مجموع ریمان — از صفر تا صد

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره روش‌های ذوزنقه‌ای و سیمپسون برای حل انتگرال عددی بحث کردیم. در این آموزش، با روش مجموع ریمان (Riemann Sums)‌ آشنا می‌شویم.

یک مجموع ریمان برای تابع $$ f ( x) $$ در بازه

$$ \large x _ 0 = a < x _ 1 < \cdots < x _ { N - 1 } < x _ N = b $$

مجموعی به فرم زیر است:

$$ \large \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) ( x _ i - x _ { i - 1 } ) \ \ , \ x _ i ^ * \in [ x _ { i - 1 } , x _ i ] $$

که در آن، هر مقدار $$ x_i^* \in [x_{i-1},x_i] $$ در هر زیربازه دلخواه است.

با استفاده از مجموع ریمان می‌توان به سادگی مقدار یک انتگرال معین به فرم زیر را تقریب زد:

$$ \large \int _ a ^ b f ( x ) \, d x \approx \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) ( x _ i - x _ { i - 1 } ) \ \ , \ x _ i ^ * \in [ x _ { i - 1 } , x _ i ] $$

توجه کنید که ضرب $$ f(x_i^ * ) (x_i - x_{i-1}) $$ برای هر $$i$$، معرف مساحت یک مستطیل به طول $$ f(x_i^ * ) $$ و به عرض $$ x_i - x_{i-1} $$ است. می‌توان یک مجموع ریمان را به عنوان مساحت $$N $$ مستطیل با طول‌هایی در نظر گرفت که با منحنی $$ y = f  ( x) $$ تعیین می‌شوند.

مقدار $$ x_i^* $$ در هر زیربازه به صورت دلخواه انتخاب می‌شود. البته گزینه‌های خاصی نیز وجود دارند که می‌توان از آن‌ها استفاده کرد:

• مجموع ریمان چپ: اگر هر $$ x_i^* = x_{i-1} $$ نقطه انتهایی سمت چپ زیربازه $$ [x_{i-1},x_i] $$ باشد.
• مجموع ریمان راست: اگر هر $$x_i^* = x_i$$ نقطه انتهایی سمت راست زیربازه $$ [x_{i-1},x_i] $$ باشد.
• مجموع ریمان نقطه میانی: وقتی که هر $$ x_i^* = (x_{i-1} + x_i)/2 $$ نقطه میانی زیربازه $$ [x_{i-1},x_i] $$ باشد.

برای درک بهتر، مستطیل‌های چپ، راست و نقطه میانی مجموع ریمان را برای تابع زیر می‌نویسیم:

$$ \large f ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x ^ 2 } $$

بازه مورد نظر $$ [0, 5 ] $$ با تعداد زیربازه $$ N = 10 $$ است.

برنامه پایتون مربوط به رسم شکل‌های این مستطیل‌ها به صورت زیر است:

f = lambda x : 1/(1+x**2)
a = 0; b = 5; N = 10
n = 10 # Use n*N+1 points to plot the function smoothly

x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)

X = np.linspace(a,b,n*N+1)
Y = f(X)

plt.figure(figsize=(15,5))

plt.subplot(1,3,1)
plt.plot(X,Y,'b')
x_left = x[:-1] # Left endpoints
y_left = y[:-1]
plt.plot(x_left,y_left,'b.',markersize=10)
plt.bar(x_left,y_left,width=(b-a)/N,alpha=0.2,align='edge',edgecolor='b')
plt.title('Left Riemann Sum, N = {}'.format(N))

plt.subplot(1,3,2)
plt.plot(X,Y,'b')
x_mid = (x[:-1] + x[1:])/2 # Midpoints
y_mid = f(x_mid)
plt.plot(x_mid,y_mid,'b.',markersize=10)
plt.bar(x_mid,y_mid,width=(b-a)/N,alpha=0.2,edgecolor='b')
plt.title('Midpoint Riemann Sum, N = {}'.format(N))

plt.subplot(1,3,3)
plt.plot(X,Y,'b')
x_right = x[1:] # Left endpoints
y_right = y[1:]
plt.plot(x_right,y_right,'b.',markersize=10)
plt.bar(x_right,y_right,width=-(b-a)/N,alpha=0.2,align='edge',edgecolor='b')
plt.title('Right Riemann Sum, N = {}'.format(N))

plt.show()

توجه کنید که وقتی تابع $$ f ( x ) $$ در بازه $$ [ a , b ] $$ نزولی باشد، نقطه انتهایی سمت چپ منجر به یک تقریب اضافی (موسوم به مجموع ریمان بالا) از انتگرال $$ \int_a^b f(x) dx $$ و نقاط انتهایی سمت راست منجر به یک تقریب نقصانی (معروف به مجموع ریمان پایین) خواهند شد. وقتی تابع صعودی باشد، عکس این مطلب برقرار است.

در اینجا، مقدار هر یک از مجموع‌های ریمان را محاسبه می‌کنیم:

dx = (b-a)/N
x_left = np.linspace(a,b-dx,N)
x_midpoint = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N)
x_right = np.linspace(dx,b,N)

print("Partition with",N,"subintervals.")
left_riemann_sum = np.sum(f(x_left) * dx)
print("Left Riemann Sum:",left_riemann_sum)

midpoint_riemann_sum = np.sum(f(x_midpoint) * dx)
print("Midpoint Riemann Sum:",midpoint_riemann_sum)

right_riemann_sum = np.sum(f(x_right) * dx)
print("Right Riemann Sum:",right_riemann_sum)

پاسخ حاصل از اجرای این برنامه به صورت زیر است:

Partition with 10 subintervals.
Left Riemann Sum: 1.613488696614725
Midpoint Riemann Sum: 1.373543428316664
Right Riemann Sum: 1.1327194658454942

مقدار دقیق انتگرال را می‌دانیم:

$$ \large \int _ 0 ^ 5 \frac { 1 } { 1 + x ^ 2 } d x = \arctan ( 5 ) $$

و می‌توانیم مجموع ریمان را با حاصل این انتگرال مقایسه کنیم.

مقدار دقیق انتگرال به صورت زیر در پایتون محاسبه می‌شود:

I = np.arctan(5)
print(I)

1.373400766945016

مقایسه مقدار دقیق با مقادیر تقریبی نیز به صورت زیر انجام می‌شود:

print("Left Riemann Sum Error:",np.abs(left_riemann_sum - I))
print("Midpoint Riemann Sum:",np.abs(midpoint_riemann_sum - I))
print("Right Riemann Sum:",np.abs(right_riemann_sum - I))

نتیجه این مقایسه به صورت زیر است:

Left Riemann Sum Error: 0.24008792966970915
Midpoint Riemann Sum: 0.00014266137164820059
Right Riemann Sum: 0.24068130109952168

فرمول‌های خطای مجموع ریمان

مجموع ریمان تقریبی از انتگرال معین است. پرسشی که در این اینجا پیش می‌آید این است که یک مجموع ریمان تا چه اندازه تقریب مناسبی است؟ قضیه زیر پاسخ این پرسش است.

قضیه ۱: فرض کنید $$ L_N(f) $$ مجموع ریمان چپ را نشان می‌دهد:

$$ \large L _ N ( f ) = \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ { i - 1 } ) \Delta x $$

که در آن، $$ \Delta x = (b-a)/N $$ و $$ x_i = a + i \Delta x $$. محدوده خطا به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large E _ N ^ { L } ( f ) = \left | \ \int _ a ^ b f ( x ) \ d x - L _ N ( f ) \ \right | \leq \frac { ( b - a ) ^ 2 } { 2 N } K _ 1 $$

که در آن برای هر $$ x \in [a,b] $$ رابطه $$ \left| \, f'(x) \, \right| \leq K_1 $$ برقرار است.

قضیه ۲: فرض کنید $$ R_N(f)$$ مجموع ریمان راست زیر باشد:

$$ \large R _ N ( f ) = \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ { i } ) \Delta x $$

که در آن، $$ \Delta x = (b-a)/N $$ و $$ x_i = a + i \Delta x $$. کران خطا به صورت زیر است:

$$ \large E _ N ^ { R } ( f ) = \left | \ \int _ a ^ b f ( x ) \ d x - R _ N ( f ) \ \right | \leq \frac { ( b - a ) ^ 2 } { 2 N } K _ 1 $$

که در آن، برای هر $$ x \in [a,b] $$، رابطه $$ \left| \, f'(x) \, \right| \leq K_1 $$ برقرار است.

قضیه ۳: مجموع ریمان نقطه میانی $$ M_N(f) $$ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large M _ N ( f ) = \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) \Delta x $$

که در آن، برای $$ x_i = a + i \Delta x $$، روابط $$ \Delta x = (b-a)/N $$ و $$ x_i^* = (x_{i-1} + x_i)/2 $$ را داریم. کران خطا به صورت زیر است:

$$ \large E _ N ^ { M } ( f ) = \left | \ \int _ a ^ b f ( x ) \ d x - M _ N ( f ) \ \right | \leq \frac { ( b - a ) ^ 3 } { 2 4 N ^ 2 } K _ 2 $$

که در آن، برای هر $$ x \in [a,b] $$، رابطه $$ \left| \, f^{\prime \prime}(x) \, \right| \leq K_2 $$ برقرار است.

ذکر چند نکته زیر ضروری است:

• مجموع‌های ریمان چپ و راست کران خطای مشابهی دارند که به مشتق اول $$ f'(x) $$ بستگی دارند.
• خطای مجموع ریمان نقطه میانی به مشتق دوم $$ f^{\prime \prime}(x) $$ وابسته است.
• انتظار می‌رود مجموع ریمان نقطه میانی وقتی $$ N \to \infty$$، تقریب بهتری داشته باشد، زیرا کران خطای آن تناسب عکس با $$ N ^2 $$ دارد، اما کران خطای مجموع‌های چپ/راست ریمان تنها با $$ N $$ رابطه عکس دارد.

پیاده‌سازی مجموع ریمان در پایتون

برای پیاده‌سازی مجموع ریمان، تابع riemann_sum را می‌نویسیم که پنج ورودی f و a و b و N و method دارد و خروجی آن، مجموع ریمان زیر است:

$$ \large \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) \Delta x $$

که در آن، $$ \Delta x = (b-a)/N $$ و $$ x_i = a + i\Delta x $$ افرازی با $$N$$ زیربازه به طول مساوی را نشان می‌دهد. همچنین، method مشخص می‌کند که یکی از نقاط انتهایی چپ (مجموع ریمان چپ)، نقاط انتهایی راست (مجموع ریمان راست) یا نقاط میانی (مجموع ریمان نقطه میانی) استفاده شود. روش پیش‌فرض نقطه میانی است.

def riemann_sum(f,a,b,N,method='midpoint'):
    '''Compute the Riemann sum of f(x) over the interval [a,b].

    Parameters
    ----------
    f : function
        Vectorized function of one variable
    a , b : numbers
        Endpoints of the interval [a,b]
    N : integer
        Number of subintervals of equal length in the partition of [a,b]
    method : string
        Determines the kind of Riemann sum:
        right : Riemann sum using right endpoints
        left : Riemann sum using left endpoints
        midpoint (default) : Riemann sum using midpoints

    Returns
    -------
    float
        Approximation of the integral given by the Riemann sum.
    '''
    dx = (b - a)/N
    x = np.linspace(a,b,N+1)

    if method == 'left':
        x_left = x[:-1]
        return np.sum(f(x_left)*dx)
    elif method == 'right':
        x_right = x[1:]
        return np.sum(f(x_right)*dx)
    elif method == 'midpoint':
        x_mid = (x[:-1] + x[1:])/2
        return np.sum(f(x_mid)*dx)
    else:
        raise ValueError("Method must be 'left', 'right' or 'midpoint'.")

حال صحت عملکرد این برنامه را آزمایش می‌کنیم. برای مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx = 1 $$

از آنجایی که $$\sin(x)$$ در بازه $$ [0,\pi/2]$$ صعودی است، می‌دانیم نقاط انتهایی سمت چپ یک تقریب نقصانی و نقاط انتهایی راست، یک تقریب اضافی خواهند داشت.

برنامه‌ها و جواب‌های زیر این موضوع را نشان می‌دهند:

riemann_sum(np.sin,0,np.pi/2,100)

1.0000102809119054

riemann_sum(np.sin,0,np.pi/2,100,'right')

1.007833419873582

riemann_sum(np.sin,0,np.pi/2,100,'left')

0.992125456605633

همچنین، می‌دانیم که $$ \int_0^1 x \, dx = 1/2$$ و نقطه میانی باید نتیجه‌ای دقیق برای $$N$$ داشته باشد:

riemann_sum(lambda x : x,0,1,1)

0.5

مثال‌ها

در این بخش چند مثال را بیان می‌کنیم.

مثال ۱

مقدار $$ N $$ را به گونه‌ای تعیین کنید که تضمین شود مجموع انتگرال راست $$ f(x)=\frac{4}{1 + x^2}$$ روی بازه $$ [0,1]$$ به اندازه $$ 10 ^{-5}$$ با مقدار دقیق زیر اختلاف داشته باشد:

$$ \large \int _ 0 ^ 1 \frac { 4 } { 1 + x ^ 2 } d x = \pi $$

حل: ابتدا مشتق انتگرالده را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$ \large f' ( x ) = - \frac { 8 x } { ( 1 + x ^ 2 ) ^ 2 } $$

برای پیدا کردن یک کران $$ \left| f'(x) \right| $$ روی $$ [ 0 , 1 ] $$ از بهینه‌سازی جست‌وجوی جامع (Brute-force Search) استفاده می‌کنیم:

x = np.linspace(0,1,1000)
y = np.abs(-8*x/(1 + x**2)**2)
np.max(y)

2.5980759093919907

بنابراین، برای هر $$ x \in [0,1] $$، رابطه $$ \left| f'(x) \right| \leq 2.6 $$ را خواهیم داشت. از کران خطای زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \frac { ( b - a ) ^ 2 } { 2 N } K _ 1 \leq 1 0 ^ { - 5 } \ \Rightarrow \ \frac { 1 . 3 } { N } \leq 1 0 ^ { - 5 } \ \Rightarrow \ 1 3 0 0 0 0 \leq N $$

مجموع ریمان راست را برای $$ N=130000 $$ محاسبه می‌کنیم:

approximation = riemann_sum(lambda x : 4/(1 + x**2),0,1,130000,method='right')
print(approximation)

3.1415849612722386

اکنون دقت تقریب را اعتبارسنجی می‌کنیم:

np.abs(approximation - np.pi) < 10**(-5)

که جواب آن به صورت زیر است:

True

مثال ۲

مقدار $$N$$ را طوری به دست آورید که تضمین کند مجموع ریمان نقطه میانی $$ f(x)=\frac{1}{x} $$ روی $$ [1 , 2 ] $$ برای انتگرال دقیق زیر $$ 10 ^ { - 8 } $$ باشد:

$$ \large \int_1^2 \frac{1}{x} dx = \ln(2) $$

حل: مشتق دوم زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large f^{\prime\prime}(x) = \frac{2}{x^3} $$

از آنجایی که $$ f ^ { \prime \prime } $$ برای هر $$ x > 0 $$ نزولی است، برای هر $$ x \in [1,2]$$، نامساوی $$\left| \, f^{\prime \prime}(x) \, \right| \leq 2 $$ را داریم. از کران خطای زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \frac { ( b - a ) ^ 3 } { 2 4 N ^ 2 } K _ 2 \leq 1 0 ^ { - 8 } \ \Rightarrow \ \frac { 1 } { 1 2 N ^ 2 } \leq 1 0 ^ { - 8 } \Rightarrow \frac { 1 0 ^ 4 } { \sqrt { 1 2 } } \leq N $$

10**4 / np.sqrt(12)

2886.751345948129

بنابراین، یک افراز به تعداد $$ N=2887 $$ دقت مورد نظر را تضمین می‌کند:

approximation = riemann_sum(lambda x : 1/x,1,2,2887,method='midpoint')
print(approximation)

0.6931471768105913

حال، دقت این تقریب را به صورت زیر اعتبارسنجی می‌کنیم:

np.abs(approximation - np.log(2)) < 10**(-8)

True

مثال ۳

مساحت زیر منحنی $$ f\left( x \right) = {x^2} $$ را روی بازه $$[0,10]$$ با استفاده از مجموع ریمان میانی برای $$ n = 5 $$ به دست آورید.

حل: بازه $$[0,10] $$ را به ۵ زیربازه مساوی با نقاط میانی زیر تبدیل می‌کنیم:

$$ \large { { x _ i } = \left \{ { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 } \right \} . } $$

نقاط میانی $${\xi _i} $$ زیربازه‌ها دارای مختصات زیر هستند:

$$ \large { { \xi _ i } = \left \{ { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } \right \} . } $$

بنابراین، مجموع ریمان نقطه میانی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { M _ 5 } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ 5 { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) \Delta x } $$

که در آن، $$\Delta x = 2$$ طول هر زیربازه است.

با محاسبه مقادیر $$ {f\left( {{\xi _i}} \right)}$$، مقدار تقریبی مساحت به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
{ A \approx { M _ 5 } } & = { \sum \limits _ { i = 1 } ^ 5 { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) \Delta x } } = { \Delta x \sum \limits _ { i = 1 } ^ 5 { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) } } \\ & = { \Delta x \left [ { f \left ( { { \xi _ 1 } } \right ) + f \left ( { { \xi _ 2 } } \right ) + \cdots + f \left ( { { \xi _ 5 } } \right ) } \right ] } \\ & = { 2 \left ( { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } + { 5 ^ 2 } + { 7 ^ 2 } + { 9 ^ 2 } } \right ) } \\ & = { 2 \left ( { 1 + 9 + 25 + 49 + 81 } \right ) } = { 3 3 0 . }
\end {align*} $$

مثال ۴

مساحت زیر منحنی $$y = 1 – {x^2} $$ را در بازه $$[0,1]$$ با استفاده از مجموع ریمان چپ برای $$n$$ زیربازه و با حد $$ n \to \infty $$ محاسبه کنید.

حل: با فرض اینکه بازه $$[0,1]$$ را به $$n$$ زیربازه مساوی تقسیم کنیم، اندازه هر زیربازه برابر است با:

$$ \large \Delta x = \frac { 1 } { n } . $$

مختصات نقاط افراز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { { x _ i } = a + i \Delta x } = { 0 + i \cdot \frac { 1 } { n } } = { \frac { i } { n } } $$

در مجموع ریمان راست، نقاط اختیاری $${\xi _i}$$ به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که

$$\large {\xi _i} = {x_i} = \frac{i}{n}. $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) } = { f \left ( { { x _ i } } \right ) } = { 1 – x _ i ^ 2 } = { 1 – { \left ( { \frac { i } { n } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { { { n ^ 2 } – { i ^ 2 } } }{ { { n ^ 2 } } } } $$

مجموع‌های اخیر به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { n ^ 2 } } } = { { n ^ 2 } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n 1 } = { { n ^ 2 } \cdot n } = { { n ^ 3 } ; } \\ \large { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { i ^ 2 } } } = { \frac { { n \left ( { n + 1 } \right ) \left ( { 2 n + 1 } \right ) } } { 6 } } = { \frac { { 2 { n ^ 3 } + 3 { n ^ 2 } + n } } { 6 } . } $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} { { R _ n } } & = { \frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } \left ( { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { n ^ 2 } } – \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { i ^ 2 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } \left ( { { n ^ 3 } – \frac { { 2 { n ^ 3 } + 3 { n ^ 2 } + n } } { 6 } } \right ) } \\ & = { \frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } \cdot \frac { { 4 { n ^ 3 } – 3 { n ^ 2 } – n } }{ 6 } } = { \frac { { 4 { n ^ 2 } – 3 n – 1 } } { { 6 { n ^ 2 } } } . } \end {align*} $$

اکنون مساحت ناحیه زیر منحنی را با حد $$n \to \infty $$ مجموع ریمان محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
A & = \lim \limits _ { n \to \infty } { R _ n } = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac { { 4 { n ^ 2 } – 3 n – 1 } } { { 6 { n ^ 2 } } } } \\ & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac { { 4 – \frac { 3 } { n } – \frac { 1 } { { { n ^ 2 } } } } } { 6 } } = { \frac { 4 } { 6 } } = { \frac { 2 } { 3 } . }
\end {align*} $$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش محاسبات عددی با MATLAB
• مجموعه آموزش‌های محاسبات عددی
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• انتگرال ریمان استیلتیس (Riemann Stieltjes) — مفاهیم و کاربردها
• دستگاه معادلات خطی — به زبان ساده
• جذر یا محاسبه ریشه دوم عدد — به زبان ساده

^^