مشتق تقسیم – توضیح به زبان ساده + مثال و تمرین

مشتق تقسیم دو تابع، با استفاده از یک قاعده مشخص تعیین می‌شود. اگر تابعی مانند f در صورت یک کسر قرار داشته و تابع دیگری مانند g در مخرج آن کسر قرار داشته باشد، مشتق این عبارت برابر با $$\frac { f ^ { \prime } g – g ^ { \prime } f }{ g ^ ۲ }$$ خواهد بود. این فرمول با عنوان قاعده خارج قسمت شناخته می‌شود. در این مقاله قصد داریم به آموزش نحوه محاسبه مشتق تقسیم انواع توابع با استفاده قاعده خارج قسمت و حل چندین مثال و تمرین متنوع در رابطه با این موضوع بپردازیم.

مشتق توابع مهم

پیش از شروع آموزش تعیین مشتق تقسیم دو یا چند تابع، ابتدا باید با نحوه مشتق‌گیری از توابع مختلف آشنا شد.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر، فرمول‌های مشتق برخی از مهم‌ترین انواع تابع در ریاضی را نمایش می‌دهد.

در مبحث مشتق، یک‌سری قواعد وجود دارند که مهم‌ترین آن‌ها را به طور خلاصه در جدول زیر آورده‌ایم.

در صورت علاقه به یادگیری بیشتر راجع به مشتق توابع ریاضی، مطالعه مطلب «فرمول های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. علاوه بر این، مطالعه مطالب زیر نیز می‌تواند به شما در تسلط بر مبحث مشتق‌گیری کمک کند:

• مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده
• روش‌های مشتق‌گیری — به همراه مثال
• مشتق زنجیره ای — به زبان ساده
• تابع معکوس مثلثاتی — به زبان ساده
• مشتق رادیکال — به زبان ساده
• مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین
• مشتق جزئی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• مشتق توابع برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فرمول مشتق تقسیم دو تابع چیست ؟

مشتق تقسیم دو تابع، با استفاده از «قاعده خارج قسمت» (Quotient Rule) به دست می‌آید. فرمول این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { f ^ { \prime } g – g ^ { \prime } f }{ g ^ ۲ }$$

برای درک این فرمول، کسر زیر را در نظر بگیرید:

$$\frac { f ( x ) } { g ( x ) }$$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

f و g، تابعی از متغیر x هستند. می‌خواهیم مشتق تقسیم $$f ( x )$$ بر $$g ( x )$$ را تعیین کنیم. به عبارت دیگر، به دنبال حاصل عبارت زیر هستیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) ^ { \prime }$$

بر اساس قاعده خارج قسمت، برای به دست آوردن حاصل عبارت بالا، به مشتق $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ نیاز داریم. این مشتق‌ها به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\frac { d } { d x } f ( x ) = f ^ { \prime } ( x )$$

$$\frac { d } { d x } g ( x ) = g ^ { \prime } ( x )$$

با جایگذاری توابع $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ به همراه مشتق‌هایشان در قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

$$\frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }$$

به همین ترتیب، اگر مشتق تقسیم تابع $$g ( x )$$ بر $$f ( x )$$ را بخواهیم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { g ( x ) } { f ( x ) } \right ) = \left ( \frac { g ( x ) } { f ( x ) } \right ) ^ { \prime } = \frac { g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) – f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) }{ f ( x ) ^ ۲ }$$

در مبحث مشتق، قاعده خارج قسمت با عبارت‌های جبری مختلفی نوشته می‌شود. برخی از رایج‌ترین روش‌های نمایش این قاعده عبارت هستند از:

$$y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }$$

$$\frac { d y } { d x } = \frac { v \frac { d u } { d x } – u \frac { d v } { d x } } { v ^ ۲ }$$

مثال ۱: اثبات فرمول مشتق تقسیم ۱ بر x

اثبات کنید مشتق $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ برابر با $$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ }$$ است.

به منظور اثبات مشتق تقسیم یک بر ایکس، از قاعده خارج قسمت کمک می‌گیریم. بر اساس این قاعده داریم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }$$

برای استفاده از رابطه بالا، صورت کسر $$\frac { ۱ } { x }$$ را برابر با $$u$$ و مخرج آن را برابر با $$v$$ قرار می‌دهیم:

$$u = ۱$$

$$v = x$$

از هر دو عبارت بالا مشتق می‌گیریم:

$$u ^ { \prime } = \frac { d } { d x } ۱ = ۰$$

$$v ^ { \prime } = \frac { d } { d x } x = ۱$$

اکنون، توابع و مشتق‌هایشان را درون فرمول قاعده خارج قسمت جایگذاری می‌کنیم، خواهیم داشت:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ( x \times ۰ ) \space – ( ۱ \times ۱ ) }{ x ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ \space – ۱ }{ x ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { - ۱ }{ x ^ ۲ }$$
$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }$$

به این ترتیب، مشتق تقسیم ۱ بر x را به دست آوردیم.

مشتق تقسیم توابع چند جمله ای

فرم کلی مشتق توابع چندجمله‌ای به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { d } { d x } \left ( a x ^ n \pm b x ^ { n - ۱ } \pm \space ... \space \pm c x \pm d \right ) = n a x ^ { n - ۱ } \pm ( n - ۱ ) b x ^ { n - ۱ } \pm \space ... \space \pm c$$