علوم پایه , فیزیک 1818 بازدید

یکی از مباحث مهم در فیزیک و مکانیک کلاسیک، نیروی کشش نخ یا طناب است. کشش نخ نیرویی است که توسط یک نخ، طناب، کابل، سیم یا موارد مشابه به یک یا چند جسم وارد می‌شود. هر جسمی که به یک ریسمان آویزان شده باشد یا توسط طنابی بچرخد یا همانند آونگ حرکتی رفت‌ و برگشتی انجام دهد، نیرو کشش نخ به آن اعمال می‌شود.

محاسبه نیرو کشش نخ نه تنها برای رشته‌های فیزیک و مکانیک، بلکه برای مهندسان عمران و معمارانی که به وفور از طناب در پروژه‌های خود از آن استفاده می‌کنند نیز اهمیت بسیار زیادی دارد. در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به بررسی نیرو کشش نخ و نحوه محاسبه آن در مثال‌های متنوع بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

 نیرو کشش نخ

در این قسمت به محاسبه نیرو کشش یک رشته نخ می‌پردازیم. در بخش بعدی به بررسی سیستم چند رشته‌ای خواهیم پرداخت. در اینجا نخ یا طناب‌هایی بررسی می‌شوند که به صورت یکنواخت کشیده می‌شوند. در واقع نیرو کشش نخ به هر جز از طناب به طور یکسان وارد می‌شود.

محاسبه نیرو وزن (گرانش)

کشش در یک رشته نخ، ریسمان یا موارد مشابه، نتیجه نیرویی است که از هر دو طرف (انتها) به ریسمان وارد می‌شود. از قانون دوم نیوتن به یاد داریم که نیرو حاصل ضرب جرم در شتاب است که با واحد نیوتن سنجیده می‌شود.

$$F=ma$$

در صورتی که طناب محکم کشیده شده باشد، هرگونه تغییر در شتاب یا جرم اجسام متصل به طناب، در نیرو کشش نخ تغییر ایجاد می‌کند. یادآور می‌شویم که طناب مد نظر ما، جرمی یکنواخت در واحد طول داشته و میزان کشیده شدنش در هر جز یکسان است. همچنین از جرم طناب در محاسبات صرف‌نظر می‌کنیم. نکته‌ای که در اینجا باید به یاد داشته باشید، فراموش نکردن شتاب گرانش زمین ($$g$$)، برای اجسام متصل به طناب است. پس برای حالتی که یک جسم از طریق یک طناب آویزان و در حال تعادل است، نیرو کشش نخ برابر با نیرو وزن است. به شکل زیر دقت کنید.

نیروی کشش نخ
در حالت تعادل، نیرو کشش نخ برابر با نیرو وزن است.

برابری نیرو کشش نخ و نیرو وزن از قانون سوم نیوتن نتیجه می‌شود. احتمالاً عبارت «هر عملی، عکس‌العملی است برابر و در خلاف جهت» را زیاد شنیده‌اید. عبارت مذکور بیان قانون سوم نیوتن بوده و مطابق با آن نیرو وزن در جهت پایین و نیرو کشش نخ در جهت بالا است.

حال فرض کنید که می‌خواهیم جسم 10 کیلوگرمی شکل فوق را توسط طنابی با شتاب ثابت $$1\frac{m}{s^{2}}$$ به سمت بالا ببریم. به نظر شما چه میزان نیرو کشش به طناب اعمال می‌شود؟ در شکل فوق دیدیم که یک نیرو از سمت وزن جسم به طناب وارد می‌شود. حال در شکل زیر مشخص است که نیروی دوم، حاصل شتاب دادن سیستم به طرف بالاست.

نیرو کشش طناب
حرکت با شتاب ثابت جسمی به سمت بالا توسط طناب

پس در مجموع به هنگام حرکت سیستم شکل فوق با شتاب ثابت $$1\frac{m}{s^{2}}$$ به طرف بالا، نیرو کشش $$108N$$ به طناب وارد می‌شود.

محاسبه نیرو حاصل از دوران

یک آونگ را در نظر بگیرید. جسمی که از انتهای طنابی آویزان و حرکت نوسانی (رفت‌وبرگشت) انجام می‌دهد یا می‌چرخد، از طریق نیرو گریز از مرکز (Centripetal Force) باعث ایجاد نیرو کشش در نخ می‌شود. برای آشنایی با نیرو گریز از مرکز به مطلب «حرکت دایره‌ای — به زبان ساده» مراجعه کنید. می‌دانیم که نیرو گریز از مرکز مطابق با رابطه زیر محاسبه می‌شود.

$$F=m\frac{v^{2}}{r}$$

مطابق رابطه فوق، هر چه جرم و سرعت چرخش جسم بیشتر باشد، نیرو گریز از مرکز بیشتر است. در رابطه فوق $$r$$ شعاع دایره‌ای است که روی محیط آن حرکت دایره‌ای انجام می‌گیرد. در اینجا شعاع $$r$$ همان طول طناب است. در ادامه در نظر داریم تا نیرو کشش نخ برای یک حرکت آونگی را محاسبه کنیم. از آنجا که جهت و بزرگی نیرو گریز از مرکز با تغییر مکان جسم، در واقع تغییر سرعت، تغییر می‌کند، می‌خواهیم بیشترین نیرو کشش نخ را در حرکت مذکور به دست آوریم. در این حرکت، جسم در نقطه تعادل آونگ بیشترین سرعت را دارد. همچنین به یاد داشته باشید که نیرو گرانش (وزن) همیشه به سمت پایین بر جسم اثر می‌کند.

حال حرکت نوسانی آونگی را در نظر بگیرید که سرعت جسم 10 کیلوگرمی در پایین‌ترین نقطه (نقطه تعادل آونگ) $$2\frac{m}{s}$$ است. طول طناب آونگ را $$1.5m$$ در نظر بگیرید. نیرو کشش نخ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

نیرو کشش نخ در آونگ
نیرو کشش نخ در نقطه تعادل در حرکت آونگی

در حالت فوق، یعنی لحظه‌ای که جسم در پایین‌ترین نقطه قرار دارد. نیرو وزن همانند حالتی محاسبه می‌شود که سیستم جسم و طناب در حال تعادل هستند. پیش‌تر بیان کردیم که نیرو وزن همیشه به سمت پایین است. حال اگر در نقطه‌ای به جز نقطه تعادل آونگ در حرکت دایره‌ای، اقدام به محاسبه نیرو کشش نخ کنیم، تاثیر نیرو وزن بر کشش نخ متفاوت خواهد بود. در این حالت نیرو کشش نخ، که در واقع عکس‌العمل نیرو وزن است، برابر با بخشی ($$mg\cos\theta$$) از این نیرو است. در واقع ($$mg\cos\theta$$) مولفه‌ای است که در راستا (موازات) نیروی کششی طناب است. این مطلب را در قالب مثال زیر عنوان می‌کنیم.

دوباره حرکت آونگی را در نظر بگیرید. به عنوان مثال می‌خواهیم نیرو کشش طناب را در حالتی که نسبت به وضعیت تعادل، به اندازه 15 درجه به طرف چپ یا راست رفته است، محاسبه کنیم. در این نقطه سرعت جسم $$1.5\frac{m}{s}$$است. در نتیجه نیرو کشش طناب به صورت زیر است:

نیرو کشش نخ در آونگ
نیرو کشش نخ در حرکت آونگی

همان‌طور که در شکل فوق مشاهده می‌شود، نیرو کشش نخ در این نقطه مقدار کمتری نسبت به پایین‌ترین نقطه دارد. اگر برایتان سوال است که چرا مقدار ($$mg$$) در کسینوس زاویه ضرب شده است، به مقاله «بردار — به زبان ساده» مراجعه کنید. حال به نظر شما به هنگام چرخاندن جسمی از طریق طناب، در کدام نقطه از حرکت دایره‌ای احتمال پاره شدن طناب بیشتر است؟

نیرو کشش نخ حاصل از نیرو اصطکاک

در این قسمت می‌خواهیم نیرو کشش ناشی از اصطکاک را محاسبه کنیم. فرض کنید که به جسمی 10 کیلوگرمی طنابی بسته‌ و آن را از طریق طناب روی زمین می‌کشیم. در مقاله «اصطکاک — به زبان ساده» دیدیم که به هنگام حرکت یک جسم از حال سکون، با دو نوع نیرو اصطکاک روبه‌رو هستیم.

مورد اول، نیروی اصطکاکی است که مانع از حرکت جسم می‌شود. این نیرو اصطکاک به اصطکاک ایستایی موسوم بوده که طبق رابطه $$f_{s}=\mu_{s}F_{N}=mg\mu_{s}$$ محاسبه می‌شود. مورد دوم اصطکاک جنبشی ($$f_{k}=\mu_{k}F_{N}=mg\mu_{k}$$) است که همیشه مقداری کمتر از اصطکاک ایستایی دارد ($$\mu_{s}>\mu_{k}$$). اگر دقت کرده باشید به هنگام هول دادن یک جسم، در ابتدا نیرو بیشتری باید صرف کنید، اما به محض اینکه جسم شروع به حرکت کرد، نیرو کمتری برای هول دادن آن نیاز است، علت این امر در $$\mu_{s}>\mu_{k}$$ نهفته است. در دو رابطه نیرو اصطکاک ایستایی و جنبشی، $$F_{N}$$ نیرو عمودی سطح (تکیه‌گاه) بوده که برابر با نیرو وزن است. به طور مثال به هنگام کشیدن جسمی 10 کیلوگرمی به وسیله یک طناب، روی سطحی که ضریب اصطکاک جنبشی آن 0.5 است، نیروی کشش نخ به صورت شکل زیر محاسبه می‌شود:

نیرو کشش نخ - اصطکاک
نیرو کشش نخ به هنگام کشیدن جسمی روی زمین

حال اگر فرض کنیم که ضریب اصطکاک ایستایی سطح برای جسم 0.7 باشد، نیروی اصطکاک آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$f_{s}=\mu_{s}F_{N}=mg\mu_{s}=0.7\times98=68.6N$$

در اینجا حداقل نیروی کششی نخ جهت حرکت جسم (آستانه حرکت)، باید برابر با $$68.8N$$ باشد. اما به محض حرکت، اصطکاک جنبشی وارد عمل شده و حداقل نیرو برای کشیدن جسم توسط طناب (حرکت با شتاب صفر یا همان سرعت ثابت) به $$49N$$ کاهش پیدا می‌کند.

محاسبه کشش نخ در حالت‌های چندتایی

در این بخش می‌خواهیم نیروی کشش نخ را در سیستم‌هایی بررسی کنیم که بتوان آن‌ها را متشکل از چند ریسمان در نظر گرفت. به حالت‌هایی که در زیر آمده است توجه کنید.

نیروی کشش نخ در قرقره

قرقره را می‌توان ماشینی ساده، متشکل از یک دیسک معلق (آویزان) در نظر گرفت که سبب می‌شود، نیروی کششی در طناب تغییر جهت دهد.

در یک ساختار طناب و قرقره، دو جسم به دو انتهای طناب بسته شده‌اند. اگر یکی از جسم‌ها سنگین‌تر باشد، به سمت پایین حرکت کرده و در نتیجه جسم سبک‌تر به سمت بالا می‌رود. در واقع می‌توان گفت که طول طناب در دوطرف قرقره تغییر می‌کند. در اینجا نیز جهت سادگی کار، از جرم قرقره و طناب صرف‌نظر می‌کنیم. همچنین حرکت طناب روی قرقره اصطکاکی ندارد. همانند حالت‌های قبلی ساختار طناب یکنواخت و نیرو کششی به هر جز آن به صورت یکسان وارد می‌شود.

با این اوصاف، مطابق با قانون سوم نیوتن، نیروی کشش نخ در دو انتهای ریسمان، حتی اگر توسط نیروهای متفاوت وزن کشیده شوند، برابر است. برای این سیستم ساده‌، نیروی کشش نخ برابر با مقدار زیر است:

$$T=2g\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$

به طور مثال یک جسم 10 کیلوگرمی و یک جسم ۵ کیلوگرمی را از دو انتهای طناب یک قرقره آویزان می‌کنیم. نیرو کشش نخ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

فرمول نیرو کشش نخ در قرقره
نیرو کشش نخ در قرقره

دقت شود از آنجایی که نیرو کشش نخ در همه‌جا یکسان است، شتاب کل سیستم نیز ثابت است.

در مثال فوق، طناب‌های دو سمت قرقره با یکدیگر موازی بودند. حال در مثال زیر فرض می‌کنیم که دو طناب موازی نبوده و راستای یکی از طناب‌ها با سطح افقی زاویه $$\theta=60$$ درجه می‌سازد. می‌توانید فرض کنیم که قرقره بالای یک سطح شیب‌دار، به شکل زیر قرار دارد.

قرقره سطح شیبدار
قرقره نصب شده بر سطح شیبدار

مطابق شکل فوق، جرم 10 کیلوگرمی را جسم $$m_{1}$$ و جرم 5 کیلوگرمی را جسم $$m_{۲}$$ فرض می‌کنیم. فرض کنید که جسم $$m_{2}$$ با سطح شیبدار بدون اصطکاک است. نیرو کشش نخ در این حالت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

