تفاوت محیط و مساحت دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل مثال

محیط و مساحت دایره، دو اندازه مهم این شکل هندسی هستند. این اندازه‌ها، تفاوت‌های مختلفی دارند. این تفاوت‌ها به تعریف، واحد اندازه‌گیری و فرمول‌های محاسبه آن‌ها مربوط می‌شوند. در این مطلب، به معرفی تفاوت محیط و مساحت دایره از نظر تعریف، واحد اندازه‌گیری و فرمول به همراه حل چندین مثال متنوع می‌پردازیم. به منظور درک تفاوت بین محیط و مساحت دایره، ابتدا باید با تعریف هر یک از این موارد آشنا شوید.

محیط دایره چیست ؟

اندازه دور دایره یا اندازه منحنی بسته تشکیل دهنده آن با عنوان محیط دایره شناخته می‌شود. این اندازه با استفاده از ضرب شعاع یا قطر دایره در عدد پی به دست می‌آید.

عدد پی، نسبت محیط دایره به قطر آن را نمایش می‌دهد. این عدد، هموار برابر 3/14 است.

فرمول محیط دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

قطر × عدد پی = محیط دایره

قطر × 3/14 = محیط دایره

عبارت جبری یا فرمول محیط دایره به زبان ریاضی نیز برابر است با:

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

$$C = \pi d$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14
• d: قطر دایره

مثال 1: تعیین اندازه محیط دایره

محیط دایره‌ای به شعاع 50 سانتی‌متر را حساب کنید.

در بخش قبلی، فرمول محیط دایره با قطر را معرفی کردیم. قطر دایره، دو برابر شعاع آن است. بنابراین، شعاع دایره در این مثال، 50×2 یا 100 سانتی‌متر خواهد بود. اکنون، فرمول محیط دایره را می‌نویسیم:

قطر × 3/14 = محیط دایره

100 × 3/14 = محیط دایره

314 = محیط دایره

در نتیجه، محیط دایره برابر 314 سانتی‌متر است. به یکا یا واحد بیان اندازه شعاع و محیط (سانتی‌متر) دقت کنید. این واحد برای درک تفاوت محیط و مساحت دایره اهمیت دارد.

فرمول محیط دایره با شعاع

در مثال 1، به منظور محاسبه محیط دایره، شعاع را به قطر تبدیل کردیم. به دلیل وجود رابطه مستقیم بین شعاع و قطر دایره، امکان نوشتن فرمول محیط با شعاع وجود دارد. این فرمول عبارت است از:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره

شعاع × 3/14 × 2 = محیط دایره

عبارت جبری یا فرمول ریاضی محیط دایره با شعاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$C = 2 \pi r$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

مساحت دایره چیست؟

مساحت دایره، اندازه سطح آن یا محدوده درون محیط آن است. این اندازه با استفاده از شعاع یا قطر و عدد پی به دست می‌آید.

فرمول مساحت دایره برابر است با:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت

عبارت جبری یا فرمول ریاضی مساحت دایره به فرم‌های زیر نوشته می‌شود:

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

$$A = \pi \times r \times r$$

یا

$$A = \pi r^2$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14
• r شعاع دایره

با دقت به این فرمول‌های مساحت نگاه کنید. حتما شباهت‌ها و تفاوت‌هایی را بین این فرمول‌ها با فرمول‌های محیط دایره می‌بینید.

مثال 2: محاسبه اندازه مساحت دایره

مساحت دایره‌ای به شعاع 10 سانتی‌متر را حساب کنید.

برای محاسبه مساحت دایره، ابتدا فرمول آن را می‌نویسیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره

اندازه شعاع دایره را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

10 × 10 × 3/14 = مساحت دایره

100 × 3/14 = مساحت دایره

314 = مساحت دایره

در نتیجه، مساحت دایره برابر 314 سانتی‌متر مربع است. بر اساس نتیجه به دست آمده، به نظر شما، آیا می‌توانیم بگوییم محیط دایره در مثال 1 (314) با مساحت دایره در مثال 2 (314) برابر است. پاسخ این سوال، منفی است؛ چراکه محیط و مساحت دایره از نظر مفهوم با هم تفاوت دارند. به همین دلیل، نمی‌توانیم آن‌ها را برابر بدانیم.

محیط و مساحت دایره چه تفاوتی دارند ؟

تفاوت محیط و مساحت دایره در مفهوم اندازه آن‌ها است. محیط دایره، اندازه یک منحنی را نمایش می‌دهد. اندازه منحنی، یک مفهوم یک‌بعدی است. به عنوان مثال، برای رسم محیط یک دایره، باید قلم خود را مانند تصویر زیر بر روی یکی از نقاط دور آن گذاشته و یک دور کامل حرکت دهید. با این کار، قلم بر روی یک مسیر حرکت می‌کند.

مساحت دایره، اندازه یک سطح را نمایش می‌دهد. اندازه سطح، یک مفهوم دوبعدی است. به عنوان مثال، با رنگ کردن محدوده داخل محیط دایره بالا، مساحت دایره نشان داده می‌شود.

دیگر تفاوت محیط و مساحت دایره در نحوه بیان اندازه آن‌ها است. به دلیل یک بعدی بودن محیط دایره، واحد اندازه‌گیری آن با واحد اندازه گیری شعاع یا قطر یکسان است. در مثال 1، شعاع دایره بر حسب سانتی‌متر بیان شده بود. در نتیجه، محیط آن نیز باید با واحد سانتی‌متر بیان می‌شد. به همین ترتیب، اگر واحد شعاع یا قطر دایره، برابر میلی‌متر، متر یا حتی بدون واحد باشد، واحد محیط نیز به همان صورت (میلی‌متر، متر یا بدون واحد) بیان می‌شود.

به دلیل دو بعدی بودن مساحت دایره، واحد اندازه‌گیری آن با مربع واحد اندازه‌گیری شعاع یا قطر یکسان است. در مثال 2، شعاع با واحد سانتی‌متر بیان شده بود. به همین دلیل، مساحت را با واحد سانتی‌متر مربع بیان کردیم. اگر شعاع با واحدهای دیگر مانند میلی‌متر، متر یا بدون واحد بیان می‌شد، واحد مساحت دایره برابر میلی‌متر مربع، متر مربع یا بدون واحد می‌بود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

اصلی‌ترین تفاوت محیط و مساحت دایره در فرمول آن‌ها است. فرمول محیط و مساحت دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

فرمول رایج محیط دایره، به اندازه معلوم (شعاع یا قطر) بستگی دارد. در حالت کلی، این فرمول بر حسب شعاع نوشته می‌شود. محاسبه مساحت دایره، نیز در اغلب موارد با شعاع انجام می‌گیرد. نوشتن فرمول مساحت دایره با قطر، محاسبات را کمی پیچیده‌تر می‌‌کند. در کنار این تفاوت‌ها، محیط و مساحت دایره دارای شباهت‌هایی نیز هستند که در بخش‌های بعدی به آن‌ها می‌پردازیم.

مثال 3: محاسبه محیط و مساحت دایره با شعاع

محیط یک دایره برابر 30 متر است. مساحت این دایره را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

برای محاسبه مساحت دایره، به اندازه شعاع یا قطر آن نیاز داریم. به دلیل مشخص بودن محیط دایره، می‌توانیم این اندازه‌ها را با استفاده فرمول محیط به دست بیاوریم. از آنجایی که حل فرمول مساحت با شعاع ساده‌تر است، فرمول محیط دایره با شعاع را می‌نویسیم:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره

شعاع × 3 × 2 = 30

شعاع × 6 = 30

6 ÷ 30 = شعاع

5 = شعاع

شعاع دایره برابر 5 متر است. فرمول مساحت دایره با شعاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

5 × 5 × 3 = مساحت دایره

75 = مساحت دایره

در نتیجه، مساحت دایره برابر 75 متر مربع است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، به دلیل مشترک بودن شعاع دایره در فرمول‌های محیط و مساحت، امکان محاسبه مساحت از روی محیط فراهم شد.

محیط و مساحت دایره چه شباهتی دارند ؟

شباهت اصلی محیط و مساحت دایره این است که اندازه هر دو آن‌ها فقط به اندازه شعاع یا قطر بستگی دارد. به عبارت دیگر، اگر اندازه شعاع یا قطر را داشته باشیم، اندازه محیط و مساحت دایره قابل محاسبه خواهد بود. از این‌رو، می‌توانیم یک رابطه مستقیم بین محیط و مساحت دایره بنویسیم.

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

رابطه بین محیط و مساحت دایره چیست؟

رابطه بین محیط و مساحت دایره برابر است با:

$$A=\frac{C^{2}}{4 \pi}$$

• A: مساحت دایره
• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14

مثال 4: محاسبه مساحت دایره از روی محیط آن

مثال 3 را با استفاده از رابطه بین محیط و مساحت دایره حل کنید.

در مثال 3، مساحت دایره‌ای به محیط 30 متر را با محاسبه شعاع تعیین کردیم. در این مثال، رابطه بین محیط و مساحت را می‌نویسیم:

$$A=\frac{C^{2}}{4 \pi}$$

• A: مساحت دایره
• C: محیط دایره برابر 30 متر
• π: عدد ثابت پی برابر 3 (بر اساس فرض مثال 3)

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$A=\frac{ 30 \times 30}{4 \times 3}$$

$$A=\frac{ 900}{ 12}$$

$$A=75$$

در نتیجه، مساحت دایره برابر 75 متر است.

تفاوت محیط و مساحت نیم دایره چیست ؟

تفاوت محیط و مساحت نیم‌دایره نیز مانند محیط و مساحت دایره، در ابعاد (یک بعدی و دو بعدی بودن)، واحد اندازه‌گیری و فرمول محاسبه است. البته رابطه مستقیمی بین فرمول‌های محیط و مساحت نیم‌دایره وجود ندارد. اندازه دور نیم‌دایره، از جمع طول کمان با قطر آن به دست می‌آید.

فرمول محیط نیم‌دایره به صورت زیر نوشه می‌شود:

قطر دایره + نصف محیط دایره = محیط نیم‌دایره

اندازه سطح نیم‌دایره به اندازه سطح دایره کامل بستگی دارد. مساحت نیم‌دایره، نصف مساحت دایره کامل است.

فرمول مساحت نیم‌دایره را می‌توان به صورت زیر نوشت:

2 ÷ (مساحت دایره کامل) = مساحت نیم‌دایره

2 ÷ (شعاع × شعاع × 3/14) = مساحت نیم‌دایره

هیچ رابطه مستقیمی بین این محیط و مساحت نیم‌دایره وجود ندارد. با این وجود، در صورت دانستن یکی از این اندازه‌ها، امکان محاسبه شعاع یا قطر نیم‌دایره فراهم می‌شود. به این ترتیب، می‌توان اندازه نامعلوم را به دست آورد.

سوالات متداول در رابطه با تفاوت محیط و مساحت دایره

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با تفاوت محیط و مساحت دایره می‌پردازیم.

فیلم مجموعه آموزش ریاضیات – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

تفاوت محیط و مساحت دایره چیست؟

تفاوت محیط و مساحت دایره در تعریف، واحد اندازه‌گیری و فرمول اندازه‌گیری آن‌ها است.

تفاوت تعریف محیط و مساحت دایره چیست؟

محیط دایره، اندازه دور این شکل بوده و مساحت دایره، اندازه سطح آن است.

تفاوت واحد اندازه‌گیری محیط و مساحت دایره چیست؟

واحد اندازه‌گیری محیط دایره برابر طول (میلی‌‌متر، سانتی‌متر، متر و غیره) و واحد اندازه‌گیری مساحت دایره برابر مربع طول (میلی‌متر مربع، سانتی‌متر مربع، متر مربع و غیره) است.

تفاوت ابعاد محیط و مساحت دایره چیست؟

محیط، یک اندازه یک بعدی بوده و مساحت، یک اندازه دو بعدی است.

تفاوت فرمول محیط و مساحت دایره چیست؟

فرمول محیط دایره به صورت «قطر×3/14» یا «شعاع×3/14×2» نوشته شده و فرمول مساحت دایره به صورت «شعاع×شعاع،3/14» نوشته می‌شود.