فرادرسمقدار عددی یک عبارت جبری — به زبان ساده
در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با عبارت‌های جبری و ساده کردن آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش، مطالبی را درباره مقدار عددی عبارت جبری و روش محاسبه آن بیان می‌کنیم.
عبارت جبری چیست؟
یک عبارت جبری (Algebraic Expression) یا یک عبارت متغیر ترکیبی از جمله‌ها (Terms) با عملیاتی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره است.
برای مثال، عبارت $$5x -3$$ را در نظر بگیرید. عبارت $$5x -3$$ نمونه‌ای از عبارت جبری است. یک عبارت جبری یک عبارت جبری سه بخش دارد: متغیر، ثابت و ضریب. شکل زیر این اجزا را نمایش می‌دهد.
در ریاضیات، نمادی که مقدار ثابتی ندارد، متغیر (Variable) نامیده می‌شود. متغیر هر مقداری می‌تواند داشته باشد. در مثال بالا که راجع به چوب کبریت بیان کردیم، $$n$$ یک متغیر است و در این مثال می‌تواند مقادیر $$ 1 $$ و $$2$$ و $$3$$ و... را بگیرد. برخی از نمادهای رایجی که به‌عنوان متغیر در ریاضی استفاده می‌شوند، $$ a $$ و $$ b $$ و $$ x $$ و $$y$$ و $$ z $$ و $$m$$ و $$ n $$ و امثال این‌هاست.
از طرف دیگر، به نمادی که مقدار عددی ثابتی دارد، ثابت (Constant) می‌گویند. همه اعداد ثابت هستند. چند مثال از ثابت‌ها عبارتند از $$3$$ و $$6$$ و $$- \frac 12 $$ و $$\sqrt 3 $$ و... . یک جمله یک متغیر به تنهایی یا یک ثابت به تنهایی یا ترکیبی از ضرب و تقسیم متغیرها و ثابت‌ها است. برای مثال، $$ 3 x ^ 2 $$ و $$ 3 x ^ 2 $$ و $$ - \frac {2y}3$$ و $$\sqrt 5 $$ و امثال این‌ها جمله هستند. جمله‌ها با علامت جمع یا تفریق از هم جدا می‌شوند. اعدادی که در متغیرها ضرب می‌شوند، ضریب (Coefficient) نام دارند.
اما تفاوت عبارت جبری و معادله چیست؟ معادله یک گزاره ریاضی است که تساوی دو عبارت را بیان می‌کند و این تساوی با علامت “=” نمایش داده می‌شود.
برای مثال، جمله زیر یک عبارت است:
$$ \large x ^ 2 + 1 $$
و جمله‌ای که در پایین آمده است، یک معادله را نشان می‌دهد:
$$ \large x ^ 2 + 1 = 5 $$
برای آشنایی بیشتر با معادله‌ها، به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:
- معادله چیست؟ — به زبان ساده
- انواع معادله ها در ریاضی — به زبان ساده
- حل معادله درجه اول + فرمول، مثال و حل مسئله
- حل معادله درجه دو — به زبان ساده + فیلم آموزش رایگان
مقدار عددی عبارت جبری
مقدار عددی یک عبارت جبری یعنی اینکه به‌ازای متغیرهای یک عبارت جبری عدد قرار دهیم و مقدار عددی عبارت جبری را حساب کنیم.
برای مثال، عبارت جبری $$a + 4 $$ را در نظر بگیرید. در صورتی که مقدار عددی $$ a $$ را داشته باشیم، می‌توانیم با جایگذاری آن در عبارت، مقدار عددی آن را به‌دست آوریم. مثلاً اگر $$ a = 10 $$ باشد، مقدار عددی عبارت جبری برابر خواهد بود با:
$$ \large 10 + 4 = 14$$
شاید جمله دیگری را نیز در کتاب‌ها یا امتحانات ببینید که این‌گونه است: «مقدار عبارت $$ a + 4 $$ را به‌ازای $$ a = 10 $$ به‌دست آورید.» این جمله نیز همان مفهوم را دارد.
نکته: دقت کنید که اگر بدون اطلاعات خاصی به ما بگویند حاصل عبارت $$ 2a + 5 $$ را به‌دست آورید، اشتباه است. زیرا چیزی نداریم که به‌جای $$ a $$ قرار دهیم. صحیح این است که بگوییم به‌ازای چه مقداری از متغیر $$ a$$. به زبان ساده‌تر، باید مقدار عددی $$ a $$ را داشته باشیم تا مقدار عددی عبارت جبری را محاسبه کنیم.
مثال‌های مقدار عددی یک عبارت جبری
در این بخش، مثال‌هایی از مقدار عددی عبارت جبری را بیان می‌کنیم.
مثال اول مقدار عددی یک عبارت جبری
جمله $$n$$اُم یک دنباله عددی $$ 2 n + 5 $$ است. جمله دهم این دنباله را پیدا کنید.
حل: در واقع، یک عبارت جبری $$ 2 n + 5 $$ را داریم که متغیر آن $$ n $$ است. وقتی می‌گوییم جمله دهم این دنباله را محاسبه کنیم، یعنی اینکه مقدار عددی عبارت جبری $$ 2 n + 5 $$را به‌ازای $$ n = 10 $$ محاسبه کنیم. بدین ترتیب، خواهیم داشت:
$$ \large (2 \times 10 ) + 5 = 20+5=25 $$
می‌بینیم که مقدار عددی عبارت جبری $$25$$ است. بنابراین، جمله دهم این الگو $$25$$ است.
مثال دوم مقدار عددی یک عبارت جبری
مقدار عددی عبارت جبری $$ 2 x y + 3 x ^ 2 $$ را به‌ازای $$ x = 1 $$ و $$y = 2 $$ به‌دست آورید.
حل: برای به‌دست آوردن مقدار عددی عبارت جبری کافی است به‌جای $$ x $$ مقدار $$1$$ و به‌جای $$ y $$ مقدار $$ 2$$ را در عبارت قرار دهیم:
$$\large 2 (1)(2)+3(1^2)=4+3=7$$
مثال سوم مقدار عددی یک عبارت جبری
مقدار عددی عبارت $$x ^ 2 + 1 $$ را به‌ازای $$ x = \frac 1 2 $$ به‌دست آورید.
حل: برای به‌دست آوردن مقدار عددی عبارت جبری، $$ \frac 12 $$ را به‌جای مقدار $$x$$ قرار می‌دهیم و خواهیم داشت:
$$ \large (\frac 12 ) ^ 2 + 1 = (\frac 12 ) (\frac 12 ) + 1 =( \frac {1\times 1 } {2\times 2})+1 =\frac 14 + 1 $$
اکنون باید جمع کسر و عدد را انجام دهیم. بدین منظور، از مخرج ک‌م‌م می‌گیریم و خواهیم داشت:
$$ \large \frac 1 4 + \frac {1\times 4}{4} = \frac 1 4 + \frac 44 = \frac {1+4} 4 = \frac 5 4 $$
این عدد کسری را می‌توان به‌شکل یک عدد مخلوط نیز نوشت:
$$ \frac 54 = \frac {4+1}{4} = \frac 44+\frac 14 = 1 + \frac 14 = 1\frac 14 $$
مثال چهارم مقدار عددی یک عبارت جبری
مقدار عددی عبارت جبری $$ \frac { x y }{ 3 x + 1 }$$ را به‌ازای $$ x = 2 $$ و $$ y = - 1 $$ به‌دست آورید.
حل: کافی است در عبارت، به‌جای $$ x $$ عدد $$ 2 $$ و به‌جای $$y$$ عدد $$-1$$ را قرار دهیم. بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large \frac { (2)(-1) }{ 3 (2) + 1 } = \frac {-2}{7}$$
مثال پنجم مقدار عددی یک عبارت جبری
مقدار عددی عبارت $$ 3 x \sqrt { 2 x +1}$$ را به‌ازای $$ x = 4 $$ محاسبه کنید.
با قرار دادن $$ x = 4 $$ در عبارت، خواهیم داشت:
$$ \large (3)(4) \sqrt { 2 (4) +1} = 12 \times \sqrt {8 + 1 } = 12 \sqrt 9 = 12 \times 3 = 36 $$
مثال ششم مقدار عددی یک عبارت جبری
عبارت زیر، به‌ازای چه مقداری از $$ x $$ برابر با $$12$$ است؟
$$ \large 3 x + 6 $$
حل: باید مقداری از $$ x $$ را پیدا کنیم که به‌ازای آن، حاصل عبارت برابر با $$ 12$$ باشد. این گفته را می‌توان این‌گونه نوشت:
$$ \large 3 x + 6 = 12 $$
همان‌طور که مشاهده می‌کنید، یک معادله داریم که باید از آن مقدار $$ x $$ را محاسبه کنیم. بدین منظور، عدد $$ 6 $$ را به سمت راست تساوی انتقال می‌دهیم. دقت کنید که علامت آن منفی می‌شود:
$$ \large 3 x = 12- 6 \\ \large 3 x = 6 $$
با تقسیم دو طرف مساوی اخیر بر $$ 3 $$، مقدار $$ x $$ به‌دست می‌آید:
$$ \large \frac { 3 x } 3 = \frac 6 3 \\ \large x = 2 $$
بنابراین، به‌ازای $$ x = 2 $$ مقدار عبارت داده‌شده برابر با $$ 12 $$ خواهد بود.
معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم
برای آشنایی بیشتر با مباحث درس ریاضی پایه هفتم، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس را مشاهده کنید که در ۱۳ ساعت و ۳ دقیقه تدوین شده و همه مباحث 14 درس کتاب درسی را به‌طور کامل پوشش می‌دهد. در فصل یکم این آموزش، راهبردهای حل مسئله معرفی می‌شود. فصل دوم درباره عددهای صحیح است. فصل سوم درباره جبر و معادله است. در فصل چهارم به هندسه و استدلال پرداخته شده است. موضوع فصل ششم سطح و حجم است. در فصل هفتم به توان و جذر پرداخته شده است. فصل هشتم به بردار و مختصات اختصاص یافته است و در نهایت، آمار و احتمال در فصل نهم معرفی می‌شود.
- برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم + اینجا کلیک کنید.
جمع‌بندی
در این آموزش، با روش به‌دست آوردن مقدار عددی عبارت جبری آشنا شدیم. همچنین، مثال‌های متنوعی را برای یادگیری بهتر این روش حل کردیم.
