نمونه سوال مشتق – همراه با جواب

۲۷۷۳۲ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱ دی ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۶۲ دقیقه
دانلود PDF مقاله
نمونه سوال مشتق – همراه با جوابنمونه سوال مشتق – همراه با جواب

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با مفهوم مشتق و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم. در این آموزش چند نمونه سوال مشتق را بررسی می‌کنیم. این مثال‌های متنوع طوری انتخاب شده‌اند که روش حل مسئله را بیاموزید و بهترین راه‌حل را انتخاب کنید. علاوه بر این، برای تسلط بیشتر بر مفاهیم و روش‌های مختلف مشتق‌گیری توابع مختلف، پیشنهاد می‌کنیم در صورت لزوم، آموزش‌های زیر را مطالعه کنید:

997696

فرمول‌ها و قواعد مقدماتی مشتق‌گیری

فرمول‌های زیادی برای محاسبه مشتق وجود دارد.

البته با چند فرمول ساده و مقدماتی می‌توان اغلب مشتق‌های دشوار را نیز حل کرد. این مشتق‌های مقدماتی به شرح زیر هستند و در حل مسائل مربوط به مشتق می‌توانید از آن‌ها استفاده کنید:

[xa]=axa1,xR for aIN,xR{0} for aZxR+for aR[ex]=ex,xR[ax]=ln(a)ax,xR[ln(x)]=1x,x>0[loga(x)]=1ln(a)1x,x>0[sin(x)]=cos(x),xR[cos(x)]=sin(x),xIR[tan(x)]=1cos2(x),xπ2+kπ[cot(x)]=1sin2(x),xkπ[arcsin(x)]=11x2,x(1,1)[arccos(x)]=11x2,x(1,1)[arctan(x)]=1x2+1,xR[arccot(x)]=1x2+1,xR[sinh(x)]=cosh(x),xR[cosh(x)]=sinh(x),xR[tanh(x)]=1cosh2(x),xR[coth(x)]=1sinh2(x),x0[argsinh(x)]=1x2+1,xR[argcosh(x)]=1x21,x(1,)[argtanh(x)]=11x2,x(1,1)[argcoth(x)]=11x2,x(,1)(1,)\large \begin {aligned} & \left [ x ^ { a } \right ] ^ { \prime } = a \cdot x ^ { a - 1 } , x \in \mathbb { R } \text { for } a \in I N , x \in \mathbb { R } - \{ 0 \} \text { for } a \in \mathbb { Z } \\ & x \in \mathbb { R } ^ { + } \text {for } a \in \mathbb { R } \\ & \left [ e ^ { x } \right ] ^ { \prime } = e ^ { x } , x \in \mathbb { R } \\ & \left [ a ^ { x } \right ] ^ { \prime } = \ln ( a ) a ^ { x } , x \in \mathbb { R } \\ & [ \ln ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } , x > 0 \\ & \left [ \log _ { a } ( x ) \right ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \ln ( a ) } \frac { 1 } { x } , x > 0 \\ & [ \sin ( x ) ] ^ { \prime } = \cos ( x ) , x \in \mathbb { R } \\ & [ \cos ( x ) ] ^ { \prime } = - \sin ( x ) , x \in I R \\ & [ \tan ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1} { \cos ^ { 2 } ( x ) } , x \neq \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\ & [ \cot ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { - 1 } { \sin ^ { 2 } ( x ) } , x \neq k \pi \\ & [ \arcsin ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 1- x^ { 2 } } } , x \in ( - 1 , 1 ) \\ & [ \arccos ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { - 1 } { \sqrt { 1 -x ^ { 2 } } } , x \in ( - 1 , 1 ) \\ & [ \arctan ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } , x \in \mathbb { R } \\ & [ \operatorname {arccot} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { - 1 } { x ^ { 2 } + 1} , x \in \mathbb { R } \\ & [ \sinh ( x ) ] ^ { \prime } = \cosh ( x ) , x \in \mathbb { R } \\ & [ \cosh ( x ) ] ^ { \prime } = \sinh ( x ) , x \in \mathbb { R } \\ & [ \tanh ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \cosh ^ { 2 } ( x) } , x \in \mathbb { R } \\ & [ \operatorname {coth} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { - 1 }{ \sinh ^ { 2 } ( x ) } , x \neq 0 \\ & [ \arg \sinh ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } , x \in \mathbb { R } \\ & [ \arg \cosh ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 }{ \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } , x \in ( 1 , \infty ) \\ & [ \operatorname {argtanh} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 - x ^ { 2 } } , x \in ( - 1 , 1 ) \\ & [ \operatorname {argcoth} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 - x ^ { 2 } } , x \in ( - \infty , - 1 ) \cup ( 1 , \infty ) \end {aligned}

قواعد مشتق‌گیری نیز برای دو تابع ff و gg به شرح زیر هستند:

[f+g]=f+g[fg]=fg[fg]=fg+fg[fg]=fgfgg2[g(f)]=g(f)f\large \begin {aligned} & [ f + g ] ^ { \prime } = f ^ { \prime } + g ^ { \prime } \\ & [ f - g ] ^ { \prime } = f ^ { \prime } - g ^ { \prime } \\ & [ f g ] ^ { \prime } = f ^ { \prime } g + f g ^ { \prime } \\ & \left [ \frac { f } { g } \right ] ^ { \prime } = \frac { f ^ { \prime } g - f g ^ { \prime } } { g ^ { 2 } } \\ & [ g ( f ) ] ^ { \prime } = g ^ { \prime } ( f ) \cdot f ^ { \prime } \end {aligned}

علاوه بر این، برای دسترسی به فهرست کامل مشتق توابع پرکاربرد می‌توانید «تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول‌ های مشتق گیری» را دانلود کنید.

یک کلاس خالی (تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال مشتق)

نمونه سوال مشتق

در این بخش، چند نمونه سوال مربوط به مبحث مشتق را حل می‌کنیم.

مثال ۱

مشتق مرتبه سوم تابع زیر را حساب کنید.

f(x)=x2ln(x+1)\large f ( x ) = x ^ 2 \ln ( x + 1 )

حل مثال ۱: مشتق مرتبه اول را با استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

f(x)=[x2]ln(x+1)+x2[ln(x+1)]\large f' ( x ) = [ x ^ 2 ]' \cdot \ln ( x + 1 ) + x ^ 2 \cdot [ \ln ( x + 1 ) ]'

عبارت اول مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

f(x)=[x2]ln(x+1)+x2[ln(x+1)]\large f ^ { \prime } ( x ) = \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } \cdot \ln ( x + 1 ) + x ^ { 2 } \cdot [ \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime }

و با محاسبه مشتق عبارت دوم، حاصل مشتق اول برابر است با:

f(x)=2x1ln(x+1)+x21x+11=2xln(x+1)+x2x+1\large f ^ { \prime } ( x ) = 2 x ^ { 1 } \ln ( x + 1 ) + x ^ { 2 } \frac { 1 } { x + 1 } \cdot 1 = 2 x \ln ( x + 1 ) + \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 }

اکنون باید مشتق دوم را حساب کنیم:

f(x)=[2xln(x+1)]+[x2x+1]\large f ^ { \prime \prime } ( x ) = [ 2 x \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } + \left [ \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } \right ] ^ { \prime }

مشتق جمله اول از قاعده ضرب پیروی می‌کند و مشتق دوم از قاعده مشتق برای تقسیم. بنابراین، خواهیم داشت:

f(x)=([2x]ln(x+1)+2x[ln(x+1)])+[x2](x+1)x2[x+1](x+1)2\large f ^ { \prime \prime } ( x ) = \left ( [ 2 x ] ^ { \prime} \ln ( x + 1 ) + 2 x [ \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } \right ) + \frac { \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } ( x + 1 ) - x ^{ 2 } [ x + 1 ] ^ { \prime }} { ( x + 1 ) ^ { 2 } }

که حاصل آن برابر است با:

f(x)=2ln(x+1)+2x1x+11+2x(x+1)x21(x+1)2=2ln(x+1)+2xx+1+x2+2x(x+1)2\large \begin {aligned} f ^ { \prime \prime } ( x ) & = 2 \cdot \ln ( x + 1 ) + 2 x \frac { 1 } { x + 1 } \cdot 1 + \frac { 2 x \cdot ( x + 1 ) - x ^ { 2 } \cdot 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\ & = 2 \ln ( x + 1 ) + \frac { 2 x } { x + 1 } + \frac { x ^ {2 } +2 x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \end {aligned}

با مشتق گرفتن از مشتق مرتبه دوم، مشتق مرتبه سوم را محاسبه می‌کنیم:

f(x)=[2ln(x+1)]+[2x](x+1)2x[x+1](x+1)2+[x2+2x](x+1)2(x2+2x)[(x+1)2](x+1)4\large \begin {aligned} f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) = [ 2 & \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } + \frac { [ 2 x ] ^ { \prime } ( x + 1 ) - 2 x [ x + 1 ] ^ { \prime } } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\ & + \frac { \left [ x ^ {2 } + 2 x \right ] ^ { \prime } ( x + 1 ) ^ { 2 } - \left ( x ^ { 2 } + 2 x \right ) \left [ ( x + 1 ) ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } } { ( x + 1 ) ^ { 4 } } \end {aligned}

که حاصل آن به صورت زیر است:

f(x)=21x+11+2(x+1)2x1(x+1)2+([x2]+2[x])(x+1)2(x2+2x)2(x+1)[x+1](x+1)4=2x+1+2(x+1)2+(2x+2)(x+1)2(x2+2x)2(x+1)1(x+1)4=2x+1+2(x+1)2+2(x+1)3,x>1\large \begin {aligned} f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) = & 2 \frac { 1 } { x + 1 } \cdot 1 + \frac { 2 \cdot ( x + 1 ) - 2 x \cdot 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\ & + \frac { \left ( \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } +2 [ x ] ^ { \prime } \right ) ( x + 1 ) ^ { 2 } - \left ( x ^ { 2 } + 2 x \right ) 2 ( x + 1 ) [ x + 1 ] ^ { \prime } } { ( x + 1 ) ^ { 4 } } \\ = & \frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { ( 2 x + 2 ) ( x + 1 ) ^ { 2 } - \left ( x ^ { 2} + 2 x \right ) 2 ( x + 1 ) \cdot 1 } {( x + 1 ) ^ { 4 } } \\ = & \frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2} } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } , \quad x > - 1 \end {aligned}

باید توجه داشته باشیم که دامنه مشتق را نیز بنویسیم (x>1x > - 1). برای حل این مثال می‌توانستیم از فرمول زیر نیز کمک بگیریم.

[ln(y)]=(1/y)[y],[y2]=2y[y]\large [ \ln ( y ) ] ^ { \prime } = ( 1 / y ) \cdot [ y ] ^ { \prime } , \quad \left [ y ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } =2 y \cdot [ y ] ^ { \prime }

مثال ۲

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

f(x)=e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)\large f ( x ) = \sqrt { e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) }

حل مثال ۲: یک تابع رادیکالی داریم. همان‌طور که می‌دانیم، مشتق تابع رادیکالی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

[y]=[y12]=12y121=12y12=12y\large [ \sqrt { y } ] ^ { \prime } = \left [ y ^ { \frac { 1 }{ 2 } } \right ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } y ^ { \frac { 1 }{ 2 } -1 } = \frac { 1 } { 2 } y ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { y } }

از این فرمول کمک می‌گیریم و داریم:

f(x)=12e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)[e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)]\large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) } } \cdot \left [ e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right ] ^ { \prime }

برای ساده‌نویسی، کسر اول را با نماد لوزی (\diamond) نشان داده و مشتق جمله دوم را محاسبه می‌کنیم:

f(x)=([e2x](5+3x4+cos(2x)x2+1)+e2x[5+3x4+cos(2x)x2+1])\large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( \left [ e ^ { 2 x } \right ] ^ { \prime } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) + e ^ { 2 x } \left [ 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^{ x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] ^ { \prime } \right )

بنابراین داریم:

f(x)=(e2x[2x](5+3x4+cos(2x)x2+1)+e2x([5]+3[x4]+[cos(2x)x2+1]))\large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( e ^ { 2 x } [ 2 x ] ^ { \prime } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) + e ^ { 2 x } \left ( [ 5 ] ^ { \prime } + 3 \left [ x ^ { 4 } \right ] ^ { \prime } + \left [ \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] ^ { \prime } \right ) \right )

با اعمال مشتق موجود در عبارت بالا، خواهیم داشت:

f(x)=(e2x2(5+3x4+cos(2x)x2+1)+e2x(0+34x41+[cos(2x)](x2+1)cos(2x)[x2+1](x2+1)2))\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot ( & e ^ { 2 x } \cdot 2 \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \\ & \left . + e ^ { 2 x } \left ( 0 + 3 \cdot 4 x ^ { 4 - 1 } + \frac { \left [ \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) \right ] ^ { \prime } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) - \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) \left [ x ^ { 2 } + 1 \right ] ^ { \prime } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right ) \end {aligned}

سایر مشتق‌های باقیمانده نیز به صورت زیر حساب می‌شوند:

f(x)=(2e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)            +e2x(12x3+sin(2x)[2x](x2+1)cos(2x)(2x+0)(x2+1)2))\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = \diamond \cdot \left ( 2 e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) }{ x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right . \\ & \;\;\;\;\;\; \left . + e ^ { 2 x } \left ( 1 2 x ^ { 3 }+ \frac { - \sin \left ( 2 ^ { x } \right ) \left [ 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) - \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) ( 2 x + 0 ) } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right ) \end {aligned}

و در نهایت جواب مسئله برابر است با:

f(x)=(2e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)            +e2x(12x3+sin(2x)ln(2)2x(x2+1)cos(2x)2x(x2+1)2))\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = \diamond \cdot \left ( 2 e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right . \\ & \; \; \; \; \; \; \left . + e ^ { 2 x } \left ( 1 2 x ^ { 3 } + \frac { - \sin \left ( 2 ^ { x } \right ) \ln ( 2 ) 2 ^ { x } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) - \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right ) \end {aligned}

اکنون کافی است مقدار لوزی را در عبارت بالا قرار داده و دامنه مشتق را به دست آوریم. از داخلی‌ترین توابع شروع کرده و دامنه مشتق را بررسی می‌کنیم. مخرج کسر همواره کوچک‌تر از ۱ است و از این نظر مشکلی وجود ندارد. سینوس و کسینوس 2x2 ^ x نیز به ازای همه مقادیر xx تعریف شده‌اند. تنها چیزی که مسئله بر انگیز است، عبارت زیر رادیکال است که باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد:

5+3x4+cos(2x)x2+15+3x4cos(2x)x2+15+01=4>0\large 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \geq 5 + 3 x ^ { 4 } - \left | \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right | \geq 5 + 0 - 1 = 4 > 0

همان‌طور که می‌بینیم عبارت زیر رادیکال همواره مثبت است و دامنه مشتق همه اعداد حقیقی است. بنابراین، جواب نهایی را به شکل زیر می‌نویسیم:

f(x)=12e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)(2e2x(5+3x4+cos(2x)x2+1)+e2x(12x3ln(2)(x2+1)sin(2x)2x+2xcos(2x)(x2+1)2)),xR\large \begin {array} { c } f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) } } \cdot \left ( 2 e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right . \\ \left . + e ^ { 2 x } \left ( 1 2 x ^ { 3 } - \frac { \ln ( 2 ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) \sin \left ( 2 ^ { x } \right ) 2 ^ { x } + 2 x \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right ) , x \in R \end {array}

توجه کنید که اگر فراموش کرده‌اید مشتق 2x2 ^ x را محاسبه کنید، می‌توانید از فرمول زیر کمک بگیرید:

[2x]=[exln(2)]=exln(2)[xln(2)]=2xln(2)\large \left [ 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } = \left [ e ^ { x \ln ( 2 ) } \right ] ^ { \prime } = e ^ { x \ln ( 2 ) } [ x \ln ( 2 ) ] ^ { \prime } = 2 ^ { x } \cdot \ln ( 2 )

دانش آموزان در حال رفتن به سمت کلاس ها در راهرو

مثال ۳

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

f(x)=(1πex3x26)arcsin(x)\large f ( x ) = \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) ^ { \arcsin ( x ) }

حل مثال ۳: ابتدا تابع را به فرم کانونیکال زیر می‌نویسیم:

f(x)=earcsin(x)ln(1πex3x26)\large f ( x ) = e ^ { \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) }

این تابع یک تابعی ترکیبی به فرم eye ^ y است و مشتق آن به صورت زیر به دست می‌آید:

f(x)=earcsin(x)ln(1πex3x26)[arcsin(x)ln(1πex3x26)]=(1πex3x26)arcsin(x)[arcsin(x)ln(1πex3x26)]\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = e ^ { \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) } \cdot \left [ \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) \right ] ^ { \prime } \\ & = \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) ^ { \arcsin ( x ) } \cdot \left [ \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) \right ] ^ { \prime } \end {aligned}

با در نظر گرفتن بخشی از عبارت محاسبه شده بالا به صورت لوزی، از بخش دیگر مشتق می‌گیریم:

f(x)=([arcsin(x)]ln(1πex3x26)+arcsin(x)[ln(1πex3x26)])\large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( [ \arcsin ( x ) ] ^ { \prime } \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \left [ \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) \right ] ^ { \prime } \right )

اکنون باید مشتق ln\ln را حساب کنیم:

f(x)=(11x2ln(1πex3x26)+arcsin(x)11πex3x26[1πex3x26])\large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( \frac { 1 }{ \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \frac { 1 } { \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } } \left [ \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ] ^ { \prime } \right )

مشتق کسر نیز به شکل زیر نوشته می‌شود:

f(x)=(11x2ln(1πex3x26)+arcsin(x)3x261πex××[1πex](3x26)(1πex)[3x26](3x26)2)\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right . & \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \frac { 3 x ^ { 2 } - 6 } { 1 - \pi e ^ { x } } \times \\ & \left . \times \frac { \left [ 1 - \pi e ^ { x } \right ] ^ { \prime } \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) - \left ( 1 - \pi e ^ { x } \right ) \left [ 3 x ^ { 2 } - 6 \right ] ^ { \prime } } { \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) ^ { 2 } } \right ) \end {aligned}

و درنهایت، مشتق به صورت زیر خواهد بود:

f(x)=(11x2ln(1πex3x26)+arcsin(x)××([1]π[ex])(3x26)(πex1)(3[x2][6])(1πex)(3x26))=(11x2ln(1πex3x26)+arcsin(x)××πex(3x26)(1πex)32x(1πex)(3x26))=(1πex3x26)arcsin(x)(11x2ln(1πex3x26)arcsin(x)××πex(3x26)+6x(1πex)(1πex)(3x26))\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) = & \diamond \cdot \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \times \right . \\ & \quad \times \left . \frac { \left ( [ 1 ] ^ { \prime } - \pi \left [ e ^ { x } \right ] ^ { \prime } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) - \left ( \pi e ^ { x } - 1 \right ) \left ( 3 \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } - [ 6 ] ^ { \prime } \right ) } { \left ( 1 - \pi e ^ { x } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) } \right ) \\ = & \diamond \cdot \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \times \right . & \\ & \quad \left . \times \frac { - \pi e ^ { x } \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) - \left ( 1 - \pi e ^ { x } \right ) 3 \cdot 2 x }{ \left ( 1 - \pi e ^ { x } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) } \right ) \\ = & \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) ^ { \arcsin ( x ) } \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 -x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 - \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } - 6 } \right ) - \arcsin ( x ) \times \right . & \\ & \quad \left . \times \frac { \pi e ^ { x } \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) + 6 x \left ( 1 - \pi e ^ { x } \right ) } { \left ( 1 - \pi e ^ { x } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } - 6 \right ) } \right ) \end {aligned}

اکنون باید دامنه مشتق را بیابیم. از تابع اصلی شروع می‌کنیم. دامنه arcsin(x)\arcsin ( x ) بازه [1,1][ - 1 , 1 ] است. از آنجایی که مخرج کسر آرگومان ln\ln منفی است، صورت آن نیز باید منفی باشد:

1πex<0x>ln(1/π)=ln(π)\large 1 - \pi e ^ x < 0 \Rightarrow x > \ln ( 1 / \pi ) = - \ln ( { \pi } )

از آنجا که ln(π)>1\ln ( \pi ) > 1 است،‌ دامنه ff بازه [1,1][-1 , 1 ] بوده و دامنه ff' بازه باز (1,1)( - 1 , 1 ) است.

مثال ۴

حاصل مشتق زیر را به دست آورید.

f(x)=arcsin(2xx2+1)\large f ( x ) = \arcsin \left ( \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right )

حل مثال ۴: طبق فرمول‌های مشتق‌گیری، داریم:

f(x)=11(2xx2+1)2[2xx2+1]\large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 -\left ( \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) ^ { 2 } } } \left [ \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] ^ { \prime }

اکنون باید از کسر مشتق بگیریم:

f(x)=114x2(x2+1)2[2x](x2+1)2x[x2+1](x2+1)2\large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { 4 x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 }} } } \frac { [ 2 x ] ^ { \prime } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) - 2 x \left [ x ^ { 2 } + 1 \right ] ^ { \prime } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } }

و با اعمال مشتق‌های باقیمانده، خواهیم داشت:

f(x)=1(x2+1)24x2(x2+1)22(x2+1)2x2x(x2+1)2=(x2+1)2x4+2x2+14x222x2(x2+1)2=2(x2+1)2(x21)21x2(x2+1)2\large \begin {aligned} f ^ { \prime } (x ) & = \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { \left ( x^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } } } \frac { 2 \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) - 2 x \cdot 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \\ & = \sqrt { \frac { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } }{ x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } + 1 - 4 x ^ { 2 } } } \frac { 2 - 2 x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } = 2 \frac { \sqrt { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \left ( x ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { 2 } } } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \end {aligned}

اکنون باید دامنه مشتق را محاسبه کنیم. برای این منظور، ابتدا دامنه تابع اصلی را به دست می‌آوریم و آرگومان آرک سینوس باید در بازه [1,1][-1 , 1 ] باشد:

12xx2+12xx2+11(x2+1)2x2xx2+10x2+2x+10x22x+10(x+1)20(x1)2\large \begin {array} { c c } - 1 \leq \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } & \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \leq 1 \\ - \left( x ^ { 2 } + 1 \right ) \leq 2 x & 2 x \leq x ^ { 2 } + 1 \\ 0 \leq x ^ { 2 } + 2 x + 1 & 0 \leq x ^ { 2 } - 2 x + 1 \\ 0 \leq ( x + 1 ) ^ { 2 } & 0 \leq ( x - 1 ) ^ { 2 } \end {array}

در نتیجه، دامنه تابع اصلی، کل اعداد حقیقی است. اما در مورد مشتق تابع چه چیزی می‌توان گفت؟ مشتق را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

f(x)=2x2+1x211x2(x2+1)2={2x2+1x211x2(x2+1)2,x<12x2+1(x21)1x2(x2+1)2,1<x<12x2+1x211x2(x2+1)2,x>1={2x2+1,x<12x2+1,1<x<12x2+1,x>1\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = 2 \frac { \left | x^ { 2 } + 1 \right | } { \left | x ^ { 2 } - 1 \right | } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } = \left \{ \begin {array}{ c l } 2 \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } - 1 } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } , & x < - 1 \\ 2 \frac { x ^ { 2 } + 1 } { - \left ( x ^ { 2 } - 1 \right ) } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } , & - 1 < x < 1 \\ 2 \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } - 1 } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } , & x > 1 \end {array} \right . \\ & = \left \{ \begin {array} { l l } \frac { - 2 } { x ^ { 2 } + 1 } , & x < - 1 \\ \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } , & - 1 < x < 1 \\ \frac { - 2 } { x ^ { 2 } + 1 } , & x > 1 \end {array} \right . \end {aligned}

مشتق‌های یک‌طرفه در x=1x = - 1 به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

f(1)=limx(1)(f(x))=x(1)x<1=limx(1)(2x2+1)=1f+(1)=limx(1)+(f(x))=x(1)+x(1,1))=limx(1)+(2x2+1)=1\large \begin {aligned} f _ { - } ^ { \prime } ( - 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow ( - 1 ) ^ { - } } \left ( f ^ { \prime }( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow ( - 1 ) ^ { - } \Longrightarrow x < - 1 \right \rangle \right \rangle \\ & = \lim _ { x \rightarrow ( - 1 ) ^ { - } } \left ( \frac { - 2 }{ x ^ { 2 } + 1 } \right ) = - 1 \\ f _ { + } ^ { \prime } ( - 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow ( - 1 ) ^ { + } } \left ( f ^ { \prime }( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow ( - 1 ) ^ { + } \Longrightarrow x \in ( - 1 , 1 ) \right \rangle \right ) \\ & = \lim _ { x \rightarrow ( - 1 ) ^ { + } } \left ( \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) = 1 \end {aligned}

می‌بینیم که حد چپ و راست در x=1x =-1 برابر نیستند. برای نقطه x=1x = 1 نیز داریم:

f(1)=limx1(f(x))=x1x(1,1)=limx1(2x2+1)=1f+(1)=limx1+(f(x))=x1+x>1=limx1+(2x2+1)=1\large \begin {aligned} & f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { - } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { - } \Longrightarrow x \in ( - 1 , 1 ) \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { - } } \left ( \frac{ 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) = 1 \\ & f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { + } \Longrightarrow x > 1 \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { - 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) = - 1 \end {aligned}

مشاهده می‌کنیم که حد چپ و راست در x=1x = 1 نیز برابر نیستند. بنابراین، دامنه مشتق، برابر با کل مجموعه اعداد حقیقی به جز x=1x = - 1 و x=1x = 1 است.

دانش آموزان در حال ورود به کلاس

مثال ۵

مشتق تابع چندضابطه‌ای زیر را به دست آورید.

f(x)={cos(x),x(,π]sin(x),x(π,0]x,x(0,1]12x,x(1,2)ln(x),x[2,)\large f ( x ) = \left \{ \begin {array} { c l } \cos ( x ) , & x \in ( - \infty , - \pi ] \\ \sin ( x ) , & x \in ( - \pi , 0 ] \\ x , & x \in ( 0 , 1 ] \\ \frac { 1 } { \sqrt { 2 - x } } , & x \in ( 1 , 2 ) \\ \ln ( x ) , & x \in [ 2 , \infty ) \end {array} \right .

حل مثال ۵: مشتق سه ضابطه تابع به راحتی به دست می‌آید. مشتق ضابطه سوم به صورت زیر محاسبه می‌شود.

[12x]=[(2x)1/2]=(12)(2x)3/2[2x]=(12)1(2x)3/2(1)=12(2x)3\large \begin {aligned} \left [ \frac { 1 } { \sqrt { 2 - x } } \right ] ^ { \prime } & = \left [ ( 2 - x ) ^ { - 1 / 2 } \right ] ^ { \prime } = \left ( - \frac { 1 } { 2 } \right ) ( 2 - x ) ^ { - 3 / 2 } \cdot [ 2 -x ] ^ { \prime } \\ & = \left ( - \frac { 1 } { 2 } \right ) \frac { 1 } { ( 2 - x ) ^ { 3 / 2 } } \cdot ( - 1 ) = \frac { 1 } { 2 ( \sqrt { 2 - x } ) ^ { 3 } } \end {aligned}

بنابراین، خواهیم داشت:

f(x)={sin(x),x(,π)cos(x),x(π,0)1,x(0,1)12(2x)3,x(1,2)1x,x(2,)\large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned} - \sin ( x ) , \quad x \in ( - \infty , - \pi ) \\ \cos ( x ) , \quad \quad\quad x \in ( - \pi , 0 ) \\ 1 , \quad \quad\quad\quad\quad\quad x \in ( 0 , 1 ) \\ \frac { 1 } { 2 ( \sqrt { 2 - x } ) ^ { 3 } } , \quad x \in ( 1 , 2 ) \\ \frac { 1 } { x } , \quad \quad \quad \quad x \in ( 2 , \infty ) \end {aligned} \right .

اکنون باید نقاط مرز ضابطه‌ها را برای دامنه مشتق بررسی کنیم. در نقطه x=πx = - \pi تابع ناپیوسته است و به همین دلیل مشتق در آنجا تعریف نشده است. تابع در x=0x = 0 پیوسته است. مشتق چپ و راست در x=1x = 1 به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

f(0)=limx0(f(x))=x0x(π,0)=limx0(cos(x))=1f+(0)=limx0+(f(x))=x0+x(0,1)=limx0+(1)=1\large \begin {aligned} f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \left ( f ^ { \prime }( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { - } \Longrightarrow x \in ( -\pi , 0 ) \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } ( \cos ( x ) ) = 1 \\ f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { + } \Longrightarrow x \in ( 0 , 1 ) \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } ( 1 ) = 1 \end {aligned}

بنابراین، x=0x = 0 در دامنه مشتق قرار دارد.

در x=1x = 1 نیز تابع پیوسته است و مشتق‌های چپ و راست در این نقطه به صورت زیر هستند:

f(1)=limx1(f(x))=x1x(0,1))=limx1(1)=1f+(1)=limx1+(f(x))=x1+x(1,2)=limx1+(12(2x)3)=12\large \begin {aligned} f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { - } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { - } \Longrightarrow x \in ( 0 , 1 ) \right \rangle \right ) = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { - } } ( 1 ) = 1 \\ f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { + } \Longrightarrow x \in ( 1 , 2 ) \right \rangle \right \rangle \\ & = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { 1 }{ 2 ( \sqrt { 2 - x } ) ^ { 3 } } \right ) = \frac { 1 } { 2 } \end {aligned}

می‌بینیم که دو مشتق برابر نبوده و به همین دلیل، این نقطه در دامنه مشتق نیست.

در نهایت، مشتق را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

f(x)={sin(x),x(,π)cos(x),x(π,0]1,x[0,1)12(2x)3,x(1,2)1x,x(2,)\large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned} - \sin ( x ) , & \quad x \in ( - \infty , - \pi ) \\ \cos ( x ) , & \quad x \in ( - \pi , 0 ] \\ 1 , & \quad x \in [ 0 , 1 ) \\ \frac { 1 } { 2 ( \sqrt { 2 - x } ) ^ { 3 } } , & \quad x \in ( 1 , 2 ) \\ \frac { 1 } { x } , & \quad x \in ( 2 , \infty ) \end {aligned} \right .

مثال ۶

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

f(x)=cos(xπ5)+ex\large f ( x ) = \cos \left ( | x - \pi | ^ { 5 } \right ) + e ^ { | x | }

حل مثال ۶: با توجه به قدر مطلق‌های موجود، تابع به فرم سه ضابطه‌ای زیر نوشته می‌شود:

f(x)={cos((πx)5)+ex,x0cos((πx)5)+ex,0xπcos((xπ)5)+ex,xπ\large f ( x ) = \left \{ \begin {array} { c l } \cos \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { - x } , & x \leq 0 \\ \cos \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & 0 \leq x \leq \pi \\ \cos \left ( ( x - \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & x \geq \pi \end {array} \right .

مشتق ضابطه اول به شکل زیر محاسبه می‌شود:

[cos((πx)5)+ex]=sin((πx)5)[(πx)5]+ex[x]\large \left [ \cos \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { -x } \right ] ^ { \prime } = - \sin \left ( ( \pi -x ) ^ { 5 } \right ) \left [ ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ] ^ { \prime } + e ^ { - x } [ -x ] ^ { \prime }

با اعمال مشتق باقیمانده داخل آن نیز داریم:

[cos((πx)5)+ex]=sin((πx)5)5(πx)4[πx]+ex(1)\large \left [ \cos \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { - x } \right ] ^ { \prime } = - \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } [ \pi - x ] ^ { \prime } + e ^ { - x } \cdot ( - 1 )

که منجر به نتیجه زیر می‌شود:

[cos((πx)5)+ex]=sin((πx)5)5(πx)4(1)ex\large \left [ \cos \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } \right ] ^ { \prime } = - \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \cdot ( - 1 ) - e ^ { - x }

به طور مشابه، مشتق دو ضابطه دیگر را محاسبه کرده و در نهایت خواهیم داشت:

f(x)={5(πx)4sin((πx)5)ex,x<05(πx)4sin((πx)5)+ex,0<x<π5(xπ)4sin((xπ)5)+ex,x>π\large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned} 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) - e ^ { - x } , \quad & \quad \quad x < 0 \\ 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , \quad & 0 < x < \pi \\ - 5 ( x - \pi ) ^ { 4 } \sin \left ( ( x - \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , \quad & \quad \quad x > \pi \end {aligned} \right .

اکنون باید بررسی کنیم که در نقاط شکست چه اتفاقی رخ می‌دهد. بدین منظور، ابتدا مشتق چپ و راست را در x=0x = 0 محاسبه می‌کنیم:‌

f(0)=limx0(f(x))=x0x<0=limx0(5(πx)4sin((πx)5)ex)=5π4sin(π5)1f+(0)=limx0+(f(x))=x0+x(0,π)=limx0+(5(πx)4sin((πx)5)+ex)=5π4sin(π5)+1\large \begin {aligned} f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { - } \Longrightarrow x < 0 \right \rangle \right \rangle \\ & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \left ( 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) - e ^ { - x } \right ) = 5 \pi ^ { 4 } \sin \left ( \pi ^ { 5 } \right ) - 1 \\ f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { + } \Longrightarrow x \in (0 , \pi ) \right \rangle \right \rangle \\ & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } \right ) = 5 \pi ^ { 4 } \sin \left ( \pi ^ { 5 } \right ) + 1 \end {aligned}

همان‌طور که می‌بینیم،‌ این دو مشتق برابر نیستند و در نتیجه، در x=0x = 0 مشتق نداریم.

به طور مشابه در نقطه x=πx = \pi داریم:

f(π)=limxπ(f(x))=xπx(0,π)=limxπ(5(πx)4sin((πx)5)+ex)=eπf+(π)=limxπ+(f(x))=xπ+x>π=limxπ+(5(xπ)4sin((xπ)5)+ex)=eπ\large \begin {aligned} f _ { - } ^ { \prime } ( \pi ) & = \lim _ { x \rightarrow \pi ^ { - } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow \pi ^ { - } \Longrightarrow x \in ( 0 , \pi ) \right \rangle \right \rangle \\ & = \lim _ { x \rightarrow \pi ^ { - } } \left ( 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right) + e ^ { x } \right ) = e ^ { \pi } \\ f _ { + } ^ { \prime } ( \pi ) & = \lim _ { x \rightarrow \pi ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow \pi ^ { + } \Longrightarrow x > \pi \right \rangle \right \rangle \\ & =\lim _ { x \rightarrow \pi ^ { + } } \left ( - 5 ( x - \pi ) ^ { 4 } \sin \left ( ( x - \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } \right ) = e ^ { \pi } \end {aligned}

و بنابراین،‌ در x=πx = \pi مشتق وجود دارد. در نتیجه، فرم نهایی مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:

f(x)={5(πx)4sin((πx)5)ex,x<05(πx)4sin((πx)5)+ex,0<xπ5(xπ)4sin((xπ)5)+ex,xπ\large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned} 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) - e ^ { - x } , & x < 0 \\ 5 ( \pi - x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi - x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & 0 < x \leq \pi \\ - 5 ( x - \pi ) ^ { 4 } \sin \left ( ( x - \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & x \geq \pi \end {aligned} \right .

دانش آموزان در حال امتحان دادن (تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال مشتق)

مثال ۷

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

f(x)=ln(xpcosh(qx+13))\large f ( x) = \ln ( { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) })

که در آن، pp و qq اعداد ثابتی هستند.

حل مثال ۷:‌ با توجه به اینکه مشتق ln(y)\ln ( y) برابر با y/yy'/y است، داریم:

f(x)=1xpcosh(qx+13)[xpcosh(qx+13)]\large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left [ x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) \right ] ^ { \prime }

اکنون باید مشتق عبارتی را که دارای ضرب است حساب کنیم:

f(x)=1xpcosh(qx+13)([xp]cosh(qx+13)+xp[cosh(qx+13)])\large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( \left [ x ^ { p } \right ] ^ { \prime } \cosh ( q x + 1 3 ) + x ^ { p } [ \cosh ( q x + 1 3 ) ] ^ { \prime } \right )

و در نهایت، با محاسبه همه مشتق‌ها به عبارت زیر می‌رسیم:

f(x)=1xpcosh(qx+13)(pxp1cosh(qx+13)+xpsinh(qx+13)[qx+13])=1xpcosh(qx+13)(pxp1cosh(qx+13)+xpsinh(qx+13)q)\large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( p x ^ { p - 1 } \cosh ( q x + 1 3 ) + x ^ { p } \sinh ( q x + 1 3 ) \cdot [ q x + 1 3 ] ^ { \prime } \right ) \\ & = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( p x ^ { p - 1 } \cosh ( q x + 1 3 ) + x ^ { p } \sinh ( q x + 1 3 ) \cdot q \right ) \end {aligned}

اکنون باید دامنه مشتق را حساب کنیم. برای این کار، دامنه تابع اصلی را مورد بررسی قرار می‌دهیم. همان‌طور که می‌دانیم، آرگومان لگاریتم باید مثبت باشد. مقدار کسینوس هیپربولیک حداقل ۱ است و از این نظر مشکلی وجود ندارد. اما در عبارت xpx ^ p، از آنجا که مقدار پارامتر pp را نمی‌دانیم، باید x>0x > 0 باشد. بنابراین، دامنه مشتق x>0x > 0 است و در نهایت، مشتق تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)=1xpcosh(qx+13)(pxp1cosh(qx+13)+qxpsinh(qx+13));x>0\large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( p x ^ { p - 1 } \cosh ( q x + 1 3 ) + q x ^ { p } \sinh ( q x + 1 3 ) \right ) ; \quad x > 0

مثال ۸

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

f(x)=(ln(x)+esin(x)+1x3)13x2+2xx2+1\large f ( x ) = \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } }

حل مثال ۸: از قاعده مشتق ضرب دو تابع استفاده می‌کنیم:

f(x)=[ln(x)+esin(x)+1x3]13x2+2xx2+1+(ln(x)+esin(x)+1x3)[13x2+2xx2+1]\large f ^ { \prime } ( x ) = \left [ \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ] ^ { \prime } \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \left [ \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } }{ \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \right ] ^ { \prime }

مشتق‌ها را اعمال کرده و برای جمله دوم از قاعده مشتق تقسیم دو تابع کمک می‌گیریم:

f(x)=([ln(x)]+[esin(x)]+[1x3])13x2+2xx2+1+(ln(x)+esin(x)+1x3)××[13x2+2x]x2+1(13x2+2x)[x2+1](x2+1)2\large \begin {array} { c } f ^ { \prime } ( x ) = \left ( [ \ln ( x ) ] ^ { \prime } + \left [ e ^ { \sin ( x ) } \right ] ^ { \prime } + \left [ \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ] ^ { \prime } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \times \\ \times \frac { \left [ 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - \left ( 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ) [ \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } ] ^ { \prime } } { ( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } } \end {array}