تبدیل لاپلاس معکوس – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره تبدیل لاپلاس و خواص آن و همچنین کاربردهای تبدیل لاپلاس در مدار بحث کردیم. در این آموزش قصد داریم درباره تبدیل لاپلاس معکوس صحبت کنیم.

تبدیل لاپلاس معکوس

فرض کنید تابع $$F(s)$$، یک تابع مشخص و معلوم باشد. این پرسش مطرح می‌شود که چگونه می‌توان از تابع تبدیل لاپلاس در حوزه فرکانس به تابع اصلی $$f(t)$$ در حوزه زمان رسید.

فرض کنید که در حالت کلی تابع $$F(s)$$ به فرم زیر باشد:

در این معادله، $$N(s)$$ چندجمله‌ای صورت و $$D(s)$$ چند جمله‌ای مخرج است. ریشه‌های معادله $$N(s)=0$$، صفرهای تابع $$F(s)$$ نامیده می‌شوند. به همین ترتیب، ریشه‌های معادله $$D(s)=0$$، قطب‌های تابع $$F(s)$$ نامیده می‌شوند. تابع $$F(s)$$، تبدیل لاپلاس یک تابع مشخص است و الزما تابع تبدیل شبکه نیست.

برای یافتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله (۱)، از «بسط کسر جزئی» (Partial Fraction Expansion) استفاده می‌شود. به این ترتیب، تابع $$F(s)$$ به عبارت‌های ساده‌تری تبدیل می‌شود و «معکوس تبدیل لاپلاس» (Inverse Laplace Transform) به آسانی قابل محاسبه خواهد بود.

روش‌های پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس

1. ابتدا تابع $$F(s)$$ را با استفاده از بسط کسرهای جزئی به عبارت‌های ساده‌تر تبدیل کنید.
2. تبدیل لاپلاس معکوس را برای هر یک از عبارت‌های ساده‌تر بیابید.

با استفاده از خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس که در بحث مربوط به خواص تبدیل لاپلاس بیان شد، می‌توان تبدیل لاپلاس معکوس تابع را یافت. همچنین می‌توان از جدولی که در انتهای مطلب خواص تبدیل لاپلاس آورده شد، برای یافتن تبدیل لاپلاس معکوس استفاده کرد.

در حالت کلی سه نوع تابع $$F(s)$$‌ وجود دارد و برای هریک از این نوع توابع باید این قانون را اعمال کرد. در ادامه، انواع قطب‌ها در توابع تبدیل لاپلاس بررسی می‌شوند.

قطب‌های ساده

«قطب‌های ساده» (Simple Poles)، قطب‌هایی از درجه اول هستند. اگر $$F(s)$$ فقط قطب‌های ساده داشته باشد، $$D(s)$$ به صورت ضرب چند عامل نوشته می‌شود. پس داریم:

در معادله (۲)، قطب‌های ساده در نقاط زیر هستند:

$$s = -p_1 , \, -p_2 , \cdots , - p_n$$

همچنین اگر $$i \neq j$$ باشد، $$p_i \neq p_j$$ خواهد بود. یعنی قطب‌ها با یکدیگر متفاوت هستند.

فرض کنید که درجه $$N(s)$$ کمتر از درجه $$D(s)$$ است. برای تجزیه تابع $$F(s)$$ از بسط کسر جزئی استفاده می‌شود. به این ترتیب، معادله (۲) به رابطه زیر تبدیل می‌شود:

ضرایب این بسط $$k_1, \, k_2, \cdots , k_n$$ هستند و به نام باقیمانده‌های تابع $$F(s)$$ شناخته می‌شوند.

راه‌های مختلفی برای یافتن ضرایب بسط وجود دارد. یکی از این راه‌ها، «روش باقیماند‌ه‌ها» (Residue Method) نام دارد. اگر دو طرف معادله (۳) در $$(s+ p_1)$$ ضرب شود،‌ رابطه زیر به دست می‌آید:

اگر در معادله (۴)، $$s=-p_1$$ قرار داده شود، در سمت راست معادله فقط عبارت $$k_1$$ باقی خواهد ماند، زیرا $$p_i \neq p_j$$ است و صورت و مخرج کسرها ساده نمی‌شوند.

بنابراین داریم:

بنابراین در حالت کلی داریم:

معادله (۶) با نام «قضیه هویساید» (Heaviside's Theorem) شناخته می‌شود. هنگامی که مقادیر $$k_i$$ دانسته شود، معکوس تابع $$F(s)$$ درمعادله (۳) قابل محاسبه است. تبدیل لاپلاس معکوس برای هریک از عبارت‌های معادله (۳) به صورت زیر است:

بنابراین تبدیل لاپلاس معکوس، به صورت زیر به دست می‌آید:

قطب‌های تکراری

فرض کنید تابع $$F(s)$$ در نقطه $$s=-p$$، به تعداد $$n$$ «قطب تکراری» (Repeated Poles) دارد. می‌توان این تابع را به صورت زیر نوشت:

در معادله (۹)، $$F_1 (s)$$ قسمتی از تابع $$F(s)$$ است که هیچ قطبی در نقطه $$s=-p$$ ندارد.

ضرایب بسط در معادله (۹)، به صورت زیر قابل محاسبه هستند:

برای محاسبه $$k_{n-1}$$، می‌توان هریک از عبارت‌های معادله (۹) را در $$(s+p)^ n$$ ضرب کرد. با گرفتن مشتق نسبت به $$s$$ از دو طرف، ضریب $$k_n$$ حذف می‌شود. اگر $$s=-p$$ قرار داده شود، بقیه ضرایب غیر از $$k_{n-1}$$ حذف می‌شوند. بنابراین می‌توان نوشت:

با تکرار این فرآیند خواهیم داشت:

ضریب کسر $$m$$ ام در معادله (۹) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

که در آن:

همانطور که در معادله (۱۳) مشاهده می‌شود با افزایش $$m$$، مشتق‌گیری از تابع بسیار پیچیده خواهد شد. هنگامی که مقادیر $$k_1 , \, k_2 , \, \cdots , k_n$$ به وسیله بسط کسر جزئی دانسته شود، تبدیل لاپلاس معکوس به هریک از عبارت‌های سمت راست معادله (۹) قابل اعمال است. پس خواهیم داشت:

به این ترتیب تابع تبدیل لاپلاس معکوس به صورت زیر به دست می‌آید:

قطب‌های مختلط

اگر یک جفت «قطب مختلط» (Complex Pole)، تکراری نباشند قطب‌های ساده خواهند بود. اگر این قطب‌ها تکرار شوند، به قطب‌های دوگانه یا چندگانه تبدیل می‌شوند. قطب‌های مختلط ساده مانند قطب‌های حقیقی ساده هستند. اما از آنجا که جبر مختلط در این معادلات وارد می‌شوند، نتیجه همواره پیچیده خواهد بود.

یک روش ساده‌تر برای محاسبه ضرایب بسط کسر جزئی، استفاده از «تکمیل مربعات» (Completing the square) است. در این روش هر جفت قطب مختلط یا درجه دوم در $$D(s)$$ باید به فرم زیر نوشته شود:

$$(s + \alpha ) ^ 2+ \beta ^ 2$$

می‌توان با استفاده از خواص تبدیل لاپلاس، به تبدیل لاپلاس معکوس در حوزه زمان رسید.

می‌دانیم که $$N(s)$$ و $$D(s)$$ باید همواره ضرایب حقیقی داشته باشند. از طرفی ریشه‌های مختلط چندجمله‌ای‌ها با ضرایب حقیقی، همواره یک جفت مختلط دارند. بنابراین تابع $$F(s)$$ به فرم کلی زیر نوشته می‌شود:

که $$F_1 (s)$$ قسمتی از تابع $$F(s)$$ است که جفت قطب مختلط ندارد. با کامل کردن مربعات داریم:

فرض کنید رابطه زیر نیز برقرار است:

به این ترتیب معادله (۱۶)، به صورت زیر خواهد شد:

با استفاده از خواص تبدیل لاپلاس، تابع معکوس معادله (۱9) به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

صرفنظر از نوع قطب، یک «روش جبری» (Algebraic Method) نیز برای محاسبه ضرایب بسط کسر جزئی در تبدیل لاپلاس معکوس وجود دارد. در این روش، فرض می‌شود که تابع لاپلاس $$F(s) = N(s)/D(s)$$‌ با یک بسط کسر جزئی با ضرایب مجهول برابر است. دو طرف بسط در مخرج مشترک کسرها ضرب می‌شود. با برابر قرار دادن دو طرف معادله، ضرایب مجهول محاسبه می‌شوند.

در ادامه با بیان چند مثال، به بررسی تبدیل لاپلاس معکوس می‌پردازیم.

مثال

تبدیل لاپلاس معکوس توابع زیر را بیابید.

الف) $$F(s) = \frac{3}{s} - \frac{5}{s+1} + \frac{6}{s^2 + 4}$$.

حل: تبدیل لاپلاس معکوس این تابع به صورت زیر محاسبه می‌شود:

از خواص تبدیل لاپلاس، برای محاسبه تبدیل لاپلاس معکوس استفاده شده است.

ب) $$F(s) = 5 + \frac{6}{s+4}- \frac{7s}{s^2 + 25}$$.

حل: تبدیل لاپلاس معکوس این تابع به صورت زیر خواهد بود:

پ) $$F(s)= \frac{s^2 + 12}{s(s+2)(s+3)}$$.

حل: در مثال‌های قبلی، توابع لاپلاس کسرهای جزئی داشتند. در این مثال، لازم است ابتدا تجزیه کسر برای تابع $$F(s)$$ انجام شود. این تابع سه قطب دارد، پس داریم:

که در آن ثابت‌های $$A$$ و $$B$$‌ و $$C$$ باید تعیین شوند. دو روش برای تعیین این ثابت‌ها وجود دارد. در ادامه به بررسی این روش‌ها می‌پردازیم.

۱. روش باقیمانده: با استفاده از معادله (۶) ضرایب بسط کسر جزئی قابل محاسبه است. به صورت زیر:۲. روش جبری: در این روش دو طرف معادله (۲۱) در عبارت $$s(s+2)(s+3)$$ ضرب می‌شود. پس داریم:

یا:

با مقایسه ضرایب با توان مشابه خواهیم داشت:

بنابراین خواهیم داشت:

$$A= 2 \, \, \, , B=-8 \, \, \, , \, \, \, C=7$$

به این ترتیب تابع تبدیل لاپلاس به صورت زیر نوشته می‌شود:

بنابراین تبدیل لاپلاس معکوس تابع $$F(s)$$، به صورت زیر است:

ت) $$V(s)=\frac{10 s^2 + 4}{s (s+1) (s+2)^2}$$.

حل: توابع لاپلاس در مثال‌های قبل، همگی قطب یا ریشه‌های ساده داشتند. اما در این مثال، تابع $$V(s)$$ قطب تکراری دارد. بنابراین:

از دو روش باقیمانده و جبری برای یافتن ضرایب بسط استفاده می‌کنیم.

۱. روش باقیمانده:

۲. روش جبری: با ضرب دو طرف معادله تابع لاپلاس در عبارت $$s(s+1)(s+2)^2$$، خواهیم داشت:

یا:

با برابر قرار دادن ضرایب، خواهیم داشت:

با حل این معادلات خواهیم داشت:

$$A=1 \, \, \, , \, \, \, B=-14 \, \, \, , \, \, \, C=22 \, \, \, , \, \, \, D =13$$

به این ترتیب، تابع $$V(s)$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس از هر یک از گزاره‌های عبارت بالا، خواهیم داشت:

ج) $$H(s)=\frac{20}{(s+3)(s^2 + 8s + 25)}$$.

در این مثال، $$H(s)$$ یک جفت قطب مختلط دارد. اگر مخرج عبارت کسری برابر صفر قرار گیرد، ریشه‌ها یا قطب‌های مختلط این تابع به دست می‌آیند. این قطب‌ها عبارتند از:

$$s^2 + 8s + 25 =0 \to s = -4 \pm j3$$

به این ترتیب، عبارت کسری به صورت زیر تجزیه می‌شود:

ضرایب بسط را می‌توان از دو طریق یافت:

۱. روش ترکیبی: در این حالت، می‌توان $$A$$ را با استفاده از روش باقیمانده محاسبه کرد:

اگرچه می‌توان ضرایب $$B$$ و $$C$$‌ را نیز با استفاده از روش باقیمانده‌ها محاسبه کرد، اما این کار پیشنهاد نمی‌شود. زیرا محاسبات جبری آن بسیار پیچیده است. به جای آن، از دو مقدار خاص برای $$s$$ استفاده می‌شود (این دو مقدار نباید قطب‌های تابع $$F(s)$$ باشند).

برای مثال $$s$$ را می‌توان برابر صفر یا یک قرار داد. این دو عدد قطب‌های تابع $$H(s)$$ نیستند.

به این ترتیب یک دستگاه با دو معادله و دو مجهول تشکیل خواهد شد. پس، ضرایب $$B$$ و $$C$$ قابل محاسبه هستند. اگر $$s=0$$ قرار دهیم، خواهیم داشت:

یا:

از آنجا که $$A=2$$‌ است، طبق رابطه بالا $$C=-10$$ خواهد شد. با جایگزینی $$s=1$$ در معادله خواهیم داشت:

یا

اما می‌دانیم که $$A=2$$ و $$C=-10$$ است. بنابراین $$B=-2$$.

۲. روش جبری: با ضرب دو طرف معادله در عبارت $$(s+3)(s^2 + 8s + 25)$$، خواهیم داشت:

با برابر قرار دادن ضرایب خواهیم داشت:

به این ترتیب،‌ $$B=-2$$ و $$C=-10$$ خواهد شد. پس تابع $$H(s)$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

با محاسبه تبدیل لاپلاس معکوس هر یک از گزاره‌های $$H(s)$$، تبدیل لاپلاس معکوس کلی تابع محاسبه می‌شود. بنابراین خواهیم داشت:

می‌توان عبارت‌های کسینوسی و سینوسی را با یکدیگر ترکیب کرده و تابع را به شکل زیر نوشت:

برای ضریب $$R$$‌ و زاویه فاز $$\theta$$ خواهیم داشت:

بنابراین:

در صورتی که مباحث بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط، مطالب بیشتری یاد بگیرید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

• کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار — به زبان ساده
• تقلب نامه (Cheat Sheet) تبدیل لاپلاس