شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در آموزشهای پیشین مجلهفرادرس، درباره روشهای ذوزنقهای و سیمپسون برای حل انتگرال عددی بحث کردیم. در این آموزش، با روش مجموع ریمان (Riemann Sums) آشنا میشویم.
توجه کنید که ضرب f(xi∗)(xi−xi−1) برای هر i، معرف مساحت یک مستطیل به طول f(xi∗) و به عرض xi−xi−1 است. میتوان یک مجموع ریمان را به عنوان مساحت N مستطیل با طولهایی در نظر گرفت که با منحنی y=f(x) تعیین میشوند.
مقدار xi∗ در هر زیربازه به صورت دلخواه انتخاب میشود. البته گزینههای خاصی نیز وجود دارند که میتوان از آنها استفاده کرد:
مجموع ریمان چپ: اگر هر xi∗=xi−1 نقطه انتهایی سمت چپ زیربازه [xi−1,xi] باشد.
مجموع ریمان راست: اگر هر xi∗=xi نقطه انتهایی سمت راست زیربازه [xi−1,xi] باشد.
مجموع ریمان نقطه میانی: وقتی که هر xi∗=(xi−1+xi)/2 نقطه میانی زیربازه [xi−1,xi] باشد.
برای درک بهتر، مستطیلهای چپ، راست و نقطه میانی مجموع ریمان را برای تابع زیر مینویسیم:
برنامه پایتون مربوط به رسم شکلهای این مستطیلها به صورت زیر است:
توجه کنید که وقتی تابع f(x) در بازه [a,b] نزولی باشد، نقطه انتهایی سمت چپ منجر به یک تقریب اضافی (موسوم به مجموع ریمان بالا) از انتگرال ∫abf(x)dx و نقاط انتهایی سمت راست منجر به یک تقریب نقصانی (معروف به مجموع ریمان پایین) خواهند شد. وقتی تابع صعودی باشد، عکس این مطلب برقرار است.
در اینجا، مقدار هر یک از مجموعهای ریمان را محاسبه میکنیم:
پاسخ حاصل از اجرای این برنامه به صورت زیر است:
Partition with 10 subintervals.
Left Riemann Sum: 1.613488696614725
Midpoint Riemann Sum: 1.373543428316664
Right Riemann Sum: 1.1327194658454942
مقدار دقیق انتگرال را میدانیم:
∫051+x21dx=arctan(5)
و میتوانیم مجموع ریمان را با حاصل این انتگرال مقایسه کنیم.
مقدار دقیق انتگرال به صورت زیر در پایتون محاسبه میشود:
1.373400766945016
مقایسه مقدار دقیق با مقادیر تقریبی نیز به صورت زیر انجام میشود:
نتیجه این مقایسه به صورت زیر است:
Left Riemann Sum Error: 0.24008792966970915
Midpoint Riemann Sum: 0.00014266137164820059
Right Riemann Sum: 0.24068130109952168
فرمولهای خطای مجموع ریمان
مجموع ریمان تقریبی از انتگرال معین است. پرسشی که در این اینجا پیش میآید این است که یک مجموع ریمان تا چه اندازه تقریب مناسبی است؟ قضیه زیر پاسخ این پرسش است.
قضیه ۱: فرض کنید LN(f) مجموع ریمان چپ را نشان میدهد:
LN(f)=i=1∑Nf(xi−1)Δx
که در آن، Δx=(b−a)/N و xi=a+iΔx. محدوده خطا به صورت زیر خواهد بود:
ENL(f)=∫abf(x)dx−LN(f)≤2N(b−a)2K1
که در آن برای هر x∈[a,b] رابطه ∣f′(x)∣≤K1 برقرار است.
قضیه ۲: فرض کنید RN(f) مجموع ریمان راست زیر باشد:
RN(f)=i=1∑Nf(xi)Δx
که در آن، Δx=(b−a)/N و xi=a+iΔx. کران خطا به صورت زیر است:
ENR(f)=∫abf(x)dx−RN(f)≤2N(b−a)2K1
که در آن، برای هر x∈[a,b]، رابطه ∣f′(x)∣≤K1 برقرار است.
قضیه ۳: مجموع ریمان نقطه میانی MN(f) زیر را در نظر بگیرید:
MN(f)=i=1∑Nf(xi∗)Δx
که در آن، برای xi=a+iΔx، روابط Δx=(b−a)/N و xi∗=(xi−1+xi)/2 را داریم. کران خطا به صورت زیر است:
ENM(f)=∫abf(x)dx−MN(f)≤24N2(b−a)3K2
که در آن، برای هر x∈[a,b]، رابطه ∣f′′(x)∣≤K2 برقرار است.
ذکر چند نکته زیر ضروری است:
مجموعهای ریمان چپ و راست کران خطای مشابهی دارند که به مشتق اول f′(x) بستگی دارند.
خطای مجموع ریمان نقطه میانی به مشتق دوم f′′(x) وابسته است.
انتظار میرود مجموع ریمان نقطه میانی وقتی N→∞، تقریب بهتری داشته باشد، زیرا کران خطای آن تناسب عکس با N2 دارد، اما کران خطای مجموعهای چپ/راست ریمان تنها با N رابطه عکس دارد.
پیادهسازی مجموع ریمان در پایتون
برای پیادهسازی مجموع ریمان، تابع riemann_sum را مینویسیم که پنج ورودی f و a و b و N و method دارد و خروجی آن، مجموع ریمان زیر است:
که در آن، Δx=(b−a)/N و xi=a+iΔx افرازی با N زیربازه به طول مساوی را نشان میدهد. همچنین، method مشخص میکند که یکی از نقاط انتهایی چپ (مجموع ریمان چپ)، نقاط انتهایی راست (مجموع ریمان راست) یا نقاط میانی (مجموع ریمان نقطه میانی) استفاده شود. روش پیشفرض نقطه میانی است.
حال صحت عملکرد این برنامه را آزمایش میکنیم. برای مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:
∫0π/2sin(x)dx=1
از آنجایی که sin(x) در بازه [0,π/2] صعودی است، میدانیم نقاط انتهایی سمت چپ یک تقریب نقصانی و نقاط انتهایی راست، یک تقریب اضافی خواهند داشت.
برنامهها و جوابهای زیر این موضوع را نشان میدهند:
1.0000102809119054
1.007833419873582
0.992125456605633
همچنین، میدانیم که ∫01xdx=1/2 و نقطه میانی باید نتیجهای دقیق برای N داشته باشد:
0.5
مثالها
در این بخش چند مثال را بیان میکنیم.
مثال ۱
مقدار N را به گونهای تعیین کنید که تضمین شود مجموع انتگرال راست f(x)=1+x24 روی بازه [0,1] به اندازه 10−5 با مقدار دقیق زیر اختلاف داشته باشد:
∫011+x24dx=π
حل: ابتدا مشتق انتگرالده را به صورت زیر محاسبه میکنیم:
f′(x)=−(1+x2)28x
برای پیدا کردن یک کران ∣f′(x)∣ روی [0,1] از بهینهسازی جستوجوی جامع (Brute-force Search) استفاده میکنیم:
2.5980759093919907
بنابراین، برای هر x∈[0,1]، رابطه ∣f′(x)∣≤2.6 را خواهیم داشت. از کران خطای زیر استفاده میکنیم:
2N(b−a)2K1≤10−5⇒N1.3≤10−5⇒130000≤N
مجموع ریمان راست را برای N=130000 محاسبه میکنیم:
3.1415849612722386
اکنون دقت تقریب را اعتبارسنجی میکنیم:
که جواب آن به صورت زیر است:
True
مثال ۲
مقدار N را طوری به دست آورید که تضمین کند مجموع ریمان نقطه میانی f(x)=x1 روی [1,2] برای انتگرال دقیق زیر 10−8 باشد:
∫12x1dx=ln(2)
حل: مشتق دوم زیر را محاسبه میکنیم:
f′′(x)=x32
از آنجایی که f′′ برای هر x>0 نزولی است، برای هر x∈[1,2]، نامساوی ∣f′′(x)∣≤2 را داریم. از کران خطای زیر استفاده میکنیم:
24N2(b−a)3K2≤10−8⇒12N21≤10−8⇒12104≤N
2886.751345948129
بنابراین، یک افراز به تعداد N=2887 دقت مورد نظر را تضمین میکند:
0.6931471768105913
حال، دقت این تقریب را به صورت زیر اعتبارسنجی میکنیم:
True
مثال ۳
مساحت زیر منحنی f(x)=x2 را روی بازه [0,10] با استفاده از مجموع ریمان میانی برای n=5 به دست آورید.
حل: بازه [0,10] را به ۵ زیربازه مساوی با نقاط میانی زیر تبدیل میکنیم:
xi={0,2,4,6,8,10}.
نقاط میانی ξi زیربازهها دارای مختصات زیر هستند:
ξi={1,3,5,7,9}.
بنابراین، مجموع ریمان نقطه میانی به صورت زیر خواهد بود:
M5=i=1∑5f(ξi)Δx
که در آن، Δx=2 طول هر زیربازه است.
با محاسبه مقادیر f(ξi)، مقدار تقریبی مساحت به صورت زیر به دست میآید:
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.