فرادرسحرکت دو بعدی در فیزیک — به زبان ساده
در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس با مفاهیم حرکت‌شناسی و حرکت خطی در یک بعد آشنا شدیم. همچنین مباحثی مانند حرکت غلتشی، حرکت دایره‌ای، حرکت روی سطح شیب‌دار، حرکت سقوط آزاد، حرکت پرتابی و حرکت هماهنگ ساده را بیان کردیم. در این آموزش، با حرکت دو بعدی روی سطح صاف آشنا می‌شویم.
موقعیت و مسیر در حرکت دو بعدی
فرض کنید جسمی در صفحه وجود دارد. موقعیت یا مکان این جسم را به صورت زیر نشان می‌دهیم:
$$ \large { \mathbf { r } = x \mathbf { i } + y \mathbf { j } } $$
که در آن، $$ x $$ و $$ y $$ مختصات کارتزین و $$ \mathbf {i}$$ و $$ \mathbf { j } $$، به ترتیب، بردارهای یکه در راستای محورهای $$ x $$ و $$ y $$ هستند. از آنجا که مختصات $$ x $$ و $$ y $$ به زمان وابسته‌اند، می‌توانیم بردار مکان را به فرم برداری زیر بنویسیم:
$$ \large { \mathbf { r } = x \left ( t \right ) \mathbf { i } + y \left ( t \right ) \mathbf { j } } . $$
این معادله برداری، مسیر ذره را مشخص می‌کند.
سرعت و تندی در حرکت دو بعدی
سرعت $$ \mathbf{v} $$ ذره به عنوان مشتق زمانی بردار مکان ذره تعریف می‌شود:
$$ \large { \mathbf { v } = \frac { { d \mathbf { r } } } { { d t } } } . $$
یا به فرم مختصاتی، داریم:
$$ \large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } , $$
که $$ {v_x} = \large{\frac{{dx}}{{dt}}}\normalsize $$ و $$ {v_y} = \large{\frac{{dy}}{{dt}}}\normalsize $$ مؤلفه‌های بردار سرعت هستند.
تندی $$ v $$ ذره، یک کمیت اسکالر یا نرده‌ای است و اندازه یا بزرگی سرعت را نشان می‌دهد:
$$ \large { { v = \sqrt { v _ x ^ 2 + v _ y ^ 2 } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } . } } $$
شتاب $$ \mathbf{a} $$ یک ذره، برابر با مشتق بردار سرعت آن نسبت به زمان است:
$$ \large { \mathbf { a } = \frac { { d \mathbf { v } } } { { d t } } } = \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { t ^ 2 } } } . $$
وقتی $$ \mathbf{v} $$ به فرم مختصاتی باشد، شتاب به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large { \mathbf { a } = \frac { { d { v _ x } } }{ { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d { v _ y } } } { { d t } } \mathbf { j } } = { \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } \mathbf { i } + \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } \mathbf { j } , } $$
که $$ { a _ x } = \large { \frac { {d { v _ x } } } { { d t } } } \normalsize = \large { \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } } \normalsize $$ و $$ \large { a _ y } = \large { \frac { { d { v _ y } } } { { d t } } } \normalsize = \large { \frac { { { d ^ 2 } y } }{ { d { t ^ 2 } } } } \normalsize $$ مؤلفه‌های بردار شتاب هستند.
اندازه شتاب به صورت زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large { a = \sqrt { a _ x ^ 2 + a _ y ^ 2 } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d { v _ x } } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d { v _ y } } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } . } $$
حرکت با شتاب ثابت
فرض کنید ذره یا جسمی با شتاب ثابت $$ \mathbf { a } $$ در حال حرکت باشد:
$$ \large { \mathbf { a } = \frac { { d \mathbf { v } } } { { d t } } = \text {const} . } $$
سرعت در لحظه $$t $$ به صورت زیر است:
$$ \large { \mathbf { v } \left ( t \right ) = { \mathbf { v } _ 0 } + \mathbf { a } t , } $$
که $$ {\mathbf{v}_0} $$ بردار سرعت اولیه در $$ t = 0 $$ است.
مکان در زمان $$ t $$ با معادله زیر بیان می‌شود:
$$ \large { \mathbf { r } \left ( t \right ) = { \mathbf { r } _ 0 } + { \mathbf { v } _ 0 } t + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { a } { t ^ 2 } } , $$
که در آن، $${\mathbf{r}_0} $$ مکان اولیه در $$ t = 0 $$ است.
حرکت سقوط آزاد
حرکت سقوط آزاد یک جسم با شتاب ثابت به دلیل جاذبه است. این جسم با سرعت زیر سقوط می‌کند:
$$ \large {\mathbf{a} = – g\mathbf{j}}, $$
که $$ g = 9.8\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\normalsize $$ شتاب ناشی از گرانش و $$\mathbf{j} $$ بردار یکه در جهت عمود به پایین است.
تندی قائم $$ v\left( t \right) $$ و مکان (یا ارتفاع) $$ y ( t) $$ در طی حرکت سقوط آزاد، با معادلات زیر بیان می‌شوند:
$$ \large { v \left ( t \right ) = { v _ 0 } – g t \; \; \left ( { \frac { \text {m} } { \text {s} } } \right ) } , $$
$$ \large {y\left( t \right) = {y_0} + {v_0}t – \frac{1}{2}g{t^2}\;\;\left({\text{m}}\right)}, $$
که $$ v _ 0 $$ تندی اولیه است.
مثال‌های حرکت دو بعدی
در این بخش، چند مثال متنوع را بررسی می‌کنیم.
مثال ۱
ذرهای در صفحه $$ x y $$ با معادلات $$ x = t $$ و $$ y = t ^ 3 $$ حرکت می‌کند که $$ x $$ و $$ y $$ برحسب متر هستند. سرعت و تندی ذره را در $$t = 1\,\text{s} $$ به دست آورید.
حل: طبق تعریف، سرعت برابر است با:
$$ \large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } , $$
که در آن:
$$ \large { \frac { { d x } } { { d t } } = \frac { d } { { d t} } \left ( t \right ) = 1 , \; \; } \kern0pt { \frac { { d y } } { { d t } } = \frac { d } { { d t } } \left ( { { t ^ 3 } } \right ) = 3 { t ^ 2 } . } $$
بنابراین، بردار سرعت در $$ t = 1 $$ به صورت زیر است:
$$ \large { \mathbf { v } \left ( { t = 1 } \right ) = \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } . } $$
و تندی در این زمان، برابر است با:
$$ \large { { \left | { \mathbf { v } } \right | = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \sqrt { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } } = { \sqrt { 1 0 } \, \frac { \text {m} } { \text {s} } . } $$
مثال ۲
جسمی روی یک مسیر با معادلات $$ x\left( t \right) = t + \cos t $$ و $$y\left( t \right) = t – \sin t $$ حرکت می‌کند. اندازه بردار شتاب را به دست آورید.
حل: برای به دست آوردن شتاب، از $$ x ( t ) $$ و $$ y ( t) $$ دو بار مشتق می‌گیریم:
$$ \large \begin {align*}
x ^ \prime \left ( t \right ) & = \left ( { t + \cos t } \right ) ^ \prime = { 1 – \sin t , } \\
x ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) & = \left ( { 1 – \sin t } \right ) ^ \prime = { – \cos t , } \\
y ^ \prime \left ( t \right ) & = \left ( { t – \sin t } \right ) ^ \prime = { 1 + \cos t , } \\
y ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) & = \left ( { 1 + \cos t } \right ) ^ \prime = { – \sin t . }
\end {align*} $$
اکنون می‌توانیم اندازه بردار شتاب را محاسبه کنیم:
$$ \large \begin {align*}
a = \left | \mathbf { a } \right | & = { \sqrt { { { \left ( { x ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } } } \\ & = { \sqrt { { { \left ( { – \cos t } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { – \sin t } \right ) } ^ 2 } } }\\ & = { \sqrt { { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } } = { 1 . }
\end {align*} $$
مثال ۳
ذرهای روی هذلولی $$ y = \large{\frac{{12}}{x}}\normalsize $$ در حال حرکت بوده و سرعت آن در راستای محور $$x$$ برابر با ۳ متر بر ثانیه است. تندی ذره را در $$ ( 3 , 4 ) $$ به دست آورید.
حل: ابتدا بردار سرعت ذره را با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آوریم:
$$ \large \mathbf { v } = \frac { { d x } } {{ d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } . $$
مشتق $$ \large{\frac{{dx}}{{dt}}}\normalsize $$ را می‌دانیم:
$$ \large \frac { { d x } } { { d t } } = 3 \, \frac { \text {m} } { \text {s} } . $$
عبارت $$ \large{\frac{{dy}}{{dt}}}\normalsize $$ را با استفاده از قاعده زنجیره‌ای حساب می‌کنیم:
$$ \large { \frac { { d y } } { { d t } } = \frac { d } { {d t } } \left ( { \frac { { 1 2 } } { x } } \right ) } = { – \frac { { 1 2 } } { { { x ^ 2 } } } \frac { { d x } } { { d t } } . } $$
در نقطه داده شده، داریم:
$$ \large \frac { { d y } } { { d t } } = – \frac { { 1 2 } }{ { { 3 ^ 2 } } } \cdot 3 = – 4 \, \frac { \text {m} } { \text {s} } . $$
و تندی ذره برابر است با:
$$ \large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { 3 ^ 2 } + { { \left ( { – 4 } \right ) } ^ 2 } } } = { 5 \, \frac { \text {m} } { \text {s} } . } $$
مثال ۴
ذرهای در راستای یک منحنی با معادلات $$x = 1 + t $$ و $$y = 1 – t $$ حرکت می‌کند. معادله $$ x y $$ مسیر حرکت ذره و تندی آن را به دست آورید.
حل: از معادله اول $$ t $$ را به دست آورده و در معادله دوم قرار می‌دهیم:
$$ \large { x = 1 + t , \; \; } \Rightarrow { t = x – 1 , \; \; } \Rightarrow { y = 1 – \left ( { x – 1 } \right ) , \; \; } \Rightarrow { y = 2 – x . } $$
بنابراین، مسیر ذره خط راست $$y = 2 – x $$ است. بردار سرعت به صورت زیر است:
$$ \large \begin{align*}
\frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 1 + t } \right ) = 1 , \\
\frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 1 – t } \right ) = – 1 .
\end {align*} $$
در نتیجه، داریم:
$$ \large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } = { 1 \cdot \mathbf { i } + \left ( { – 1 } \right ) \cdot \mathbf { j } } = { \mathbf { i } – \mathbf { j } . } $$
تندی نیز به شکل زیر به دست می‌آید:
$$ \large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { 1 ^ 2 } + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt 2 . } $$
و در نهایت، جواب برابر است با:
$$ \large y = 2 – x,\;v = \sqrt 2 . $$
مثال ۵
ذرهای روی یک مسیر با معادلات پارامتری $$x\left( t \right) = {2^t} $$ و $$y\left( t \right) = {8^t} $$ در $$ t \ge 0 $$ حرکت می‌کند. شکل مسیر حرکت چگونه است؟
حل: از معادله اول، داریم:
$$ \large { x \left ( t \right ) = { 2 ^ t } , \; \; } \Rightarrow { t = { \log _ 2 } x . } $$
این عبارت را در معادله دوم جایگذاری کرده و معادله $$ x y $$ منحنی را به دست می‌آوریم:
$$ \large { y = { 8 ^ t } , \; \; } \Rightarrow { y = { 8 ^ { { { \log } _ 2 } x } } } = { { \left ( { { 2 ^ 3 } } \right ) ^ { { { \log } _ 2 } x } } } = { { 2 ^ { { { \log } _ 2 } { x ^ 3 } } } } = { { x ^ 3 } . } $$
از آنجا که $$t \ge 0 $$ است، $$x \ge {2^0} = 1 $$ خواهد بود.
در نتیجه، منحنی سهمی $$y = x ^ 3 $$ است که در آن، $$x \ge 1 $$.
مثال ۶
مکان یک ذره با معادلات $$ x \left ( t \right ) = \large { \frac { 1 } { 2 } } \normalsize – { t ^ 2 } $$ و $$ \large y \left ( t \right ) = \sqrt 2 t $$ داده شده که $$ x $$ و $$ y $$ برحسب متر هستند. فاصله $$ d $$ از مبدأ را به عنوان تابعی از $$ t $$ به دست آورید.
حل: فاصله از مبدأ به صورت زیر تعریف می‌شود:
$$ \large d \left ( t \right ) = \sqrt { { x ^ 2 } \left ( t \right ) + { y ^ 2 } \left ( t \right ) } . $$
با جایگذاری $$ x ( t) $$ و $$ y ( t) $$، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {align*} d \left ( t \right ) & = \sqrt { { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } – { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \sqrt 2 t } \right ) } ^ 2 } } = { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } – { t ^ 2 } + { t ^ 4 } + 2 { t ^ 2 } } } \\ & = { \sqrt { { t ^ 4 } + { t ^ 2 } + \frac { 1 } { 4 } } } = { \sqrt { { { \left ( { { t ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } = { { { t ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \, \left ( \text {m} \right ) . } \end {align*} $$
مثال ۷
ذرهای روی یک منحنی با معادلات $$ x = \tan t $$ و $$ y = \sec t $$ حرکت می‌کند. تندی این ذره را در $$ t = \large{\frac{\pi }{6}}\normalsize $$ به دست آورید.
حل: از $$ x $$ و $$ y $$ نسبت به $$ t $$ مشتق می‌گیریم:
$$ \large \begin {align*} \frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { \tan t } \right ) = \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } t } } , \\
\frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { \sec t } \right ) = { \frac { d } { { d t } } \left ( { \frac { 1 } { { \cos t } } } \right ) } = { – \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } t } } \cdot \left ( { – \sin t } \right ) } = { \frac { { \sin t } } { { { { \cos } ^ 2 } t } } . }
\end {align*} $$
برای محاسبه تندی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } . $$
بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { \sin t } } { { { { \cos } ^ 2 } t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \frac { { \sqrt { 1 + { { \sin } ^ 2 } t } } } { { { { \cos } ^ 2 } t } } . } $$
با جایگذاری $$ t = \large{\frac{\pi }{6}}\normalsize $$، مقدار عددی تندی به دست خواهد آمد:
$$ \large { v = \frac { { \sqrt { 1 + { { \sin } ^ 2 } \frac { \pi } { 6 } } } } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { \pi } { 6 } } } } = { \frac { { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } { { { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } } } } { { \frac { 3 } { 4 } } } } = { \frac { { \frac { { \sqrt 5 } } { 2 } } } { { \frac { 3 } { 4 } } } } = { \frac { { 2 \sqrt 5 } } { 3 } . } $$
مثال ۸
ذرهای در صفحه $$ x y $$ با معادلات $$x\left( t \right) = 3{t^3} – 3{t^2} $$ و $$y\left( t \right) = 20{t^2} + 2t $$ در زمان $$ t \ge 0 $$ حرکت می‌کند که در آن، $$ x $$ و $$ y $$ برحسب متر و $$ t $$ برحسب ثانیه است. اندازه شتاب را در $$t = 2\,\text{s} $$ به دست آورید.
حل: ابتدا سرعت ذره را به دست می‌آوریم:
$$ \large \begin {align*} \frac { { d x } } { {d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 3 { t ^ 3 } – 3 { t ^ 2 } } \right ) = { 9 { t ^ 2 } – 6 t , } \\
\frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 2 0 { t ^ 2 } + 2 t } \right ) = { 4 0 t + 2 . }
\end {align*} $$
بنابراین، بردار سرعت به صورت زیر است:
$$ \large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } = { \left ( { 9 { t ^ 2 } – 6 t } \right ) \mathbf { i } } + { \left ( { 4 0 t + 2 } \right ) \mathbf { j } . } $$
یک بار دیگر مشتق می‌گیریم و شتاب را حساب می‌کنیم:
$$ \large \begin {align*} \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 9 { t ^ 2 } – 6 t } \right ) = { 1 8 t – 6 , } \\
\frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } & = \frac { d }{ { d t } } \left ( { 4 0 t + 2 } \right ) = { 4 0 . } \end {align*} $$
بنابراین:
$$ \large \mathbf { a } = \frac { { { d ^ 2 } x } }{ { d { t ^ 2 } } } \mathbf { i } + \frac { { { d ^ 2 } y } }{ { d { t ^ 2 } } } \mathbf { j } = \left ( { 1 8 t – 6 } \right ) \mathbf { i } + 4 0 \mathbf { j } . $$
زمان $$ t = 2\,\text{s} $$ را جایگذاری می‌کنیم و داریم:
$$ \large \mathbf { a } = 3 0 \mathbf { i } + 4 0 \mathbf { j } . $$
در نتیجه، اندازه بردار شتاب برابر است با:
$$ \large { a = \left | \mathbf { a } \right | = \sqrt { { { 3 0 } ^ 2 } + { { 4 0 } ^ 2 } } } = { 5 0 \, \frac { \text {m} } {{{\text{s}^2}}}.} $$
مثال ۹
توپی با تندی $$ {v_0} = 19.6\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\normalsize $$ پرتاب می‌شود.
(الف) چه زمانی طول می‌کشد توپ به زمین برخورد کند؟ شتاب گرانشی را $$ 9.8\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\normalsize $$ در نظر بگیرید.
(ب) حداکثر ارتفاع توپ نسبت به زمین چقدر است؟
حل (الف): مختصات $$ y $$ توپ به صورت زیر بیان می‌شود:
$$ \large y \left ( t \right ) = { v _ 0 } t – \frac { { g { t ^ 2 } } }{ 2 } . $$
وقتی توپ به زمین برخورد کند، $$ y $$ برابر با صفر است. بنابراین، داریم:
$$ \large { y \left ( t \right ) = { v _ 0 } t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } } = { 0 . } $$
معادله را برای $$ t $$ حل می‌کنیم:
$$ \large { t \left ( { { v _ 0 } – \frac { { g t } } { 2 } } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { t _ 1 } = 0 , \; } \kern0pt { { t _ 2 } = \frac { { 2 { v _ 0 } } } { g } . } $$
ریشه دوم، لحظه‌ای را نشان می‌دهد که توپ به زمین برخورد می‌کند:
$$ \large { { t _ 2 } = \frac { { 2 { v _ 0 } } } { g } } = { \frac { { 2 \cdot 1 9 . 6 } } { { 9 . 8 } } } = { 4 \, \text {s} . } $$
حل (ب): زمان رسیدن توپ به نقطه حداکثر ارتفاع، از معادله $$v\left( t \right) = 0 $$ قابل محاسبه است. بنابراین، داریم:
$$ \large { v \left ( t \right ) = { v _ 0 } – g t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { { { v _ 0 } } } { g } . } $$
حداکثر ارتفاع برابر است با:
$$ \large \begin {align*} { y _ { \max } } & = { v _ 0 } t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } = { { v _ 0 } \left ( { \frac { { { v _ 0 } } } { g } } \right ) – \frac { g } { 2 } { \left ( { \frac { { { v _ 0 } } } { g } } \right ) ^ 2 } } \\ & = { \frac { { v _ 0 ^ 2 } } { g } – \frac { { v _ 0 ^ 2 } } { { 2 g } } } = { \frac { { v _ 0 ^ 2 } } { { 2 g} } } = { \frac { { { { \left ( { 1 9 . 6 } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 \cdot 9 . 8 } } } = { 1 9 . 6 \, \text {m} } \end {align*} $$
مثال ۱۰
دو توپ در نقطه یکسانی قرار دارند و با سرعت‌های اولیه $${v_{10}} = 4\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\normalsize $$ و $${v_{20}} = 9\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\normalsize $$ مطابق شکل ۴ پرتاب می‌شوند. وقتی بردار سرعت دو توپ بر یکدیگر عمود می‌شود، فاصله $$ d $$ بین آن‌ها را به دست آورید.
حل: ابتدا مؤلفه‌های سرعت توپ‌ها را می‌نویسیم:
$$ \large { { v _ { 1 x } } = – { v _ { 1 0 } } , \; } \kern0pt { { v _ { 1 y } } = – g t , } \\
\large { { v _ { 2 x } } = { v _ { 2 0 } } , \; } \kern0pt { { v _ { 2 y } } = – g t . } $$
بنابراین، بردارهای سرعت به شکل زیر هستند:
$$ \large { \mathbf { v } _ 1 } = – { v _ { 1 0 } } \mathbf { i } – g t \mathbf { j } , \\ \large { \mathbf { v } _ 2 } = { v _ { 2 0 } } \mathbf { i } – g t \mathbf { j } . $$
وقتی بردارهای سرعت عمود بر هم باشند، ضرب نقطه‌ای آن‌ها برابر با صفر است و بنابراین، داریم:
$$ \large \begin {align*}
& { \mathbf { v } _ 1 } \bot { \mathbf { v } _ 2 } , \; \; \Rightarrow { { \mathbf { v } _ 1 } \cdot { \mathbf { v } _ 2 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { \left ( { – { v _ { 1 0 } } } \right ){ v _ { 2 0 } } + \left ( { – g t } \right ) \left ( { – g t } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { g ^ 2 } { t ^ 2 } = { v _ { 1 0 } } { v _ { 2 0 } } , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { { \sqrt { { v _ { 1 0 } } { v _ { 2 0 } } } } } { g } . }
\end {align*} $$
از آنجا که مؤلفه‌های قائم سرعت دو توپ یکسان است، همواره در ارتفاع یکسانی قرار دارند. بنابراین، خط فاصله $$ d $$ افقی است. در نتیجه، فاصله بین دو توپ در لحظه $$ t = \large{\frac{{\sqrt {{v_{10}}{v_{20}}} }}{g}}\normalsize $$ برابر است با:
$$ \large { d = { v _ { 1 0 } } t + { v _ { 2 0 } } t } = { \left ( { { v _ { 1 0 } } + { v _ { 2 0 } } } \right ) t } = { \left ( { { v _ { 1 0 } } + { v _ { 2 0 } } } \right ) \frac { { \sqrt { { v _ { 1 0 } } { v _ {2 0 } }} } } { g } . } $$
و در نهایت، با قرار دادن مقادیر معلوم، خواهیم داشت:
$$ \large { d = \left ( { 4 + 9 } \right ) \frac { { \sqrt { 4 \cdot 9 } } } { { 9 . 8 } } } = { 7 . 9 6 \, \text {m} } $$
مثال ۱۱
ذرهای در صفحه $$ x y $$ با معادلات $$ x = at $$ و $$ y = b t ^ 2 $$ در حال حرکت است ($$ a , b > 0 $$).
(لف) مسیر $$ y ( x ) $$ ذره را مشخص کرده و آن را رسم کنید.
(ب) تندی ذره را به عنوان تابعی از زمان بیان کنید.
(ج) زاویه $$ \varphi $$ بین بردار سرعت و محور $$ x $$ را تعیین کنید.
حل (الف): از معادله اول $$ t $$ را به دست آورده و در معادله دوم قرار می‌دهیم:
$$ \large { x = a t , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { x } { a } , \; \; } \Rightarrow { y = b { \left ( { \frac { x } { a } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { b } { { {a ^ 2 } } } { x ^ 2 } . } $$
بنابراین، مسیر ذره شاخه سمت راست سهمی $$ y = \frac{b}{{{a^2}}}{x^2} $$ است.
حل (ب): برای تعیین تندی ذره، ابتدا از مختصات $$ x $$ و $$ y $$ نسبت به $$ t $$ مشتق می‌گیریم:
$$ \large \begin {align*} \frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { a t } \right ) = a , \\
\frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { b { t ^ 2 } } \right ) = 2 b t . \end {align*} $$
بنابراین، بردار سرعت به صورت زیر است:
$$ \large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } = { a \mathbf { i } + 2 b t \mathbf { j } . } $$
از آنجا که تندی قدر مطلق سرعت است، داریم:
$$ \large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { {d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { a ^ 2 } + 4 { b ^ 2 } { t ^ 2 } } . } $$
حل (ج): بردار سرعت به فرم زیر است:
$$ \large \mathbf { v } = a \mathbf { i } + 2 b t \mathbf { j } . $$
بنابراین، شیب زاویه $$ \varphi $$ برابر است با:
$$ \large \tan \varphi = \frac { { 2 b t } } { a } . $$
و خود زاویه به صورت زیر به دست خواهد آمد:
$$ \large \varphi = \arctan \left ( { \frac { { 2 b t } } { a } } \right ) . $$
اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
بسیار عالی به خاطر سایت خوبتون