکت‌پذیری جمع برداری:

$$ \large \begin {aligned}
\left ( \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right ) \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) & = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
\left ( x _ { 1 } + y _ { 1 } \right ) + z _ { 1 } \\
\left ( x _ { 2 } + y _ { 2 } \right ) + z _ { 2 } \\
\vdots \\
\left ( x _ { n } + y _ { n } \right ) + z _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + \left ( y _ { 1 } + z _ { 1 } \right ) \\
x _ { 2 } + \left ( y _ { 2 } + z _ { 2 } \right ) \\
\vdots \\
x _ { n } + \left ( y _ { n } + z _ { n } \right )
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) \right )
\end {aligned} $$

2. وجود یک بردار صفر با نشان دادن اینکه ماتریس ستونی صفر در شرایط بردار صفر بودن صدق می‌کند، قابل اثبات است:

$$ \large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) $$

۳. قرینه را می‌توان با ضرب $$-1$$ در هریک از درایه‌های ماتریس ستونی $$ v $$ به دست آورد و با تساوی $$ v + ( - v ) = 0 $$ وجود آن را اثبات کرد:

$$ \large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
- x _ { 1 } \\
- x _ { 2 } \\
\vdots \\
- x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end {array} \right ) $$

۴. شرکت‌پذیری ضرب:

$$ \large ( a b ) \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
( a b ) x _ { 1 } \\
( a b ) x _ { 2 } \\
\vdots \\
( a b ) x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
a \left ( b x _ { 1 } \right ) \\
a\left ( b x _ { 2 } \right ) \\
\vdots \\
a \left ( b x _ { n } \right )
\end {array} \right ) = a \left ( b \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) \right ) $$

۵. توزیع‌پذیری:

$$ \large \begin {aligned} a \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\ \vdots \\
x _ { n } \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y_ { 1 } \\ y _ { 2 } \\ \vdots \\
y _ { n } \end {array} \right ) & = \left ( \begin {array} { r }
a \left (x _ { 1 } + y _ { 1 } \right ) \\
a \left ( x _ { 2 } + y _ { 2 } \right ) \\
\vdots \\
a \left ( x _ { n } + y _ { n } \right )
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
a x _ { 1 } + a y _ { 1 } \\
a x _ { 2 } + a y _ { 2 } \\
\vdots \\
a x _ { n } + a y _ { n }
\end {array} \right ) = a \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + a \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right )
\end {aligned} $$

و

$$ \large \begin {aligned}
( a + b ) \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) & = \left ( \begin {array} { c }
( a + b ) x _ { 1 } \\
( a + b ) x _ { 2 } \\
\vdots \\ ( a + b ) x _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
a x _ { 1 } + b x _ { 1 } \\
a x _ { 2 } + b x _ { 2 } \\
\vdots \\
a x _ { n } + b x _ { n }
\end {array} \right ) = a \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + b \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right )
\end {aligned} $$

۶. یکانی:

$$ \large 1 \left ( \begin {array} { c } x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\ \vdots \\ x _ { n } \end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
1 x _ { 1 } \\ 1 x _ { 2 } \\
\vdots \\ 1 x _ { n } \end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\ \vdots \\
x _ { n } \end {array} \right ) $$

مثال‌های بیشتر از فضای برداری

در این بخش، چند مثال دیگر از فضای برداری را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: فرض کنید $$ V $$ مجموعه ماتریس‌های برداری $$ n $$ در $$ 1 $$ بوده و $$ \mathbb {C} $$ میدان اسکالرها باشند و جمع برداری و ضرب نرده‌ای برداری را مانند مثال قبل به صورت زیر تعریف کنیم:

$$ \large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\ \vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\ y _ { 2 } \\ \vdots \\ y _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ), \quad \quad c \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
c x _ { 1 } \\
c x _ { 2 } \\
\vdots \\
c x _ { n }
\end {array} \right ) $$

تأیید اینکه این مثال یک فضای برداری را تعریف می‌کند، کار آسانی است.

مثال ۲: فرض کنید $$ V $$ مجموعه همه چندجمله‌ای‌هایی با مرتبه کوچک‌تر یا مساوی $$ n $$ با ضرایب حقیقی باشد. همچنین، فرض کنید میدان نرده‌ای $$ \mathbb { R} $$ بوده و جمع برداری و ضرب نرده‌ای را به ‌صورت زیر خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
\left ( a _ { 0 } + a _ { 1 } t + a _ { 2 } t ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } t ^ { n } \right ) & + \left ( b _ { 0 } + b _ { 1 } t + b _ { 2 } t ^ { 2 } + \cdots + b _ { n } t ^ { n } \right ) \\
& = \left ( a _ { 0 } + b _ { 0} \right ) + \left ( a _ { 1 } + b _ { 1 } \right ) t + \left ( a _ { 2 } + b _ { 2 } \right ) t ^ { 2 } + \cdots + \left ( a _ { n } + b _ { n } \right ) t ^ { n }
\end {aligned} $$

و

$$ \large c \left ( a _ { 0 } + a _ { 1 } t + a _ { 2 } t ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } t ^ { n } \right ) = c a _ { 0 } + c a _ { 1 } t + \cdots + c a _ { n } t ^ { n } $$

اثبات فضای برداری بودن آن سرراست است.

مثال ۳: فرض کنید $$ V $$ مجموعه‌ای از بینهایت دنباله اعداد حقیقی ($$ x _ 1 $$، $$ x _ 2 $$، $$ x _ 3 $$ و...) باشد. همچنین فرض کنید میدان نرده‌ای $$ \mathbb { R } $$ بوده و جمع برداری و ضرب نرده‌ای به صورت زیر تعریف شده است:

$$ \large \begin {aligned}
\left ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , \ldots \right ) + \left ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } , \ldots \right ) & = \left ( x _ { 1 } + y _ { 1 } , x _ { 2 } + y _ { 2 } , x _ { 3 } + y _ { 3 } , \ldots \right ) \\
c \left ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , \ldots \right ) & = \left ( c x _ { 1 } , c x _ { 2 } , c x _ { 3 } , \ldots \right )
\end {aligned} $$

اثبات فضای برداری بودن آن به سادگی قابل انجام است.

مثال 4: فرض کنید $$ V $$ مجموعه همه توابع پیوسته $$ f : \mathbb { R} \to \mathbb { R} $$ باشد. همچنین فرض کنید میدان نرده‌ای $$ \mathbb { R} $$ بوده و جمع برداری و ضرب نرده‌ای به صورت زیر تعریف شوند:

• $$ f + g $$ یک تابع پیوسته است که به صورت $$ ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) $$ تعریف شده است.
• $$ c f $$ یک تابع پیوسته است که به صورت $$ ( c f) ( x ) = c f ( x ) $$ تعریف شده است.

برای نشان دادن این جمع برداری و ضرب نرده‌ای، باید نشان دهیم که جمع دو مؤلفه از $$ V $$، یک مؤلفه دیگر در $$ V $$ را نتیجه خواهد داد. این مورد به دست خواهد آمد، زیرا از دانسته‌های خود در حسابان می‌دانیم که مجموع دو تابع پیوسته پیوسته است و ضرب یک عدد حقیقی در یک تابع پیوسته نیز منجر به یک تابع پیوسته دیگر خواهد شد.

اثبات اصول فضای برداری بودن آن نیز سرراست است.

مثال ۵: فرض کنید $$ V $$ مجموعه همه توابع $$ f : \mathbb { R} \to \mathbb { R} $$ باشد که در رابطه $$ f ^ {\prime \prime } = - f $$ صدق می‌کنند. برای مثال، توابع $$ \sin  ( x ) $$ و $$ \cos ( x ) $$ هر دو از اعضای $$ V $$ هستند. فرض کنید میدان نرده‌ای $$ \mathbb { R} $$ باشد و جمع برداری و ضرب نرده‌ای مانند مثال قبل تعریف شده باشد.

برای نشان دادن صحت جمع برداری و ضرب نرده‌ای، باید نشان دهیم جمع دو عضو از $$ V $$ به یک عضو دیگر در $$ V $$ منجر می‌شود و ضرب یک اسکالر در عضوی از $$ V $$ به عضوی در $$ V $$ خواهد انجامید. برای بررسی این موضوع، فرض کنید $$ f _ 1 , f _ 2 \in V $$ و $$ c \in \mathbb { R} $$ باشد. آنگاه، داریم:

$$ \large \begin {aligned}
\left ( f _ { 1 } + f _ { 2 } \right ) ^ { \prime \prime } = & f _ { 1 } ^ { \prime \prime } + f _ { 2 } ^ { \prime \prime } = -f _ { 1 } + - f _ { 2 } = - \left ( f _ { 1 } + f _ { 2 } \right )
\end {aligned} $$

و

$$ \large \left ( c f _ { 1 } \right ) ^ { \prime \prime } = c \left ( f _ { 1 } ^ { \prime \prime } \right ) = c \left ( -f _ { 1 } \right ) = - \left ( c f _ { 1 } \right ) $$

بنابراین، عملیات جمع برداری و ضرب نرده‌ای در اینجا برقرار هستند. اثبات اصول فضای برداری بودن آن نیز به سادگی انجام می‌شود.

چند پرسش رایج درباره فضای برداری

ممکن است در رابطه با فضای برداری پرسش‌هایی به وجود بیاید که در این بخش رایج‌ترین آن‌ها را بیان کرده‌ایم.

پرسش ۱: آیا بردارها همان پیکان‌ها یا فلش‌هایی نیستند که دارای جهت و اندازه‌اند؟

پاسخ ۱: پرتکرارترین فضای برداری که با آن سر و کار داریم، مجموعه بردارهایی است که با ماتریس‌های ستونی مانند زیر نشان داده می‌شوند:

$$ \large \left ( \begin {matrix}
2 \\
1 \end {matrix} \right ) $$

یک راه رایج برای نمایش این ماتریس ستونی، رسم یک پیکان است که از مبدأ مختصات آغاز می‌شود و نقطه $$ ( 2 , 1 ) $$ انتهای آن است. ایده «بردارها (Vectors) پیکان (Arrow) هستند» از این روش بصری برای نمایش بردار آمده است. برای سایر فضاهای برداری، مانند آن‌هایی که بردارها تابع یا دنباله‌های نامتناهی بودند، نمی‌توان بردارها را با پیکان نمایش داد.

تعریف یک فضای برداری چهار بخش دارد: یک مجموعه، یک میدان و دو عمل. با این حال، هنوز این پرسش وجود دارد که یک فضای برداری چیست؟

به یک دستورالعمل که در کتاب آشپزی پیدا می‌کنید فکر کنید. یک ریاضیدان مفهوم یک دستورالعمل را این‌گونه بیان می‌کند:

تعریف: یک دستورالعمل شامل دو مورد زیر است:

• (۱) مجموعه $$I$$ (موارد در این مجموعه که اعضا نامیده می‌شوند).
• (۲) دستوراتی برای تنظیم عناصر $$ I $$ در بشقاب نهایی.

اگر فقط مجموعه اعضا را بدانید یا فقط از دستورات اطلاع داشته باشید، دستوالعمل کامل نیست. اگر کسی از شما بپرسد: «آیا ۱ کیلوگرم اسپاگتی خشک، یک سس پاستا و ۴ پیمانه آب دستورالعمل تهیه غذا است؟» شما خواهید گفت: «اطلاعات شما کافی نیست؛ چگونه این‌ها را با هم مخلوط می‌کنید؟» به طور مشابه، اگر کسی بپرسد: «آیا فضای ماتریس‌های ستونی ۳ در ۱ با درایه‌های حقیقی یک فضای برداری است؟»، جواب دقیق این است که «شما هنوز همه اطلاعات را به من نداده‌اید؛ میدان نرده‌ای چیست و چگونه می‌توانید جمع برداری و ضرب نرده‌ای را تعریف کنید؟».

البته در موارد مختلف خواهید دید که ریاضیدانان بدون مشخص کردن اطلاعات اضافه، این عبارت را به کار می‌برند: «فضای برداری ماتریس‌های ستونی ۳ در ۱ یا درایه‌های حقیقی»، زیرا میدان نرده‌ای، جمع برداری و ضرب نرده‌ای برای آن‌ها بدیهی است و بیان همه جزئیات کسالت‌بار خواهد بود. مشابه آنچه گفتیم، اگر کسی ۱ کیلوگرم اسپاگتی، ۱ شیشه سس پاستا و ۴ پیمانه آب به ما بدهد و بگوید ناهار درست کن، نیازی نیست از او دستورات را بپرسید و واضح است که می‌خواهید چه چیزی درست کنید.

پرسش ۲: چرا عملیات «جمع برداری» و «ضرب نرده‌ای» بخش از از تعریف یک فضای برداری هستند؟ ما می‌دانیم چگونه جمع و ضرب انجام دهیم.

پاسخ ۲: در نظر بگیرید که چه تعداد انواع اشیاء ریاضی را می‌توان با یکدیگر «جمع» کرد. در دبستان مفهوم جمع اعداد را آموخته‌ایم. در دبیرستان نیز با جمع چندجمله‌ای‌ها و توابع و ماتریس‌ها آشنا شده‌ایم. برای هر یک از این انواع اشیاء ریاضی با مفهوم جمع در آن‌ها آشنا شده‌ایم.

بنابراین، مفهوم «جمع» (و علامت مثبت) عملیات مختلفی را روی اشیای ریاضی متفاوتی توصیف می‌کند. ما می‌خواهیم مطمئن شویم تعریف مناسب «جمع» برای هر نوع شیء ریاضی که ممکن است آن را بردار در نظر بگیریم، وجود داشته باشد. همچنین، می‌خواهیم تعریف «ضرب نرده‌ای» برای هر نوع بردار و اسکالری که داریم وجود داشته باشد

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش جبر خطی با متلب
• مجموعه آموزش‌های مهندسی کنترل
• آموزش کنترل مدرن به همراه پیاده سازی در متلب​‎
• فضای اقلیدسی و خصوصیات آن — به زبان ساده
• فضای هیلبرت و خصوصیات آن — به زبان ساده
• فضای باناخ و خصوصیات آن — به زبان ساده

^^