تحلیل گرمایی خانه با معادلات دیفرانسیل — از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فراردس در مورد مفاهیم و روش‌های انتقال حرارت صحبت کردیم. با این حال در این مطلب قصد داریم تا انتقال حرارت رخ داده در خانه را با استفاده از معادلات دیفرانسیل توضیح دهیم. البته پیشنهاد می‌شود در ابتدا مطالب دستگاه معادلات دیفرانسیل، مقدار ویژه و بردار ویژه را مطالعه فرمایید.

معادلات اولیه

سیستم گرمایی یک خانه، خصوصا از نظر اقتصادی از اهمیت بالایی برخوردار است. علاوه بر قیمت، از نظر محیط زیستی نیز همواره باید تلاش بر این باشد که با کمترین استفاده ممکن از سوخت‌های فسیلی به میزان مشخصی از حرارت و گرما دست یافت. در ابتدا خانه‌ای دو طبقه مطابق با تصویر زیر را در نظر بگیرید.

بدین منظور دمای داخلی را به صورت تابعی از دو متغیر زیر در نظر می‌گیریم.

• $$ x \left ( t \right ) $$: دمای طبقه همکف
• $$ y \left ( t \right ) $$: دمای طبقه اول

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

معادله دیفرانسیل اولیه مطابق با قانون سرمایش نیوتن، به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$ \large { \frac { { d T } } { { d t } } = \frac { { \alpha A } } { C } \left ( { { T_ e } – T} \right ) } = { k \left ( { { T_ e } – T } \right ) } $$

در رابطه بالا $$ T _ e $$ دمای محیط اطراف را نشان می‌دهد. دیگر پارامتر‌ها نیز نشان دهنده مقادیر زیر هستند:

• $$T$$: دمای اتاق
• $$\alpha$$: ضریب انتقال حرارت
• $$ C $$: ظرفیت حرارتی جسم یا سطحی که حرارت از آن منتقل می‌شود.
• $$ A $$: مساحت سطح

البته توجه داشته باشید که بهتر آن است که تمامی متغیر‌های فوق را در قالب یک متغیر بیان کنیم. معمولا این متغیر‌ها در قالب هدایت حرارتیِ $$ k $$ بیان می‌شوند. نهایتا ثابت‌های $$ k _ i $$ مطابق با مفاهیم زیر تعریف می‌شوند:

• $$ k _ 1 $$: هدایت حرارتی کف طبقه هم‌کف
• $$ k _ 2 $$: هدایت حرارتی سقف طبقه هم‌کف
• $$ k _ 3 $$: هدایت حرارتی دیوار‌های طبقه هم‌کف
• $$ k _ 4 $$: هدایت حرارتی دیوار‌ها و سقف طبقه اول

با توجه به پارامتر‌های تعریف شده در بالا، سیستم‌ دستگاه معادلات دیفرانسیل که تابعی از دو دمای $$ x ( t ) $$ و $$ y ( t ) $$ است، مطابق با عبارت زیر بدست می‌آید. توجه داشته باشید که $$ T _ g $$، برابر با دمای زمین در نظر گرفته شده.

$$\large { \left \{ \begin{array}{l} {\large { \frac { {d x } } { { d t }} } = { k _ 1 } \left ( { { T _ g } – x } \right ) } + { { k _2 } \left ( { y – x } \right ) } + { { k _ 3 } \left ( { { T _ e } \left ( t \right ) – x } \right ) } + { f\left( t \right ) } \\ {\frac{{dy}}{{dt}} = {k_4}\left( {{T_e}\left( t \right) – y} \right) }+{ {k_2}\left( {x – y} \right)} \end{array} \right. \;\;} \\$$
$$\large \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l}
{\frac { { d x } } { { d t } } = – \left ( { { k _ 1 } + { k _ 2 } + {k_3}} \right ) x } + { { k _ 2 } y + { k _ 1 } { T_ g } } + { { k _ 3 } { T _ e } \left ( t \right ) }+{ f\left( t \right) } \\ { \frac { { d y} } { { dt } } = { k _ 2 } x } - { \left( { { k _ 2 } + { k _ 4 } } \right ) y } + { {k_4}{T_e}\left( t \right ) } \end{array} \right.} $$

