دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده

توابع نمایی و لگاریتمی در ریاضیات و سایر علوم کاربردهای فراوانی دارند و به همین دلیل است که شناخت این توابع ضروری است. در این آموزش، با دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی آشنا میشویم و با ارائه مثالهایی نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی را بیان میکنیم.
تعریف دامنه یک تابع
دامنه تابعی مانند $$f$$ که به صورت عبارتی برحسب متغیر $$x$$ تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر $$x$$ که به ازای آنها مقدار تابع حقیقی است.
تعریف برد یک تابع
برد تابع $$f$$ برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر $$x$$ برای تابع حاصل میشود.
تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و... دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی مثالهایی را ارائه خواهیم کرد.
دامنه و برد تعدادی از توابع نمایی و لگاریتمی به شرح زیر است:
برد | دامنه | تابع |
$$ ( 0 , + ∞ ) $$ | $$ ( - ∞ , + ∞ ) $$ | $$ f ( x ) = a ^ x $$ |
$$ ( ± k , + ∞ ) $$ | $$ ( - ∞ , + ∞ ) $$ | ($$ k$$ ثابت) $$ f ( x ) = a ^ x ± k $$ |
$$ ( - ∞ , + ∞ ) $$ | $$ ( 0 , + ∞ ) $$ | $$ f ( x ) = \log _ a ( x ) $$ |
$$ ( - ∞ , + ∞ ) $$ | $$ ( ∓ \frac k m , + ∞ ) $$ | ($$m$$ و $$k$$ ثابت) $$ f ( x ) = \log_ a ( m x ± k ) $$ |
نکته:
- اگر $$ \log_ a x ≥ y $$و $$ a > 1 $$ باشد، آنگاه $$ x ≥ a ^ y $$.
- اگر $$ \log _ a x ≥ y $$ و $$ a < 1 $$ باشد، آنگاه $$ x ≤ a ^ y $$.
مثال های تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی بیان میکنیم.
مثال اول دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \log_3 ( x - 1 ) $$ را به دست آورید.
حل: طبق جدول فوق، اگر آرگومان $$ \log _ 3 ( x - 1 ) $$ یعنی $$ x - 1 $$ مثبت باشد، مقادیر $$ f ( x ) $$ حقیقی خواهد بود:
$$ \large x - 1 > 0 $$
بنابراین، دامنه این تابع برابر است با $$ x > 1 $$ یا $$ ( 1 , + ∞ ) $$.
مثال دوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \log _ 2 ( x ^ 2 + 5 ) $$ را بیابید.
حل: آرگومان این تابع، یعنی $$ x ^ 2 + 5 $$ همواره بزرگتر از صفر و مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است، یعنی $$ ( - ∞ , + ∞ ) $$.
مثال سوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \ln ( 9 - x ^ 2 ) $$ را تعیین کنید.
حل: برای اینکه $$ \ln( 9 - x ^ 2 ) $$ حقیقی باشد، $$ 9 - x ^ 2 $$ باید مثبت باشد:
$$ \large 9 - x ^ 2 > 0 , \\
\large x ^ 2 < 9 , \\
\large - 3 < x < 3 $$
مثال چهارم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \log _ 4 | x - 3 | $$ را مشخص کنید.
حل: مانند مثالهای قبل، آرگومان تابع باید مثبت باشد، یعنی:
$$ \large | x - 3 | > 0 $$
همانطور که میدانیم، خروجی قدر مطلق، همواره یک مقدار مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع برابر است با تمام اعداد حقیقی به جز $$3$$.
مثال پنجم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \ln( 2 x ^ 2 - 3 x - 5 ) $$ را به دست آورید.
حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید نامعادله زیر را حل کنیم:
$$ \large 2 x ^ 2 - 3 x - 5 > 0 $$
با تجزیه عبارت سمت چپ به صورت زیر، میتوان مجموعه جواب نامعادله را به دست آورد:
$$ \large ( 2 x - 5 ) ( x + 1 ) > 0 $$
اگر این نامساوی را تعیین علامت کنیم، خواهیم داشت:
$$ \large ( - ∞ , - 1 ) \cup ( \frac 5 2 , + ∞ ) $$
مثال ششم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { - x + 2 } $$ را به دست آورید.
حل: ابتدا $$ f ( x ) $$ را به صورت زیر مینویسیم:
$$ \large y = e ^ { - x + 2 } $$
سپس، تابع را برای $$x$$ حل میکنیم:
$$ \large - x + 2 = \ln ( y ) \Rightarrow x = 2 - \ln ( y ) $$
اگر $$ y > 0 $$ باشد، $$x$$ یک مقدار حقیقی خواهد بود. بنابراین، همانطور که در نمودار زیر مشاهده میکنید، برد این تابع در بازه $$ ( 0 , + ∞ ) $$ قرار دارد.
مثال هفتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { 2 x + 1 } + 3 $$ را مشخص کنید.
حل: مانند مثال قبل، تابع را برای $$x$$ حل میکنیم:
$$ \large y = e ^ { 2 x + 1 } + 3 \Rightarrow y - 3 = e ^ {2 x + 1 }, \\ \large 2 x + 1 = \ln ( y - 3 ) , \Rightarrow 2 x = \ln ( y - 3 ) - 1 \\ \large
\large x = \frac 1 2 [\ln ( y - 3 ) - 1 ] $$
مقدار $$x$$ در صورتی یک عدد حقیقی است که $$ y - 3 > 0 $$ باشد. بنابراین، برد تابع مفروض $$ ( 3 , + ∞ ) $$ خواهد بود.
مثال هشتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { x ^ 2 } + 1 $$ را بیابید.
حل: برای به دست آوردن برد این تابع نمایی به صورت زیر عمل میکنیم:
$$ \large y = e ^ { x ^ 2 } + 1 \Rightarrow y - 1 = e ^ { x ^ 2 } , \\ \large x ^ 2 = \ln ( y - 1 ) , x=±\sqrt {\ln ( y - 1 ) } $$
این جوابها در صورتی حقیقی هستند که
$$ \large \ln ( y - 1 ) ≥ 0 \Rightarrow \ln ( y - 1 ) ≥ \ln ( 1 ) ,\\ \large \Rightarrow y - 1 ≥ 1 \Rightarrow y ≥ 2 $$

مثال نهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
برد تابع $$ f ( x ) = - 2 e ^ {- x ^2 } + 3 $$ را تعیین کنید.
حل:
$$ \large y = - 2 e ^ { - x ^ 2 } + 3 \Rightarrow y - 3 = - 2 e ^ {-x ^ 2 } , \\ \large e ^ {- x ^2 } = \frac { y - 3 } { - 2 } \Rightarrow - x ^ 2 = \ln{ \frac { y - 3 }{ -2} }, \\
\large x = ± \sqrt { - \ln(\frac {y-3}{-2}) } $$
اگر آرگومان $$\ln$$ مثبت و عبارت زیر رادیکال مثبت یا صفر باشد، مقدار $$x$$ حقیقی خواهد بود. پس در اینجا دو شرط خواهیم داشت:
$$ \large \frac { y - 3 } { - 2 } >0 \\
\large - \ln(\frac { y - 3 }{-2} ) ≥ 0 $$
مجموعه جواب نامعادله اول به صورت زیر است:
$$ \large \frac {y-3}{-2}>0 \Rightarrow y - 3 < 0 \Rightarrow y < 3 $$
و برای جواب معادله دوم، داریم:
$$ \large - \ln(\frac {y-3}{-2 } ) ≥ 0 \Rightarrow \ln ( \frac { y - 3 } {-2} ) ≤ 0 , \\ \large \ln(\frac {y-3}{-2}) ≤ \ln ( 1 ) , \Rightarrow \frac {y-3} {-2}≤1 \Rightarrow y - 3 ≥ - 2 \Rightarrow y ≥ 1 $$
بنابراین، برد تابع در بازه بسته $$ [ 1 , 3 ) $$ قرار دارد.
مثال دهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \sqrt { \log _ { 1 0 } \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } } $$ را تعیین کنید.
حل: این تابع، جذر یک عبارت لگاریتمی است. از طرف دیگر، آرگومان تابع لگاریتمی نیز یک تابع گویا است. از این رو، برای تعیین دامنه این تابع، ابتدا مقادیری از $$x$$ را که در تابع لگاریتمی صدق میکنند، مییابیم:
$$ \large \frac { 6 x - x ^ 2 } {8}>0 \Rightarrow 6 x - x ^ 2 > 0 $$
طرفین نامعادله را در $$-1$$ ضرب میکنیم:
$$ \large x ^ 2 - 6x < 0 \Rightarrow x ( x - 6 ) < 0 $$
ریشههای عبارت سمت چپ نامعادله، برابر است با $$ x=0,6 $$. در نتیجه، به ازای $$x$$های بین $$0$$ و $$6$$، این عبارت منفی خواهد بود.
اکنون شرط عبارت زیر رادیکال که باید مثبت یا صفر باشد را اعمال کنیم:
$$ \large \log _ { 1 0 } { \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } } ≥0\Rightarrow
\log_{10}{\frac {6x-x^2}{8}}≥\log_{10}1
\\ \large \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } ≥ 1 \Rightarrow 6 x - x ^ 2 - 8 ≥ 0
\\ \large x ^ 2 - 6 x + 8 ≤ 0 → ( x - 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0 $$
واضح است که ریشههای عبارت سمت چپ نامعادله $$x=2,4$$ است. بنابراین، داریم:
$$ \large 2 ≤ x ≤ 4 $$
برای تعیین دامنه تابع مفروض کافی است اشتراک بازههای به دست آمده برای $$x$$ را به دست آوریم:
دامنه $$f(x)$$ برابر است با $$[2,4]$$.
مثال یازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تابع $$ f ( x ) = \log _ 2 \log _ 3 \log_ 4 x $$ را تعیین کنید.
حل: با توجه به اینکه این تابع شامل سه تابع لگاریتمی تودرتو با مبناهای مختلف است، ابتدا دامنه $$ \log_4x $$ را مشخص میکنیم. آرگومان این تابع لگاریتمی باید مثبت باشد. یعنی $$x>0$$.
برای حقیقی بودن عبارت $$ \log_3\log_4 x $$ نیز برقرار بودن شرط زیر لازم است:
$$ \large \log_4 x > 0 $$
با توجه به اینکه مبنای لگاریتم بزرگتر از صفر است (به نکتهای که در ابتدای مطلب ذکر شده است، رجوع کنید)، داریم:
$$ \large \log _ 4 x > 0 \Rightarrow x > 4 ^ 0 \Rightarrow x > 1 $$
برای اینکه تابع $$f(x)$$ حقیقی باشد، باید $$\log_ 3 \log _ 4 x $$ مثبت باشد:
$$ \large \log _ 3 (\log _ 4 x ) > 0 \Rightarrow \log_4 x > 3 ^{ 0 } \\ \large \Rightarrow \log_4x>1 \Rightarrow x>4^1 \Rightarrow x >
4 $$
با ترکیب این سه بازه و به دست آورد اشتراک آنها خواهیم داشت:
دامنه $$f(x)$$ در بازه $$ ( 4 , + ∞ ) $$ قرار دارد.
مثال دوازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
برد تابع $$ f ( x ) = \log _ {10} ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) $$ را به دست آورید.
حل: آرگومان این تابع، یک تابع درجه دوم است، پس برای به دست آوردن برد تابع $$f(x)$$ باید ابتدا مقدار اکسترمم آرگومان تابع لگاریتمی را به ازای مقادیری از $$x$$ که در دامنه تابع قرار دارد، تعیین کنیم. برای تعیین اکسترمم آرگومان تابع باید مشتق اول و دوم آن را به دست آوریم:
$$ \large \frac { d } { d x } ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) = 2 x - 3 ,\\ \large \frac { d ^ 2 } { d x ^2 } ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) = 2 $$
با توجه به اینکه مشتق دوم بزرگتر از صفر است، $$ x ^ 2 - 3 x + 4 $$ دارای یک مینیمم است. برای به دست آوردن نقطه مینیمم، کافی است مشتق اول را برابر با صفر قرار دهیم:
$$ \large 2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac 3 2 $$
حال مقدار به دست آمده را در $$f(x)$$ جایگذاری میکنیم تا مختصات نقطه مینیمم و در نتیجه برد تابع مشخص شود:
$$ \large f ( \frac 32 ) = \log_{10} ( ( \frac 32 ) ^ 2 -3 ( \frac 32 ) + 4 ) = \log _ {10} ( \frac 7 4 ) \\ \large f ( x → ∞ ) → ∞
$$
واضح است که برد تابع برابر است با $$ [\log_{10}(\frac 74) ,+ ∞) $$.
مثال سیزدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی
دامنه تساوی $$ e ^ { f ( x ) } = e ^ x - e $$ را تعیین کنید.
حل: برای به دست آوردن دامنه کافی است از دو طرف تساوی لگاریتم بر مبنای $$e$$ بگیریم:
$$ \large y = f ( x ) = \log _ e ( e ^ x - e ) \\ \large
→ e ^ x - e > 0 → e ^ x > e → x > 1 $$
بنابراین، دامنه در بازه $$ ( 1 , + ∞ ) $$ قرار دارد.
معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
برای آشنایی بیشتر با مبحث دامنه و برد توابع، پیشنهاد میکنیم به فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس و در ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم این فیلم آموزشی که از ۱۰ درس تشکیل شده، مبحث مجموعهها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م بیان شده است. موضوع درس دوم چندجملهایها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم به موضوع نامساویها، نامعادلات، طول پارهخط، ضریب زاویه و معادله خط پرداخته شده است. درس چهارم درباره مثلثات است و در درس پنجم تصاعد حسابی و هندسی معرفی شدهاند. موضوع مهم درس ششم تابع، دامنه و برد است. در ادامه، در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع بیان شدهاند. توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون موضوعات درس هشتم هستند. انواع تابع، شامل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح در درس نهم معرفی شدهاند و در نهایت، در درس دهم به توابع نمایی و لگاریتمی پرداخته شده است.
- برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.
معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)
فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) در ۵ ساعت و ۱۶ دقیقه و در قالب ۴ درس تهیه شده است. درس یکم این آموزش درباره مجموعهها، چندجملهایها، اتحاد و تجزیه، نامساوی و نامعادلات است. در درس دوم، معادله درجه 2 مورد بررسی قرار گرفته است. موضوع درس سوم مثلثات است. در نهایت، در درس چهارم به تابع، دامنه و برد آن، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد، توابع یک به یک، وارون تابع، تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، تابع نمایی و تابع لگاریتمی پرداخته شده است.
- برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) + اینجا کلیک کنید.
Good
سلام.
سپاس از همراهیتان با مجله فرادرس.