حرکت دو بعدی در فیزیک — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس با مفاهیم حرکت‌شناسی و حرکت خطی در یک بعد آشنا شدیم. همچنین مباحثی مانند حرکت غلتشی، حرکت دایره‌ای، حرکت روی سطح شیب‌دار، حرکت سقوط آزاد، حرکت پرتابی و حرکت هماهنگ ساده را بیان کردیم. در این آموزش، با حرکت دو بعدی روی سطح صاف آشنا می‌شویم.

موقعیت و مسیر در حرکت دو بعدی

فرض کنید جسمی در صفحه وجود دارد. موقعیت یا مکان این جسم را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

$$\large { \mathbf { r } = x \mathbf { i } + y \mathbf { j } }$$

که در آن، $$x$$ و $$y$$ مختصات کارتزین و $$\mathbf {i}$$ و $$\mathbf { j }$$، به ترتیب،‌ بردارهای یکه در راستای محورهای $$x$$ و $$y$$ هستند. از آنجا که مختصات $$x$$ و $$y$$ به زمان وابسته‌اند، می‌توانیم بردار مکان را به فرم برداری زیر بنویسیم:

$$\large { \mathbf { r } = x \left ( t \right ) \mathbf { i } + y \left ( t \right ) \mathbf { j } } .$$

این معادله برداری، مسیر ذره را مشخص می‌کند.

سرعت و تندی در حرکت دو بعدی

سرعت $$\mathbf{v}$$ ذره به عنوان مشتق زمانی بردار مکان ذره تعریف می‌شود:

$$\large { \mathbf { v } = \frac { { d \mathbf { r } } } { { d t } } } .$$

یا به فرم مختصاتی، داریم:

$$\large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } ,$$

که $${v_x} = \large{\frac{{dx}}{{dt}}}\normalsize$$ و $${v_y} = \large{\frac{{dy}}{{dt}}}\normalsize$$ مؤلفه‌های بردار سرعت هستند.

تندی $$v$$ ذره، یک کمیت اسکالر یا نرده‌ای است و اندازه یا بزرگی سرعت را نشان می‌دهد:

$$\large { { v = \sqrt { v _ x ^ 2 + v _ y ^ 2 } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } . } }$$

شتاب $$\mathbf{a}$$ یک ذره، برابر با مشتق بردار سرعت آن نسبت به زمان است:

$$\large { \mathbf { a } = \frac { { d \mathbf { v } } } { { d t } } } = \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { t ^ 2 } } } .$$

وقتی $$\mathbf{v}$$ به فرم مختصاتی باشد، شتاب به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { \mathbf { a } = \frac { { d { v _ x } } }{ { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d { v _ y } } } { { d t } } \mathbf { j } } = { \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } \mathbf { i } + \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } \mathbf { j } , }$$

که $${ a _ x } = \large { \frac { {d { v _ x } } } { { d t } } } \normalsize = \large { \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } } \normalsize$$ و $$\large { a _ y } = \large { \frac { { d { v _ y } } } { { d t } } } \normalsize = \large { \frac { { { d ^ 2 } y } }{ { d { t ^ 2 } } } } \normalsize$$ مؤلفه‌های بردار شتاب هستند.

اندازه شتاب به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { a = \sqrt { a _ x ^ 2 + a _ y ^ 2 } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d { v _ x } } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d { v _ y } } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } . }$$

حرکت با شتاب ثابت

فرض کنید ذره یا جسمی با شتاب ثابت $$\mathbf { a }$$ در حال حرکت باشد:

$$\large { \mathbf { a } = \frac { { d \mathbf { v } } } { { d t } } = \text {const} . }$$

سرعت در لحظه $$t$$ به صورت زیر است:

$$\large { \mathbf { v } \left ( t \right ) = { \mathbf { v } _  0 } +   \mathbf { a }  t , }$$

که $${\mathbf{v}_0}$$ بردار سرعت اولیه در $$t = 0$$ است.

مکان در زمان $$t$$ با معادله زیر بیان می‌شود:

$$\large { \mathbf { r } \left ( t \right ) = { \mathbf { r } _ 0 } + { \mathbf { v } _ 0 } t + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { a } { t ^ 2 } } ,$$

که در آن، $${\mathbf{r}_0}$$ مکان اولیه در $$t = 0$$ است.

حرکت سقوط آزاد

حرکت سقوط آزاد یک جسم با شتاب ثابت به دلیل جاذبه است. این جسم با سرعت زیر سقوط می‌کند:

$$\large {\mathbf{a} = – g\mathbf{j}},$$

که $$g = 9.8\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\normalsize$$ شتاب ناشی از گرانش و $$\mathbf{j}$$ بردار یکه در جهت عمود به پایین است.

تندی قائم $$v\left( t \right)$$ و مکان (یا ارتفاع) $$y ( t)$$ در طی حرکت سقوط آزاد، با معادلات زیر بیان می‌شوند:

$$\large { v \left ( t \right ) = { v _ 0 } – g t \; \; \left ( { \frac { \text {m} } { \text {s} } } \right ) } ,$$

$$\large {y\left( t \right) = {y_0} + {v_0}t – \frac{1}{2}g{t^2}\;\;\left({\text{m}}\right)},$$

که $$v _ 0$$ تندی اولیه است.

مثال‌های حرکت دو بعدی

در این بخش، چند مثال متنوع را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

ذره‌ای در صفحه $$x y$$ با معادلات $$x = t$$ و $$y = t ^ 3$$ حرکت می‌کند که $$x$$ و $$y$$ برحسب متر هستند. سرعت و تندی ذره را در $$t = 1\,\text{s}$$ به دست آورید.

حل: طبق تعریف،‌ سرعت برابر است با:

$$\large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } ,$$

که در آن:

$$\large { \frac { { d x } } { { d t } } = \frac { d } { { d t} } \left ( t \right ) = 1 , \; \; } \kern0pt { \frac { { d y } } { { d t } } = \frac { d } { { d t } } \left ( { { t ^ 3 } } \right ) = 3 { t ^ 2 } . }$$

بنابراین، بردار سرعت در $$t = 1$$ به صورت زیر است:

$$\large { \mathbf { v } \left ( { t = 1 } \right ) = \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } . }$$

و تندی در این زمان، برابر است با:

$$\large { { \left | { \mathbf { v } } \right | = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \sqrt { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } } = { \sqrt { 1 0 } \, \frac { \text {m} } { \text {s} } . }$$

مثال ۲

جسمی روی یک مسیر با معادلات $$x\left( t \right) = t + \cos t$$ و $$y\left( t \right) = t – \sin t$$ حرکت می‌کند. اندازه بردار شتاب را به دست آورید.

حل: برای به دست آوردن شتاب، از $$x ( t )$$ و $$y ( t)$$ دو بار مشتق می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} x ^ \prime \left ( t \right ) & = \left ( { t + \cos t } \right ) ^ \prime = { 1 – \sin t , } \\ x ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) & = \left ( { 1 – \sin t } \right ) ^ \prime = { – \cos t , } \\ y ^ \prime \left ( t \right ) & = \left ( { t – \sin t } \right ) ^ \prime = { 1 + \cos t , } \\ y ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) & = \left ( { 1 + \cos t } \right ) ^ \prime = { – \sin t . } \end {align*}$$

اکنون می‌توانیم اندازه بردار شتاب را محاسبه کنیم:

$$\large \begin {align*} a = \left | \mathbf { a } \right | & = { \sqrt { { { \left ( { x ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } } } \\ & = { \sqrt { { { \left ( { – \cos t } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { – \sin t } \right ) } ^ 2 } } }\\ & = { \sqrt { { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } } = { 1 . } \end {align*}$$

مثال ۳

ذره‌ای روی هذلولی $$y = \large{\frac{{12}}{x}}\normalsize$$ در حال حرکت بوده و سرعت آن در راستای محور $$x$$ برابر با ۳ متر بر ثانیه است. تندی ذره را در $$( 3 , 4 )$$ به دست آورید.

حل: ابتدا بردار سرعت ذره را با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آوریم:

$$\large \mathbf { v } = \frac { { d x } } {{ d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } .$$

مشتق $$\large{\frac{{dx}}{{dt}}}\normalsize$$ را می‌دانیم:

$$\large \frac { { d x } } { { d t } } = 3 \, \frac { \text {m} } { \text {s} } .$$

عبارت $$\large{\frac{{dy}}{{dt}}}\normalsize$$ را با استفاده از قاعده زنجیره‌ای حساب می‌کنیم:

$$\large { \frac { { d y } } { { d t } } = \frac { d } { {d t } } \left ( { \frac { { 1 2 } } { x } } \right ) } = { – \frac { { 1 2 } } { { { x ^ 2 } } } \frac { { d x } } { { d t } } . }$$

در نقطه داده شده، داریم:

$$\large \frac { { d y } } { { d t } } = – \frac { { 1 2 } }{ { { 3 ^ 2 } } } \cdot 3 = – 4 \, \frac { \text {m} } { \text {s} } .$$

و تندی ذره برابر است با:

$$\large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { 3 ^ 2 } + { { \left ( { – 4 } \right ) } ^ 2 } } } = { 5 \, \frac { \text {m} } { \text {s} } . }$$

مثال ۴

ذره‌‌ای در راستای یک منحنی با معادلات $$x = 1 + t$$ و $$y = 1 – t$$ حرکت می‌کند. معادله $$x y$$ مسیر حرکت ذره و تندی آن را به دست آورید.

حل: از معادله اول $$t$$ را به دست آورده و در معادله دوم قرار می‌دهیم:

$$\large { x = 1 + t , \; \; } \Rightarrow { t = x – 1 , \; \; } \Rightarrow { y = 1 – \left ( { x – 1 } \right ) , \; \; } \Rightarrow { y = 2 – x . }$$

بنابراین، مسیر ذره خط راست $$y = 2 – x$$ است. بردار سرعت به صورت زیر است:

$$\large \begin{align*} \frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 1 + t } \right ) = 1 , \\ \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 1 – t } \right ) = – 1 . \end {align*}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } = { 1 \cdot \mathbf { i } + \left ( { – 1 } \right ) \cdot \mathbf { j } } = { \mathbf { i } – \mathbf { j } . }$$

تندی نیز به شکل زیر به دست می‌آید:

$$\large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { 1 ^ 2 } + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt 2 . }$$

و در نهایت، جواب برابر است با:

$$\large y = 2 – x,\;v = \sqrt 2 .$$

مثال ۵

ذره‌ای روی یک مسیر با معادلات پارامتری $$x\left( t \right) = {2^t}$$ و $$y\left( t \right) = {8^t}$$ در $$t \ge 0$$ حرکت می‌کند. شکل مسیر حرکت چگونه است؟

حل: از معادله اول، داریم:

$$\large { x \left ( t \right ) = { 2 ^ t } , \; \; } \Rightarrow { t = { \log _ 2 } x . }$$

این عبارت را در معادله دوم جایگذاری کرده و معادله $$x y$$ منحنی را به دست می‌آوریم:

$$\large { y = { 8 ^ t } , \; \; } \Rightarrow { y = { 8 ^ { { { \log } _ 2 } x } } } = { { \left ( { { 2 ^ 3 } } \right ) ^ { { { \log } _ 2 } x } } } = { { 2 ^ { { { \log } _ 2 } { x ^ 3 } } } } = { { x ^ 3 } . }$$

از آنجا که $$t \ge 0$$ است، $$x \ge {2^0} = 1$$ خواهد بود.

در نتیجه، منحنی سهمی $$y = x ^ 3$$ است که در آن، $$x \ge 1$$.

مثال ۶

مکان یک ذره با معادلات $$x \left ( t \right ) = \large { \frac { 1 } { 2 } } \normalsize – { t ^ 2 }$$ و $$\large y \left ( t \right ) = \sqrt 2 t$$ داده شده که $$x$$ و $$y$$ برحسب متر هستند. فاصله $$d$$ از مبدأ را به عنوان تابعی از $$t$$ به دست آورید.

حل: فاصله از مبدأ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large d \left ( t \right ) = \sqrt { { x ^ 2 } \left ( t \right ) + { y ^ 2 } \left ( t \right ) } .$$

با جایگذاری $$x ( t)$$ و $$y ( t)$$، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} d \left ( t \right ) & = \sqrt { { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } – { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \sqrt 2 t } \right ) } ^ 2 } } = { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } – { t ^ 2 } + { t ^ 4 } + 2 { t ^ 2 } } } \\ & = { \sqrt { { t ^ 4 } + { t ^ 2 } + \frac { 1 } { 4 } } } = { \sqrt { { { \left ( { { t ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } = { { { t ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \, \left ( \text {m} \right ) . } \end {align*}$$

مثال ۷

ذره‌ای روی یک منحنی با معادلات $$x = \tan t$$ و $$y = \sec t$$ حرکت می‌کند. تندی این ذره را در $$t = \large{\frac{\pi }{6}}\normalsize$$ به دست آورید.

حل: از $$x$$ و $$y$$ نسبت به $$t$$ مشتق می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} \frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { \tan t } \right ) = \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } t } } , \\ \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { \sec t } \right ) = { \frac { d } { { d t } } \left ( { \frac { 1 } { { \cos t } } } \right ) } = { – \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } t } } \cdot \left ( { – \sin t } \right ) } = { \frac { { \sin t } } { { { { \cos } ^ 2 } t } } . } \end {align*}$$

برای محاسبه تندی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } .$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { \sin t } } { { { { \cos } ^ 2 } t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \frac { { \sqrt { 1 + { { \sin } ^ 2 } t } } } { { { { \cos } ^ 2 } t } } . }$$

با جایگذاری $$t = \large{\frac{\pi }{6}}\normalsize$$،‌ مقدار عددی تندی به دست خواهد آمد:‌

$$\large { v = \frac { { \sqrt { 1 + { { \sin } ^ 2 } \frac { \pi } { 6 } } } } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { \pi } { 6 } } } } = { \frac { { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } { { { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } } } } { { \frac { 3 } { 4 } } } } = { \frac { { \frac { { \sqrt 5 } } { 2 } } } { { \frac { 3 } { 4 } } } } = { \frac { { 2 \sqrt 5 } } { 3 } . }$$

مثال ۸

ذره‌ای در صفحه $$x y$$ با معادلات $$x\left( t \right) = 3{t^3} – 3{t^2}$$ و $$y\left( t \right) = 20{t^2} + 2t$$ در زمان $$t \ge 0$$ حرکت می‌کند که در آن، $$x$$ و $$y$$ برحسب متر و $$t$$ برحسب ثانیه است. اندازه شتاب را در $$t = 2\,\text{s}$$ به دست آورید.

حل: ابتدا سرعت ذره را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} \frac { { d x } } { {d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 3 { t ^ 3 } – 3 { t ^ 2 } } \right ) = { 9 { t ^ 2 } – 6 t , } \\ \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 2 0 { t ^ 2 } + 2 t } \right ) = { 4 0 t + 2 . } \end {align*}$$

بنابراین، بردار سرعت به صورت زیر است:

$$\large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } = { \left ( { 9 { t ^ 2 } – 6 t } \right ) \mathbf { i } } + { \left ( { 4 0 t + 2 } \right ) \mathbf { j } . }$$

یک بار دیگر مشتق می‌گیریم و شتاب را حساب می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \frac { { { d ^ 2 } x } } { { d { t ^ 2 } } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { 9 { t ^ 2 } – 6 t } \right ) = { 1 8 t – 6 , } \\ \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } & = \frac { d }{ { d t } } \left ( { 4 0 t + 2 } \right ) = { 4 0 . } \end {align*}$$

بنابراین:

$$\large \mathbf { a } = \frac { { { d ^ 2 } x } }{ { d { t ^ 2 } } } \mathbf { i } + \frac { { { d ^ 2 } y } }{ { d { t ^ 2 } } } \mathbf { j } = \left ( { 1 8 t – 6 } \right ) \mathbf { i } + 4 0 \mathbf { j } .$$

زمان $$t = 2\,\text{s}$$ را جایگذاری می‌کنیم و داریم:

$$\large \mathbf { a } = 3 0 \mathbf { i } + 4 0 \mathbf { j } .$$

در نتیجه، اندازه بردار شتاب برابر است با:

$$\large { a = \left | \mathbf { a } \right | = \sqrt { { { 3 0 } ^ 2 } + { { 4 0 } ^ 2 } } } = { 5 0 \, \frac { \text {m} } {{{\text{s}^2}}}.}$$

مثال ۹

توپی با تندی $${v_0} = 19.6\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\normalsize$$ پرتاب می‌شود.

(الف) چه زمانی طول می‌کشد توپ به زمین برخورد کند؟ شتاب گرانشی را $$9.8\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\normalsize$$ در نظر بگیرید.

(ب)‌ حداکثر ارتفاع توپ نسبت به زمین چقدر است؟

حل (الف): مختصات $$y$$ توپ به صورت زیر بیان می‌شود:

$$\large y \left ( t \right ) = { v _ 0 } t – \frac { { g { t ^ 2 } } }{ 2 } .$$

وقتی توپ به زمین برخورد کند، $$y$$ برابر با صفر است. بنابراین، داریم:‌

$$\large { y \left ( t \right ) = { v _ 0 } t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } } = { 0 . }$$

معادله را برای $$t$$ حل می‌کنیم:

$$\large { t \left ( { { v _ 0 } – \frac { { g t } } { 2 } } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { t _ 1 } = 0 , \; } \kern0pt { { t _ 2 } = \frac { { 2 { v _ 0 } } } { g } . }$$

ریشه دوم، لحظه‌ای را نشان می‌دهد که توپ به زمین برخورد می‌کند:

$$\large { { t _ 2 } = \frac { { 2 { v _ 0 } } } { g } } = { \frac { { 2 \cdot 1 9 . 6 } } { { 9 . 8 } } } = { 4 \, \text {s} . }$$

حل (ب): زمان رسیدن توپ به نقطه حداکثر ارتفاع، از معادله $$v\left( t \right) = 0$$ قابل محاسبه است. بنابراین، داریم:

$$\large { v \left ( t \right ) = { v _ 0 } – g t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { { { v _ 0 } } } { g } . }$$

حداکثر ارتفاع برابر است با:

$$\large \begin {align*} { y _ { \max } } & = { v _ 0 } t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } = { { v _ 0 } \left ( { \frac { { { v _ 0 } } } { g } } \right ) – \frac { g } { 2 } { \left ( { \frac { { { v _ 0 } } } { g } } \right ) ^ 2 } } \\ & = { \frac { { v _ 0 ^ 2 } } { g } – \frac { { v _ 0 ^ 2 } } { { 2 g } } } = { \frac { { v _ 0 ^ 2 } } { { 2 g} } } = { \frac { { { { \left ( { 1 9 . 6 } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 \cdot 9 . 8 } } } = { 1 9 . 6 \, \text {m} } \end {align*}$$

مثال ۱۰

دو توپ در نقطه یکسانی قرار دارند و با سرعت‌های اولیه $${v_{10}} = 4\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\normalsize$$ و $${v_{20}} = 9\,\large{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\normalsize$$ مطابق شکل ۴ پرتاب می‌شوند. وقتی بردار سرعت دو توپ بر یکدیگر عمود می‌شود، فاصله $$d$$ بین آن‌ها را به دست آورید.

حل: ابتدا مؤلفه‌های سرعت توپ‌ها را می‌نویسیم:

$$\large { { v _ { 1 x } } = – { v _ { 1 0 } } , \; } \kern0pt { { v _ { 1 y } } = – g t , } \\ \large { { v _ { 2 x } } = { v _ { 2 0 } } , \; } \kern0pt { { v _ { 2 y } } = – g t . }$$

بنابراین، بردارهای سرعت به شکل زیر هستند:

$$\large { \mathbf { v } _ 1 } = – { v _ { 1 0 } } \mathbf { i } – g t \mathbf { j } , \\ \large { \mathbf { v } _ 2 } = { v _ { 2 0 } } \mathbf { i } – g t \mathbf { j } .$$

وقتی بردارهای سرعت عمود بر هم باشند، ضرب نقطه‌ای آن‌ها برابر با صفر است و بنابراین، داریم:

$$\large \begin {align*} & { \mathbf { v } _ 1 } \bot { \mathbf { v } _ 2 } , \; \; \Rightarrow { { \mathbf { v } _ 1 } \cdot { \mathbf { v } _ 2 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { \left ( { – { v _ { 1 0 } } } \right ){ v _ { 2 0 } } + \left ( { – g t } \right ) \left ( { – g t } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { g ^ 2 } { t ^ 2 } = { v _ { 1 0 } } { v _ { 2 0 } } , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { { \sqrt { { v _ { 1 0 } } { v _ { 2 0 } } } } } { g } . } \end {align*}$$

از آنجا که مؤلفه‌های قائم سرعت دو توپ یکسان است، همواره در ارتفاع یکسانی قرار دارند. بنابراین، خط فاصله $$d$$ افقی است. در نتیجه، فاصله بین دو توپ در لحظه $$t = \large{\frac{{\sqrt {{v_{10}}{v_{20}}} }}{g}}\normalsize$$ برابر است با:

$$\large { d = { v _ { 1 0 } } t + { v _ { 2 0 } } t } = { \left ( { { v _ { 1 0 } } + { v _ { 2 0 } } } \right ) t } = { \left ( { { v _ { 1 0 } } + { v _ { 2 0 } } } \right ) \frac { { \sqrt { { v _ { 1 0 } } { v _ {2 0 } }} } } { g } . }$$

و در نهایت، با قرار دادن مقادیر معلوم، خواهیم داشت:

$$\large { d = \left ( { 4 + 9 } \right ) \frac { { \sqrt { 4 \cdot 9 } } } { { 9 . 8 } } } = { 7 . 9 6 \, \text {m} }$$

مثال ۱۱

ذره‌ای در صفحه $$x y$$ با معادلات $$x = at$$ و $$y = b t ^ 2$$ در حال حرکت است ($$a , b > 0$$).

(لف) مسیر $$y ( x )$$ ذره را مشخص کرده و آن را رسم کنید.

(ب) تندی ذره را به عنوان تابعی از زمان بیان کنید.

(ج) زاویه $$\varphi$$ بین بردار سرعت و محور $$x$$ را تعیین کنید.

حل (الف): از معادله اول $$t$$ را به دست آورده و در معادله دوم قرار می‌دهیم:

$$\large { x = a t , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { x } { a } , \; \; } \Rightarrow { y = b { \left ( { \frac { x } { a } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { b } { { {a ^ 2 } } } { x ^ 2 } . }$$

بنابراین، مسیر ذره شاخه سمت راست سهمی $$y = \frac{b}{{{a^2}}}{x^2}$$ است.

حل (ب): برای تعیین تندی ذره، ابتدا از مختصات $$x$$ و $$y$$ نسبت به $$t$$ مشتق می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} \frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { a t } \right ) = a , \\ \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { d } { { d t } } \left ( { b { t ^ 2 } } \right ) = 2 b t . \end {align*}$$

بنابراین، بردار سرعت به صورت زیر است:

$$\large { \mathbf { v } = \frac { { d x } } { { d t } } \mathbf { i } + \frac { { d y } } { { d t } } \mathbf { j } } = { a \mathbf { i } + 2 b t \mathbf { j } . }$$

از آنجا که تندی قدر مطلق سرعت است، داریم:

$$\large { v = \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { {d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { { a ^ 2 } + 4 { b ^ 2 } { t ^ 2 } } . }$$

حل (ج): بردار سرعت به فرم زیر است:

$$\large \mathbf { v } = a \mathbf { i } + 2 b t \mathbf { j } .$$

بنابراین، شیب زاویه $$\varphi$$ برابر است با:

$$\large \tan \varphi = \frac { { 2 b t } } { a } .$$

و خود زاویه به صورت زیر به دست خواهد آمد:

$$\large \varphi = \arctan \left ( { \frac { { 2 b t } } { a } } \right ) .$$

$$x$$" width="295" height="263">

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس فیزیک
• آموزش فیزیک پایه ۱
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله
• گزارش کار آزمایشگاه — اصول نگارش
• اپلیکیشن Phyphox — آزمایشگاه فیزیکی در جیب شما
• نانو (Nano) — به زبان ساده