جسم ۱۰ کیلوگرمی که آویزان است، به سمت پایین حرکت می‌کند. پس نیرویی که عامل شتاب آن می‌شود برابر است با:

$$F=m_{1}g-T$$

در خصوص جسم دوم، بخشی از نیروی وزن در راستای کشش نخ قرار می‌گیرد. در واقع نیروی $$mg\sin\theta$$ در خلاف جهت نیروی کشش نخ اعمال می‌شود. پس نیرویی که باعث شتاب دادن جسم $$m_{2}$$ می‌شود به صورت زیر است:

$$F=T-m_{2}g\sin60$$

از آنجایی که نیروی کششی طناب به هر جز از آن به صورت یکسان وارد می‌شود، شتاب کل سیستم ثابت و یکسان است. در واقع شتاب حرکت جسم $$m_{1}$$ و $$m_{2}$$ برابر است. در نتیجه از رابطه $$F=ma$$ داریم:

$$F=ma \Rightarrow a_{1}=a_{2} \Rightarrow \frac{m_{1}g-T}{m_{1}}=\frac{T-m_{2}g\sin60}{m_{2}} \Rightarrow T=60.96N$$

در اینجا نیز اگر برایتان سوال است که چرا نیرو وزن ($$mg$$) را در سینوس زاویه سطح شیب‌دار ضرب کردیم، به مقاله «سطح شیبدار — به زبان ساده» رجوع کنید.

نگه داشتن یک جسم توسط چند ریسمان

در این بخش در نظر داریم تا نیرو کشش نخ را در سیستمی «Y» شکل بررسی کنیم. مطابق با شکل زیر، یک وزنه ۱۰ کیلوگرمی توسط طناب‌هایی به شکل «Y» در حال تعادل است. نیروی کشش در طناب پایین مشخص و برابر با نیروی وزن حاصل از جرم ۱۰ کیلوگرمی است. از آنجایی که سیستم در حال تعادل است، باید مجموع مولفه‌های عمودی طناب‌های $$T_{1}$$ و $$T_{2}$$ با نیروی وزن (کشش طناب پایین) برابر باشد. همچنین مولفه‌های افقی دو طناب $$T_{1}$$ و $$T_{2}$$ باید برابر باشند تا تعادل سیستم حفظ شود. با توجه به توضیحات فوق، برای محاسبه نیرو کشش طناب در سیستم مذکور به شرح زیر عمل می‌کنیم:

نیرو کشش نخ
تعادل یک جسم آویزان توسط چند طناب

می‌دانیم که نیرو گرانش (وزن) به سمت پایین است. در نظر بگیرید که نیرو وزن جسم ۱۰ کیلوگرمی به مرکز سیستم Y، یعنی جایی که سه طناب به یکدیگر گره خورده‌اند، وارد می‌شود. اجازه دهید طنابی که در راستای عمود قرار دارد را $$T_{3}$$ بنامیم. مشخص است که نیرو کشش نخ $$T_{3}$$ به سادگی برابر با نیرو وزن $$mg$$ است. اما همان‌طور که در مثال‌های قبلی دیدیم، در صورتی که طناب‌ها نسبت به حالت عمود، دارای زاویه باشند، تنها بخشی از نیرو وزن در راستای آن‌ها قرار می‌گیرد. در نتیجه داریم:

نیرو کشش نخ
در اینجا تنها مولفه $$mg\sin\theta$$ در راستای نیرو کشش نخ است.

گفتیم که سیستم در حال تعادل است، پس تمامی نیروهای موجود در سیستم در دو راستای عمودی و افقی باید یکدیگر را خنثی کنند. برای بررسی درستی پاسخ به شکل زیر دقت کنید:نیرو کشش طناب

در راستای عمودی داریم:

$$T_{3}=T_{1}\sin30+T_{2}sin60 \Rightarrow 98=49\sin30+85.26\sin60$$

و در راستای افقی:

$$T_{1}\cos30=T_{2}cos60$$

همان‌طور که ملاحظه می‌شود تمامی نیرو‌های درگیر در سیستم یکدیگر را خنثی کرده و سیستم در حال تعادل است. در واقع هیچ نیرویی وجود ندارد که باعث شتاب دادن جسم شود.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

telegram
twitter

اشکان ابوالحسنی

«اشکان ابوالحسنی» دانشجو مقطع دکتری واحد علوم و تحقیقات تهران در رشته مهندسی برق مخابرات، گرایش میدان و امواج است. علاقه خاص او به فرکانس‌های ناحیه اپتیکی و مکانیک کوانتومی باعث شده که در حال حاضر در دو زمینه‌ مخابرات نوری و محاسبات کوانتومی تحقیق و پژوهش کند. او در حال حاضر، آموزش‌هایی را در دو زمینه فیزیک و مهندسی برق (مخابرات) در مجله فرادرس می‌نویسد.

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *