آموزش روش AHP یا تحلیل سلسله مراتبی | به زبان ساده

در دنیایی با پیچیدگی روزافزون، اتخاذ بهترین تصمیمات به مسئله دشواری برای مدیران شرکت‌ها، سازمان‌های دولتی، سیاست‌گذاران و سایر تصمیم‌گیرندگان تبدیل شده است و آن‌ها ترجیح می‌دهند از ابزارهای تحلیلی و کمی استفاده کنند. یکی از این ابزار‌ها، فرایند تحلیل سلسله‌مراتبی یا بهره‌گیری از روش AHP است. در این نوشتار، به صورت اجمالی و به همراه مثال به معرفی روش AHP می‌پردازیم.

روش AHP چیست؟

به صورت کلی، «فرایند تحلیل سلسه مراتبی» یا روش (Analytical Hierarchy Process | AHP) نظریه‌ای بر پایه «سنجش نسبی» (Relative Measurement) است. در این روش، از تکنیکی ساختارمند (بر پایه اصول ریاضی و روانشناسی) برای نظم‌دهی و تحلیل تصمیمات پیچیده استفاده می‌شود. این روش توسط «توماس ساعتی» (Thomas Saaty) - استاد شناخته‌شده عراقی - در دهه ۱‍۹۷۰ میلادی بوجود آمد. در فرایند تحلیل سلسله مراتبی، از روشی دقیق برای کمی کردن وزن‌های معیار‌های تصمیم‌گیری بکارگرفته می‌شود.

سنجش نسبی چیست؟

در سنجش نسبی، تمرکز روی اندازه‌گیری دقیق مقادیر نیست بلکه نسبت‌های بین آن‌ها بررسی می‌شود. یک جفت سنگ را در نظر بگیرید. در اندازه‌گیری معمولی ممکن است به دانستن وزن دقیق این سنگ‌ها توجه شود و در صورتی اندازه‌گیری (۲،۱) صحیح است که سنگ اول، ۲ کیلوگرم و سنگ دوم، ۱ کیلوگرم وزن داشته باشند.

در سنجش نسبی، به دانستن سنگینی هر شی در مقایسه با شی دیگر توجه می‌شود. در نتیجه، جفت اندازه‌گیری (۲،۱) زمانی صحیح است که وزن سنگ اول، دو برابر سنگ دوم باشد. در این مثال، درصورت بکارگیری سنجش نسبی، جفت‌های اندازه‌گیری (۱/۳ ،۲/۳)، (۴،۲) و (۸،۴) نیز برای این دو سنگ صدق می‌کنند.

بهترین کاربرد روش سنجش نسبی چیست؟

بهترین کاربرد روش سنجش نسبی، در مسائلی است که باید بهترین جایگزین روش فعلی، انتخاب شود. به علاوه، در زمان غیرملموس بودن ویژگی‌های گزینه، استفاده از معیار اندازه‌گیری دشوار است و اندازه‌گیری نسبی، فرایند را تسهیل می‌کند. روش AHP با انجام مقایسه‌های زوجی (جفت به جفت) بین گزینه‌‌ها آن‌ها را رتبه‌بندی می‌کند.

یکی از مهم‌ترین کاربرد‌های AHP، بکارگیری آن در نواحی غیرعینی است. در نتیجه، از آن برای حل مسائل تصمیم‌گیری چند معیاره (Multi-criteria Decision Making | MCDM) استفاده می‌شود که در آن گزینه‌ها با توجه به چندین معیار بررسی می‌شوند.

چگونه از روش AHP استفاده کنیم؟

از روش AHP می‌توان در مسائل تصمیم‌گیری با گزینه‌های محدود استفاده کرد. در یک فرایند تصمیم‌گیری، یک هدف و تعداد محدودی گزینه به صورت زیر وجود دارد که در آن از تصمیم‌گیرنده خواسته شده که بهترین گزینه را انتخاب کند.

فیلم آموزش تحلیل سلسله‌مراتبی AHP در تصمیم‌گیری در فرادرس

کلیک کنید

$$X=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right\}$$

{   گرگان   ،    رشت   ،   ساری  }   =   X

• ساری:$$x_{1}$$
• رشت:$$x_{2}$$
• گرگان:$$x_{3}$$

اغلب، در فرایند‌های تصمیم‌گیری از تصمیم‌گیرنده درخواست می‌شود که به هرکدام از گزینه‌ها نمره‌ای اختصاص دهد و سپس گزینه‌ای با بالاترین ارزش را از میان آن‌ها انتخاب کند.

$$w=\left(w_{1},...,w_{n}\right)^{T}$$

که در آن $$w_{i}$$ مقداری است که به صورت منسجم، ارزش گزینه $$x_{i}$$ را می‌سنجد. یعنی هرچه $$w_{i}$$ بزرگ‌تر باشد، ارزش گزینه $$i$$ بیشتر است. درواقع، اگر و تنها اگر، $$w_{i}$$ بزرگ‌تر از $$w_{j}$$ باشد،  $$x_{i}$$ به $$x_{j}$$ ترجیح داده می‌شود. بردار وزن‌دهی، همان بردار امتیازدهی است و اجزای آن‌ها الویت‌ها یا وزن‌های گزینه‌ها ($$x_{i}$$ها) هستند.

برای مثال، اگر بردار وزن‌دهی به شکل مقابل داشته باشیم، $$w=\left(0.4,0.2,0.3,0.1\right)^{T}$$یعنی $$x_{1}$$ نسبت به سایر گزینه‌ها برای فرد، اهمیت بیشتری دارد. جایی که $$w_{i}$$ بیشتر از $$w_{j}$$ باشد، یعنی گزینه $$x_{i}$$ به$$x_{j}$$ ترجیح داده شده است.

مثال اول بکارگیری روش AHP

بار دیگر به مثال انتخاب مقصد مسافرتی رجوع کنیم. اگر بردار $$w=\left(0.3,0.5,0.2\right)^{T}$$ برای مجموعه‌ای از گزینه‌های X= { رشت، گرگان، ساری } انتخاب شده باشد، بنابراین الویت انتخاب شهر‌ها به صورت زیر خواهد بود.

ساری  <  رشت < گرگان

زیرا $$w_{2}$$ بیشتر از $$w_{1}$$ بیشتر از $$w_{3}$$ است. تصمیم‌گیری به این روش آسان به نظر می‌رسد اما در صورت افزوده شدن پیچیدگی‌ها، به مسئله‌ای دشوار تبدیل می‌شود. همان‌طور که قابل مشاهده است، پیچیدگی با تعداد گزینه‌ها و معیارها افزایش می‌یابد.

روشی موثر برای غلبه بر این مشکل بکارگیری «مقایسه زوجی» (Pairwise Comparison) است. این روش امکان مقایسه دو گزینه را در هر زمان بوجود می آورد. در این روش، مسئله اصلی به چند مسئله کوچک‌تر تبدیل می‌شود.

مقایسه‌های دوبه‌دو، به شکل «ماتریس مقایسه زوجی» (Pairwise Comparison Matrix) انجام و این ماتریس به شکل زیر تعریف می‌شود.

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right)$$

$$\forall i،j$$            $$a_{ij}\approx\frac{w_{i}}{w_{j}}$$

یعنی اگر درایه‌های ماتریس دقیقا نشان‌دهنده نسبت بین وزن‌ها باشند، ماتریس $$A$$ به شکل زیر قابل مشاهده خواهد بود.

$$\mathbf{A}=\left(w_{i} / w_{j}\right)_{n \times n}=\left(\begin{array}{cccc} w_{1} / w_{1} & w_{1} / w_{2} & \ldots & w_{1} / w_{n} \\ w_{2} / w_{1} & w_{2} / w_{2} & \ldots & w_{2} / w_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n} / w_{1} & w_{n} / w_{2} & \ldots & w_{n} / w_{n} \end{array}\right)$$

با در نظر گرفتن دو ماتریس گفته شده به ماتریس سوم می‌رسیم به صورتی که $$a_{ij}=1/a_{ji}$$ و ماتریس A می‌تواند به شکل ساده و بازنویسی شده زیر، بیان شود.

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \frac{1}{a_{12}} & 1 & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{a_{1 n}} & \frac{1}{a_{2 n}} & \cdots & 1 \end{array}\right)$$

به عبارتی دیگر، ساختار ساده شده مقایسه زوجی به این شکل، این فرض را دنبال می‌کند که اگر برای مثال، $$x_{1}$$ دو برابر $$x_{2}$$ بهتر باشد، نتیجه‌گیری می‌کنیم که $$x_{2}$$ به اندازه نصف $$x_{1}$$  خوب است. در اینجا، ادامه مثال مسافرت را بررسی و آن‌را به روش ماتریس مقایسه زوجی تشریح می‌کنیم. در ماتریس زیر، برای سادگی، عناوین $$x_{1}$$، $$x_{2}$$ و $$x_{۳}$$ بر سطر و ستون‌ها درج شده‌اند.

از این ماتریس مخصوص و نهاده $$a_{12}$$ متوجه می‌شویم که $$x_{1}$$  (رشت)، ۳ برابر بهتر از $$x_{2}$$ (گرگان) است. یعنی $$a_{12}$$=3 نشاندهنده $$w_{1}=3w_{2}$$ است. زمانی که ماتریس مقایسه‌ای زوجی کامل شود، از روش‌های متعددی می‌توان به بردار وزن دست پیدا کرد. در این مثال، می‌توان شرط $$a_{ij}=w_{i}/w_{j} \forall i,j$$  را با بردار قرار گرفته در ادامه، بررسی کرد.

$$\mathbf{w}=\left(\begin{array}{l} 6 / 9 \\ 2 / 9 \\ 1 / 9 \end{array}\right)$$

در نتیجه، رشت بهترین گزینه به شمار می‌رود. به صورت خلاصه، زمانی که اعداد گزینه بسیار بزرگ هستند، مقایسه زوجی روشی موثر برای دستیابی به رتبه‌بندی است. رتبه‌بندی گزینه‌های قرارگرفته در بردار $$w$$ قوی‌تر از حالتی است که به صورت مستقیم می‌خواستیم آن‌ها را بدون استفاده از $$A$$ بدست بیاوریم.

از ماتریس مقایسه زوجی تا سلسله‌ مراتب

در اینجا به چرایی پر شدن ماتریس A به صورت انجام شده و عوامل تاثیرگذار بر قضاوت‌های فرد تصمیم‌گیرنده می‌پردازیم. اگر برای مثال، فرد تصمیم‌گیرنده قصد خرید نان داشته باشد، عوامل تاثیرگذار بر تصمیم، کمتر خواهند بود.

در آن‌صورت، تنها دو عامل قیمت و کیفیت نان مورد توجه قرار می‌گیرند. ممکن است در مسائل دیگر، عوامل تاثیرگذار بر تصمیم، متعدد باشند. برای مثال زمانی ‌که یکی از اعضای مجلس مسئله‌ای را مطرح می‌کند، نفع رای‌دهندگان، سابقه خودش، احتمال دوباره رای آوردن و بسیاری از عوامل دیگر را مدنظر قرار می‌‌دهد.

در ابتدا باید به جای واژه عامل از واژه «معیار» (Criterion) استفاده کنیم و توجه داشته باشیم که تصمیم‌گیری با وجود معیار‌های متعدد و متضاد، با استفاده از روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره انجام می‌شود. در فرایند تصمیم‌گیری، متخصص باید مجموعه‌ای از معیار‌ها را $$C=\left\{c_{1},c_{2},...,c_{m}\right\}$$ که خصوصیات یک هدف خاص به شمار می‌روند، مورد بررسی قرار دهد. این خصوصیات، با درنظر گرفتن یک هدف خاص، یک گزینه ‌را نسبت به گزینه دیگر، به مورد بهتری تبدیل می‌کند.

در مثال بیان‌شده که راجع به مقاصد گردشگری برای تعطیلات بود، مجموعه معیار‌ها مطابق موارد زیر در نظر گرفته می‌شود.

  { آب و هوا ، اماکن دیدنی ، محیط } =  C

که در آن

• $$c_{1}$$: آب‌و‌هوا
• $$c_{2}$$: اماکن دیدنی
• $$c_{3}$$: محیط

در اینجا به یک شکل رسم شده نیاز داریم که گزینه‌ها، معیار‌ها و هدف را در نظر بگیرد و ساختار مسئله را به شکل بصری نشان دهد. در روش AHP، سلسله مراتب این نقش را به عهده می‌گیرد و به ترتیب از موارد زیر تشکیل شده است.

• هدف
• مجموعه گزینه‌ها
• مجموعه معیارها
• رابطه هدف، معیار و گزینه‌ها

در تصویر بالا سلسله مراتب برای انتخاب شهر شمالی را مشاهده می‌کنید. در بالاترین طبقه، هدف و در پایین‌ترین طبقه، گزینه‌ها قرار دارند. در طبقه میانی می‌توانید معیار‌ها را ملاحظه کنید. خطی که هر دو عنصر را به یکدیگر متصل می‌کند، نشان‌دهنده رابطه وابستگی سلسله مراتبی بین آن‌هاست.

مشکل اصلی ماتریس مقایسه‌ای زوجی $$A$$ در شکل بالا، مقایسه گزینه‌ها بدون درنظر گرفتن معیار است. با پرکردن ماتریس A تصمیم‌گیرنده تنها به رضایت کلی با در نظرگرفتن گزینه‌ها می‌پردازد و هیچ توجهی به معیار‌هایی که به رضایت سراسری می‌انجامد - مانند هزینه، اماکن دیدنی و محیط زیست - ندارد. مانند مثال قبلی، پیچیدگی می‌تواند به صورت یک مشکل بروز کند و راه‌حل، تجزیه مسئله بزرگ‌تر به مسئله کوچک‌تر است.

به همین خاطر، در اینجا، ساعتی پیشنهاد تشکیل ماتریس متفاوتی را به ازای هر معیار ارائه می‌کند. ماتریس $$A^{\left(k\right)}$$، ماتریسی از مقایسه‌های زوجی بین گزینه‌ها طبق معیار K است. ۳ ماتریس «محیط زیست» ( Environment | E)، «اماکن دیدنی» (Sightseeing | S) و «آب‌و‌هوا» (Climate | C) را در نظر بگیرید.

درایه $$a_{13}$$ از ماتریس $$A^{\left(c\right)}$$، نشان‌دهنده این است که تصمیم‌گیرنده در صورت مقایسه آب‌و‌هوای دو شهر، رشت را به ساری ترجیح خواهد داد. ۳ ماتریسی که در ادامه مشاهده می‌شوند به عنوان مثالی از ترجیحات انتخاب شده بوسیله تصمیم‌گیرنده درباره ۳ شهر شمالی با توجه به ۳ معیار گفته‌شده خواهند بود.

$$\mathbf{A}^{(c)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 / 4 & 1 / 4 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{(s)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 6 \\ 1 / 2 & 1 & 3 \\ 1 / 6 & 1 / 3 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{(e)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 / 2 & 1 / 8 \\ 2 & 1 & 1 / 4 \\ 8 & 4 & 1 \end{array}\right)$$

در ادامه، بردار‌های الویت یا وزن‌دهی را تخمین می‌زنیم.

$$\mathbf{w}^{(c)}=\left(\begin{array}{c} 4 / 9 \\ 4 / 9 \\ 1 / 9 \end{array}\right) \quad \mathbf{w}^{(s)}=\left(\begin{array}{l} 6 / 10 \\ 3 / 10 \\ 1 / 10 \end{array}\right) \quad \mathbf{w}^{(e)}=\left(\begin{array}{l} 1 / 11 \\ 2 / 11 \\ 8 / 11 \end{array}\right)$$

در این مثال فرضی، معیار محیط زیست مهم‌تر از معیار هزینه خواهد بود. در نتیجه، به نوعی دیگر از تابع میانگین سازی نیاز خواهیم داشت و میانگین حسابی وزنی بکار گرفته خواهد شد. حال، مسئله قابل توجه، یافتن وزن برای اختصاص دادن به بردار‌های متفاوت است.

وزن اختصاص داده شده به هر بردار باید متناسب با اهمیت معیار مربوطه باشد. راه‌حل ارائه‌شده، بکارگیری تکنیک یکسان قبلی است. در ابتدا یک ماتریس مقایسه‌ای زوجی تشکیل می‌شود که اهمیت معیار را با توجه به دسترسی به هدف، مقایسه می‌کند. در مثال گفته شده، ماتریس می‌تواند به صورت زیر باشد.

$$\hat{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 / 2 & 1 / 4 \\ 2 & 1 & 1 / 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right)$$

سپس به بردار $$w=\left\{w_{1},w_{2},w_{3}\right\}$$ دست پیدا می‌کنیم که اجزای آن‌را وزن‌های معیار تشکیل می‌دهند.

$$\hat{\mathbf{w}}=\left(\begin{array}{l} 1 / 7 \\ 2 / 7 \\ 4 / 7 \end{array}\right)$$

طبق این بردار، تصمیم‌گیرنده - در مثال ما، خانواده - به معیار سوم یا همان محیط زیست علاقه‌مند است. در ادامه، ترکیب خطی $$w^{\left(e\right)}$$ ، $$w^{\left(c\right)}$$ و  $$w^{\left(s\right)}$$ را بررسی می‌کنیم.

$$\mathbf{w}=\hat{w}_{1} \mathbf{w}^{(c)}+\hat{w}_{2} \mathbf{w}^{(s)}+\hat{w}_{3} \mathbf{w}^{(e)}$$

حال، به رتبه‌بندی نهایی رسیده‌ایم و می‌توانیم بهترین گزینه یا گزینه با بالاترین امتیاز را انتخاب کنیم که همان $$x_{3}$$ در مثال ما یا شهر ساری است. در نهایت، بهترین گزینه، عضوی از مجموعه $$\left\{x_{i}\mid w_{i}\geq w_{j}, \forall i , j\right\}$$ است. نقش وزن معیار را می‌توان با یک مثال عددی نشان داد. بردار اهمیت برای معیار را به‌جای $$\left(1/7,4/7,2/7\right)^{T}$$، $$\left(1/7,2/7,4/7\right)^{T}$$در نظر بگیرید. با این‌کار، اهمیت نهایی به صورت $$\left(0.43,0.29,0.28\right)^{T}$$ خواهد بود و بهترین گزینه حالا، $$x_{1}$$ یا رشت خواهد شد.

\begin{aligned}
=& \frac{1}{7}\left(\begin{array}{l}
4 / 9 \\
4 / 9 \\
1 / 9
\end{array}\right)+\frac{2}{7}\left(\begin{array}{l}
6 / 10 \\
3 / 10 \\
1 / 10
\end{array}\right)+\frac{4}{7}\left(\begin{array}{l}
1 / 11 \\
2 / 11 \\
8 / 11
\end{array}\right) \\
\approx\left(\begin{array}{l}
0.287 \\
0.253 \\
0.460
\end{array}\right)
\end{aligned}

توجه داشته باشید که سلسله مراتب می‌تواند سطوح بیشتری از معیار را در بر بگیرد. برای مثال، برای انتخاب بهترین شهر برای تعطیلات، معیار آب‌و هوا می‌تواند به چندین معیار کوچک‌تر مانند احتمال بارش باران، طول روز و دما تقسیم شود که هرکدام به نحوی به مفهوم آب‌و‌هوا مربوط می‌شوند. در اینجا فضای کافی را برای رسم سلسله مراتبی با معیار‌های متعد نداریم اما در ادامه مثالی را با معیار‌های بیشتر مطرح می‌کنیم.

مثال سلسله مراتب با معیار‌های بیشتر

در این مثال، به صورت فرضی، سلسله مراتب را برای انتخاب اتومبیل، بررسی می‌کنیم. توجه داشته باشید که چرخ، «معیار کوچک‌تری» (Sub Criteria) برای مکانیک و زیبایی اتومبیل، در نظر گرفته می‌شود.

فیلم آموزش بهره‌وری و تکنیک‌های اندازه‌گیری در سازمان‌ها در فرادرس

کلیک کنید

در دنیای واقعی نیز از روش AHP برای انتخاب دستگاه اتومبیل مطلوب استفاده شده است. تا اینجا، با استفاده از مثال‌های ساده، ۳ گام اصلی روش AHP را بررسی کرده‌ایم که به ترتیب در ادامه، شرح داده شده‌اند.

• بررسی ساختار مسئله و مفهوم سلسله مراتب
• استخراج مقایسه‌های زوجی
• بدست آوردن بردار رتبه‌بندی یا وزن و ترکیب‌های خطی آن‌ها

کاربردهای روش AHP در دنیای واقعی

با این ‌وجود، تا به اینجا، موقعیت‌های ساده‌ با فرض‌های متفاوت در نظر گرفته شده‌اند. در ادامه، بکارگیری روش AHP را به عنوان مدلی منعطف‌تر نیز بررسی می‌کنیم. لازم به یادآوری نیست که مثال‌های دنیای واقعی در سطح بالاتری از پیچیدگی قرار دارند.

ارزیابی شهر و برنامه‌ریزی

ساعتی، روش AHP را برای رتبه‌بندی مجموعه‌ای از شهر‌ها از قابل سکونت‌ترین تا غیرقابل سکونت‌ترین بکار برد. او در تحقیقاتش به مجموعه‌ای از شهر‌ها در ایالات متحده آمریکا توجه کرد. درواقع، رضایت از هدف نهایی یا همان قابل سکونت بودن، می‌تواند به رضایت از چندین معیار، برای مثال محیط، خدمات و امنیت تقسیم شود و مجدداً امکان تقسیم هر کدام از این معیار‌ها به معیار‌های کوچک‌تر وجود دارد. برای مثال، بخش خدمات می‌تواند به معیار‌های کوچک‌تری مانند امکانات حمل‌و‌نقل، خدمات درمانی و ... تقسیم شود. بدون شک بعضی از شهر‌ها قابل سکونت‌تر از سایر شهر‌ها خواهند بود.

رتبه‌بندی کشور‌ها

در سال ۱۹۸۷ میلادی، روش AHP برای رتبه‌بندی کشورها با درنظرگرفتن چند معیار ارائه شد. در این مطالعه، گزینه‌ها، کشور‌ها بودند و معیار شامل تمام ویژگی‌هایی بود که می‌توانست یک کشور را به کشور بهتری تبدیل کند. درواقع، با انتخاب مناسب معیار، این نوع بهره‌گیری از AHP می‌تواند به عنوان اصول اولیه در تحلیل چند متغیره رتبه‌بندی کشور‌ها بکار رود.

خدمات گوشی‌های تلفن همراه

با رایج شدن استفاده از گوشی‌های هوشمند، خدمات تلفن همراه و اپلیکیشن‌های آن‌ها موفق‌تر می‌شوند و به بخشی از زندگی روزانه کاربران آن‌ها تبدیل شده‌اند. یکی از موارد مهم، تشخیص و درک عوامل مهم موفقیتی است که موجب مقبولیت و پذیرش دستگاه‌های تلفن همراه و خدمات متنوع آن‌ها می‌شوند. مدل‌های قدیمی‌تر تنها مجموعه‌ای محدود از عوامل مقبولیت را مورد ملاحظه قرار می‌دهند و بر ارزش‌های قدیمی خدمات تلفن همراه مانند کارایی، استفاده آسان و هزینه تمرکز می‌کنند.

بعضی از محققان، روش AHP را برای تعیین مهم‌ترین معیار تاثیرگذار بر مقبولیت دستگاه‌های تلفن همراه و خدمات آن نزد مشتریان ارائه کرده‌اند. ویژگی‌های اصلی مدنظر قرارگرفته شامل مدل پرداخت، عملکرد، ارزش افزوده، کیفیت و هزینه هستند.

اهدای عضو

به صورت کلی، تعداد افراد نیازمند به عضو‌های اهدا شده بیشتر از کل تعداد اعضای اهدایی است و انواع مختلف تخصیص اعضا می‌تواند پیامد‌های قابل توجهی را به همراه داشته باشد. بعضی از مسائل بهینه‌سازی ترکیبی ارائه شده‌اند تا بتوانند به بهترین نحو ممکن اهداکنندگان و اعضا را با یکدیگر منطبق کنند. بعضی از الگوریتم‌ها این مورد را در نظر می‌گیرند که ممکن است فردی نسبت به سایرین در مدت زمان کوتاه‌تری به عضو اهدا شده احتیاج داشته باشد و زمان مسئله‌ای حیاتی برای او محسوب شود.

در مطالعه‌ای، محققان از روش AHP برای تجزیه ۴ معیار سرعت عمل، کارایی، منفعت و برابری استفاده کردند و در نهایت، اهمیت آن‌ها را در فرایند انطباق اهداکنندگان و اعضا، تخمین زدند. در این نمونه، بیماران همان گزینه‌ها بودند اما تعداد بالای آن‌ها تصمیم‌گیری با بکارگیری نظر شخصی را با دشواری روبه‌رو می‌کرد.

خوشبختانه، در این مسئله، ماتریس‌های مقایسه زوجی، به صورت خودکار پر شده بودند زیرا کمی کردن معیار‌های متفاوت به سادگی صورت می‌پذیرفت. برای مثال، اگر، امید به زندگی دو بیمار ۱ و ۲ سال بود، نتیجه گرفته شده این بود که در آن معیار، شتاب لازم برای انجام عمل برای بیمار اول دو برابر بیمار دوم است.

پیش‌بینی شطرنج

مقادیر وزن‌ها در $$w_{1},...,w_{n}$$ در رابطه با پیش‌بینی می‌تواند به عنوان «احتمال نظری» (Subjective Probability) در نظر گرفته شود. برای مثال، در این مسئله $$w_{1}$$و$$w_{2}$$ می‌توانند به عنوان احتمال نظری برنده شدن دو قهرمان شطرنج به شمار روند.

محدودیت‌های روش AHP چیست؟

روش AHP بدون خطا نیست. کاربران AHP باید از محدودیت‌های آن و مواردی که در آن‌ها استفاده از AHP نادرست است، اطلاع داشته باشند. در اینجا به ۲ مورد از محدودیت‌های این روش اشاره می‌کنیم.

• معکوس شدن مرتبه
• مقیاس‌های متفاوت

فیلم آموزش مدیریت تولید و عملیات در فرادرس

کلیک کنید

معکوس شدن مرتبه

یکی از نقد‌های وارده به AHP، برگرفته از پدیده «معکوس شدن مرتبه» (Rank Reversal) است. از زمان انتشار مقاله «وان نومان» (Von Neumann) و «مورگنسترن» (Morgenstern)، برای متدولوژی‌های تحلیل تصمیم‌گیری به اصولی نیاز بوده است. طبق یکی از این اصول، اگر گزینه جدیدی به مجموعه اصلی گزینه‌ها افزوده شود، رابطه ترتیبی (<) در مجموعه قبلی گزینه‌ها نباید تغییر کند.

با جابجا کردن این مفهوم در زندگی روزانه، اگر فردی در حال انتخاب یک وعده غذایی باشد و آش را به سوپ ترجیح دهد، زمانی که به او ماهی تعارف می‌کنند نباید ترجیحاتش نسبت به آش و سوپ تغییری بکند. «بلتون» (Belton) و همکاران، مثال بعدی را مطرح کردند تا امکان وقوع معکوس شدن رتبه‌بندی را نشان دهند. ماتریس‌های زیر را در نظر بگیرید.

$$\mathbf{A}^{(a)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 / 9 & 1 \\ 9 & 1 & 9 \\ 1 & 1 / 9 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{(b)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 9 & 9 \\ 1 / 9 & 1 & 1 \\ 1 / 9 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{(c)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 8 / 9 & 8 \\ 9 / 8 & 1 & 9 \\ 1 / 8 & 1 / 9 & 1 \end{array}\right)$$

در این ماتریس‌ها، ۳ گزینه با در نظر گرفتن ۳ معیار با یکدیگر مقایسه می‌شوند. با فرض اینکه هر ۳ معیار، وزن یکسان، برابر ۱/۳ دارند، آخرین بردار وزن‌دهی یا الویت به شکل$$\left(0.45,0.47,0.08\right)^{T}$$ است و گزینه‌ها به صورت $$x_{2}$$ بیشتر از $$x_{1}$$ بیشتر از $$x_{3}$$، رتبه‌بندی شده‌اند. تا اینجا، خطایی وجود ندارد. حال فرض کنید، گزینه جدیدی تحت عنوان $$x_{4}$$ به مجموعه اصلی و اولیه اضافه و ارزیابی‌های جدید مطابق ماتریس‌های زیر باشند.

$$\mathbf{A}^{(a)}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 / 9 & 1 & 1 / 9 \\ 9 & 1 & 9 & 1 \\ 1 & 1 / 9 & 1 & 1 / 9 \\ 9 & 1 & 9 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{(b)}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 9 & 9 & 9 \\ 1 / 9 & 1 & 1 & 1 \\ 1 / 9 & 1 & 1 & 1 \\ 1 / 9 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{(c)}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 8 / 9 & 8 & 8 / 9 \\ 9 / 8 & 1 & 9 & 1 \\ 1 / 8 & 1 / 9 & 1 & 1 / 9 \\ 9 / 8 & 1 & 9 & 1 \end{array}\right)$$

توجه داشته باشید که ترجیحات درباره ۳ گزینه اولیه تغییر نکرده است. با این ‌حال، با توجه به مهم‌بودن معیار، بردار وزن‌دهی جدید به شکل $$\left(0.37,0.29,0.06,0.29\right)^{T}$$ خواهد بود و در نتیجه، مرتبه جدید به صورت $$x_{1}$$ بیشتر از $$x_{۲}$$، $$x_{۲}$$ به صورت تقریبی برابر با $$x_{4}$$ و $$x_{4}$$ بیشتر از $$x_{۳}$$ است.

حال، $$x_{۱}$$ ، بالاترین امتیاز را دارد. تاثیر این خطا، زمانی آشکارتر می‌شود که به مثال اولیه یا همان انتخاب شهر شمالی رجوع کنیم. در این‌صورت، با در نظر گرفتن یک شهر دیگر، مانند آمل، ممکن بود ترتیب اصلی ۳ شهر دیگر، بهم بریزد و مشکلات مهم‌تری در دنیای واقعی بوجود بیاید.

مقیاس‌های متفاوت

با وجود برتر بودن نظریه سنجش نسبی، تصمیم‌گیرنده می‌تواند از لحاظ آب‌و‌هوا بیان کند که گرگان ۴ برابر بهتر از ساری است. در زندگی روزمره ، افراد از عبارت‌هایی مانند (من سوپ قارچ را کمی بیشتر از سوپ گوجه ترجیح می‌دهم) یا (من به شدت موز را به سیب ترجیح می‌دهم) استفاده می‌کنند. برای کمک به فرد تصمیم‌گیرنده، بعضی از اصطلاحات زبانی ارائه شده‌اند و برای هرکدام، با توجه به درایه‌های $$a_{ij}$$ ارزش متفاوتی در نظر گرفته شده است.

بنابراین، تصمیم‌گیرنده می‌تواند نظریه‌های خود را درباره جفت‌ها با بکارگیری عبارات زبانی، اظهار کند که در نهایت به اعداد حقیقی تبدیل می‌شوند. مقیاس ساعتی و «مقیاس تعدیل شده» (Balanced Scale) برای کمی کردن عبارات زبانی را می‌توانید در جدول زیر مشاهده کنید.

اینکه کدام یک از این معیار‌ها بهتر هستند هنوز تعیین نشده است اما مقیاس ساعتی بهینه به شمار نمی‌رود. مقیاس تعدیل‌شده زمینه علمی بهتری دارد و باتوجه به آزمایش‌های تجربی انجام شده با افراد، بوجود آمده است. اغلب محققان، عقیده دارند که برای تخصیص دادن اعداد به عبارت‌های کلامی، استفاده از اعداد صحیح ۱ تا ۹ و اعداد معکوس آن‌ها، مناسب خواهد بود. مهم‌ترین دلیل این انتخاب، توانایی محدود انسان‌ها در پردازش اطلاعات است.

بردار الویت یا بردار وزن‌دهی چیست ؟

فیلم آموزش تحلیل سلسله‌مراتبی AHP در تصمیم‌گیری در فرادرس

کلیک کنید

در این‌صورت، تمام اطلاعات قرار داده شده در ماتریس $$A$$ در بردار $$w$$ قرار خواهند داشت و اطلاعات از بین نمی‌روند. زمانی که درایه‌های ماتریس $$A$$ دقیقاً بصورت نسبت‌هایی از وزن‌ها، نباشند، بردار وزنی حاوی اطلاعات ماتریس A، بدست نمی‌آید. از آنجایی‌که، نمی‌توان بدون بردار الویت از روش AHP، استفاده کرد، بوجود آوردن روش‌های هوشمندانه برای تخمین مناسب بردار الویت، ضروری به شمار می‌رود.

واضح است که از روش‌های متفاوت می‌توان، بردار‌های الویت مختلفی را بدست آورد، غیر از زمانی که درایه‌‌های ماتریس، نشان‌دهنده نسبت‌های بین وزن‌ها باشند که در این‌صورت از تمامی روش‌ها به بردار$$w$$ یکسانی، دست می‌یابیم. در «عقلانیت کامل» (Perfect Rationality) بردار $$w$$ بدست آمده از هر روش، به صورت مقابل است $$A=\left(w_{i}/w_{j}\right)_{n\times n}$$.

روش بردار ویژه چیست؟

شناخته‌شده‌ترین روش برای تخمین بردار الویت، به شمار می‌‌رود که توسط خود ساعتی ارايه شده است. طبق این روش، بردار الویت باید برابر با بردار ویژه اصلی (بردار ویژه بدست آمده از بزرگ‌ترین مقدار ویژه) در نظر گرفته شود. در جبر خطی عموماً، این بردار، «پرون-فربنیوس» (Perron-Frobenius) نامیده می‌شود. این روش برگرفته از مشاهداتی است که در ادامه مطرح شده‌اند. ماتریس A را در نظر بگیرید که درایه‌های آن، دقیقاً برابر نسبت بین وزن‌ها هستند، در این صورت مطابق محاسبات زیر با ضرب آن‌ها در بردار $$w$$ به مقدار مشاهده شده دست می‌یابیم.

$$\mathbf{A} \mathbf{w}=\left(\begin{array}{cccc} w_{1} / w_{1} & w_{1} / w_{2} & \ldots & w_{1} / w_{n} \\ w_{2} / w_{1} & w_{2} / w_{2} & \ldots & w_{2} / w_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n} / w_{1} & w_{n} / w_{2} & \ldots & w_{n} / w_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n w_{1} \\ \vdots \\ n w_{n} \end{array}\right)=n \mathbf{w}$$

بنابراین، اگر درایه‌های ماتریس A به صورت نسبت‌هایی بین وزن‌ها باشند، بردار وزن، بردار ویژه‌ای از ماتریس A با توجه به مقدار ویژه $$n$$ خواهد بود. ساعتی این نتیجه را با جایگزین کردن $$n$$ با حداکثر مقدار ویژه ماتریس A که جامع‌تر است، به تمام ماتریس‌های مقایسه‌ای زوجی تعمیم می‌دهد.

بنابراین بردار $$w$$ را می‌توان از هر زوج مقایسه‌ای ماتریس A به صورت راه‌حل معادلات زیر بدست آورد.

$$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{A} \mathbf{w}=\lambda_{\max } \mathbf{w} \\ \mathbf{w}^{T} \mathbf{1}=1 \end{array}\right.$$

که در آن$$\lambda_{\max}$$ ، حداکثر مقدار ویژه ماتریس A و $$1=(1,...,1)^{T}$$است. با اینکه این مسئله به سادگی توسط نرم‌افزار‌های ریاضی و اکسل قابل حل است اما تفسیر آن برای بعضی از افراد، طاقت‌فرسا به شمار می‌رود.

روش میانگین هندسی چیست؟