در مطالب قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با ابزارهایی مانند عملیات سطری مقدماتی در جبر خطی آشنا شدیم. در این آموزش، یکی از مفاهیم مهم و کاربردی به نام استقلال خطی را بیان می‌کنیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

ترکیب خطی

عبارت $$ c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + \cdots + c _ k \mathbf { v } _ k $$ یک ترکیب خطی (Linear Combination) از بردارهای $$ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k\in \mathbb{ R } ^ n $$ نامیده می‌شود که در آن‌ها $$ c_1, c_2, \dots, c_k $$ اسکالرهایی در $$ \mathbb{R} $$ هستند.

استقلال خطی

مجموعه بردارهای $$ \{ \mathbf { v } _ 1 , \mathbf { v } _ 2 , \dots , \mathbf { v } _ k \} $$ را مستقل خطی (Linearly Independent) می‌گوییم، اگر تنها اسکالرهایی که در $$ c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + \cdots + c _ k \mathbf { v } _ k = \mathbf { 0 } $$ صدق می‌کنند، $$ c _ 1 = c _ 2 = \cdots = c _ k = 0 $$ باشند. اگر بردارها مستقل خطی نباشند، وابسته خطی (Linearly Dependent) هستند.

به طور کلی می‌توان گفت مجموعه بردارهای $$ \{ \mathbf { v } _ 1 , \mathbf { v } _ 2 , \dots , \mathbf { v } _ k \} $$ با بعد $$n$$، وابسته خطی هستند، اگر $$ k > n $$ باشد. (اگر تعداد بردارها بیشتر از بعد آن‌ها باشد، بردارها وابسته خطی خواهند بود.)

مثال‌ها

در این بخش چند مثال را درباره ترکیب خطی و استقلال خطی بردارها ارائه خواهیم کرد.

مثال ۱

بردار $$ \mathbf { b } = \begin {bmatrix} 2 \\ 13 \\ 6 \end {bmatrix} $$ را به عنوان ترکیبی از بردارهای زیر بنویسید.

$$ \large \mathbf { v } _ 1 = \begin {bmatrix}
1 \\
5 \\
-1
\end {bmatrix} ,
\mathbf { v } _ 2 =
\begin {bmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end {bmatrix} ,
\mathbf { v } _ 3 =
\begin {bmatrix}
1 \\
4 \\
3
\end {bmatrix} . $$

حل: باید اعداد $$ x _ 1 $$، $$x _ 2$$ و $$ x _ 3 $$ را به گونه‌ای پیدا کنیم که در رابطه زیر صدق کنند.

$$ \large x _ 1 \mathbf { v } _ 1 + x _ 2 \mathbf { v } _ 2 + x _ 3 \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { b } . $$

این معادله برداری، معادل با معادله ماتریسی زیر است:

$$ \large [ \mathbf { v } _ 1 \mathbf { v } _ 2 \mathbf { v } _ 3 ] \mathbf { x } = \mathbf { b } $$

یا به عبارت واضح‌تر، داریم:

$$ \large \begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
5 & 2 & 4 \\
– 1 & 1 & 3
\end {bmatrix}
\begin {bmatrix}
x _ 1 \\
x _ 2 \\
x _ 3
\end {bmatrix} =
\begin {bmatrix}
2 \\
13 \\
6
\end {bmatrix} . $$

بنابراین، مسئله یافتن حل معادله ماتریسی بالا است.

برای حل این معادله، ماتریس افزوده را برای استفاده از روش حذف گاوس-جردن تشکیل می‌دهیم.

این ماتریس به صورت زیر است:

$$ \large \left [\begin {array} {rrr|r}
1 & 1 & 1 & 2 \\
5 & 2 & 4 & 13 \\
-1 & 1 & 3 & 6
\end{array} \right] . $$

از عملیات سطری مقدماتی استفاده می‌کنیم و یک ماتریس سطری پلکانی کاهش یافته به فرم زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 1 & 1 & 2 \\
5 &2 & 4 & 13 \\
-1 & 1 & 3 & 6
\end {array} \right] \xrightarrow[ R _ 3 + R _ 1 ] { R _ 2 – 5 R _ 1 }
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 &-3 & -1 & 3 \\
0 & 2 & 4 & 8
\end {array} \right] \\[6pt] \xrightarrow [ – R _ 2 ] { \frac { 1 } { 2 } R _ 3 }
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 1 & -3 \\
0 & 1 & 2 & 4
\end {array} \right] \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 }
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
0 &3 & 1 & -3
\end {array} \right]\\[6pt] \xrightarrow[ R _ 3 – 3 R _ 2 ] { R _ 1 – R _ 2 }
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
0 & 0 & – 5 & – 1 5
\end {array} \right] \xrightarrow { \frac { – 1 } { 5 } R _ 3 }
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end {array} \right ]\\[6pt] \xrightarrow[ R _ 2 – 2 R _ 3 ] { R _ 1 + R _ 3 }
\left[ \begin {array} {rrr|r}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 &0 & 1 & 3
\end {array} \right].
\end {align*} $$

بنابراین، جواب دستگاه برابر است با:

$$ \large x _ 1 = 1 , \; x _ 2 = – 2 ,\; \text{ } x _ 3 = 3 $$

و ترکیب خطی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \mathbf { b } = \mathbf { v } _ 1 – 2 \mathbf { v } _ 2 + 3 \mathbf { v } _ 3 . $$

مثال ۲

الف) به ازای چه مقدار یا مقادیری از $$ a$$ مجموعه $$ S $$ زیر وابسته خطی هستند؟

$$ \large S = \left \{ \, \begin {bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
a
\end {bmatrix} , \begin {bmatrix}
a \\
0 \\
– 1 \\
2
\end {bmatrix} , \begin {bmatrix}
0 \\
0 \\
a ^ 2 \\
7
\end {bmatrix} , \begin {bmatrix}
1 \\
a \\
1 \\
1
\end {bmatrix} , \begin {bmatrix}
2 \\
– 2 \\
3 \\
a ^ 3
\end {bmatrix} \, \right \} . $$

ب) فرض کنید $$ \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} $$ مجموعه‌ای از بردارهای غیرصفر در $$ \mathbb {R} ^ m $$ باشد که در آن، ضرب نقطه‌ای زیر وقتی $$ i\neq j$$، برابر با صفر است:

$$ \large \mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_j=0 $$

ثابت کنید این مجموعه مستقل خطی هستند.

حل (الف): از آنجایی که مجموعه $$ S$$ از پنج بردار چهاربعدی تشکیل شده است، صرف‌نظر از مقدار $$a$$ وابسته خطی هستند. بنابراین، به ازای هر مقداری از $$ a$$ مجموعه $$ S$$ وابسته خطی است.

حل (ب): فرض کنید ترکیب خطی زیر را برای اسکالرهای $$c_1$$، $$c_ 2 $$ و $$ c _ 3 $$ داریم:

$$ \large c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { 0 } \; \; \; \; \; \; (*) $$

برای نشان دادن اینکه مجموعه مورد نظر مستقل خطی است، باید نشان دهیم: $$ c_1=c_2=c_3=0 $$.

با ضرب نقطه‌ای $$ \mathbf{v}_1 $$‌ در ترکیب بالا، داریم:

$$ \large \begin {align*}
\mathbf { v } _ 1 \cdot ( c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 3 ) = \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } .
\end {align*} $$

با گسترش ضرب نقطه‌ای بالا، حاصل عبارت برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
c _ 1 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { 0 } .
\end {align*} $$

از آنجایی که حاصل ضرب‌های نقطه‌ای $$ \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 2 = 0 $$ و $$ \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 3 = 0 $$ را داریم، می‌توان نوشت:

$$ \large c _ 1 || \mathbf { v } _ 1 || ^ 2 = c _ 1 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 1 = 0 . $$

با توجه به $$ \mathbf{v}_1\neq \mathbf{0} $$، طول $$ ||\mathbf{v}||\neq 0 $$ است.

بنابراین، باید داشته باشیم: $$ c_1=0 $$.

موارد بالا را برای $$ \mathbf{v}_2 $$‌ انجام می‌دهیم. از آنجایی که $$ c_1=0 $$، حاصل (*) به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c_ 3 \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { 0 } . $$

داریم:

$$ \large \begin {align*}
\mathbf { 0 } & = \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { 0 } = \mathbf { v } _ 2 \cdot ( c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 3 ) \\
& = c _ 2 \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { v } _ 2 +c _ 3 \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { v } _ 3 .
\end {align*} $$

از آنجایی که $$ \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_3=0 $$، داریم:

$$ \large \mathbf { 0 } = c _ 2 \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { v } _ 2 = c _ 2 || \mathbf { v } _ 2 || ^ 2 . $$

به دلیل آنکه $$ \mathbf{x}\neq \mathbf{0} $$، داریم: $$ ||\mathbf{v}_2||\neq 0 $$ و در نتیجه $$ c_2=0 $$.

بنابراین، (*) اکنون $$ c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0} $$ است و از آنجایی که $$ \mathbf{x}_3\neq \mathbf{0} $$، نتیجه می‌گیریم: $$ c_3=0 $$. بنابراین، نشان دادیم که $$ c_1=c_2=c_3=0 $$ و در نتیجه، مجموعه $$ \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} $$ مستقل خطی است.

مثال ۳

مقدار $$h $$ را به گونه‌ای بیابید که بردارهای زیر مستقل خطی باشند:

$$ \large \left \{ \mathbf { v } _ 1 = \begin {bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 2 = \begin {bmatrix}
h \\ 1 \\ – h \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 3 = \begin {bmatrix}
1 \\ 2 h \\ 3 h + 1 \end {bmatrix} \right \} $$

حل اول: ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+x_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}. \; \; \; \; \; \; (*) $$

اگر دستگاه همگن فقط یک جواب صفرِ $$ x_1=x_2=x_3=0 $$ داشته باشد، آنگاه بردارهای $$ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $$ مستقل خطی خواهند بود.

ماتریس افزوده سیستم را به صورت زیر کاهش می‌دهیم:

$$ \large \left [\begin {array} {rrr|r}
1 & h & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 h & 0 \\
0 & – h & 3 h + 1 & 0
\end {array} \right] \xrightarrow { R _ 3 + h R _ 2 }
\left [\begin {array} {rrr|r}
1 & h & 1 & 0 \\
0 &1 & 2 h & 0 \\
0 & 0 & 2 h ^ 2 + 3 h + 1 & 0
\end {array} \right]. $$

با توجه به عبارت بالا، دستگاه همگن (*) فقط جواب صفر دارد، اگر و تنها اگر:

$$ \large 2 h ^ 2 + 3 h + 1 \neq 0 . $$

اگر $$ h \neq -\frac{1}{2}, -1 $$، آنگاه $$ 2h^2+3h+1 \neq 0 $$.

در نهایت، می‌توان گفت که بردارهای $$ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $$ برای هر $$ h$$ به جز $$ -\frac{1}{2} $$ و $$ -1 $$ مستقل خطی هستند.

حل دوم: بردارهای $$ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $$ مستقل خطی هستند، اگر و تنها اگر ماتریس زیر غیرمنفرد باشد:‌

$$ \large A : = [ \mathbf { v } _ 1 \mathbf { v } _ 2 \mathbf { v } _ 3 ] = \begin {bmatrix}
1 & h & 1 \\
0 & 1 & 2 h \\
0 & – h & 3 h + 1
\end {bmatrix} $$

همچنین، ماتریس $$ A$$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر دترمینان $$ \det(A) $$ غیرصفر باشد.

بنابراین، دترمینان ماتریس $$ A $$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
\det ( A ) & = \begin {vmatrix}
1 & h & 1 \\
0 & 1 & 2 h \\
0 & – h & 3 h + 1
\end {vmatrix} \\[6pt] & = \begin {vmatrix}
1 & 2h\\
– h & 3 h + 1
\end {vmatrix} \\[6pt] & = 2h ^ 2 + 3 h + 1 \\
& = ( 2 h + 1 ) ( h + 1 ) .
\end {align*} $$

در نتیجه، $$ \det(A)\neq 0 $$، اگر و تنها اگر $$ h\neq -\frac{1}{2}, -1 $$.

بنابراین، بردارهای $$ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $$ برای هر مقداری از $$h$$ به جز $$ -\frac{1}{2} $$ و $$ -1 $$ مستقل خطی هستند.

مثال ۴

بردار $$ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ – 1 \end {bmatrix} $$ را به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای $$ \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} $$، $$ \large \begin {bmatrix} 2 \\ – 2 \\ 1 \end {bmatrix} $$ و $$ \begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end {bmatrix} $$ بنویسید.

حل: می‌خواهیم اعداد حقیقی $$ x _ 1 $$، $$ x _ 2 $$ و $$ x _ 3 $$ را به گونه‌ای بیابیم که معادله زیر را حل کنند:

$$ \large \begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ – 1 \end {bmatrix} = x _ 1 \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} + x _ 2 \begin {bmatrix} 2 \\ – 2 \\ 1 \end {bmatrix} + x _ 3 \begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} x _ 1 + 2 x _ 2 + 2 x _ 3 \\ – 2 x _ 2 \\ x _ 2 + 4 x _ 3 \end {bmatrix} . $$

هر سطر از این ماتریس یک معادله را نشان می‌دهد، و بنابراین، سه سطر یک دستگاه معادلات خطی هستند. برای پیدا کردن یک جواب، ماتریس افزوده را کاهش می‌دهیم:

$$ \large \begin {align*}
\left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & – 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & – 1 \end {array} \right ] \xrightarrow [ R _ 2 + 2 R _ 3 ] { R _ 1 – 2 R _ 3 } \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & – 6 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & – 1 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 } \left [ \begin {array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & – 1 \\ 0 & 0 & 8 & 1 \end {array} \right ] \\[6pt] \xrightarrow { \frac { 1 } { 8 } R _ 3 } \left [ \begin {array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & 3 \\[3pt] 0 & 1 & 4 & -1 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 8 } \end {array} \right ] \xrightarrow [ R _ 2 – 4 R _ 3 ] { R _ 1 + 6 R _ 3 } \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & \frac { 1 5 } { 4 } \\[3pt] 0 & 1 & 0 & \frac { – 3 } { 2 } \\[3pt] 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 8 } \end {array} \right ] .
\end {align*} $$

در نتیجه، جواب‌های $$ x_1 = \frac{15}{4} $$، $$ x_2 = \frac{-3}{2} $$ و $$ x_3 = \frac{1}{8} $$ به دست می‌آیند.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش استقلال خطی و ترکیب خطی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی استقلال خطی و ترکیب خطی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از استقلال خطی بردارها

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 17 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “استقلال خطی و ترکیب خطی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *