دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده

۱۸۳۴۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۸ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده

توابع نمایی و لگاریتمی در ریاضیات و سایر علوم کاربردهای فراوانی دارند و به همین دلیل است که شناخت این توابع ضروری است. در این آموزش، با دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی آشنا می‌شویم و با ارائه مثال‌هایی نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی را بیان می‌کنیم.

تعریف دامنه یک تابع

دامنه تابعی مانند $$f$$ که به صورت عبارتی برحسب متغیر $$x$$ تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر $$x$$ که به ازای آن‌ها مقدار تابع حقیقی است.

تعریف برد یک تابع

برد تابع $$f$$ برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر $$x$$ برای تابع حاصل می‌شود.

تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و... دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی مثال‌هایی را ارائه خواهیم کرد.

دامنه و برد تعدادی از توابع نمایی و لگاریتمی به شرح زیر است:

برددامنهتابع
$$ ( 0 , + ∞ ) $$$$ ( - ∞ , + ∞ ) $$$$ f ( x ) = a ^ x $$
$$ ( ± k , + ∞ ) $$$$ ( - ∞ , + ∞ ) $$ ($$ k$$ ثابت) $$ f ( x ) = a ^ x ± k $$
$$ ( - ∞ , + ∞ ) $$$$ ( 0 , + ∞ ) $$$$ f ( x ) = \log _ a ⁡ ( x ) $$
$$ ( - ∞ , + ∞ ) $$$$ ( ∓ \frac k m , + ∞ ) $$($$m$$ و $$k$$ ثابت) $$ f ( x ) = \log_ a ⁡ ( m x ± k ) $$

نکته:

  • اگر $$ \log_ a ⁡ x ≥ y $$ و $$ a > 1 $$ باشد، آنگاه $$ x ≥ a ^ y $$.
  • اگر $$ \log _ a ⁡ x ≥ y $$ و $$ a < 1 $$ باشد، آنگاه $$ x ≤ a ^ y $$.
یک دانش آموز در مقابل تخته ای پر از روابط ریاضی (تصویر تزئینی مطلب دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی)

مثال های تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی بیان می‌کنیم.

مثال اول دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \log_3⁡ ( x - 1 ) $$ را به دست آورید.

حل: طبق جدول فوق، اگر آرگومان $$ \log _ 3 ⁡ ( x - 1 ) $$ یعنی $$ x - 1 $$ مثبت باشد، مقادیر $$ f ( x ) $$ حقیقی خواهد بود:

$$ \large x - 1 > 0 $$

بنابراین، دامنه این تابع برابر است با $$ x > 1 $$ یا $$ ( 1 , + ∞ ) $$.

مثال دوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \log _ 2 ⁡ ( x ^ 2 + 5 ) $$ را بیابید.

حل: آرگومان این تابع، یعنی $$ x ^ 2 + 5 $$ همواره بزرگ‌تر از صفر و مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است، یعنی $$ ( - ∞ , + ∞ ) $$.

مثال سوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \ln⁡ ( 9 - x ^ 2 ) $$ را تعیین کنید.

حل: برای اینکه $$ \ln⁡( 9 - x ^ 2 ) $$ حقیقی باشد، $$ 9 - x ^ 2 $$ باید مثبت باشد:

$$ \large 9 - x ^ 2 > 0 , \\
\large x ^ 2 < 9 , \\
\large - 3 < x < 3 $$

مثال چهارم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \log _ 4 ⁡ | x - 3 | $$ را مشخص کنید.

حل: مانند مثال‌های قبل، آرگومان تابع باید مثبت باشد، یعنی:

$$ \large | x - 3 | > 0 $$

همان‌طور که می‌دانیم، خروجی قدر مطلق، همواره یک مقدار مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع برابر است با تمام اعداد حقیقی به جز $$3$$.

یک دانش آموز نشسته پشت میز در کلاس در حال نوشتن (تصویر تزئینی مطلب دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی)

مثال پنجم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \ln⁡( 2 x ^ 2 - 3 x - 5 ) $$ را به دست آورید.

حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید نامعادله زیر را حل کنیم:

$$ \large 2 x ^ 2 - 3 x - 5 > 0 $$

با تجزیه عبارت سمت چپ به صورت زیر، می‌توان مجموعه جواب نامعادله را به دست آورد:

$$ \large ( 2 x - 5 ) ( x + 1 ) > 0 $$

اگر این نامساوی را تعیین علامت کنیم، خواهیم داشت:

$$ \large ( - ∞ , - 1 ) \cup ( \frac 5 2 , + ∞ ) $$

مثال ششم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { - x + 2 } $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا $$ f ( x ) $$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large y = e ^ { - x + 2 } $$

سپس، تابع را برای $$x$$ حل می‌کنیم:

$$ \large - x + 2 = \ln ⁡ ( y ) \Rightarrow x = 2 - \ln⁡ ( y ) $$

اگر $$ y > 0 $$ باشد، $$x$$ یک مقدار حقیقی خواهد بود. بنابراین، همان‌طور که در نمودار زیر مشاهده می‌کنید، برد این تابع در بازه $$ ( 0 , + ∞ ) $$ قرار دارد.

دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

مثال هفتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { 2 x + 1 } + 3 $$ را مشخص کنید.

حل: مانند مثال قبل، تابع را برای $$x$$ حل می‌کنیم:

$$ \large y = e ^ { 2 x + 1 } + 3 \Rightarrow y - 3 = e ^ {2 x + 1 }, \\ \large 2 x + 1 = \ln ⁡ ( y - 3 ) , \Rightarrow 2 x = \ln ⁡ ( y - 3 ) - 1 \\ \large
\large x = \frac 1 2 [\ln⁡ ( y - 3 ) - 1 ] $$

مقدار $$x$$ در صورتی یک عدد حقیقی است که $$ y - 3 > 0 $$ باشد. بنابراین، برد تابع مفروض $$ ( 3 , + ∞ ) $$ خواهد بود.

دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

مثال هشتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { x ^ 2 } + 1 $$ را بیابید.

حل: برای به دست آوردن برد این تابع نمایی به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$ \large y = e ^ { x ^ 2 } + 1 \Rightarrow y - 1 = e ^ { x ^ 2 } , \\ \large x ^ 2 = \ln ⁡ ( y - 1 ) , x=±\sqrt {\ln ⁡ ( y - 1 ) } $$

این جواب‌ها در صورتی حقیقی هستند که

$$ \large \ln⁡ ( y - 1 ) ≥ 0 \Rightarrow \ln⁡ ( y - 1 ) ≥ \ln ⁡( 1 ) ,\\ \large \Rightarrow y - 1 ≥ 1 \Rightarrow y ≥ 2 $$

دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

مثال نهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = - 2 e ^ {- x ^2 } + 3 $$ را تعیین کنید.

حل:

$$ \large y = - 2 e ^ { - x ^ 2 } + 3 \Rightarrow y - 3 = - 2 e ^ {-x ^ 2 } , \\ \large e ^ {- x ^2 } = \frac { y - 3 } { - 2 } \Rightarrow - x ^ 2 = \ln⁡{ \frac { y - 3 }{ -2} }, \\
\large x = ± \sqrt { - \ln⁡(\frac {y-3}{-2}) } $$

اگر آرگومان $$\ln$$ مثبت و عبارت زیر رادیکال مثبت یا صفر باشد، مقدار $$x$$ حقیقی خواهد بود. پس در اینجا دو شرط خواهیم داشت:

$$ \large \frac { y - 3 } { - 2 } >0 \\
\large - \ln⁡(\frac { y - 3 }{-2} ) ≥ 0 $$

مجموعه جواب نامعادله اول به صورت زیر است:

$$ \large \frac {y-3}{-2}>0 \Rightarrow y - 3 < 0 \Rightarrow y < 3 $$

و برای جواب معادله دوم، داریم:

$$ \large - \ln⁡(\frac {y-3}{-2 } ) ≥ 0 \Rightarrow \ln ⁡ ( \frac { y - 3 } {-2} ) ≤ 0 , \\ \large \ln⁡(\frac {y-3}{-2}) ≤ \ln ⁡ ( 1 ) , \Rightarrow \frac {y-3} {-2}≤1 \Rightarrow y - 3 ≥ - 2 \Rightarrow y ≥ 1 $$

بنابراین، برد تابع در بازه بسته $$ [ 1 , 3 ) $$ قرار دارد.

دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

مثال دهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \sqrt { \log _ { 1 0 } ⁡\frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } } $$ را تعیین کنید.

حل: این تابع، جذر یک عبارت لگاریتمی است. از طرف دیگر، آرگومان تابع لگاریتمی نیز یک تابع گویا است. از این رو، برای تعیین دامنه این تابع، ابتدا مقادیری از $$x$$ را که در تابع لگاریتمی صدق می‌کنند، می‌یابیم:

$$ \large \frac { 6 x - x ^ 2 } {8}>0 \Rightarrow 6 x - x ^ 2 > 0 $$

طرفین نامعادله را در $$-1$$ ضرب می‌کنیم:

$$ \large x ^ 2 - 6x < 0 \Rightarrow x ( x - 6 ) < 0 $$

ریشه‌های عبارت سمت چپ نامعادله، برابر است با $$ x=0,6 $$. در نتیجه، به ازای $$x$$های بین $$0$$ و $$6$$، این عبارت منفی خواهد بود.

ٔدامنه و برد

اکنون شرط عبارت زیر رادیکال که باید مثبت یا صفر باشد را اعمال کنیم:

$$ \large \log _ { 1 0 } ⁡ { \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } } ≥0\Rightarrow
\log_{10}⁡{\frac {6x-x^2}{8}}≥\log_{10}⁡1
\\ \large \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } ≥ 1 \Rightarrow 6 x - x ^ 2 - 8 ≥ 0
\\ \large x ^ 2 - 6 x + 8 ≤ 0 → ( x - 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0 $$

واضح است که ریشه‌های عبارت سمت چپ نامعادله $$x=2,4$$ است. بنابراین، داریم:

$$ \large 2 ≤ x ≤ 4 $$

دامنه و برد تابع

برای تعیین دامنه تابع مفروض کافی است اشتراک بازه‌های به دست آمده برای $$x$$ را به دست آوریم:

دامنه و برد

دامنه $$f(x)$$ برابر است با $$[2,4]$$.

مثال یازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = \log _ 2 ⁡ \log _ 3 \log_ 4 ⁡x $$ را تعیین کنید.

حل: با توجه به اینکه این تابع شامل سه تابع لگاریتمی تودرتو با مبناهای مختلف است، ابتدا دامنه $$ \log_4⁡x $$ را مشخص می‌کنیم. آرگومان این تابع لگاریتمی باید مثبت باشد. یعنی $$x>0$$.

برای حقیقی بودن عبارت $$ \log_3⁡\log_4⁡ x $$ نیز برقرار بودن شرط زیر لازم است:

$$ \large \log_4 ⁡ x > 0 $$

با توجه به اینکه مبنای لگاریتم بزرگ‌تر از صفر است (به نکته‌ای که در ابتدای مطلب ذکر شده است، رجوع کنید)، داریم:

$$ \large \log _ 4 ⁡ x > 0 \Rightarrow x > 4 ^ 0 \Rightarrow x > 1 $$

برای اینکه تابع $$f(x)$$ حقیقی باشد، باید $$\log_ 3 \log _ 4 ⁡ x $$ مثبت باشد:

$$ \large \log _ 3 ⁡ (\log _ 4 ⁡ x ) > 0 \Rightarrow \log_4⁡ x > 3 ^{ 0 } \\ \large \Rightarrow \log_4⁡x>1 \Rightarrow x>4^1 \Rightarrow x >
4 $$

با ترکیب این سه بازه و به دست آورد اشتراک آن‌ها خواهیم داشت:

دامنه و برد تابع

دامنه $$f(x)$$ در بازه $$ ( 4 , + ∞ ) $$ قرار دارد.

مثال دوازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = \log _ {10⁡} ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) $$ را به دست آورید.

حل: آرگومان این تابع، یک تابع درجه دوم است، پس برای به دست آوردن برد تابع $$f(x)$$ باید ابتدا مقدار اکسترمم آرگومان تابع لگاریتمی را به ازای مقادیری از $$x$$ که در دامنه تابع قرار دارد، تعیین کنیم. برای تعیین اکسترمم آرگومان تابع باید مشتق اول و دوم آن را به دست آوریم:

$$ \large \frac { d } { d x } ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) = 2 x - 3 ,\\ \large \frac { d ^ 2 } { d x ^2 } ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) = 2 $$

با توجه به اینکه مشتق دوم بزرگ‌تر از صفر است، $$ x ^ 2 - 3 x + 4 $$ دارای یک مینیمم است. برای به دست آوردن نقطه مینیمم، کافی است مشتق اول را برابر با صفر قرار دهیم:

$$ \large 2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac 3 2 $$

حال مقدار به دست آمده را در $$f(x)$$ جایگذاری می‌کنیم تا مختصات نقطه مینیمم و در نتیجه برد تابع مشخص شود:

$$ \large f ( \frac 32 ) = \log_{10} ⁡ ( ( \frac 32 ) ^ 2 -3 ( \frac 32 ) + 4 ) = \log _ {10} ( \frac 7 4 ) \\ \large f ( x → ∞ ) → ∞
$$

واضح است که برد تابع برابر است با $$ [\log_{10}⁡(\frac 74) ,+ ∞) $$.

جمعی از دانش آموزان بیرون مدرسه در حال وارد شدن به آن (تصویر تزئینی مطلب دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی)

مثال سیزدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تساوی $$ e ^ { f ( x ) } = e ^ x - e $$ را تعیین کنید.

حل: برای به دست آوردن دامنه کافی است از دو طرف تساوی لگاریتم بر مبنای $$e$$ بگیریم:

$$ \large y = f ( x ) = \log _ e ⁡ ( e ^ x - e ) \\ \large
→ e ^ x - e > 0 → e ^ x > e → x > 1 $$

بنابراین، دامنه در بازه $$ ( 1 , + ∞ ) $$ قرار دارد.

بر اساس رای ۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرسOpenStax CNX
۳ دیدگاه برای «دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده»

دمتون گرم عالی بود

Good

سلام.
سپاس از همراهی‌تان با مجله فرادرس.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *