حرکت پرتابی – به زبان ساده

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، در یک حرکت پرتابی تنها نیروی فرض شده، گرانش است. برای درک بهتر، شکل زیر را در نظر بگیرید. در این شکل مولفه‌های سرعت یک جسم در دو جهت عمود بر هم و هم‌چنین مسیر حرکت آن مشخص شده‌اند.

همانطور که در شکل بالا نیز می‌بینید، در موقعیت‌های مختلف، بردارهای سرعت در جهت‌ محورهای مختصات دارای اندازه‌های متغیری هستند. در حالت اولیه سرعت جسم برابر با V و در جهت شمال شرقی است. از آنجایی که تنها نیروی وارد شده به جسم، نیروی گرانش در نظر گفته شده، بنابراین سرعت جسم فقط در راستای y تغییر می‌کند و اندازه سرعت در جهت x ثابت است. توجه داشته باشید که محور x و  y به نحوی در نظر گرفته شده‌اند که محور ‌y هم‌راستا با نیروی گرانشی و x عمود بر آن است.

سرعت V_y (مولفه سرعت در راستای محور y) در ابتدا و به دلیل حضور نیروی گرانشی کاهش می‌یابد. پس از آن در بیشترین ارتفاع، سرعت جسم به صفر می‌رسد و دوباره نیروی گرانش سرعت آن را افزایش می‌دهد. تحلیل سرعت در راستای y دقیقا همانند وضعیتی است که در آن یک جسم به صورت عمودی پرتاب شود. فقط تفاوت در این است که در حالت پرتاب عمودی، همواره سرعت در راستای x صفر است.

برای تشریح حرکت پرتابی شکل بالا، فرض کنید که در حالت اولیه جسمی با سرعت اولیه V و در جهت شمال شرقی پرتاب می‌شود. V_x و V_y مولفه‌های سرعت در جهات x و y هستند. برای تحلیل این مسئله حرکات در دو جهت عمود بر هم را به صورت جدا در نظر می‌گیریم.

معادلات حرکت در حالت کلی

قبل از هرچیز بهتر است تا در مورد کلیاتِ معادلات حرکت صحبت کنیم. از این رو جسمی را فرض کنید که در مکان اولیه  x₀ قرار گرفته و سرعت اولیه آن برابر با V₀ است. در این صورت می‌توان مکان و سرعت لحظه‌ای این جسم را با استفاده از معادلات زیر بدست آورد.

فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ – مفاهیم پایه + حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

حال می‌توان با استفاده از معادلات بالا حرکت پرتابی یک جسم را به صورت مجزا و در راستاهای x و y توصیف کرد.

شبیه ساز حرکت پرتابی

پیش از اینکه با معادلات حرکت پرتابی آشنا شوید، در این بخش با کمک گرفتن از شبیه‌ساز دانشگاه کلورادو می‌توانید بر اساس سرعت اولیه‌ای که به عنوان ورودی در نظر می‌گیرید و همزمان با در نظر گرفتن مقاومت هوا، مولفه‌های بردار سرعت و شتاب را نیز مشاهده کنید:

توصیف مسیر توپ

به‌منظور بررسی حرکت پرتابی، فرض کنید مطابق با شکل زیر، فوتبالیستی یک توپ را با سرعت اولیه V₀ و زاویه θ شوت می‌کند. توجه کنید که در این تحلیل، از نیرو‌های اصطکاک وارد شده به توپ صرف نظر شده.

فیلم آموزش شبیه‌سازی حرکت پرتابه در سیمیولینک در فرادرس

کلیک کنید

قدم اول

برای بررسی این حرکت، در ابتدا بایستی دو محور مختصات عمود به هم در نظر گرفت. برای راحتی حل مسئله بهتر است که یکی از این محور‌ها در راستای شتاب گرانشی باشد. دلیل این کار حذف کردن شتاب از معادلات مربوط به حرکت در راستای افقی است.

بنابراین محور‌های x و y را مطابق با شکل بالا در نظر می‌گیریم. توجه داشته باشید که سرعت اولیه نیز بایستی در راستاهای x و y تجزیه شوند. بنابراین سرعت اولیه در راستای محور x برابر است با:

$$V_{0x}=V_0cos(\theta)$$

از آنجایی که شتابی در راستای محور x به توپ وارد نمی‌شود، بنابراین سرعت آن نیز در این راستا ثابت است. از این رو سرعت توپ در هر لحظه همان سرعت اولیه خواهد بود. بنابراین می‌توان معادله سرعت در راستای محور x را به صورت زیر بیان کرد:

$$V_{x}(t)=V_0cos(\theta)$$

با توجه به سرعت بدست آمده، مختصات x جسم در هر لحظه، به شکل زیر قابل نوشتن است.

$$x(t)=V_0tcos(\theta)$$

قدم دوم

همانند مرحله قبل در این قدم نیز شتاب‌ (g-)، سرعت اولیه (V_0y) و جابجایی اولیه در راستای y را در معادلات حرکت جایگزین می‌کنیم. بنابراین جابجایی و سرعت توپ در راستای y به صورت زیر محاسبه می‌شوند. توجه داشته باشید که سرعت اولیه در راستای y را می‌توان با تصویر کردن V₀ در راستای محور y، به صورت زیر بدست آورد.

$$V_{y}(t)=V_0sin(\theta)$$

بنابراین جابجایی در هر لحظه برابر است با:

$$y(t)=-{1 \over 2} {gt^2}+V_0tsin{\theta}$$

دلیل علامت منفی این است که شتاب گرانشی خلاف جهت y است.

قدم سوم

در قدم اول، توابع جابجایی x و y نسبت به زمان محاسبه شدند. با استفاده از از این معادلات می‌توان مسیر حرکت جسم را در زمان پیش‌بینی کرد. برای توصیف مسیر حرکت در دستگاه مختصات x-y بایستی وابستگی x و y را نسبت به یکدیگر بیابیم. از این رو با استفاده از دو معادله (x(t و (y(t و حذف t از آن‌ها می‌توان مسیر حرکت جسم را در دو بعد یافت.

برای این منظور در ابتدا معادله (x(t را بر حسب t مرتب می‌کنیم. بنابراین می‌توان رابطه x(t)=v₀cosθ×t را به شکل زیر بازنویسی کرد.

$$t={x(t) \over {V_0cos{ \theta}}}$$

با جایگذاری معادله بالا در رابطه (y(t داریم.

$$y(t)=-{1 \over 2} {gt^2}+V_0tsin{\theta}=-{1 \over 2} {g({x \over {v_0cos {\theta}}})^2}+V_0({x \over {V_0cos{\theta}}})sin{\theta}$$

با مرتب کردن معادله بالا و جایگذاری ۹.۸ به جای g، شکل نهایی مسیر x-y به صورت زیر بدست می‌آید.

$$y={-gx^2\over2V_0^2cos^2(\theta)}+xtan(\theta)$$

در رابطه بالا فقط x و y  متغیر هستند و بقیه ضرایب اعداد ثابت‌اند؛ بنابراین می‌توان گفت که شکل معادله به صورت سهمی مرتبه دوم است.

شکل بالا مسیر پرتابی توپ و هم‌چنین اندازه‌ سرعت آن را در هر لحظه نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که سرعت لحظه‌ای جسم را می‌توان به استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد.

بدیهی است که در حرکت پرتابی تمامی معادلات حرکت صادق هستند. برای نمونه می‌دانیم که اگر جسمی تحت تاثیر شتاب a سرعتش از V₀ به V تغییر کند، می‌توان رابطه بین سرعت اولیه و نهایی آن با شتاب را به صورت زیر بیان کرد:

بنابراین قادریم تا از معادله بالا در حرکت پرتابی نیز استفاده کنیم. مثلا با جایگذاری سرعت اولیه و نهایی در راستای y، رابطه زیر به‌منظور توصیف جابجایی صورت گرفته در این راستا قابل بیان است.

مثال ۱

مطابق با شکل زیر، در یک مراسم آتش‌بازی، فشفشه‌ای با سرعت اولیه ۷۰ متر بر ثانیه و با زاویه ۷۵ درجه نسبت به محور x پرتاب می‌شود.

تصور کنید که این فشفشه هنگام رسیدن به بیشترین ارتفاعش منفجر می‌شود. با صرف نظر کردن از مقاومت هوا موارد زیر مطلوب است.

1. ارتفاعی که فشفشه در آن منفجر می‌شود چقدر است؟
2. این فشفشه چند ثانیه پس از پرتاب منفجر می‌شود؟
3. مسافت افقی پیموده شده در زمان انفجار چقدر است؟

با توجه به این که تنها نیروی گرانشی است که به جسم وارد می‌شود و از مقاومت هوا نیز صرف نظر شده، بنابراین حرکت مفروض، پرتابی در نظر گرفته می‌شود.

اولین قدم این است که حرکات در راستای محورهای عمودی و افقی را به صورت جداگانه تحلیل کنیم. از آنجایی که شتابی در راستای x به جسم وارد نمی‌شود، می‌توان گفت:

a_x=0

a_y= –g

هم‌چنین می‌توان مبدا دستگاه مختصات را نقطه پرتاب در نظر گرفت، در نتیجه مقادیر x₀=0 و y₀=0 صفر در نظر گرفته می‌شوند.

برای پاسخ به قسمت ۱، بایستی سرعت اولیه در راستای y را بدست آوریم. این سرعت برابر است با:

از طرفی فشفشه در بیشترین ارتفاعش منفجر می‌شود. همان‌طور که در بالا نیز بیان کردیم، در بیشترین ارتفاع، سرعت در راستای y برابر با صفر است. از این رو با جایگذاری سرعت بالا در رابطه $$V_y^2-V_0^2=-2g(y-y_0)$$ می‌توان ارتفاع انفجار را به صورت زیر بدست آورد.

$$V_y^2-V_0^2=-2g(y-y_0)\rightarrow \enspace 0^2-67.6^2=-2×9.8(y-0)$$

با حل معادله بالا مقدار y برابر با ۲۳۳ متر بدست می‌آید.

در قسمت ۱، مسئله زمان مطرح نبود، به همین دلیل از معادله‌ای استفاده کردیم که در آن t وجود نداشته باشد. در قسمت ۲ از ما زمان منفجر شدن خواسته شده. بنابراین بایستی از معادله‌ای استفاده کنیم که بر خلاف قسمت اول در آن t وجود داشته باشد. با توجه به این‌که سرعت جسم در لحظه‌ انفجار، صفر است، می‌توان از معادله سرعت لحظه‌ای در راستای y استفاده کرد. در نتیجه داریم: