شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در آموزشهای قبلی مجله فرادرس با دنبالهها آشنا شدیم. در این آموزش نمادها و قضایای مربوط به جمع جملات یک دنباله را ارائه خواهیم کرد که اصطلاحاً مجموع یابی (Summation) نامیده میشود. در ادامه ابتدا یک تعریف را بیان میکنیم و سپس موارد دیگر را بر اساس آن شرح خواهیم داد.
متغیر n شاخص یا اندیس مجموع یابی نامیده میشود. عدد m کران پایین مجموع یابی و p کران بالای مجموع یابی است.
تعریف بالا به سادگی یک نماد کوتاه را برای جمع کردن جملات دنباله {an}n=k∞ از am تا ap نشان میدهد. نماد Σ حرف یونانی بزرگ سیگما و کوتاه شده sum به معنی مجموع است. کرانهای بالا و پایین مجموع یابی بیان میکنند که با کدام جمله شروع کنیم و با کدام جمله به پایان برسیم. برای مثال، برای دنباله an=2n−1 با n≥1، میتوانیم مجموع (a3+a4+a5+a6) را به صورت زیر بنویسیم:
متغیر شاخص یک متغیر ساختگی است که میتوان آن را با هر حرف دیگری نشان داد، بدون اینکه بر مقدار مجموع تأثیری داشته باشد. به عبارت دیگر، میتوان نوشت:
n=3∑6(2n−1)=k=3∑6(2k−1)=j=3∑6(2j−1)
یکی از مواردی که میتوانیم از نماد مجموع یابی استفاده کنیم، در تعاریف ریاضیاتی است. برای مثال، نماد مجموع یابی به ما این توانایی را میدهد که چندجملهایها را به صورت توابعی به فرم زیر بیان کنیم:
f(x)=k=0∑nakxk
که در آن، ak اعدادی حقیقی برای k=0,1,...,n هستند. علامت مجموع یابی در عملیات ماتریسی نیز بسیار مفید است. برای مثال، میتوانیم ضرب iاُمین سطر Ri ماتریس A=[aij]m×n و ستون jاُم Cj ماتریس B=[bij]n×r را به شکل زیر بنویسیم:
Ri⋅Cj=k=1∑naikbkj
مثال اول مجموع یابی دنباله ها
مجموعهای زیر را بیابید.
(الف) k=1∑4100k13
(ب) n=0∑42n!
(ج) n=1∑5n(−1)n+1(x−1)n
حل (الف):k=1 را در فرمول 100k13 جایگذاری کرده و جملات را تا k=4 با هم جمع میکنیم:
حل (الف): جملات مجموع یک دنباله حسابی را تشکیل میدهند که جمله اول آن a=1 و قدر نسبت d=2 است. فرمول n جمله این دنباله an=1+(n−1)2=2n−1 برای n≥1 است. در این مرحله، فرمول 2n−1 را برای جملات داریم که کران پایین مجموع n=1 است. برای حل کامل مسئله، لازم است کران بالای مجموع را نیز تعیین کنیم. به عبارت دیگر، لازم است مشخص کنیم که کدام مقدار n منجر به جمله 117 میشود. با قرار دادن an=117 مقدار 2n−1=117 یا n=59 را خواهیم داشت. پاسخ نهایی به صورت زیر است:
1+3+5+…+117=n=1∑59(2n−1)
حل (ب): همه جملات را به صورت کسر و علامتهای جمع را منها را به صورت جمع مینویسیم. در نتیجه، خواهیم داشت:
11+2−1+31+4−1+…+1171
صورت کسرها −1 و 1 است که به صورت یکی در میان تکرار میشود. در واقع میتوانیم اینها را یک سری هندسی با جمله اول a=1 و قدر نسبت r=−1 در نظر بگیریم که به صورت cn=(−1)n−1 برای n≥1 نوشته میشود. مخرجها نیز یک دنباله حسابی را نشان میدهند که جمله اول آن a=1 و قدر نسبت آن d=1 است، یعنی dn=n برای n≥1. بنابراین، فرمول an=n(−1)n−1 را برای جملات خواهیم داشت و کرانهای پایین و بالای مجموع، به ترتیب، n=1 و n=117 خواهند بود. در نتیجه، میتوان نوشت:
1−21+31−41+−…+1171=n=1∑117n(−1)n−1
حل (ج): فرمول nاُمین جمله این دنباله an=10n9 برای n≥1 است. بنابراین، فرمولی برای مجموع با کران پایین خواهیم داشت. برای به دست آوردن کران بالای مجموع میدانیم که باید n−1 صفر سمت راست اعشار قبل از عدد 9 تولید کنیم و به مخرج 10n نیاز داریم. بنابراین، n کران بالای مجموع خواهد بود. از آنجا که n در کرانها مورد استفاده قرار میگیرد، لازم است یک حرف دیگر برای شاخص مجموع تعیین کنیم. بدین منظور k را انتخاب میکنیم:
0.9+0.09+0.009+…+0.(n-1)0⋯09=k=1∑n10k9
قضیه زیر برخی از ویژگیهای عمومی نماد مجموع یابی را بیان میکند. گرچه این ویژگیها شاید کمتر در جبر مورد استفاده قرار گیرند، اما در حسابان نقش ویژهای دارند.
خواص نماد مجموع یابی
قضیه: فرض کنید {an} و {bn} دنبالههایی باشند که در مجموعهای زیر تعریف شدهاند. در این صورت، خواهیم داشت:
سمت راست این معادله شامل n جمله است که همه آنها برابر با (2a+(n−1)d) هستند. بنابراین، تساوی 2S=n(2a+(n−1)d) را خواهیم داشت. با تقسیم دو طرف معادله بر ۲، فرمول زیر به دست میآید:
S=2n(2a+(n−1)d)
اگر مقدار 2a+(n−1)d را به صورت a+(a+(n−1)d)=a1+an بنویسیم، آنگاه فرمول زیر را خواهیم داشت:
S=n(2a1+an)
یک راه مفید برای به خاطر سپردن این فرمول، تشخیص این موضوع است که مجموع را به صورت ضرب n و میانگین اولین و nاُمین جمله نوشتهایم.
برای به دست آوردن فرمول مجموع هندسی، تصاعد هندسی ak=ark−1 را برای k≥1 در نظر میگیریم و S را مجدداً به عنوان مجموع n جمله اول مشخص میکنیم. با مقایسه S و rS، داریم:
با کم کردن معادله دوم از معادله اول همه جملات جز a و arn حذف میشوند و به رابطه S−rS=a−arn خواهیم رسید. با فاکتورگیری معادله S(1−r)=a(1−rn) را خواهیم داشت. با در نظر گرفتن r=1، میتوانیم دو طرف را بر (1−r) تقسیم کنیم:
S=a(1−r1−rn)
اگر a را در صورت توزیع کنیم، a−arn=a1−an+1 منجر به فرمول زیر میشود:
S=1−ra1−an+1
در حالتی که r=1 است، فرمول زیر را داریم:
S=na+a+…+a=na
این نتایج را میتوان به صورت زیر خلاصه کرد:
مجموع n جمله اول تصاعد حسابی ak=a+(k−1)d برای k≥1 به صورت زیر است:
S=k=1∑nak=n(2a1+an)=2n(2a+(n−1)d)
مجموع n جمله نخست تصاعد هندسی ak=ark−1 برای k≥1 برابر با یکی از دو مورد زیر است:
S=k=1∑nak=1−ra1−an+1=a(1−r1−rn)، اگر r=1 باشد.
S=k=1∑nak=k=1∑na=na، اگر r=1 باشد.
اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
۳ دیدگاه برای «مجموع یابی دنباله ها – به زبان ساده»
سینا
سلام من کلاس هفتمم
من عاشق ریاضی و فیزیک هستم
کتاب هندسه تحلیلی و انتگرال و حساب دیفرانسیل جلد یک توماس و کتاب مبانی فیزیک هالیدی جلد یک و کتاب نظریه ی اعداد گولدشتین هم خوندم
محمد مقدمی
خیلی خوب توضیح دادید من کلاس هشتم هستم اما به مبحث سیگما، انتگرالو… علاقه زیادی داریم. راجب تخفیف هم بگم لطفا این تخفیف 20000 تومانی را همیشگی کنید خیلی به درد میخوره ممنونم??
سید سراج حمیدی
سلا محمد عزیز.
خوشحالیم که آموزشهای مجله فرادرس برایتان مفید بوده است.
سالم و سربلند باشید.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام من کلاس هفتمم
من عاشق ریاضی و فیزیک هستم
کتاب هندسه تحلیلی و انتگرال و حساب دیفرانسیل جلد یک توماس و کتاب مبانی فیزیک هالیدی جلد یک و کتاب نظریه ی اعداد گولدشتین هم خوندم
خیلی خوب توضیح دادید من کلاس هشتم هستم اما به مبحث سیگما، انتگرالو… علاقه زیادی داریم. راجب تخفیف هم بگم لطفا این تخفیف 20000 تومانی را همیشگی کنید خیلی به درد میخوره ممنونم??
سلا محمد عزیز.
خوشحالیم که آموزشهای مجله فرادرس برایتان مفید بوده است.
سالم و سربلند باشید.