شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
استقلال خطی و ترکیب خطی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۲۱۴۰۸
۱۴۰۳/۱۰/۱
۳۹ دقیقه
PDF
آموزش متنی جامع
امکان دانلود نسخه PDF
آموزش ویدئویی
در مطالب قبلی از مجموعه آموزشهای ریاضی مجله فرادرس، با ابزارهایی مانند عملیات سطری مقدماتی در جبر خطی آشنا شدیم. در این آموزش، یکی از مفاهیم مهم و کاربردی به نام استقلال خطی را بیان میکنیم.
عبارت c1v1+c2v2+⋯+ckvk یک ترکیب خطی (Linear Combination) از بردارهایv1,v2,…,vk∈Rn نامیده میشود که در آنها c1,c2,…,ck اسکالرهایی در R هستند.
مجموعه بردارهای {v1,v2,…,vk} را مستقل خطی (Linearly Independent) میگوییم، اگر تنها اسکالرهایی که در c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0 صدق میکنند، c1=c2=⋯=ck=0 باشند. اگر بردارها مستقل خطی نباشند، وابسته خطی (Linearly Dependent) هستند.
به طور کلی میتوان گفت مجموعه بردارهای {v1,v2,…,vk} با بعد n، وابسته خطی هستند، اگر k>n باشد. (اگر تعداد بردارها بیشتر از بعد آنها باشد، بردارها وابسته خطی خواهند بود.)
مثالها
در این بخش چند مثال را درباره ترکیب خطی و استقلال خطی بردارها ارائه خواهیم کرد.
مثال ۱
بردار b=2136 را به عنوان ترکیبی از بردارهای زیر بنویسید.
v1=15−1,v2=121,v3=143.
حل: باید اعداد x1، x2 و x3 را به گونهای پیدا کنیم که در رابطه زیر صدق کنند.
x1v1+x2v2+x3v3=b.
این معادله برداری، معادل با معادله ماتریسی زیر است:
[v1v2v3]x=b
یا به عبارت واضحتر، داریم:
15−1121143x1x2x3=2136.
بنابراین، مسئله یافتن حل معادله ماتریسی بالا است.
برای حل این معادله، ماتریس افزوده را برای استفاده از روش حذف گاوس-جردن تشکیل میدهیم.
این ماتریس به صورت زیر است:
15−11211432136.
از عملیات سطری مقدماتی استفاده میکنیم و یک ماتریس سطری پلکانی کاهش یافته به فرم زیر به دست میآوریم:
ب) فرض کنید {v1,v2,v3} مجموعهای از بردارهای غیرصفر در Rm باشد که در آن، ضرب نقطهای زیر وقتی i=j، برابر با صفر است:
vi⋅vj=0
ثابت کنید این مجموعه مستقل خطی هستند.
حل (الف): از آنجایی که مجموعه S از پنج بردار چهاربعدی تشکیل شده است، صرفنظر از مقدار a وابسته خطی هستند. بنابراین، به ازای هر مقداری از a مجموعه S وابسته خطی است.
حل (ب): فرض کنید ترکیب خطی زیر را برای اسکالرهای c1، c2 و c3 داریم:
c1v1+c2v2+c3v3=0(∗)
برای نشان دادن اینکه مجموعه مورد نظر مستقل خطی است، باید نشان دهیم: c1=c2=c3=0.
به دلیل آنکه x=0، داریم: ∣∣v2∣∣=0 و در نتیجه c2=0.
بنابراین، (*) اکنون c3v3=0 است و از آنجایی که x3=0، نتیجه میگیریم: c3=0. بنابراین، نشان دادیم که c1=c2=c3=0 و در نتیجه، مجموعه {v1,v2,v3} مستقل خطی است.
مثال ۳
مقدار h را به گونهای بیابید که بردارهای زیر مستقل خطی باشند:
⎩⎨⎧v1=100,v2=h1−h,v3=12h3h+1⎭⎬⎫
حل اول: ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:
x1v1+x2v2+x3v3=0.(∗)
اگر دستگاه همگن فقط یک جواب صفرِ x1=x2=x3=0 داشته باشد، آنگاه بردارهای v1,v2,v3 مستقل خطی خواهند بود.
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
۵ دیدگاه برای «استقلال خطی و ترکیب خطی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»
اصغر
سلام
ممنون واقعا
کوتاه و مفید
سپیده
سلام
ممنون از آموزش خوبتون.
فقط اگر خواستیم مستقل خطی بودن بردارهایی که به صورت پارمتری یعنی برحسب متغیرها باشند رو بررسی کنیم. حالتی که n>k باشد اونوقت نمیشه ضرب داخلی بردارهارو دو یه دو بدست آورد و ثابت کرد صفر میشن یا نه. در اینصورت باید چکار کرد؟
رویا
عالی بود
حسین
سلام منو موضوعات این سایت نصف صفحه رو میگیره و عملا مطالعه رو غیر ممکن میکنه لطفا این مشکل سایت رو حل کنید ممنون
رضا مقدری
سلام، وقت شما بخیر؛
از بابت ارائه بازخورد از شما سپاسگزاریم. در حال بررسی موضوع هستیم و در اسرع وقت آن را رفع خواهیم کرد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام
ممنون واقعا
کوتاه و مفید
سلام
ممنون از آموزش خوبتون.
فقط اگر خواستیم مستقل خطی بودن بردارهایی که به صورت پارمتری یعنی برحسب متغیرها باشند رو بررسی کنیم. حالتی که n>k باشد اونوقت نمیشه ضرب داخلی بردارهارو دو یه دو بدست آورد و ثابت کرد صفر میشن یا نه. در اینصورت باید چکار کرد؟
عالی بود
سلام منو موضوعات این سایت نصف صفحه رو میگیره و عملا مطالعه رو غیر ممکن میکنه لطفا این مشکل سایت رو حل کنید ممنون
سلام، وقت شما بخیر؛
از بابت ارائه بازخورد از شما سپاسگزاریم. در حال بررسی موضوع هستیم و در اسرع وقت آن را رفع خواهیم کرد.