استقلال خطی و ترکیب خطی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با ابزارهایی مانند عملیات سطری مقدماتی در جبر خطی آشنا شدیم. در این آموزش، یکی از مفاهیم مهم و کاربردی به نام استقلال خطی را بیان می‌کنیم.

ترکیب خطی

عبارت $$c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + \cdots + c _ k \mathbf { v } _ k$$ یک ترکیب خطی (Linear Combination) از بردارهای $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k\in \mathbb{ R } ^ n$$ نامیده می‌شود که در آن‌ها $$c_1, c_2, \dots, c_k$$ اسکالرهایی در $$\mathbb{R}$$ هستند.

استقلال خطی

مجموعه بردارهای $$\{ \mathbf { v } _ 1 , \mathbf { v } _ 2 , \dots , \mathbf { v } _ k \}$$ را مستقل خطی (Linearly Independent) می‌گوییم، اگر تنها اسکالرهایی که در $$c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + \cdots + c _ k \mathbf { v } _ k = \mathbf { 0 }$$ صدق می‌کنند، $$c _ 1 = c _ 2 = \cdots = c _ k = 0$$ باشند. اگر بردارها مستقل خطی نباشند، وابسته خطی (Linearly Dependent) هستند.

فیلم آموزش ریاضی فیزیک ۱ + مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

به طور کلی می‌توان گفت مجموعه بردارهای $$\{ \mathbf { v } _ 1 , \mathbf { v } _ 2 , \dots , \mathbf { v } _ k \}$$ با بعد $$n$$، وابسته خطی هستند، اگر $$k > n$$ باشد. (اگر تعداد بردارها بیشتر از بعد آن‌ها باشد، بردارها وابسته خطی خواهند بود.)

مثال‌ها

در این بخش چند مثال را درباره ترکیب خطی و استقلال خطی بردارها ارائه خواهیم کرد.

مثال ۱

بردار $$\mathbf { b } = \begin {bmatrix} 2 \\ 13 \\ 6 \end {bmatrix}$$ را به عنوان ترکیبی از بردارهای زیر بنویسید.

$$\large \mathbf { v } _ 1 = \begin {bmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 2 = \begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 3 = \begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end {bmatrix} .$$

حل: باید اعداد $$x _ 1$$، $$x _ 2$$ و $$x _ 3$$ را به گونه‌ای پیدا کنیم که در رابطه زیر صدق کنند.

$$\large x _ 1 \mathbf { v } _ 1 + x _ 2 \mathbf { v } _ 2 + x _ 3 \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { b } .$$

این معادله برداری، معادل با معادله ماتریسی زیر است:

$$\large [ \mathbf { v } _ 1 \mathbf { v } _ 2 \mathbf { v } _ 3 ] \mathbf { x } = \mathbf { b }$$

یا به عبارت واضح‌تر، داریم:

$$\large \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ - 1 & 1 & 3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x _ 1 \\ x _ 2 \\ x _ 3 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 2 \\ 13 \\ 6 \end {bmatrix} .$$

بنابراین، مسئله یافتن حل معادله ماتریسی بالا است.

برای حل این معادله، ماتریس افزوده را برای استفاده از روش حذف گاوس-جردن تشکیل می‌دهیم.

این ماتریس به صورت زیر است:

$$\large \left [\begin {array} {rrr|r} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 4 & 13 \\ -1 & 1 & 3 & 6 \end{array} \right] .$$

از عملیات سطری مقدماتی استفاده می‌کنیم و یک ماتریس سطری پلکانی کاهش یافته به فرم زیر به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 5 &2 & 4 & 13 \\ -1 & 1 & 3 & 6 \end {array} \right] \xrightarrow[ R _ 3 + R _ 1 ] { R _ 2 - 5 R _ 1 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 &-3 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \end {array} \right] \\[6pt] \xrightarrow [ - R _ 2 ] { \frac { 1 } { 2 } R _ 3 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \end {array} \right] \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 &3 & 1 & -3 \end {array} \right]\\[6pt] \xrightarrow[ R _ 3 - 3 R _ 2 ] { R _ 1 - R _ 2 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & - 5 & - 1 5 \end {array} \right] \xrightarrow { \frac { - 1 } { 5 } R _ 3 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end {array} \right ]\\[6pt] \xrightarrow[ R _ 2 - 2 R _ 3 ] { R _ 1 + R _ 3 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 &0 & 1 & 3 \end {array} \right]. \end {align*}$$

بنابراین، جواب دستگاه برابر است با:

$$\large x _ 1 = 1 , \; x _ 2 = - 2 ,\; \text{ } x _ 3 = 3$$

و ترکیب خطی به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \mathbf { b } = \mathbf { v } _ 1 - 2 \mathbf { v } _ 2 + 3 \mathbf { v } _ 3 .$$

مثال ۲

الف) به ازای چه مقدار یا مقادیری از $$a$$ مجموعه $$S$$ زیر وابسته خطی هستند؟

$$\large S = \left \{ \, \begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ a \end {bmatrix} , \begin {bmatrix} a \\ 0 \\ - 1 \\ 2 \end {bmatrix} , \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ a ^ 2 \\ 7 \end {bmatrix} , \begin {bmatrix} 1 \\ a \\ 1 \\ 1 \end {bmatrix} , \begin {bmatrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \\ a ^ 3 \end {bmatrix} \, \right \} .$$

ب) فرض کنید $$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$$ مجموعه‌ای از بردارهای غیرصفر در $$\mathbb {R} ^ m$$ باشد که در آن، ضرب نقطه‌ای زیر وقتی $$i\neq j$$، برابر با صفر است:

$$\large \mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_j=0$$

ثابت کنید این مجموعه مستقل خطی هستند.

حل (الف): از آنجایی که مجموعه $$S$$ از پنج بردار چهاربعدی تشکیل شده است، صرف‌نظر از مقدار $$a$$ وابسته خطی هستند. بنابراین، به ازای هر مقداری از $$a$$ مجموعه $$S$$ وابسته خطی است.

حل (ب): فرض کنید ترکیب خطی زیر را برای اسکالرهای $$c_1$$، $$c_ 2$$ و $$c _ 3$$ داریم:

$$\large c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { 0 } \; \; \; \; \; \; (*)$$

برای نشان دادن اینکه مجموعه مورد نظر مستقل خطی است، باید نشان دهیم: $$c_1=c_2=c_3=0$$.

با ضرب نقطه‌ای $$\mathbf{v}_1$$‌ در ترکیب بالا، داریم:

$$\large \begin {align*} \mathbf { v } _ 1 \cdot ( c _ 1 \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 3 ) = \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } . \end {align*}$$

با گسترش ضرب نقطه‌ای بالا، حاصل عبارت برابر است با:

$$\large \begin {align*} c _ 1 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 1 + c _ 2 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { 0 } . \end {align*}$$

از آنجایی که حاصل ضرب‌های نقطه‌ای $$\mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 2 = 0$$ و $$\mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 3 = 0$$ را داریم، می‌توان نوشت:

$$\large c _ 1 || \mathbf { v } _ 1 || ^ 2 = c _ 1 \mathbf { v } _ 1 \cdot \mathbf { v } _ 1 = 0 .$$

با توجه به $$\mathbf{v}_1\neq \mathbf{0}$$، طول $$||\mathbf{v}||\neq 0$$ است.

بنابراین، باید داشته باشیم: $$c_1=0$$.

موارد بالا را برای $$\mathbf{v}_2$$‌ انجام می‌دهیم. از آنجایی که $$c_1=0$$، حاصل (*) به صورت زیر خواهد بود:

$$\large c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c_ 3 \mathbf { v } _ 3 = \mathbf { 0 } .$$

داریم:

$$\large \begin {align*} \mathbf { 0 } & = \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { 0 } = \mathbf { v } _ 2 \cdot ( c _ 2 \mathbf { v } _ 2 + c _ 3 \mathbf { v } _ 3 ) \\ & = c _ 2 \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { v } _ 2 +c _ 3 \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { v } _ 3 . \end {align*}$$

از آنجایی که $$\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_3=0$$، داریم:

$$\large \mathbf { 0 } = c _ 2 \mathbf { v } _ 2 \cdot \mathbf { v } _ 2 = c _ 2 || \mathbf { v } _ 2 || ^ 2 .$$

به دلیل آنکه $$\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$$، داریم: $$||\mathbf{v}_2||\neq 0$$ و در نتیجه $$c_2=0$$.

بنابراین، (*) اکنون $$c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}$$ است و از آنجایی که $$\mathbf{x}_3\neq \mathbf{0}$$، نتیجه می‌گیریم: $$c_3=0$$. بنابراین، نشان دادیم که $$c_1=c_2=c_3=0$$ و در نتیجه، مجموعه $$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$$ مستقل خطی است.

مثال ۳

مقدار $$h$$ را به گونه‌ای بیابید که بردارهای زیر مستقل خطی باشند:

$$\large \left \{ \mathbf { v } _ 1 = \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 2 = \begin {bmatrix} h \\ 1 \\ - h \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 3 = \begin {bmatrix} 1 \\ 2 h \\ 3 h + 1 \end {bmatrix} \right \}$$

حل اول: ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

$$\large x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+x_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}. \; \; \; \; \; \; (*)$$

اگر دستگاه همگن فقط یک جواب صفرِ $$x_1=x_2=x_3=0$$ داشته باشد، آنگاه بردارهای $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$$ مستقل خطی خواهند بود.

ماتریس افزوده سیستم را به صورت زیر کاهش می‌دهیم:

$$\large \left [\begin {array} {rrr|r} 1 & h & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 h & 0 \\ 0 & - h & 3 h + 1 & 0 \end {array} \right] \xrightarrow { R _ 3 + h R _ 2 } \left [\begin {array} {rrr|r} 1 & h & 1 & 0 \\ 0 &1 & 2 h & 0 \\ 0 & 0 & 2 h ^ 2 + 3 h + 1 & 0 \end {array} \right].$$

با توجه به عبارت بالا، دستگاه همگن (*) فقط جواب صفر دارد، اگر و تنها اگر:

$$\large 2 h ^ 2 + 3 h + 1 \neq 0 .$$

اگر $$h \neq -\frac{1}{2}, -1$$، آنگاه $$2h^2+3h+1 \neq 0$$.

در نهایت، می‌توان گفت که بردارهای $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$$ برای هر $$h$$ به جز $$-\frac{1}{2}$$ و $$-1$$ مستقل خطی هستند.

حل دوم: بردارهای $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$$ مستقل خطی هستند، اگر و تنها اگر ماتریس زیر غیرمنفرد باشد:‌

$$\large A : = [ \mathbf { v } _ 1 \mathbf { v } _ 2 \mathbf { v } _ 3 ] = \begin {bmatrix} 1 & h & 1 \\ 0 & 1 & 2 h \\ 0 & - h & 3 h + 1 \end {bmatrix}$$

همچنین، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر دترمینان $$\det(A)$$ غیرصفر باشد.

بنابراین، دترمینان ماتریس $$A$$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} \det ( A ) & = \begin {vmatrix} 1 & h & 1 \\ 0 & 1 & 2 h \\ 0 & - h & 3 h + 1 \end {vmatrix} \\[6pt] & = \begin {vmatrix} 1 & 2h\\ - h & 3 h + 1 \end {vmatrix} \\[6pt] & = 2h ^ 2 + 3 h + 1 \\ & = ( 2 h + 1 ) ( h + 1 ) . \end {align*}$$

در نتیجه، $$\det(A)\neq 0$$، اگر و تنها اگر $$h\neq -\frac{1}{2}, -1$$.

بنابراین، بردارهای $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$$ برای هر مقداری از $$h$$ به جز $$-\frac{1}{2}$$ و $$-1$$ مستقل خطی هستند.

مثال ۴

بردار $$\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end {bmatrix}$$ را به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای $$\begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}$$، $$\large \begin {bmatrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end {bmatrix}$$ و $$\begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end {bmatrix}$$ بنویسید.

حل: می‌خواهیم اعداد حقیقی $$x _ 1$$، $$x _ 2$$ و $$x _ 3$$ را به گونه‌ای بیابیم که معادله زیر را حل کنند:

$$\large \begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end {bmatrix} = x _ 1 \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} + x _ 2 \begin {bmatrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end {bmatrix} + x _ 3 \begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} x _ 1 + 2 x _ 2 + 2 x _ 3 \\ – 2 x _ 2 \\ x _ 2 + 4 x _ 3 \end {bmatrix} .$$

هر سطر از این ماتریس یک معادله را نشان می‌دهد، و بنابراین، سه سطر یک دستگاه معادلات خطی هستند. برای پیدا کردن یک جواب، ماتریس افزوده را کاهش می‌دهیم:

$$\large \begin {align*} \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & - 1 \end {array} \right ] \xrightarrow [ R _ 2 + 2 R _ 3 ] { R _ 1 – 2 R _ 3 } \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & - 6 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & - 1 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 } \left [ \begin {array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 8 & 1 \end {array} \right ] \\[6pt] \xrightarrow { \frac { 1 } { 8 } R _ 3 } \left [ \begin {array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & 3 \\[3pt] 0 & 1 & 4 & -1 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 8 } \end {array} \right ] \xrightarrow [ R _ 2 – 4 R _ 3 ] { R _ 1 + 6 R _ 3 } \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & \frac { 1 5 } { 4 } \\[3pt] 0 & 1 & 0 & \frac { - 3 } { 2 } \\[3pt] 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 8 } \end {array} \right ] . \end {align*}$$

در نتیجه، جواب‌های $$x_1 = \frac{15}{4}$$، $$x_2 = \frac{-3}{2}$$ و $$x_3 = \frac{1}{8}$$ به دست می‌آیند.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تجزیه مقادیر منفرد (SVD) — به زبان ساده
• ماتریس متعامد — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) جبر خطی برای یادگیری ماشین — راهنمای سریع و کامل

^^