مجموع ریمان — از صفر تا صد

۲۵۸۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۶ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۲ دقیقه
مجموع ریمان — از صفر تا صد

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره روش‌های ذوزنقه‌ای و سیمپسون برای حل انتگرال عددی بحث کردیم. در این آموزش، با روش مجموع ریمان (Riemann Sums)‌ آشنا می‌شویم.

997696

یک مجموع ریمان برای تابع f(x) f ( x) در بازه

x0=a<x1<<xN1<xN=b \large x _ 0 = a < x _ 1 < \cdots < x _ { N - 1 } < x _ N = b

مجموعی به فرم زیر است:

i=1Nf(xi)(xixi1)  , xi[xi1,xi] \large \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) ( x _ i - x _ { i - 1 } ) \ \ , \ x _ i ^ * \in [ x _ { i - 1 } , x _ i ]

که در آن، هر مقدار xi[xi1,xi] x_i^* \in [x_{i-1},x_i] در هر زیربازه دلخواه است.

با استفاده از مجموع ریمان می‌توان به سادگی مقدار یک انتگرال معین به فرم زیر را تقریب زد:

abf(x)dxi=1Nf(xi)(xixi1)  , xi[xi1,xi] \large \int _ a ^ b f ( x ) \, d x \approx \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) ( x _ i - x _ { i - 1 } ) \ \ , \ x _ i ^ * \in [ x _ { i - 1 } , x _ i ]

توجه کنید که ضرب f(xi)(xixi1) f(x_i^ * ) (x_i - x_{i-1}) برای هر ii، معرف مساحت یک مستطیل به طول f(xi) f(x_i^ * ) و به عرض xixi1 x_i - x_{i-1} است. می‌توان یک مجموع ریمان را به عنوان مساحت NN مستطیل با طول‌هایی در نظر گرفت که با منحنی y=f (x) y = f  ( x) تعیین می‌شوند.

مقدار xi x_i^* در هر زیربازه به صورت دلخواه انتخاب می‌شود. البته گزینه‌های خاصی نیز وجود دارند که می‌توان از آن‌ها استفاده کرد:

  • مجموع ریمان چپ: اگر هر xi=xi1 x_i^* = x_{i-1} نقطه انتهایی سمت چپ زیربازه [xi1,xi] [x_{i-1},x_i] باشد.
  • مجموع ریمان راست: اگر هر xi=xix_i^* = x_i نقطه انتهایی سمت راست زیربازه [xi1,xi] [x_{i-1},x_i] باشد.
  • مجموع ریمان نقطه میانی: وقتی که هر xi=(xi1+xi)/2 x_i^* = (x_{i-1} + x_i)/2 نقطه میانی زیربازه [xi1,xi] [x_{i-1},x_i] باشد.

برای درک بهتر، مستطیل‌های چپ، راست و نقطه میانی مجموع ریمان را برای تابع زیر می‌نویسیم:

f(x)=11+x2 \large f ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x ^ 2 }

بازه مورد نظر [0,5] [0, 5 ] با تعداد زیربازه N=10 N = 10 است.

برنامه پایتون مربوط به رسم شکل‌های این مستطیل‌ها به صورت زیر است:

1f = lambda x : 1/(1+x**2)
2a = 0; b = 5; N = 10
3n = 10 # Use n*N+1 points to plot the function smoothly
4
5x = np.linspace(a,b,N+1)
6y = f(x)
7
8X = np.linspace(a,b,n*N+1)
9Y = f(X)
10
11plt.figure(figsize=(15,5))
12
13plt.subplot(1,3,1)
14plt.plot(X,Y,'b')
15x_left = x[:-1] # Left endpoints
16y_left = y[:-1]
17plt.plot(x_left,y_left,'b.',markersize=10)
18plt.bar(x_left,y_left,width=(b-a)/N,alpha=0.2,align='edge',edgecolor='b')
19plt.title('Left Riemann Sum, N = {}'.format(N))
20
21plt.subplot(1,3,2)
22plt.plot(X,Y,'b')
23x_mid = (x[:-1] + x[1:])/2 # Midpoints
24y_mid = f(x_mid)
25plt.plot(x_mid,y_mid,'b.',markersize=10)
26plt.bar(x_mid,y_mid,width=(b-a)/N,alpha=0.2,edgecolor='b')
27plt.title('Midpoint Riemann Sum, N = {}'.format(N))
28
29plt.subplot(1,3,3)
30plt.plot(X,Y,'b')
31x_right = x[1:] # Left endpoints
32y_right = y[1:]
33plt.plot(x_right,y_right,'b.',markersize=10)
34plt.bar(x_right,y_right,width=-(b-a)/N,alpha=0.2,align='edge',edgecolor='b')
35plt.title('Right Riemann Sum, N = {}'.format(N))
36
37plt.show()

مجموع ریمان

توجه کنید که وقتی تابع f(x) f ( x ) در بازه [a,b] [ a , b ] نزولی باشد، نقطه انتهایی سمت چپ منجر به یک تقریب اضافی (موسوم به مجموع ریمان بالا) از انتگرال abf(x)dx \int_a^b f(x) dx و نقاط انتهایی سمت راست منجر به یک تقریب نقصانی (معروف به مجموع ریمان پایین) خواهند شد. وقتی تابع صعودی باشد، عکس این مطلب برقرار است.

در اینجا، مقدار هر یک از مجموع‌های ریمان را محاسبه می‌کنیم:

1dx = (b-a)/N
2x_left = np.linspace(a,b-dx,N)
3x_midpoint = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N)
4x_right = np.linspace(dx,b,N)
5
6print("Partition with",N,"subintervals.")
7left_riemann_sum = np.sum(f(x_left) * dx)
8print("Left Riemann Sum:",left_riemann_sum)
9
10midpoint_riemann_sum = np.sum(f(x_midpoint) * dx)
11print("Midpoint Riemann Sum:",midpoint_riemann_sum)
12
13right_riemann_sum = np.sum(f(x_right) * dx)
14print("Right Riemann Sum:",right_riemann_sum)

پاسخ حاصل از اجرای این برنامه به صورت زیر است:

Partition with 10 subintervals.
Left Riemann Sum: 1.613488696614725
Midpoint Riemann Sum: 1.373543428316664
Right Riemann Sum: 1.1327194658454942

مقدار دقیق انتگرال را می‌دانیم:

0511+x2dx=arctan(5) \large \int _ 0 ^ 5 \frac { 1 } { 1 + x ^ 2 } d x = \arctan ( 5 )

و می‌توانیم مجموع ریمان را با حاصل این انتگرال مقایسه کنیم.

مقدار دقیق انتگرال به صورت زیر در پایتون محاسبه می‌شود:

1I = np.arctan(5)
2print(I)
1.373400766945016

مقایسه مقدار دقیق با مقادیر تقریبی نیز به صورت زیر انجام می‌شود:

1print("Left Riemann Sum Error:",np.abs(left_riemann_sum - I))
2print("Midpoint Riemann Sum:",np.abs(midpoint_riemann_sum - I))
3print("Right Riemann Sum:",np.abs(right_riemann_sum - I))

نتیجه این مقایسه به صورت زیر است:

Left Riemann Sum Error: 0.24008792966970915
Midpoint Riemann Sum: 0.00014266137164820059
Right Riemann Sum: 0.24068130109952168

فرمول‌های خطای مجموع ریمان

مجموع ریمان تقریبی از انتگرال معین است. پرسشی که در این اینجا پیش می‌آید این است که یک مجموع ریمان تا چه اندازه تقریب مناسبی است؟ قضیه زیر پاسخ این پرسش است.

قضیه ۱: فرض کنید LN(f) L_N(f) مجموع ریمان چپ را نشان می‌دهد:

LN(f)=i=1Nf(xi1)Δx \large L _ N ( f ) = \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ { i - 1 } ) \Delta x

که در آن، Δx=(ba)/N \Delta x = (b-a)/N و xi=a+iΔx x_i = a + i \Delta x . محدوده خطا به صورت زیر خواهد بود:

ENL(f)= abf(x) dxLN(f) (ba)22NK1 \large E _ N ^ { L } ( f ) = \left | \ \int _ a ^ b f ( x ) \ d x - L _ N ( f ) \ \right | \leq \frac { ( b - a ) ^ 2 } { 2 N } K _ 1

که در آن برای هر x[a,b] x \in [a,b] رابطه f(x)K1 \left| \, f'(x) \, \right| \leq K_1 برقرار است.

قضیه ۲: فرض کنید RN(f) R_N(f) مجموع ریمان راست زیر باشد:

RN(f)=i=1Nf(xi)Δx \large R _ N ( f ) = \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ { i } ) \Delta x

که در آن، Δx=(ba)/N \Delta x = (b-a)/N و xi=a+iΔx x_i = a + i \Delta x . کران خطا به صورت زیر است:

ENR(f)= abf(x) dxRN(f) (ba)22NK1 \large E _ N ^ { R } ( f ) = \left | \ \int _ a ^ b f ( x ) \ d x - R _ N ( f ) \ \right | \leq \frac { ( b - a ) ^ 2 } { 2 N } K _ 1

که در آن، برای هر x[a,b] x \in [a,b] ، رابطه f(x)K1 \left| \, f'(x) \, \right| \leq K_1 برقرار است.

قضیه ۳: مجموع ریمان نقطه میانی MN(f) M_N(f) زیر را در نظر بگیرید:

MN(f)=i=1Nf(xi)Δx \large M _ N ( f ) = \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) \Delta x

که در آن، برای xi=a+iΔx x_i = a + i \Delta x ، روابط Δx=(ba)/N \Delta x = (b-a)/N و xi=(xi1+xi)/2 x_i^* = (x_{i-1} + x_i)/2 را داریم. کران خطا به صورت زیر است:

ENM(f)= abf(x) dxMN(f) (ba)324N2K2 \large E _ N ^ { M } ( f ) = \left | \ \int _ a ^ b f ( x ) \ d x - M _ N ( f ) \ \right | \leq \frac { ( b - a ) ^ 3 } { 2 4 N ^ 2 } K _ 2

که در آن، برای هر x[a,b] x \in [a,b] ، رابطه f(x)K2 \left| \, f^{\prime \prime}(x) \, \right| \leq K_2 برقرار است.

ذکر چند نکته زیر ضروری است:

  • مجموع‌های ریمان چپ و راست کران خطای مشابهی دارند که به مشتق اول f(x) f'(x) بستگی دارند.
  • خطای مجموع ریمان نقطه میانی به مشتق دوم f(x) f^{\prime \prime}(x) وابسته است.
  • انتظار می‌رود مجموع ریمان نقطه میانی وقتی N N \to \infty، تقریب بهتری داشته باشد، زیرا کران خطای آن تناسب عکس با N2 N ^2 دارد، اما کران خطای مجموع‌های چپ/راست ریمان تنها با N N رابطه عکس دارد.

پیاده‌سازی مجموع ریمان در پایتون

برای پیاده‌سازی مجموع ریمان، تابع riemann_sum را می‌نویسیم که پنج ورودی f و a و b و N و method دارد و خروجی آن، مجموع ریمان زیر است:

i=1Nf(xi)Δx \large \sum _ { i = 1 } ^ N f ( x _ i ^ * ) \Delta x

که در آن، Δx=(ba)/N \Delta x = (b-a)/N و xi=a+iΔx x_i = a + i\Delta x افرازی با NN زیربازه به طول مساوی را نشان می‌دهد. همچنین، method مشخص می‌کند که یکی از نقاط انتهایی چپ (مجموع ریمان چپ)، نقاط انتهایی راست (مجموع ریمان راست) یا نقاط میانی (مجموع ریمان نقطه میانی) استفاده شود. روش پیش‌فرض نقطه میانی است.

1def riemann_sum(f,a,b,N,method='midpoint'):
2    '''Compute the Riemann sum of f(x) over the interval [a,b].
3
4    Parameters
5    ----------
6    f : function
7        Vectorized function of one variable
8    a , b : numbers
9        Endpoints of the interval [a,b]
10    N : integer
11        Number of subintervals of equal length in the partition of [a,b]
12    method : string
13        Determines the kind of Riemann sum:
14        right : Riemann sum using right endpoints
15        left : Riemann sum using left endpoints
16        midpoint (default) : Riemann sum using midpoints
17
18    Returns
19    -------
20    float
21        Approximation of the integral given by the Riemann sum.
22    '''
23    dx = (b - a)/N
24    x = np.linspace(a,b,N+1)
25
26    if method == 'left':
27        x_left = x[:-1]
28        return np.sum(f(x_left)*dx)
29    elif method == 'right':
30        x_right = x[1:]
31        return np.sum(f(x_right)*dx)
32    elif method == 'midpoint':
33        x_mid = (x[:-1] + x[1:])/2
34        return np.sum(f(x_mid)*dx)
35    else:
36        raise ValueError("Method must be 'left', 'right' or 'midpoint'.")

حال صحت عملکرد این برنامه را آزمایش می‌کنیم. برای مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

0π/2sin(x)dx=1 \large \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx = 1

از آنجایی که sin(x)\sin(x) در بازه [0,π/2] [0,\pi/2] صعودی است، می‌دانیم نقاط انتهایی سمت چپ یک تقریب نقصانی و نقاط انتهایی راست، یک تقریب اضافی خواهند داشت.

برنامه‌ها و جواب‌های زیر این موضوع را نشان می‌دهند:

1riemann_sum(np.sin,0,np.pi/2,100)
1.0000102809119054
1riemann_sum(np.sin,0,np.pi/2,100,'right')
1.007833419873582
1riemann_sum(np.sin,0,np.pi/2,100,'left')
0.992125456605633

همچنین، می‌دانیم که 01xdx=1/2 \int_0^1 x \, dx = 1/2 و نقطه میانی باید نتیجه‌ای دقیق برای NN داشته باشد:

1riemann_sum(lambda x : x,0,1,1)
0.5

مثال‌ها

در این بخش چند مثال را بیان می‌کنیم.

مثال ۱

مقدار N N را به گونه‌ای تعیین کنید که تضمین شود مجموع انتگرال راست f(x)=41+x2 f(x)=\frac{4}{1 + x^2} روی بازه [0,1] [0,1] به اندازه 105 10 ^{-5} با مقدار دقیق زیر اختلاف داشته باشد:

0141+x2dx=π \large \int _ 0 ^ 1 \frac { 4 } { 1 + x ^ 2 } d x = \pi

حل: ابتدا مشتق انتگرالده را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

f(x)=8x(1+x2)2 \large f' ( x ) = - \frac { 8 x } { ( 1 + x ^ 2 ) ^ 2 }

برای پیدا کردن یک کران f(x) \left| f'(x) \right| روی [0,1] [ 0 , 1 ] از بهینه‌سازی جست‌وجوی جامع (Brute-force Search) استفاده می‌کنیم:

1x = np.linspace(0,1,1000)
2y = np.abs(-8*x/(1 + x**2)**2)
3np.max(y)
2.5980759093919907

بنابراین، برای هر x[0,1] x \in [0,1] ، رابطه f(x)2.6 \left| f'(x) \right| \leq 2.6 را خواهیم داشت. از کران خطای زیر استفاده می‌کنیم:

(ba)22NK1105  1.3N105  130000N \large \frac { ( b - a ) ^ 2 } { 2 N } K _ 1 \leq 1 0 ^ { - 5 } \ \Rightarrow \ \frac { 1 . 3 } { N } \leq 1 0 ^ { - 5 } \ \Rightarrow \ 1 3 0 0 0 0 \leq N

مجموع ریمان راست را برای N=130000 N=130000 محاسبه می‌کنیم:

1approximation = riemann_sum(lambda x : 4/(1 + x**2),0,1,130000,method='right')
2print(approximation)
3.1415849612722386

اکنون دقت تقریب را اعتبارسنجی می‌کنیم:

1np.abs(approximation - np.pi) < 10**(-5)

که جواب آن به صورت زیر است:

True

مثال ۲

مقدار NN را طوری به دست آورید که تضمین کند مجموع ریمان نقطه میانی f(x)=1x f(x)=\frac{1}{x} روی [1,2] [1 , 2 ] برای انتگرال دقیق زیر 108 10 ^ { - 8 } باشد:

121xdx=ln(2) \large \int_1^2 \frac{1}{x} dx = \ln(2)

حل: مشتق دوم زیر را محاسبه می‌کنیم:

f(x)=2x3 \large f^{\prime\prime}(x) = \frac{2}{x^3}

از آنجایی که f f ^ { \prime \prime } برای هر x>0 x > 0 نزولی است، برای هر x[1,2] x \in [1,2]، نامساوی f(x)2\left| \, f^{\prime \prime}(x) \, \right| \leq 2 را داریم. از کران خطای زیر استفاده می‌کنیم:

(ba)324N2K2108  112N210810412N \large \frac { ( b - a ) ^ 3 } { 2 4 N ^ 2 } K _ 2 \leq 1 0 ^ { - 8 } \ \Rightarrow \ \frac { 1 } { 1 2 N ^ 2 } \leq 1 0 ^ { - 8 } \Rightarrow \frac { 1 0 ^ 4 } { \sqrt { 1 2 } } \leq N

110**4 / np.sqrt(12)
2886.751345948129

بنابراین، یک افراز به تعداد N=2887 N=2887 دقت مورد نظر را تضمین می‌کند:

1approximation = riemann_sum(lambda x : 1/x,1,2,2887,method='midpoint')
2print(approximation)
0.6931471768105913

حال، دقت این تقریب را به صورت زیر اعتبارسنجی می‌کنیم:

1np.abs(approximation - np.log(2)) < 10**(-8)
True

مثال ۳

مساحت زیر منحنی f(x)=x2 f\left( x \right) = {x^2} را روی بازه [0,10][0,10] با استفاده از مجموع ریمان میانی برای n=5 n = 5 به دست آورید.

حل: بازه [0,10][0,10] را به ۵ زیربازه مساوی با نقاط میانی زیر تبدیل می‌کنیم:

xi={0,2,4,6,8,10}. \large { { x _ i } = \left \{ { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 } \right \} . }

سطح زیر نمودار

نقاط میانی ξi{\xi _i} زیربازه‌ها دارای مختصات زیر هستند:

ξi={1,3,5,7,9}. \large { { \xi _ i } = \left \{ { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } \right \} . }

بنابراین، مجموع ریمان نقطه میانی به صورت زیر خواهد بود:

M5=i=15f(ξi)Δx \large { M _ 5 } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ 5 { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) \Delta x }

که در آن، Δx=2\Delta x = 2 طول هر زیربازه است.

با محاسبه مقادیر f(ξi) {f\left( {{\xi _i}} \right)}، مقدار تقریبی مساحت به صورت زیر به دست می‌آید:

AM5=i=15f(ξi)Δx=Δxi=15f(ξi)=Δx[f(ξ1)+f(ξ2)++f(ξ5)]=2(12+32+52+72+92)=2(1+9+25+49+81)=330. \large \begin {align*} { A \approx { M _ 5 } } & = { \sum \limits _ { i = 1 } ^ 5 { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) \Delta x } } = { \Delta x \sum \limits _ { i = 1 } ^ 5 { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) } } \\ & = { \Delta x \left [ { f \left ( { { \xi _ 1 } } \right ) + f \left ( { { \xi _ 2 } } \right ) + \cdots + f \left ( { { \xi _ 5 } } \right ) } \right ] } \\ & = { 2 \left ( { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } + { 5 ^ 2 } + { 7 ^ 2 } + { 9 ^ 2 } } \right ) } \\ & = { 2 \left ( { 1 + 9 + 25 + 49 + 81 } \right ) } = { 3 3 0 . } \end {align*}

مثال ۴

مساحت زیر منحنی y=1x2y = 1 – {x^2} را در بازه [0,1][0,1] با استفاده از مجموع ریمان چپ برای nn زیربازه و با حد n n \to \infty محاسبه کنید.

حل: با فرض اینکه بازه [0,1][0,1] را به nn زیربازه مساوی تقسیم کنیم، اندازه هر زیربازه برابر است با:

Δx=1n. \large \Delta x = \frac { 1 } { n } .

مختصات نقاط افراز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

xi=a+iΔx=0+i1n=in \large { { x _ i } = a + i \Delta x } = { 0 + i \cdot \frac { 1 } { n } } = { \frac { i } { n } }

در مجموع ریمان راست، نقاط اختیاری ξi{\xi _i} به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که

ξi=xi=in.\large {\xi _i} = {x_i} = \frac{i}{n}.

بنابراین، داریم:

f(ξi)=f(xi)=1xi2=1(in)2=n2i2n2 \large { f \left ( { { \xi _ i } } \right ) } = { f \left ( { { x _ i } } \right ) } = { 1 – x _ i ^ 2 } = { 1 – { \left ( { \frac { i } { n } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { { { n ^ 2 } – { i ^ 2 } } }{ { { n ^ 2 } } } }

مجموع‌های اخیر به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

i=1nn2=n2i=1n1=n2n=n3;i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6=2n3+3n2+n6. \large { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { n ^ 2 } } } = { { n ^ 2 } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n 1 } = { { n ^ 2 } \cdot n } = { { n ^ 3 } ; } \\ \large { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { i ^ 2 } } } = { \frac { { n \left ( { n + 1 } \right ) \left ( { 2 n + 1 } \right ) } } { 6 } } = { \frac { { 2 { n ^ 3 } + 3 { n ^ 2 } + n } } { 6 } . }

بنابراین، خواهیم داشت:

Rn=1n3(i=1nn2i=1ni2)=1n3(n32n3+3n2+n6)=1n34n33n2n6=4n23n16n2. \large \begin {align*} { { R _ n } } & = { \frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } \left ( { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { n ^ 2 } } – \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { i ^ 2 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } \left ( { { n ^ 3 } – \frac { { 2 { n ^ 3 } + 3 { n ^ 2 } + n } } { 6 } } \right ) } \\ & = { \frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } \cdot \frac { { 4 { n ^ 3 } – 3 { n ^ 2 } – n } }{ 6 } } = { \frac { { 4 { n ^ 2 } – 3 n – 1 } } { { 6 { n ^ 2 } } } . } \end {align*}

اکنون مساحت ناحیه زیر منحنی را با حد nn \to \infty مجموع ریمان محاسبه می‌کنیم:

A=limnRn=limn4n23n16n2=limn43n1n26=46=23. \large \begin {align*} A & = \lim \limits _ { n \to \infty } { R _ n } = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac { { 4 { n ^ 2 } – 3 n – 1 } } { { 6 { n ^ 2 } } } } \\ & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac { { 4 – \frac { 3 } { n } – \frac { 1 } { { { n ^ 2 } } } } } { 6 } } = { \frac { 4 } { 6 } } = { \frac { 2 } { 3 } . } \end {align*}

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathematical Python
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *