ریاضی, علوم پایه 4010 بازدید

پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به سری‌ها، از جمله همگرایی و واگرایی آن‌ها یا سری‌های توانی معرفی شدند. در این مطلب قصد داریم تا مفهوم سری بینهایت را به زبانی ساده توضیح دهیم. ابزار‌های زیادی در ریاضیات وجود دارند که مبتنی بر سری‌های بینهایت هستند. البته پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، مطالب سری‌‌های توانی، سری همگرا و واگرا و تحلیل سری زمانی مطالعه شوند.

سری بینهایت چیست؟

قبل از هرچیز باید بدانید که یک سری از مجموع جملات یک دنباله تشکیل شده است. البته جهت تسلط به مبحث دنباله‌ها می‌توانید این لینک را مطالعه فرمایید. برای معرفی یک سری در ابتدا دنباله‌ای را به صورت $$ \left \{ { { a _ n } } \right \} _ { n = 1 } ^ \infty $$ در نظر بگیرید. اگر جملات این دنباله به صورت زیر جمع شوند، سری بینهایت sn به صورت زیر تشکیل خواهد شد.

$$ \large { \begin {align*} & { s _ 1 } = { a _ 1 } \\ & { s _ 2 } = { a _ 1 } + { a _ 2 } \\ & { s _ 3 } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } \\ & { s _ 4 } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + { a _ 4 } \\ & \hspace {0.25in} \, \vdots \\ & { s _ n } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + { a _ 4 } + \cdots + { a _ n } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { a _ i } } \end {align*}} $$

به عبارت sn، جمع جزئی گفته می‌شود. بنابراین سری بینهایت sn از جمع جملات دنباله an تشکیل می‌شود. هم‌چنین به علامت Σ، حاصل جمع گفته می‌شود. در این مطلب می‌خواهیم مشخصا در مورد سری‌های بینهایت صحبت کنیم. از این رو توجه داشته باشید که یک سری بینهایت را به صورت $$ \left \{ { { s _ n } } \right \} _ { n = 1 } ^ \infty $$ نیز می‌توان نشان داد. حاصل سری بینهایت را با استفاده از حد زیر بدست می‌آورند.

$$ \large \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } { s _ n } = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { a _ i } } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ \infty { { a _ i } } $$

اگر حاصل حد فوق برابر با عددی مشخص باشد، در این صورت سری، همگرا و در غیر این صورت سری مذکور پاسخی ندارد. توجه داشته باشید که در برخی از موارد مناسب است که سری را به صورت زیر بیان کنیم:

$$ \large \sum \limits _ { i = 1 } ^ \infty { { a _ i } } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + \cdots + { a
_ n } + \cdots $$

i نمادی است که جمع روی آن زده می‌شود. البته در برخی موارد از n یا k نیز استفاده می‌شود. برای نمونه سه سری زیر با هم برابر هستند.

$$ \large \sum \limits _ { i = 0 } ^ \infty { \frac { 3 } { { { i ^ 2 } + 1 } } } = \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty { \frac { 3 } { { { k ^ 2 } + 1 } } } = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { 3 } { { { n ^ 2 } + 1 } } } \,\,\,\,\,\,etc. $$

ویژگی‌ سری‌ بینهایت

اگر دو سری $$ \sum { { a _n } } $$ و $$ \sum { { b _n } } $$ همگرا باشند، در این صورت می‌توان گفت:

  1. سری $$ \displaystyle \sum {c{a_n}} $$ نیز به $$ \sum { c { a _ n } } = c \sum { { a _ n } } $$ همگرا است.
  2. سریِ $$ \displaystyle \sum \limits _ { n = k } ^ \infty { { a _ n } } \pm \sum \limits _ { n = k } ^ \infty { {b _ n } } $$ نیز برابر است با:

$$ \large \sum \limits _ { n = k } ^ \infty { { a _ n } } \pm \sum \limits _ { n = k } ^ \infty { { b _ n } } = \sum \limits _ { n = k } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \pm { b _ n } } \right ) } $$

قبل از اینکه به ادامه مطلب بپردازیم،‌ باید توجه داشته باشید که هیچ‌گاه نمی‌توان حاصل‌ضرب سری بینهایت دو دنباله را به صورت سری ضرب دو دنباله نوشت. در حقیقت در حالت کلی نامساوی زیر برای دو دنباله برقرار است.

$$ \large \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { a _ n } } } \right ) \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { b _ n } } } \right ) \ne \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } { b _ n } } \right ) } $$

بنابراین در بدست آوردن حاصل یک سری، جملات را باز کرده و آن‌ها را بنویسید. برای نمونه در ادامه حاصل ضرب دو سری نشان داده شده است.

$$ \large \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { a _ n } } } \right ) \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { b _ n } } } \right ) = \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + \cdots } \right) \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1 } + { b _ 2 } + { b _ 3 } + \cdots } \right) $$

اگر جملات بالا را در یکدیگر ضرب کنید، خواهید دید که می‌توان سری فوق را به شکل زیر نوشت.

$$ \large \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { a _ n } } } \right ) \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { b _ n } } } \right ) = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } } $$

در رابطه بالا cn برابر است با:

$$ \large { c _ n } = \sum \limits _ { i = 0 } ^ n { { a _ i } { b _ { n – i } } } $$

تغییر بازه

در برخی از موارد نیاز است تا نقطه شروع در یک سری تغییر کند. برای نمونه سری زیر را در نظر بگیرید.

$$ \large {\sum \limits _ { n = 2 } ^ \infty { \frac { { n + 5 } } { { { 2 ^ n } } } }} $$
رابطه ۱

فرض کنید به هر دلیلی سری فوق باید از n=0 شروع شود. از طرفی می‌خواهیم با تغییر نقطه شروع، مقدار نهایی سری تغییر نکند. در این صورت می‌توان از تغییر متغیری به صورت زیر استفاده کرد.

$$ \large i = n – 2 $$

در این سری n از ۲ شروع می‌شود. بنابراین مقدار i باید از صفر شروع شود. از طرفی در بینهایت نیز مقدار i برابر با $$ i = \infty – 2 = \infty $$ بدست می‌آید. بنابراین کافی است تا در رابطه ۱ به جای n از i+2 استفاده کرد. با انجام این کار به رابطه زیر می‌رسیم.

$$ \large \sum \limits _ { n = 2 } ^ \infty { \frac { { n + 5 } } { { { 2 ^ n } } } } = \sum \limits _ { i = 0 } ^ \infty { \frac { { \left ( { i + 2 } \right ) + 5 } } { { { 2 ^ { i + 2 } } } } } = \sum \limits _ { i = 0 } ^ \infty { \frac { { i + 7 } } { { { 2 ^ { i + 2 } } } } } $$

در بالا اشاره شد که در یک سری می‌توان تمامی نماد‌ها را عوض کرد. بنابراین سری فوق را نیز می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

$$ \large \sum \limits _ { n = 2 } ^ \infty { \frac { { n + 5 } } { { { 2 ^ n } } } } = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { n + 7 } } { { { 2 ^ { n + 2 } } } } } $$

جهت اطمینان، می‌توانید جملات ابتدایی سری تبدیل شده و سری اولیه را به صورت زیر بنویسید.

$$ \large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 2 } ^ \infty { \frac { { n + 5 } } { { { 2 ^ n } } } } & = \frac { 7 } { { { 2 ^ 2 } } } + \frac { 8 } { { { 2 ^ 3 } } } + \frac { 9 } { { { 2 ^ 4 } } } + \frac { { 1 0 } } { { { 2 ^ 5 } } } + \cdots \\ \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { n + 7 } } { { { 2 ^ { n + 2 } } } } } & = \frac {
7 } { { { 2 ^ 2 } } } + \frac { 8 } { { { 2 ^ 3 } } } + \frac { 9 } { { { 2 ^ 4 } } } + \frac { { 1 0 } } { { { 2 ^ 5 } } } + \cdots \end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینید، دو سری بالا با هم برابر هستند. البته راه آسان‌تری نیز به منظور تغییر باز‌ه‌های سری بینهایت وجود دارد.

مثال

نقطه شروع را در سری‌های زیر آنطور که خواسته شده، تغییر دهید.

  1. سری $$ \displaystyle \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { a { r ^ { n – 1 } } } $$ را در حالتی بنویسید که شروع از n=0 انجام شود.
  2. سری $$ \displaystyle \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { n ^ 2 } } } { { 1 – { 3 ^ { n + 1 } } } } } $$ را به صورتی بنویسید که از n=3 شروع شود.

(۱): در این حالت سری بینهایت را می‌توان به صورت زیر نوشت.

$$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { a { r ^ { n – 1 } } } = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { a { r ^ { \left ( { n + 1 } \right ) – 1 } } } = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { a { r^ n } } $$

همان‌طور که می‌بینید به هر اندازه که نقطه شروع تغییر کند، عبارات شامل n نیز به همان اندازه تغییر می‌کنند.

(۲): با استفاده از قاعده بیان شده در بالا نیز می‌توان سری دوم را به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { n ^ 2 } }} { { 1 – { 3 ^ { n + 1 } } } }} = \sum \limits _ { n = 3 } ^ \infty {\frac{{{{\left( {n – 2} \right)}^2}}}{{1 – {3^{\left( {n – 2} \right) + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{{{\left( { n – 2 } \right ) }^ 2 } } } { { 1 – { 3 ^ {n – 1 } } } } } $$

در آخرین قسمت قصد داریم تا روش دوم را به منظور تغییر بازه سری بیان کنیم. بدین منظور در ابتدا سری زیر را در نظر بگیرید.

$$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + { a _ 4 } + { a _ 5 } + \cdots $$

در سری فوق اگر ترم اول نادیده گرفته شود، در این صورت سری باقیمانده از n=2 شروع می‌شود. بنابراین سری اولیه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = { a _ 1 } + \sum \limits _ { n = 2 } ^ \infty { { a _ n } } $$

به همین صورت می‌توان با جدا کردن دو ترمِ اول، سری را از ۳ شروع کرد. در ادامه مشاهده می‌شود که سری از ۳ و ۵ شروع شده است.

$$ \large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } & = { a _ 1 } + { a _ 2 } + \sum \limits _ { n = 3 } ^ \infty { { a _ n } } \\ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } & = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + { a _ 4 } + \sum \limits _ { n = 5 } ^ \infty { { a _ n } } \end {align*} $$

با استفاده از این روش می‌توان حتی یک سری بینهایت را به چندین بخش تقسیم کرد. برای نمونه در ادامه یک سری به دو قسمت تقسیم شده است.

$$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + { a _ 3 } + { a _ 4 } + \sum \limits _ { n = 5 } ^ \infty { { a _ n } } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ 4 { { a _ n } } + \sum \limits _ { n = 5 } ^ \infty { { a _ n } } $$

بنابراین برای یک سری بینهایت رابطه کلی زیر را می‌توان بیان کرد:

$$ \large{ \boxed { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { { a _ n } } + \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { { a _ n } } } } $$

یکی از مباحث مهم در سری‌ها، همگرایی و واگرایی یک سری بینهایت است. البته در آینده دیگر مفاهیم مرتبط با سری‌ها را بیشتر توضیح خواهیم داد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 5 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *