انتگرال سینوس – نحوه محاسبه و فرمول + مثال و تمرین

انتگرال سینوس برابر با منفی کسینوس است. البته در صورت انتگرال‌گیری نامعین از تابع مثلثاتی سینوس، یک ثابت عددی به جواب انتگرال اضافه می‌شود. سینوس، یکی از شناخته شده‌ترین و پرکاربردترین نسبت‌های مثلثاتی است. از این‌رو، روابط مرتبط با آن در حوزه‌های زیادی از ریاضیات محض تا مهندسی کاربرد دارند. در این مقاله، به معرفی انتگرال سینوس و دیگر توابع سینوسی نظیر سینوس با ضریب متغیر، سینوس با توان، سینوس هیپربولیک و غیره می‌پردازیم. علاوه بر این، ضمن اثبات رابطه انتگرال سینوس، چندین مثال متنوع را نیز تشریح می‌کنیم.

انتگرال توابع مثلثاتی

انتگرال، یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم ریاضی است که در کلی‌ترین حالت، به عنوان مساحت زیر منحنی یک تابع تعریف می‌شود. به این مفهوم، پادمشتق نیز می‌گویند.

تصویر زیر، منحنی توابع مثلثاتی را نمایش می‌دهد. منظور از انتگرال این توابع، مساحت محدود به منحنی آن‌ها و محور مبنا است.

انتگرال توابع مثلثاتی عبارت است از:

$$
\int \sin x dx = - \cos x + C
$$

$$
\int \cos x dx = + \sin x + C
$$

$$
\int { \tan { x } } d x = \ln | \sec x | + C
$$

$$
\int { \cot { x } } d x = \ln | \sin x | + C
$$

$$
\int \sec x d x= \left \{ \begin{array} {l}
\ln | \sec x+\tan x | + C \\
\frac { ۱ } { ۲ } \ln \left|\frac { ۱ + \sin x } { ۱ - \sin x } \right | + C \\
\ln \left | \tan \left ( \frac { x } { ۲ } + \frac { \pi } { ۴ } \right ) \right | + C \\
\cosh ^ { -۱ }( \sec x ) + C \\
\sin h ^ { -۱ }( \tan x ) + C \\
\tan ^ { -۱ } ( \sin x ) + C
\end {array} \right.
$$

$$
\int { \csc } x d x = \left \{ \begin {array} {c}
\ln | { \csc } x - \cot x | + C \\
- \ln | { \csc } x + \cot x | + C \\
\frac { ۱ } { ۲ } \ln \left | \frac { \cos x - ۱ } { \cos x + ۱ } \right | + C \\
\ln \left | \tan \frac { x } { ۲ } \right | + C
\end {array} \right.
$$

در ادامه، به معرفی و بررسی بیشتر انتگرال سینوس می‌پردازیم.

انتگرال تابع سینوس چیست ؟

تابع سینوس (Sine)، یکی از شناخته شده‌ترین و پرکاربردترین توابع مثلثاتی است.

فرمول انتگرال سینوس به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int \sin x dx = - \cos x + C
$$

C، یک عدد ثابت را نمایش می‌دهد. توجه داشته باشید که انتگرال و مشتق، دو مفهوم مقابل یکدیگر هستند. به عنوان مثال، اگر از عبارت سمت راست انتگرال بالا بر حسب متغیر x مشتق بگیریم، خواهیم داشت:

$$
\frac { d }{ dx } ( - \cos x + C ) = \frac { d }{ dx } ( - \cos x ) + \frac { d }{ dx } ( C )
$$

$$
= - \frac { d }{ dx } ( \cos x ) + ۰
$$

$$
= - ( - \sin x )
$$

$$
\frac { d }{ dx } ( - \cos x + C ) = \sin x
$$

به عبارت دیگر، با مشتق گرفتن از عبارت‌های سمت راست، به عبارت درون انتگرال می‌رسیم. C، می‌تواند یک عدد حقیقی باشد. بنابراین، انتگرال سینوس ایکس، برابر با منفی کسینوس ایکس به علاوه یک عدد ثابت است.

مثال ۱: محاسبه انتگرال سینوس در بازه ۶۰ تا ۱۸۰ درجه

انتگرال سینوس ایکس در بازه ۶۰ تا ۱۸۰ درجه را به دست بیاورید.

صورت سوال، جواب انتگرال زیر را از ما می‌خواهد:

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx
$$

اگر منحنی تابع سینوس ایکس را رسم کنیم و سطح زیر آن را در بازه ۶۰ تا ۱۸۰ هاشور بزنیم، مساحت ناحیه هاشور خورده، جواب انتگرال بالا خواهد بود. تصویر زیر، مفهوم انتگرال بالا را به خوبی نمایش می‌دهد.

فرمول انتگرال مورد سوال به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx = \left [ - \cos x + C \right ] _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi }
$$

ثابت عددی C، در انتگرال‌های معین (مانند این مثال)، هیچ نقشی نخواهد داشت؛ چراکه به طی فرآیند جایگذاری بازه‌های انتگرال‌گیری، حذف می‌شود. بنابراین، ثابت C را از رابطه بالا حذف می‌کنیم:

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx = \left [ - \cos x \right ] _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi }
$$

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx = ( - \cos { \pi } ) - ( - \cos \frac { \pi }{ ۳ } )
$$

کسینوس π یا همان ۱۸۰ درجه برابر با ۱- و کسینوس π/۳ یا ۶۰ درجه برابر با ۰/۵ است. این مقادیر را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx = [ - ( - ۱ ) ] - ( - ۰/۵ )
$$

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx = + ۱ + ۰/۵
$$

$$
\int _ { \frac { \pi }{ ۳ } } ^ { \pi } \sin x dx = ۱/۵
$$

در نتیجه، انتگرال سینوس در بازه ۶۰ تا ۱۸۰ درجه برابر با ۱/۵ می‌شود. انتگرال مساحت زیر منحنی را نمایش می‌دهد.

انتگرال سینوس وارون

توابع وارون یا معکوس، توابعی هستند که عکس یک تابع معمولی عمل می‌کنند. به عنوان مثال، اگر تابعی با گرفتن مقدار ۱، مقدار ۲ را نمایش دهد، وارون آن تابع، با گرفتن مقدار ۲، مقدار ۱ را نمایش می‌دهد. سینوس وارون یا وارون سینوس با $$ \sin ^ { - ۱ } $$ یا $$ \arcsin x $$ نشان داده می‌شود.

انتگرال سینوس معکوس از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int \sin ^ { - ۱ } x d x = x \sin ^ { - ۱ } x + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C
$$

انتگرال سینوس با ضریب

بسیاری از معادلات ریاضی، دارای توابع سینوسی با ضریب ثابت یا متغیر هستند. در این بخش، نحوه انتگرال‌گیری از این توابع را آموزش می‌دهیم.

انتگرال تابع سینوس با ضریب ثابت

اگر عبارت درون انتگرال دارای ضریب ثابت باشد، می‌توان آن را به پشت انتگرال انتقال داد. این قانون، برای انتگرال سینوس نیز صادق است. به این ترتیب، برای انتگرال نامعین داریم:

$$
\int a \sin x d x = a \int \sin x d x = a ( - \cos x + c )
$$

a و c، ضرایب ثابت هستند. این رابطه برای انتگرال معین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int a \sin x d x = a \int \sin x d x = - a \cos x
$$

به عبارت ساده‌تر، اگر تابع سینوس یا هر تابع مثلثاتی دیگر، دارای ضریب ثابت بود، می‌توان آن را از درون انتگرال حذف کرده و جواب انتگرال ضرب کرد. البته توجه داشته باشید که در صورت وجود ضریب در درون تابع سینوس، فرمول انتگرال‌گیری تغییر می‌کند. به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$
f ( x ) = \sin ( b x ) dx
$$

انتگرال نامعین این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int \sin ( b x ) dx = - \frac { \cos ( b x ) } { b } + c
$$

فرمول کلی انتگرال سینوس عبارت است از:

$$
\int \sin (a x + b ) d x = - \frac { \cos ( a x + b ) } { a } + C
$$

این فرمول برای کسینوس به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int \cos ( a x + b) d x = \frac { \sin (a x + b ) } { a } + C
$$

مثال ۲: محاسبه انتگرال تابع سینوس با ضریب ثابت

انتگرال تابع $$ ۵ \sin ( ۲ x ) $$ را در بازه ۰ تا ۴۵ درجه حساب کنید.

$$
\int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi }{ ۴ } } ۵ \sin ( ۲ x )
$$

برای به دست آوردن انتگرال بالا، از دو رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$
\int a \sin x d x = a \int \sin x d x = - a \cos x
$$

$$
\int \sin ( b x ) dx = - \frac { \cos ( b x ) } { b }
$$

مطابق رابطه اول، ضریب بیرون سینوس را به پشت انتگرال انتقال می‌دهیم:

$$
۵ \int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi }{ ۲ } } \sin ( ۲ x )
$$

بر اساس رابطه دوم، رابطه نهایی انتگرال مورد سوال را می‌نویسیم:

$$
۵ \int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } \sin ( ۲ x ) dx = ۵ [ - \frac { \cos ( ۲ x ) } { ۲ } ] _ { ۰ } ^ { \frac { \pi }{ ۴ } }
$$

$$
۵ \int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } \sin ( ۲ x ) dx = ۵ \left [ - \frac { \cos ( ۲ \times \frac { \pi }{ ۴ } ) } { ۲ } - \left ( - \frac { \cos ( ۲ \times ۰ ) } { ۲ } \right ) \right ]
$$

$$
۵ \int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } \sin ( ۲ x ) dx = ۵ \left [ - \frac { \cos (\frac { \pi }{ ۲ } ) } { ۲ } + \frac { \cos ( ۰ ) } { ۲ } \right ]
$$

کسینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۰ و کسینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۱ است. بنابراین، داریم:

$$
\int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } ۵ \sin ( ۲ x ) dx = ۵ \left [ - \frac { ۰ } { ۲ } + \frac { ۱ } { ۲ } \right ]
$$

$$
\int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } ۵ \sin ( ۲ x ) dx = ۵ \left [ \frac { ۱ } { ۲ } \right ]
$$

$$
\int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } ۵ \sin ( ۲ x ) dx = \frac { ۵ } { ۲ }
$$

$$
\int _ { ۰ } ^ { \frac { \pi } { ۴ } } ۵ \sin ( ۲ x ) dx = ۲/۵
$$

در نتیجه، انتگرال تابع سینوسی مورد سوال برابر با ۲/۵ است.

انتگرال تابع سینوس با ضریب متغیر

انتگرال حاصل‌ضرب دو تابع، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int f ( x ) . g ( x ) d x = F (x ) . g ( x ) - \int F ( x ) . g ^ { ' } ( x ) d x
$$

F(x)، نتیجه انتگرال f(x) است. رابطه بالا، برای توابع مثلثاتی دارای ضریب متغیر نیز قابل استفاده است. این رابطه با عنوان انتگرال جز به جز شناخته می‌شود. در ادامه، این موضوع را با حل یک مثال توضیح می‌دهیم.

مثال ۳: محاسبه انتگرال تابع سینوس با ضریب ثابت

انتگرال $$ \int x \sin ( x ) d x $$ را تعیین کنید.

انتگرال مورد سوال، تابع $$ \sin x $$ با ضریب متغیر x است. جواب این انتگرال از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int f ( x ) . g ( x ) d x = F (x ) . g ( x ) - \int F ( x ) . g ^ { ' } ( x ) d x
$$

برای استفاده از این رابطه، فرض می‌کنیم:

$$ f ( x ) = \sin x $$

$$ g ( x ) = x $$

به این ترتیب داریم:

$$
\int \sin ( x ) . x d x = \left ( \int \sin ( x ) \right ) x - \int \left ( \int \sin ( x ) dx \right ) \frac { d }{ d x } x dx
$$

انتگرال سینوس برابر با منفی کسینوس است:

$$
\int \sin x dx = - \cos x
$$

مشتق x بر مبنای x برابر با ۱ است:

$$
\frac { d }{ d x } x = ۱
$$

بنابراین:

$$
\int \sin ( x ) . x d x = x ( - \cos x ) - ( - \cos x )
$$

$$
\int \sin ( x ) . x d x = ( - \cos x ) x - \int \left ( - \cos x \right ) ۱ dx
$$

$$
\int \sin ( x ) . x d x = - x \cos x + \int \cos x dx
$$

انتگرال کسینوس برابر با سینوس است. در نتیجه:

$$
\int x \sin ( x ) d x = - x \cos x + \sin x
$$

مثال ۴: محاسبه انتگرال سینوس در کسینوس

انتگرال حاصل‌ضرب سینوس در کسینوس را به دست بیاورید.

$$
\int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = ?
$$

برای به دست آوردن انتگرال بالا، ساده‌ترین روش، استفاده از روابط نسبت‌های مثلثاتی و فرمول تبدیل ضرب سینوس در کسینوس به جمع است. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \sin A \cos B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( A + B ) + \sin ( A - B ) ] $$

به این ترتیب داریم:

$$
\int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = \int \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( x + x ) + \sin ( x - x ) ] dx
$$

$$
\int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = \frac { ۱ }{ ۲ } \int [ \sin ( ۲ x ) + \sin ( ۰ ) ] dx
$$

$$
\int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = \frac { ۱ }{ ۲ } \int [ \sin ( ۲ x ) + ۰ ] dx
$$

$$
\int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = \frac { ۱ }{ ۲ } \int \sin ( ۲ x ) dx
$$

$$ \int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = \frac { ۱ }{ ۲ } \times ( - \frac { \cos ( ۲ x ) } { ۲ } ) + C $$

$$
\int \sin ( x ) \cos ( x ) d x = - \frac { ۱ }{ ۴ } \cos ( ۲ x ) + C
$$

انتگرال سینوس توان دار

در این بخش، به معرفی فرمول‌های موجود برای محاسبه توابع سینوسی با توان غیر از یک می‌پردازیم.

انتگرال سینوس به توان دو

انتگرال مربع سینوس را در نظر بگیرید:

$$
\int \sin ^ ۲ x dx
$$

سینوس ایکس به توان ۲ را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب دو تابع سینوس ایکس نوشت:

$$
\int \sin x . \sin x dx
$$

جواب انتگرال بالا، با استفاده فرمول ارائه شده برای انتگرال ضرب دو تابع به دست می‌آید. مطابق با این فرمول داریم:

$$
\int f ( x ) . g ( x ) d x = F (x ) . g ( x ) - \int F ( x ) . g ^ { ' } ( x ) d x
$$

یکی از سینوس‌ها را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g(x) در نظر می‌گیریم:

$$ f ( x ) = \sin x $$

$$ g ( x ) = \sin x $$

به این ترتیب، انتگرال f(x) یا F(x) برابر خواهد بود با:

$$
F ( x ) = \int \sin x dx = - \cos x
$$

مشتق g(x) یا g'(x) نیز برابر است با:

$$
g ' (x) = \frac { d } { d x} \sin x = \cos x
$$

رابطه‌های بالا را درون فرمول انتگرال ضرب دو تابع قرار می‌دهیم:

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = ( - \cos x ) ( \sin x ) - \int - \cos x \cos x dx
$$

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + \int \cos ^ ۲ x dx
$$

بر اساس رابطه جمع مربع سینوس با مربع کسینوس داریم:

$$
\sin ^ ۲ x + \cos ^ ۲ x = ۱
$$

$$
\cos ^ ۲ x = ۱ - \sin ^ ۲ x
$$

این رابطه را جایگزین $$ \cos ^ ۲ x $$ می‌کنیم:

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + \int ( ۱ - \sin ^ ۲ x ) dx
$$

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + \int ( dx - \sin ^ ۲ x dx )
$$

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + \int dx - \int \sin ^ ۲ x dx
$$

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + x - \int \sin ^ ۲ x dx
$$

انتگرال سمت راست رابطه را به سمت چپ می‌بریم:

$$
\int \sin ^ ۲ x dx + \int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + x
$$

$$
۲ \int \sin ^ ۲ x dx = - \sin x \cos x + x
$$

بر اساس روابط مثلثاتی، داریم:

$$
\sin ( ۲ x ) = ۲ \sin x \cos x
$$

$$
\sin x \cos x = \frac { \sin ( ۲ x ) }{ ۲ }
$$

با توجه به رابطه بالا، معادل $$ \sin x \cos x $$ را در رابطه اصلی قرار می‌دهیم:

$$
۲ \int \sin ^ ۲ x dx = - \frac { \sin ( ۲ x ) }{ ۲ } + x
$$

در نتیجه:

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = \frac { x }{ ۲ } - \frac { \sin ( ۲ x ) }{ ۴ }
$$

برای انتگرال نامعین، ثابت عددی C را به انتهای جواب اضافه می‌کنیم:

$$
\int \sin ^ ۲ x dx = \frac { x }{ ۲ } - \frac { \sin ( ۲ x ) }{ ۴ } + C
$$

مثال ۵: تعیین انتگرال سینوس به توان ۳

انتگرال $$ \int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) dx $$ را به دست بیاورید.

برای حل انتگرال مورد سوال، می‌توانیم تابع $$ \sin ^ ۳ \left ( x \right ) $$ را به صورت زیر ساده کنیم:

$$
\sin ^ ۳ \left ( x \right ) = \sin ^ ۲ \left ( x \right ) \sin \left ( x \right )
$$

از رابطه بین نسبت‌های مثلثاتی می‌دانیم:

$$
\sin ^ ۲ \left ( x \right ) = ۱ - \cos ^ ۲ \left ( x \right )
$$

بنابراین:

$$
\sin ^ ۳ \left ( x \right ) = \left ( ۱ - \cos ^ ۲ \left ( x \right ) \right ) \sin \left ( x \right )
$$

به این ترتیب، داریم:

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = \int \left ( ۱ - \cos ^ ۲ \left ( x \right ) \right ) \sin \left ( x \right ) d x
$$

برای ادامه انتگرال‌گیری، از روش تغییر متغیر استفاده می‌کنیم. به این منظور، یک متغیر فرضی را برابر با کسینوس در نظر می‌گیریم:

$$
u = \cos \left ( x \right )
$$

مشتق این متغیر برابر است با:

$$
d u = - \sin \left ( x \right ) d x
$$

روابط به دست آمده از تغییر متغیر را درون انتگرال قرار می‌دهیم:

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = \int \left ( ۱ - u ^ ۲ \right ) ( - d u )
$$

علامت منفی را به پشت انتگرال می‌بریم و عبارت‌ها در هم ضرب می‌کنیم:

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = - \int \left ( ۱ - u ^ ۲ \right ) ( d u )
$$

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = - \int ( d u - u ^ ۲ d u )
$$

از هر عبارت به طور جداگانه انتگرال می‌گیریم:

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = - \int d u + \int u ^ ۲ d u
$$

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = - u + \frac { u ^ ۳ }{ ۳ }
$$

اکنون، تغییر متغیر را به حالت اول بازمی‌گردانیم:

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = - \cos ( x ) + \frac { \cos ^ ۳ ( x ) }{ ۳ }
$$

به دلیل نامعین بودن انتگرال، ثابت C را نیز به جواب آن اضافه می‌کنیم:

$$
\int \sin ^ ۳ \left ( x \right ) d x = - \cos ( x ) + \frac { \cos ^ ۳ ( x ) }{ ۳ } + C
$$

در نتیجه، انتگرال سینوس به توان سه به دست می‌آید.

مثال ۶: تعیین انتگرال سینوس به توان چهار

انتگرال $$ \int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) dx $$ را تعیین کنید.

برای به دست آوردن انتگرال سینوس توان‌دار، ابتدا باید آن را به فرم ساده‌تر تبدیل کرد. در این مثال، می‌توانیم سینوس به توان چهار را به صورت حاصل‌ضرب دو تابع سینوس به توان دو بنویسیم:

$$
\sin ^ ۴ \left ( x \right ) = \sin ^ ۲ \left ( x \right ) \sin ^ ۲ \left ( x \right )
$$

به این ترتیب، انتگرال مورد سوال به شکل زیر درمی‌آید:

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \int \sin ^ ۲ \left ( x \right ) \sin ^ ۲ \left ( x \right ) dx
$$

با توجه به روابط بین نسبت‌های مثلثاتی داریم:

$$
\cos ( ۲ x ) = ۱ - ۲ \sin ^ ۲ ( ۲ x )
$$

این رابطه را بر حسب سینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$
۲ \sin ^ ۲ ( ۲ x ) = ۱ - \cos ( ۲ x )
$$

$$
\sin ^ ۲ ( ۲ x ) = \frac { ۱ - \cos ( ۲ x ) } { ۲ }
$$

عبارت سمت راست را به جای عبارت سمت چپ در انتگرال قرار می‌دهیم:

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \int \frac { ۱ - \cos ( ۲ x ) } { ۲ }.\frac { ۱ - \cos ( ۲ x ) } { ۲ } dx
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \int \left ( \frac { ۱ - \cos ( ۲ x ) } { ۲ } \right ) ^ ۲ dx
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \int \frac { \left ( ۱ - \cos ( ۲ x ) \right ) ^ ۲ } { ۴ } dx
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۱ }{ ۴ } \int \left ( ۱ - \cos ( ۲ x ) \right ) ^ ۲ dx
$$

عبارت درون انتگرال را با استفاده از اتحاد تفاضل دوجمله‌ای باز می‌کنیم:

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۱ }{ ۴ } \int \left ( ۱ ^ ۲ + \cos ^ ۲ ( ۲ x ) - ۲ ( ۱ ) ( \cos ( ۲ x ) ) \right ) dx
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۱ }{ ۴ } \int \left ( ۱ + \cos ^ ۲ ( ۲ x ) - ۲ \cos ( ۲ x ) \right ) dx
$$

مطابق با یکی دیگر از روابط بین نسبت‌های مثلثاتی داریم:

$$
\cos ( ۲ \theta ) = ۲ \cos ^ ۲ ( \theta ) - ۱
$$

اگر به جای θ، عبارت ۲x را قرار دهیم، خواهیم داشت:

$$
\cos ( ۴ x ) = ۲ \cos ^ ۲ ( ۲ x ) - ۱
$$

رابطه بالا را بر حسب $$ \cos ^ ۲ ( ۲ x ) $$ بازنویسی می‌‌کنیم:

$$
۲ \cos ^ ۲ ( ۲ x ) = \cos ( ۴ x ) + ۱
$$

$$
\cos ^ ۲ ( ۲ x ) = \frac { \cos ( ۴ x ) + ۱ } { ۲ }
$$

با جایگذاری این عبارت درون انتگرال، خواهیم داشت:

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۱ }{ ۴ } \int \left ( ۱ + \frac { ۱ + \cos ( ۴ x ) } { ۲ } - ۲ \cos ( ۲ x ) \right ) dx
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۱ }{ ۴ } \int ۱ d x + \frac { ۱ }{ ۸ } \int \left ( ۱ + \cos ( ۴ x ) \right ) d x - \frac { ۲ }{ ۴ } \int \cos ( ۲ x ) d x
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۱ } { ۴ } \int ۱ d x + \frac { ۱ } { ۸ } \int ۱ d x + \frac { ۱ } { ۸ } \int \cos ( ۴ x ) d x - \frac { ۱ } { ۲ } \int \cos ۲ x d x
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، انتگرال بالا، با انتگرال‌گیری از کسینوس به دست می‌آید. در ابتدای مقاله، اشاره کوتاهی به فرمول انتگرال کسینوس داشتیم. این فرمول عبارت است از:

$$
\int \cos ( a x + b) d x = \frac { \sin (a x + b ) } { a } + C
$$

با استفاده از رابطه بالا، جواب انتگرال انتگرال سینوس به توان ۴ را به دست می‌آوریم:

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { x } { ۴ } + \frac { x } { ۸ } + \frac { ۱ } { ۸ } \frac { \sin ( ۴ x ) } { ۴ } - \frac { ۱ } { ۲ } \frac { \sin (۲ x ) } { ۲ } + C
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۲ x + x } { ۸ } + \frac { \sin ( ۴ x ) } { ۳۲ } - \frac { \sin (۲ x ) } { ۴ } + C
$$

$$
\int \sin ^ ۴ \left ( x \right ) d x = \frac { ۳ x } { ۸ } - \frac { ۱ } { ۴ } \sin (۲ x ) + \frac { ۱ } { ۳۲ } \sin ( ۴ x ) + C
$$

انتگرال سینوس به توان n

در بخش‌های قبلی، انتگرال سینوس با توان‌های مختلف را به دست آوردیم. به طور کلی، انتگرال سینوس با هر توان دلخواه نظیر n با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
\int \sin ^ n ( x ) d x = - \frac { \sin ^ { n - ۱ } ( x ) \cos ( x ) } { n } + \frac { n - ۱ } { n } \int \sin ^ { n - ۲ } ( x ) d x
$$

اگر به جای n، عدد ۱ را قرار دهید، به فرمول انتگرال سینوس ایکس می‌رسید. با قرار دادن عدد ۲، فرمول انتگرال مربع سینوس ایکس به دست می‌آید. البته ممکن است برای رسیدن به روابط معرفی شده در بخش‌های قبلی، نیاز به اعمال تبدیلات مثلثاتی باشد.

انتگرال رادیکال سینوس

انتگرال رادیکال سینوس از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int \sqrt { \sin ( x ) } d x = ۲ \left [ \sum _ { n = ۰ } ^ { \infty } \frac { ( ۲ n ) \! \sin ( x ) ^ { ۲ n + \frac { ۳ } { ۲ } } } { ۴ ^ n ( n \! ) ^ ۲ ( ۴ n + ۳ ) } \right ] + C
$$

اثبات انتگرال سینوس

در مثال ابتدای مقاله، فرمول انتگرال سینوس را به طور مختصر و با استفاده از مفهوم مشتق اثبات کردیم. در واقع، دیدیم که اگر از حاصل انتگرال سینوس (منفی کسینوس) مشتق بگیریم، به خود تابع سینوس می‌رسیم. در این بخش، یکی دیگر از روش‌های اثبات فرمول انتگرال تابع سینوس ایکس را آموزش می‌دهیم. فرمول انتگرال سینوس عبارت است از:

$$
\int \sin x dx = - \cos x + C
$$

$$ \sin x $$ را برابر با متغیری نظیر y در نظر بگیرید:

$$ y = \sin x $$

به این ترتیب، مشتق y نسبت به x برابر می‌شود با:

$$
\frac { d y } { d x } = \cos x
$$

به عبارت دیگر، داریم:

$$
d y = \cos ( x ) { d x }
$$

فعلا این روابط را به خاطر بسپارید. یکی از روابط معروف بین نسبت‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس عبارت است از:

$$
\sin ^ ۲ x + \cos ^ ۲ x = ۱
$$

این رابطه را بر حسب کسینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$
\cos ^ ۲ x = ۱ - \sin ^ ۲ x
$$

$$
\cos x = \sqrt { ۱ - \sin ^ ۲ x }
$$

متغیر y به جای سینوس قرار می‌دهیم:

$$
\cos x = \sqrt { ۱ - y ^ ۲ }
$$

به جای کسینوس نیز از معادل آن را می‌نویسیم:

$$
\frac { d y } { d x } = \sqrt { ۱ - y ^ ۲ }
$$

$$
d y = \left ( \sqrt { ۱ - y ^ ۲ } \right ) { d x }
$$

$$
{ d x } = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - y ^ ۲ } } d y
$$

دو طرف معادله بالا را در $$ \sin x $$ ضرب می‌کنیم:

$$
\sin ( x ) { d x } = \frac { \sin ( x ) }{ \sqrt { ۱ - y ^ ۲ } } d y
$$

در سمت چپ معادله، به جای سینوس، متغیر y را قرار می‌دهیم:

$$
\sin ( x ) { d x } = \frac { y }{ \sqrt { ۱ - y ^ ۲ } } d y
$$

اکنون، هر دو سمت معادله را به داخل انتگرال می‌بریم:

$$
\int \sin ( x ) { d x } = \int \frac { y }{ \sqrt { ۱ - y ^ ۲ } } d y
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنیم، عبارت سمت چپ معادله، همان انتگرال سینوس است. بنابراین، با حل انتگرال سمت راست، جواب انتگرال سینوس نیز به دست می‌آید. برای حل انتگرال سمت راست، تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

$$ ۱ - y ^ ۲ = u $$

اگر از دو طرف تغییر متغیر بالا مشتق بگیریم، خواهیم داشت:

$$
\frac { d }{ dy } u = - ۲ y
$$

$$
- \frac { ۱ }{ ۲ } du = y dy
$$

این تغییر متغیرها را درون رابطه انتگرال قرار می‌دهیم:

$$
\int \sin ( x ) { d x } = \int- \frac { ۱ }{ ۲ u } du
$$

$$
\int \sin ( x ) { d x } = - \frac { ۱ }{ ۲ } \int \frac { ۱ }{ u } du
$$

$$
\int \sin ( x ) { d x } = - \frac { ۱ }{ ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } } du
$$

انتگرال متغیرهای توان‌دار از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int x ^ n dx = \frac { x ^ { n + ۱ } }{ n + ۱} + C
$$

به این ترتیب، داریم:

$$
\int u ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } } du = \frac { u ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } }{ \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

$$
\int u ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } } du = ۲ u ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

$$
- \frac { ۱ }{ ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } } du = - \frac { ۱ }{ ۲ } \times ۲ u ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

$$
- \frac { ۱ }{ ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } } du = - u ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

بنابراین، انتگرال سینوس برابر می‌شود با:

$$
\int \sin ( x ) dx = - u ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

اکنون متغیر u را به $$ ۱- y ^ ۲ $$ بازمی‌گردانیم:

$$
\int \sin ( x ) dx = - ( ۱ - y ^ ۲) ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

متغیر y را نیز به $$ \sin x $$ بازمی‌گردانیم:

$$
\int \sin ( x ) dx = - ( ۱ - \sin ^ ۲ x ) ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

بر اساس رابطه جمع مربعات سینوس و کسینوس، خواهیم داشت:

$$
\int \sin ( x ) dx = - ( \cos ^ ۲ x ) ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } + C
$$

$$
\int \sin ( x ) dx = - \sqrt { \cos ^ ۲ x } + C
$$

$$
\int \sin ( x ) dx = - \cos x + C
$$

همانطور که مشاهده می‌کنید، فرمول انتگرال سینوس، با استفاده از تغییر متغیر اثبات شد.

انتگرال سینوس هیپربولیک

توابع هیپربولیک یا هذلولی، مشابه توابع مثلثاتی معمولی اما در سیستم هذلولی هستند. این توابع، بر اساس ثابت عددی اویلر تعریف می‌شوند.

تابع سینوس هیپربولیک عبارت است از:

$$
\sinh x = \frac { e ^ x - e ^ { - x } } { ۲ } = \frac { e ^ { ۲ x } - ۱ } { ۲ e ^ x } = \frac { ۱ - e ^ { - ۲ x } } { ۲ e ^ { - x } }
$$

انتگرال سینوس هیپربولیک با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int \sinh ( x ) d x = \cosh ( x ) + C
$$

به عبارت دیگر، انتگرال سینوس هیپربولیک برابر با کسینوس هیپربولیک است.

سوالات متداول در رابطه با انتگرال سینوس

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه انتگرال سینوس، به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

انتگرال سینوس چند می شود ؟

انتگرال سینوس برابر با منفی کسینوس می‌شود.

نام دیگر انتگرال سینوس چیست ؟

نام دیگر انتگرال سینوس، پادمشتق سینوس است.

رابطه بین انتگرال سینوس و مشتق سینوس چیست ؟

مشتق سینوس برابر با کسینوس و انتگرال سینوس برابر با منفی کسینوس است. بنابراین، مشتق سینوس و انتگرال سینوس، قرینه عددی یکدیگرند.

انتگرال مشتق سینوس چیست ؟

انتگرال مشتق سینوس (انتگرال کسینوس) برابر با سینوس است.

مشتق انتگرال سینوس چیست ؟

مشتق انتگرال سینوس (مشتق منفی کسینوس) برابر با منفی سینوس است.

تفاوت انتگرال معین و نامعین سینوس چیست ؟

انتگرال معین سینوس، برابر با منفی کسینوس است. در صورتی که در انتگرال نامعین، یک ضریب ثابت مانند C به جواب نهایی اضافه می‌شود.

انتگرال سینوس هیپربولیک چیست ؟

انتگرال تابع سینوس هیپربولیک، برابر با کسینوس هیپربولیک است.

انتگرال کسینوس چیست؟

انتگرال کسینوس برابر با سینوس است.