بدیهی است که در رابطه فوق، $$ f ( t ) $$ نشان دهنده منبع حرارتی است که در طبقه همکف قرار گرفته است. این منبع می‌تواند در عمل شوفاژ، شومینه یا هر سیستمی باشد که در هم‌کف گرما تولید می‌کند. مجموعه معادلات فوق را می‌توان به صورت برداری، همان‌طور که در ادامه ذکر شده، بازنویسی کرد.

$$\large \begin {align*} \overrightarrow { X ^ { \prime } } \left( t \right) & = K\overrightarrow { X } \left ( t \right) + \overrightarrow{F}\left( t \right) \kern-0.3pt \\\\ & \Rightarrow\overrightarrow{X}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right)} \\ {y\left( t \right)} \end{array}} \right] \;\;\kern-0.3pt ,{K \text{ = }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – {k_1} – {k_2} – {k_3}}&{{k_2}} \\ { { k _ 2 } } & { – { k _2 } – { k _ 4 } } \end{array}} \right] }\kern-0.3pt \\\\ & {{\overrightarrow { F } \left ( t \right ) = { \overrightarrow { F } _ 1 } \left ( t \right) + { \overrightarrow { F } _ 2 } \left ( t \right ) } = { \left[ {\begin{array}{*{ 20 } { c } } { { k _ 1 } { T _ g } + { k _ 3} { T_ e } \left ( t \right ) } \\ {{k_4}{T_e}\left( t \right)} \end {array} } \right] }+{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left ( t \right ) } \\ 0 \end{array}} \right] } } \end {align*} $$

همان‌طور که در بالا نیز نشان داده شده، بخش ناهمگن معادله به صورت حاصل جمع دو بردار بیان شده است. با توجه به خطی بودن سیستم، می‌توان از اصل برهمنهی به منظور بدست آوردن پاسخ معادله استفاده کرد. در ابتدا معادله‌ای همگن را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ \large \overrightarrow { X } ^ { \prime } \left ( t \right ) = K \overrightarrow { X } \left ( t \right ) $$

مقادیر ویژه ماتریس $$ K $$ به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {gather*} \det \left( {K – \lambda I} \right) = 0 \\ \Rightarrow { { { \lambda ^2} \text{ + }}{ {\left ( { { k _ 1} + 2{k_2} + {k_3} + { k _4 } } \right)\lambda} } + { { k _ 1 } { k _2 } + { k _ 2 }{ k _ 3} }+{ {k_3}{k_4} + { k_ 1} { k_ 4 } } + { { k _ 2 } { k _ 4 } = 0 } } \end {gather*} $$

عبارت فوق معادله‌ای درجه دو محسوب می‌شود که ضرایب آن بزرگ‌تر از صفر هستند. بنابراین طبق پایداری «راث هرویتز» (Routh-Hurwitz)، پاسخ سیستم همگن، به شکلی مجانبی پایدار است.

به منظور حل معادله فوق در اولین قدم باید دلتای معادله مشخصه به صورت زیر محاسبه شود.

همان‌طور که از عبارت فوق نیز بر می‌آید، دلتای معادله مشخصه همواره مثبت است. بنابراین محل تعادل تنها یک «نقطه» (Node) است. با توجه به اثباتِ پایدار بودن سیستم در بالا، می‌توان دریافت که این نقطه نیز همواره پایدار است. مقادیر ویژه $$ { \lambda _ 1 } , { \lambda _ 2 } $$ اعدادی حقیقی بوده و مقدار آن‌ها نیز منفی هستند. در حقیقت مقادیر $$\lambda_i$$ برابرند با:

$$\large {{\lambda _ { 1 , 2 } } \text{ = }}\kern0pt {\frac{1}{2}\Big\{ { – \left( {{k_1} + 2{k_2} + { k _3 } + { k _ 4 } } \right) }}\pm{{ {{\left[ { { { \left ( { { k_ 1} + {k_3} – {k_4}} \right ) } ^2 } + 4 k _ 2 ^2 } \right]}^{\frac { 1} { 2 }} } } \Big\} } $$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

به منظور جلوگیری از پیچیده‌ شدن عبارات، مقادیری فرضی برای $$k_i$$ها اختیار می‌کنیم. مقادیر فرضیِ استفاده شده در این مطلب در ادامه ذکر شده‌اند.

$$ \large { { k _ 1 } = \frac { 1 } {{ 10 } },\;\;}\kern-0.3pt{{k_2} = \frac{1}{5},\;\;}\kern-0.3pt { { k _ 3 } = \frac { 2 } { 5 } ,\;\;}\kern-0.3pt{{k_4} = \frac{1}{2} } $$

مقادیر بزر‌گ‌ترِ $$k_i$$، عایق کمترِ سطوح را در پی دارند. با فرض مقادیر فوق برای هدایت حرارتی، ضریب $$ D $$ برابر می‌شود با:

$$ \large \begin {align*} D & = { \left ( { { k_ 1 } + {k_3} – {k_4}} \right)^2} + 4k_2^2 \\\\ & = {{\left( { \frac { 1 }{ {1 0 } } + \frac { 2 }{ 5 } – \frac { 1 }{ 2 } } \right)^2} + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right) ^ 2 } } \\\\ & = { \frac{4} { { 25 } } } \end {align*} $$

بنابراین مقادیر ویژه برابرند با:

$$ \large \begin {align*} {{\lambda _{1,2}} \text{ = }} \kern0pt{ \frac{{ – \left( {{k_1} + 2{ k _ 2 } + { k _ 3 } + { k _ 4 } } \right) \pm \sqrt D } } { 2 } } = { – \frac { 9 }{ { 10 } }, – \frac{1}{2} } \end {align*} $$

حال باید بردار‌های ویژه مرتبط با مقادیر ویژه نیز تعیین گردند. فرض کنید بردار ویژه مرتبط با مقدار $$ {\lambda _1} = – {\frac { 9}{ { 1 0 } } \normalsize}$$ با $$ { \overrightarrow { V } _ 1 } = { \left ( { { V _{ 1 1} }, { V _{ 2 1 } } } \right ) ^ T } $$ نشان داده شود. توجه داشته باشید که اندیس $$T$$ نشان دهنده ترانهاده ماتریس است. تنها با جایگذاری مقدار ویژه، بردار ویژه، همان‌طور که در ادامه نشان داده شده، بدست خواهد آمد.

$$\large \begin {gather*} \left ( { K – { \lambda _1}I} \right ) { \overrightarrow { V } _ 1 = \overrightarrow { 0 } } \\\\\ \Rightarrow \kern0pt {{\left[ {\begin{array}{*{20}{ c } } { \text{-} { k _1 } \text{-} {k_2} \text{-} {k_3} \text{-} {\lambda _1 } } & { { k_ 2 } } \\ { { k _2 } }&{ \text{-} {k_2} \text{-} {k_4} \text{-} {\lambda _1 } }
\end{array}} \right]\,}\kern0pt{\cdot \left[ {\begin{array}{*{20} { c } }
{{V_{11 } } } \\ {{V_{ 21 } } } \end{array}} \right] = \overrightarrow{0} \;\;} } \\\\\ \Rightarrow {\left[ {\begin{array} {*{20}{c}} {\frac { 1 }{ 5 } } & { \frac { 1 } {5 } } \\
{\frac{1}{5}}&{\frac { 1 } { 5} } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\ {{V_{ 2 1 } } } \end {array}} \right] = \overrightarrow { 0 } \;\;} \\\\ \Rightarrow
{\frac { 1 } { 5 } { V _ { 11 } } + \frac { 1} { 5 } {V _ { 21 } } = 0 \;\;} \Rightarrow { { V _ {11}} = – {V_{21}} \;\;} \\\\ \Rightarrow {{\overrightarrow{V}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}
{ – 1}\\ 1 \end{array}} \right] } \end {gather*} $$

به طور مشابه بردار ویژه دوم یا همان $$ {\overrightarrow { V } _ 2 } = { \left ( { { V_ { 1 2 } } , { V _ { 22 } } } \right ) ^ T } $$ که مرتبط با مقدار ویژه $$ { \lambda _2 } = – { \large \frac { 1 }{ { 2 } } \normalsize} $$ است نیز به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {align*} \left ( { K – { \lambda _ 2 } I } \right ) { \overrightarrow { V} _2 }
& = \overrightarrow { 0 } \\\\ & ⇒ {\left[ { \begin {array}{*{20}{ c } } {-\frac{ 1 } { 5} } & { \frac { 1 }{ 5 } } \\\\ { \frac { 1 }{ 5 } } & { - \frac { 1 } { 5 } } \end {array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { { V _ { 12 } } } \\ {{V_{22 } } } \end {array}} \right] = \overrightarrow { 0 } } \\\\ & \Rightarrow {-\frac { 1 } { 5} { V _ { 12 } } + \frac { 1} { 5 } { V_ {22}} = 0} \\\\ & \Rightarrow { { V _ { 12 } } = {V _ {22 } } } \Rightarrow {{\overrightarrow{V}_2} = \left[ { \begin{array} {*{20} { r } } 1 \\ 1 \end {array}} \right] } \end {align*} $$

بنابراین پاسخ عمومی معادله دیفرانسیل همگن بیان شده در بالا را می‌توان به صورت زیر عنوان کرد:

$$ \large \begin {align*} { { \overrightarrow { X } _ 0 } \left( t \right ) = \left [ {\begin{array}{*{20}{ c } } { { x _0 } \left( t \right)}\\ {{y_0}\left ( t \right)} \end{array}} \right] }
= { { C _ 1 } {e ^ { – {\large\frac{9 } { { 10 } } \normalsize} t } } \left[ {\begin{array}{*{ 20 } { c } } { – 1 } \\ 1 \end{array}} \right] } + { { C _ 2 } {e ^ { – { \large \frac { 1 }{2}\normalsize} t } } \left[ { \begin {array} {*{20} { c } } 1 \\ 1 \end{array}} \right] } \end {align*} $$

در رابطه فوق ضرایب $$C$$، ثابت‌هایی وابسته به شرایط اولیه هستند. حال با استفاده از پاسخ عمومی بدست آمده در بالا می‌توانیم پاسخ عمومی معادله ناهمگن را نیز بدست آوریم. در ابتدا بخش ناهمگن یا $$F_1$$ را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ \large \begin {align*} {\overrightarrow{F}_1}\left( t \right) & =\kern0pt{ \left[ { \begin{array}{*{20}{c}} { { k _ 1 } { T_ g } + { k _ 3} { T _ e } \left( t \right)} \\
{ { k _4 } {T _ e } \left( t \right)} \end{array}} \right] } \\\\ & = {\left[ {\begin{array}{*{ 20 } { c } } {\frac { 1 } {{ 1 0 } } { T_ g } + \frac { 2 } { 5 }{ T _ e } \left( t \right ) } \\ { \frac{1}{2}{T_e}\left( t \right)} \end{array}} \right] } \\\\ & = {\frac{1} { { 10 } } \left[ {\begin{array}{*{20} { c } } { { T _ g } + 4{T_e}\left( t \right ) } \\ { 5 { T _ e } \left( t \right)} \end{array}} \right] } \end {align*} $$

جهت درک بهتر مطالب عنوان شده در بالا، در ابتدا فرض کنید که دمای زمین برابر با $$ {T_g} = 10^\circ\text{C} $$ باشد. هم‌چنین فرض کنید که دمای محیط مطابق با رابطه زیر و با زمان تغییر کند.

$$ \large \begin {align*} { { T _ e } \left( t \right) = 10 + 10 \sin \left ( { \frac { { 2 \pi } } { { 24 } } t } \right ) } = { 10 + 10 \sin \left ( {\frac { \pi } { {12 } } t } \right ) } \end {align*} $$

رابطه فوق نشان می‌دهد که این دما از $$0$$ تا $$20$$ درجه سانتی گراد تغییر می‌کند. با این فرض ترم ناهمگنِ $$ F _ 1 ( t ) $$ مطابق با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} {{\overrightarrow{F}_1}\left ( t \right ) } & = \kern0pt{ \frac{1 } { { 10 } } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10 + 4\left( {10 + 10\sin \left( {\frac{\pi }{{12 } } t } \right)} \right)} \\ { 5 \left( {10 + 10\sin \left( {\frac{\pi } { { 12 } } t } \right ) } \right)} \end{array}} \right]\; } \\\\ & = { \left[ {\begin {array}{*{20} { c } } { 5 + 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \\ { 5 + 5 \sin \left ( { \frac {\pi } { { 12 } } t } \right ) } \end{array}} \right] } \end {align*} $$

پاسخ خصوصی مربوط به ترم ناهمگن به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود.

$$\large \begin {align*} { \overrightarrow { X} _1 } \left( t \right) & = \left[ {\begin{array}{*{20}{ c } } { { x _ 1 } \left( t \right ) } \\ { { y _1 } \left( t \right ) } \end{array}} \right] \\\\ & = \kern0pt { \left[ { \begin {array} {*{20} { c } } { { D _ 1 } + { A _ 1 } \sin \left ( {\frac { \pi } { { 12 } } t } \right ) + { B _ 1 } \cos \left ( { \frac { \pi } { { 12 } } t} \right) } \\ { { D _2 } + { A_ 2 } \sin \left( { \frac{\pi } { { 12 } }t } \right) + { B _ 2 } \cos \left ( { \frac { \pi } { { 12 } } t } \right)} \end{array} } \right] } \end {align*} $$

با قرار دادن پاسخ در نظر گرفته شده در معادله ناهمگنِ زیر، به معادله ماتریسی زیر خواهیم رسید.

$$ \large \begin {align*} {\overrightarrow { X ^ { \prime } } _ 1 } \left( t \right) = K { \overrightarrow { X }_ 1 } \left ( t \right) + {\overrightarrow { F } _ 1 } \left ( t \right) \end {align*} $$

$$ \begin {align*} { \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { { x ^ { \prime } _ 1 }\left( t \right ) } \\ { { y ^ { \prime }_ 1 } \left( t \right)} \end {array}} \right] }
& = { { \left[ {\begin{array}{*{20} { c } } { – {k_1} – {k_2} – { k _ 3 } } & { { k_ 2 } } \\ { { k _ 2} } & { – {k_2} – {k_4}} \end{array}} \right] \cdot}\kern0pt{ \left[ {\begin{array}{*{20 } { c } } { { x _ 1 } \left( t \right ) } \\ { { y _1 } \left( t \right ) } \end{array}} \right] } } + {\left[ {\begin{array}{*{20}{ c } } { { k_ 1 } { T _ g } + { k _ 3} { T _ e } \left ( t \right ) } \\ { { k _ 4 } { T_ e } \left( t \right)} \end{array}} \right] } \end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} { \Rightarrow \left[ { \begin {array} {*{20}{c}}
{ { x ^ { \prime } _ 1 } \left( t \right ) } \\
{ { y ^ { \prime } _ 1 } \left( t \right ) }
\end{array}} \right] }
= {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \frac { 7 } {{ 1 0 } } } & { \frac { 2} { { 1 0 } } } \\
{\frac { 2 } {{ 1 0 } } } & { – \frac { 7 }{ { 10}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( t \right ) } \\
{{y_1}\left( t \right ) }
\end{array}} \right] }
+ { \left[ {\begin {array}{*{20}{c}}
{ 5 + 4 \sin \left( {\frac {\pi } { {1 2 } } t } \right ) } \\
{ 5 + 5 \sin \left( {\frac {\pi }{{12}}t} \right)}
\end {array}} \right] } \end {align*} $$

در نتیجه به منظور بدست آوردن ضرایب، دو معادله زیر حاصل می‌شوند.

$$\large \begin {gather*} { { { A _ 1 } \frac{\pi } { { 12 } } \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) } - { { B _1 } \frac{\pi } { { 12 } } \sin\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) } } \\\\ = { – \frac{7} { { 10 } } {D _ 1 } – \frac { 7 } {{ 1 0 } } { A _1 } \sin\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) } – {\frac{7} { { 10 } } { B _ 1 } \cos\left( {\frac { \pi }{{12}}t} \right) } + {\frac { 2 } { { 10 } }{ D _ 2 } + \frac{2}{{10}}{A_2}\sin\left ( { \frac{\pi } { { 12 } } t } \right) } \\\\ + { \frac { 2 }{ { 1 0 }} { B _2 } \cos\left( {\frac{\pi } { { 12 } } t } \right) }
+ {5 + 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) } \end {gather*} $$

$$ \large \begin {gather*} , \\\\ {{{A_2}\frac{\pi }{{12}}\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) }-{ {B_2}\frac{\pi }{{12}}\sin\left( {\frac{\pi } { { 12 } }t } \right) }} \\\\
= {\frac{2 } { { 10 } } {D _ 1 } + \frac{2} {{10 } }{ A _ 1}\sin\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) } \\\\ + {\frac{ 2 } {{ 1 0 }} { B _ 1 } \cos\left( { \frac{\pi }{{12}}t} \right) }
– {\frac{7} { { 10 } } { D _2 } – \frac{7}{{10 } } {A _ 2 }\sin\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) } \\\\ – {\frac{7} { { 10 } } {B _ 2 }\cos\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) }
+ {5 + 5\sin \left( {\frac { \pi } { { 12} }t } \right ) } \end {gather*} $$

با برابر قرار دادن ضرایب ترم‌های مشابه، مجموعه معادلات زیر بدست خواهند آمد.

$$\large \begin {gather*} \left\{ \begin{array} { l } \\
{A_1}\frac{\pi }{{12}} = – \frac{7} { {1 0 } } { B _1 } + \frac{2}{{10}}{B_2} \\
{ – {B_1}\frac { \pi } { { 12 } } = – \frac{7} { {1 0 } } {A _ 1 } }+{ \frac{2}{{10}}{A_2} + 4 } \\ 0 = – \frac{7}{{10 } } { D _ 1 } + \frac{2 } { {1 0 } }{ D _ 2 } + 5 \\ { A _ 2} \frac{\pi }{{12}} = \frac{2 } { {1 0 } }{ B _ 1 } – \frac{7} { { 10 } } { B _2} \\ { – {B_2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{2 } {{ 1 0 } }{ A_1} }-{ \frac{7}{{10}}{A_2} + 5} \\ 0 = \frac{2}{{10}}{D_1} – \frac{7} { {1 0 } } { D_ 2 } + 5 \end{array} \right. \end {gather*} $$

با حل دستگاه فوق، ضرایب ثابت برابر با اعداد زیر بدست می‌آیند.

$$ \begin {gather*} {{A_1} = 6.55,\;\;}\kern-0.3pt{{B_1} = – 3.55, \; }\kern-0.3pt {{A_2} = 7.58,\;\;} \kern-0.3pt { { B _2 } = – 3.85,\;\;}\kern-0.3pt { { D _ 1} = { D _ 2 } = 10} \end {gather*} $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین پاسخ خصوصی معادله ناهمگن برابر است با:

$$ \large {{\overrightarrow{X}_1}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ { x _ 1 } \left( t \right ) } \\ { { y _ 1 } \left( t \right ) } \end {array}} \right] \text{ = }}\kern0pt {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10 + 6.55\sin \left( {\frac{\pi t }{{12}}} \right) }-{3.55\cos \left( {\frac{\pi t }{{12 } } } \right)}\\ {10 + 7.58\sin \left( {\frac{\pi t }{{12}}} \right) }-{3.85\cos \left( {\frac{\pi t } { { 1 2 } } } \right)} \end{array}} \right]}$$

به طور مشابه، پاسخ خصوصیِ $$ { \overrightarrow { X }_ 2 } \left ( t \right ) $$ متناسب با ترم ناهمگنِ $$ {\overrightarrow { F} _ 2 } \left ( t \right) $$ نیز به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$ \large {\overrightarrow { F } _ 2 } \left ( t \right ) = \left [ {\begin {array} {*{20}{c}}
{f\left( t \right ) } \\ 0 \end{array}} \right] $$

منبع گرماییِ $$f(t)$$ وابسته به شکل مسئله است. با این حال در این مطلب به منظور درک بهتر، ساده‌ترین حالت از $$f$$ را در نظر می‌گیریم. در حقیقت فرض کنید منبع حرارت، مقداری ثابت و برابر با $$ f\left( t \right) = {f_0} $$ باشد. در این صورت پاسخ خصوصیِ $$X_2$$ نیز باید برابر با ماتریسی ثابت، به شکل زیر در نظر گرفته شود.

$$\large { \overrightarrow { X } _ 2 } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}G\\H\end{array}} \right] $$

پس از جایگذاری پاسخ در سیستمی با بخش ناهمگنِ $$F_2$$، ترم‌های $$ H , G $$ مطابق با روش زیر بدست خواهند آمد.

$$ \large \begin {gather*} {{\overrightarrow{ X ^ { \prime } } _ 2 } = K { \overrightarrow { X} _ 2 } + { \overrightarrow { F}_ 2 } \;\;} \\\\ \Rightarrow { \overrightarrow { 0 } = \left[ {\begin {array}{*{20}{c}} { – \frac{7}{{10}}}&{\frac { 2} { { 1 0 } } } \\ {\frac { 2 } { {10 } } } &{ – \frac{7}{{10}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} G\\ H \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { { f _ 0 } } \\ 0 \end{array}} \right] \;\;} \\\\ \Rightarrow {\left\{ {\begin{array}{*{20} { c } } { – \frac{7}{{10}}G + \frac{2}{{10}}H + {f_0} = 0}\\ {\frac{2}{{10}}G – \frac{7} { {1 0 } } H = 0} \end{array}} \right. \;\;}\Rightarrow {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 7G + 2H + 10{f_0} = 0 } \\ { 2 G – 7H = 0} \end{array}} \right. \;\;} \\\\ \Rightarrow { H = \frac { 4 }{ 9} { f _0 } \;\;} \Rightarrow{G = \frac{{14}}{9}{f_0} } \end {gather*} $$

در نتیجه پاسخ خصوصیِ $$X_2$$ برابر با ماتریس ثابت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large { { \overrightarrow{X}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { { x_2 } } \\
{ { y_ 2 } } \end {array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
G \\ H \end {array}} \right] } = { \left[ { \begin{array}{*{20}{c}}
{\frac { { 14 } } { 9} { f_ 0 }} \\ { \frac {4} { 9} { f _0 } } \end{array}} \right] } $$

طبق اصلِ برهمنهی، پاسخ خصوصی سیستمی ناهمگن که ترم ناهمگنِ آن برابر با $${\overrightarrow { F }_ 1 } \left ( t \right ) + { \overrightarrow { F} _ 2 } $$ باشد را می‌توان برابر با حاصل جمع پاسخ‌های خصوصی مرتبط با $$ F _ 1( t ) $$ و $$ F _ 2( t ) $$ در نظر گرفت. نهایتا پاسخ عمومی معادله ناهمگنِ تشکیل شده از دو ترم ناهمگن، برابر است با:

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

$$\large \begin {gather*} { \overrightarrow{X}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x\left( t \right ) } \\ {y\left( t \right)} \end{array}} \right] = {\overrightarrow{X}_0}\left( t \right) + {\overrightarrow{X}_1}\left( t \right) + {\overrightarrow{X}_2} } \\\\ = {{C_1}{e^{ – {\large\frac{9}{{10}}\normalsize} t } } \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} { – 1} \\ 1 \end{array}} \right] }+{ {C_2}{e^{ – {\large\frac { 1 } { 2 } \normalsize} t } } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right] \text{ + }}\kern0pt {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10 + 6.55\sin \left( {\frac{\pi t } { {1 2 } } } \right) – 3.55\cos \left( {\frac{\pi t}{{12 } } } \right ) } \\ { 10 + 7.58 \sin \left( {\frac{\pi t}{{12}}} \right) – 3.85\cos \left( {\frac{\pi t } { { 1 2 } } } \right)} \end{array}} \right] }+{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{14}}{9}{f_0}}\\ {\frac{4}{9}{f_0}} \end{array}} \right] } \end {gather*} $$

به منظور یافتن ثابت‌های $$ C _ 1 $$ و $$ C _ 2 $$، کافی است از شرایط اولیه به صورت زیر استفاده کرد.

$$ \large \begin {gather*} { \left \{ \begin {array} { l } { x \left( 0 \right) = – {C_1} + { C _2 } } + { 10 – 3.55 } + { \frac { { 1 4} } { 9 } { f _ 0 } = 10} \\ {y\left( 0 \right) = {C_1} + { C_ 2 } }+{ 10 – 3.85 } + { \frac { 4 }{ 9 } { f _ 0 } = 5 } \end{array} \right. \;\;} \\\\ {\Rightarrow { \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – {C_1} + {C_2} = 3.55 – 1.56 { f _ 0 } } \\ { { C _1 } + { C _2 } = – 1.55 – 0.44{f_0}} \end{array}} \right.\;\;} \Rightarrow {\left\{ {\begin{array}{*{20} { l } } { { C_1} = – 2.35 + 0.56{ f _ 0} } \\ { { C _2 } = 1.20 – {f_0}} \end {array} } \right.}} \end {gather*} $$

با بدست آمدن ثابت‌ها، پاسخ عمومی نهایی نیز مطابق با رابطه زیر قابل بیان خواهد بود:

$$\large \begin {align*} \overrightarrow { X } \left ( t \right ) & = \left[ {\begin{array}{*{ 20 } { c } } { x \left ( t \right ) } \\ { y \left ( t \right ) } \end {array} } \right]
\\\\ & = { \left ( { – 2.35 + 0.56 { f _ 0 } } \right ) { e ^ { – { \large \frac { 9 }{ { 10 } } \normalsize} t } } \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} { – 1} \\ 1
\end{array}} \right] } \\\\ & +{ \left ( { 1.20 – { f _ 0 } } \right ) { e ^ { – { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } t } } \left[ {\begin {array} {*{20} { c } } 1 \\
1 \end{array}} \right] } \\\\ & + \kern0pt {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10 + 6.55\sin \left( {\frac{\pi t}{{12}}} \right) }-{ 3.55\cos \left( {\frac{\pi t } { {12 } } } \right ) } \\ {10 + 7.58\sin \left( {\frac { \pi t } { {1 2 } } } \right) } - { 3.85\cos \left( {\frac{\pi t}{{12}}} \right ) } \end{array}} \right] } \\\\ & +{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { 1.56 } \\ { 0.44 } \end{array}} \right]{f_0} } \end {align*} $$

دو ترم اول نمایی بوده و با گذشت زمان میرا می‌شوند. این در حالی است که ترم سوم رابطه میان انتقال حرارت بین محیط اطراف و خانه را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که در مسئله حل شده در بالا، تغییرات زمانی دمای محیط اطراف مطابق با رابطه زیر در نظر گرفته شده است.

$$ \large { T _ e } \left ( t \right ) = 10 + 10 \sin \left ( { \frac { \pi } { { 12 } } t } \right ) $$

نهایتا ترمِ آخر نیز نشان دهنده نقش منبع انتقال حرارت یا همان $$ f _ 0 $$ است. برای نمونه پاسخ معادله نشان می‌دهد اگر منبع $$ f _ 0 $$ برای ۱ ساعت فعال باشد، در این صورت دمای طبقه هم‌کف به اندازه $$ f _ 0 $$ افزایش می‌یابد. در شکل زیر نمودار مربوط به دمای محیط، طبقه اول و طبقه دوم نشان داده شده‌اند. همان‌طور که این نمودار نیز نشان می‌دهد با افزایش دمای محیط یا همان $$ T _ e $$، افزایش دمای درون خانه نیز با تاخیر اتفاق می‌افتد. توجه داشته باشید که نمودار‌های زیر در حالتی است که هیتر خاموش است.

هنگامی که هیتر یا همان منبع گرما روشن شود، بدیهی است که هوای درون اتاق نیز با گذشت زمان گرم خواهد شد. نمودار زیر دماها را در حالتی نشان می‌دهد که منبع حرارتی با قدرتِ $$ { f _ 0 } = 5 \left ( { \large \frac { \text {deg} } { \text {hr} } \normalsize } \right) $$ روشن شده است. همان‌طور که می‌بینید در این حالت دمای هم‌کف بین 10 تا ۲۵ درجه و دمای طبقه اول بین ۵ تا ۲۰.۵ درجه تغییر می‌کنند.

^^