جمع کسرها — آموزش کامل به زبان ساده + حل تمرین

جمع یکی از چهار عمل اصلی حساب اعداد صحیح، اعداد اعشاری، اعداد کسری، اعداد حقیقی و اعداد مختلط و همچنین عبارت‌های جبری و بردارها است. در این آموزش با روش‌های مختلف جمع کسرها آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را بررسی خواهیم کرد.

کسر چیست‌؟

کسرها دسته‌ای از اعداد هستند که با تقسیم دو عدد صحیح تعریف می‌شوند و برای نشان دادن هر تعداد از قسمت‌های مساوی یک چیز به‌کار می‌روند.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

کسر عددی حقیقی به‌شکل $$\frac m  n$$ است که در آن‌ها $$m$$ و $$n$$ اعدادی صحیح‌اند و به‌ترتیب، «صورت کسر» و «مخرج کسر» نامیده می‌شود. بنابراین، در کسر $$\frac 45$$ عدد ۴ صورت و عدد 5 مخرج کسر است و آن را «چهارپنجم» می‌خوانیم.

در گام‌های زیر می‌توان برای کسر $$\frac 23$$ یک شکل رسم کرد.

۱. ابتدا کل شکل که ۱ واحد است را رسم می‌کنیم.

۲. این یک واحد را طبق مخرج (عدد ۳) به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم (یعنی $$\frac 13$$).

۳. به‌اندازه عدد صورت، یعنی ۲، را رنگ می‌زنیم و به کسر $$\frac 23$$ می‌رسیم.

کسرها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

• کسرهای سره که در آن‌ها صورت از مخرج کوچک‌تر است، مثل $$\frac 45$$
• کسرهای ناسره که در آن‌ها صورت کسر از مخرج آن بزرگ‌تر است، مانند $$\frac 7 4$$.
• عدد مخلوط که بخشی از آن یک عدد صحیح و بخشی از آن یک کسر است. بخش کسری این عدد همواره یک کسر سره است.

جمع کسرها با مخرج مساوی

جمع کسرها با مخرج مساوی کار بسیار آسانی است. کافی است صورت‌ها را با هم جمع کنیم و مخرج را همان مخرج مساوی کسرها قرار دهیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال، جمع دو کسر $$\frac 17$$ و $$\frac 37$$ به‌‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \frac 17 + \frac 37 = \frac {1 + 3 } { 7 } = \frac 4 7$$

یا جمع دو کسر $$\frac 49$$ و $$\frac 19$$ برابر است با

$$\large \frac 49 + \frac 19 = \frac {4 + 1 }{9 } = \frac 59$$

جمع کسرها با مخرج نامساوی

برای جمع کردن دو یا چند کسر با مخرج نامساوی، ابتدا باید مخرج آن‌ها را با هم برابر کنیم، سپس یکی از مخرج‌ها را نوشته و صورت‌ها را با هم جمع کنیم. در واقع، باید ابتدا بین کسرها مخرج مشترک بگیریم.

گام اول: مخرج مشترک گرفتن

در اینجا، روش مخرج مشترک گرفتن بین کسرها را بیان می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، اگر صورت و مخرج یک کسر در مقدار ثابتی (غیر از صفر) ضرب کنیم، مقدار کسر تغییری نخواهد کرد. برای مثال، برای کسر $$\frac 35$$، داریم:

$$\large \large {\displaystyle \dfrac{ 3}{ 5} = \dfrac{ 3 \times 2}{ 5 \times 2} = \dfrac{ 3 \times 4}{ 5 \times 4} = \dfrac{ 3\times 10}{ 5 \times 10}}$$

همه کسرهای بالا مقداری ثابت و برابر با $$\frac 35$$ دارند. از این مفهوم برای مخرج مشترک گرفتن استفاده می‌کنیم. مخرج مشترک گرفتن بین دو کسر، یعنی مخرج یکی از آن‌ها یا هردو را در عددی ضرب کنیم تا مخرجشان برابر شود. باید دقت کنیم که وقتی مخرج را در عددی ضرب می‌کنیم، باید صورت را نیز در همان عدد ضرب کنیم تا کسر تغییری نکند.

با مثال، مخرج مشترک گرفتن را توضیح می‌دهیم. فرض کنید دو کسر $$\frac 12$$ و $$\frac 35$$ را داریم. همان‌طور که می‌بینیم مخرج یکی $$2$$ و مخرج دیگری $$5$$ است و این دو مخرج برابر نیستند. می‌خواهیم مخرج مشترک دو کسر را محاسبه کنیم. بدین منظور، باید کوچک‌ترین مضرب مشترک یا ک.م.م. بین دو مخرج را پیدا کنیم.

برای محاسبه ک.م.م. دو عدد $$2$$ و $$5$$، چند مضرب نخست آن‌ها را می‌نویسیم، سپس به کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها را انتخاب می‌کنیم:

• مضرب‌های عدد $$2$$: $$2$$ و $$4$$ و $$6$$ و $$8$$ و $$10$$ و $$12$$ و $$14$$ و $$16$$ و $$18$$ و $$20$$ و ...
• مضرب‌های عدد $$5$$: $$5$$ و $$10$$ و $$15$$ و $$20$$ و...

می‌بینیم که مضرب‌های $$10$$ و $$20$$ و... بین دو عدد مشترک است و کوچک‌ترین آن‌ها $$10$$ است. بنابراین، مخرج مشترک دو کسر عدد $$10$$ خواهد بود. برای رسیدن به این مخرج مشترک، باید $$5$$ را در $$2$$ ضرب کنیم و $$2$$ را در $$5$$. بنابرین، دو کسر را به‌‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \begin {align} \frac 1 2 & = \frac {1 \times 5 } { 2 \times 5 } = \frac 5 { 10 } \\ \frac 35 & = \frac {3 \times 2 } { 5 \times 2 } = \frac {6 } { 10 } \end {align}$$

اکنون دو کسر $$\frac 5 {10}$$ و $$\frac 6 {10}$$ را داریم که مخرج برابر دارند.

در آموزش «ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» درباره محاسبه ک.م.م. توضیح داده‌ایم.

گام دوم: جمع کسرها

پس از آنکه مخرج دو کسر را برابر کردیم، مانند جمع کسرها با مخرج مساوی عمل می‌کنیم. مخرج برابر را می‌نویسیم و صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم. به مثال جمع دو کسر $$\frac 12$$ و $$\frac 35$$ برمی‌گردیم. دیدیم که با مخرج مشترک گرفتن، این دو کسر، به‌ترتیب، برابر با کسرهای $$\frac 5 {10}$$ و $$\frac 6 {10}$$ هستند. اکنون این دو کسر را که مخرج مساوی دارند با هم جمع می‌کنیم:

$$\large \frac 12 + \frac 35 = \frac 5 { 10 } + \frac 6 { 10 } = \frac {5 + 6 } { 10 } = \frac {11}{ 10}$$

بنابراین جواب $$\frac {11}{10}$$ است. با توجه به اینکه این کسر ناسره است، می‌توانیم آن را به یک عدد مخلوط تبدیل کنیم:

$$\large \frac {11 } { 10 } = \frac { 1 0 + 1 } { 10 } = \frac {10 }{10 }+ \frac 1 {10} = 1 + \frac 1 {10} = 1 \frac 1 {10}$$

جمع کسرها با شکل

جمع کسرها با شکل را با مثال‌ توضیح می‌دهیم. فرض کنید می‌خواهیم جمع زیر را انجام دهیم:

$$\large \frac 15 + \frac 35$$

ابتدا شکل دو کسر را رسم می‌کنیم.

با توجه به برابر بودن مخرج دو کسر، برای جمع آن‌ها از شکل پنج‌قسمتی استفاده می‌کنیم. یک خانه برای کسر نخست و سه خانه را برای کسر دوم رنگ می‌کنیم و در نهایت، تعداد خانه‌های رنگ‌شده را می‌شماریم.

می‌بینیم که تعداد $$4$$ خانه رنگ شده و شکل $$5$$ قسمت دارد. بنابراین، جواب $$\frac 45$$ است.