بسط مجانبی — از صفر تا صد

در مطلب تابع گاما از مفهومی تحت عنوان بسط مجانبی یاد شد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا این مفهوم را توضیح داده و کاربرد‌های آن را نیز بیان کنیم. این بسط یا سری در بررسی جمع جزئیِ یک سری استفاده می‌شود.

مرتبه

قبل از اینکه در مورد بسط مجانبی بحث شود، باید با مفهوم مرتبه تابع آشنا باشید. بدین منظور فرض کنید $$ f , g : \mathbb { R } \backslash 0 \rightarrow \mathbb { R } $$ توابعی حقیقی باشند. در این صورت با نزدیک شدن مقدار $$ x $$ به صفر ($$ x \rightarrow 0 $$) می‌گوییم تابع $$ f $$ از مرتبه $$ g $$ است ($$ f = O ( g ) $$)، اگر ثابتی همچون $$ C $$ و مقداری همچون $$ r > 0 $$ به‌ نحوی وجود داشته باشند که به ازای $$ 0 < | x | < r $$ بتوان گفت:

$$ | f ( x ) | \leq C | g ( x ) | $$

فیلم آموزش مبانی آنالیز عددی – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

به همین صورت هنگامی که $$ x \rightarrow 0 $$ می‌گوییم $$ f = o ( g ) $$، اگر به ازای هر مقدار $$ δ > 0 $$ مقداری از $$ r > 0 $$ به نحوی وجود داشته باشد که بتوان نامساوی زیر را برای دو تابع بیان کرد:

$$ | f ( x ) | \leq \delta | g ( x ) | $$

اگر $$ g \neq 0 $$ باشد، در این صورت زمانی با میل کردن $$ x $$ به صفر، $$ f = O ( g ) $$ است که $$ f / g $$ در بازه‌ای در نزدیک $$ 0 $$ محدود شده باشد. همچنین زمانی $$ f \ll g $$ (تابع $$ f $$ مقداری بسیار کم‌تر از $$ g $$ دارد) است که $$ f = o ( g ) $$ بوده و $$ f ∼ g $$ (تابع $$ f $$ به $$ g $$ نزدیک) باشد. در ادامه چندین مثال از چنین توابعی ارائه شده‌اند.

1. $$ \sin 1 / x = O ( 1 ) , x \rightarrow 0 $$
2. با نزدیک شدن مقدار $$ x $$ به صفر می‌توان دو تقریبِ $$ x ^ { 3 } = o \left( x ^ { 2 } \right) $$ و $$ x ^ { 3 } = o \left( x ^ { 2 } \right) $$ را بیان کرد.
3. زمانی که $$ x \rightarrow 0 ^ { + } $$ میل کند، $$ x = o ( \log x ) $$ نزدیک می‌شود. همچنین با بینهایت شدن مقدار $$ x $$، می‌توان تقریب $$ \log x = o ( x ) $$ را نوشت.
4. مقدار $$ \sin x $$، زمانی به $$ x $$ میل می‌کند که مقدار $$ x $$ به صفر نزدیک شود.

توجه داشته باشید که علامت $$ O $$ نشان‌دهنده مرتبه برابر و علامت $$ o $$ نشان‌دهنده مرتبه کمتر است.

بسط مجانبی

بسط مجانبی شکل و رفتار یک تابع را به ازای مقداری خاص از $$ x $$ نشان می‌دهد. این تعریف توسط پوانکاره در سال ۱۸۸۶ ارائه شد که می‌توان با استفاده از آن تعاریفی ریاضیاتی را برای سری‌های واگرا ارائه داد.

فیلم آموزش آنالیز عددی پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

تعریف: مجموعه‌ای از توابع $$ \varphi _ { n } : \mathbb { R } \backslash 0 \rightarrow \mathbb {
R } $$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها مقادیر $$ n $$ برابر با $$ n = 0 , 1 , 2 , \dots $$ هستند. در این صورت این دنباله در صورتی مجانبی است که به ازای هر مقداری از $$ n = 0 , 1 , 2 , \ldots $$ بتوان رابطه زیر را بیان کرد:

$$ \varphi _ { n + 1 } = o \left( \varphi _ { n } \right) \quad \text { as } x \rightarrow 0 $$

اگر $$\left\{ \varphi _ { n } \right \} $$ دنباله‌ای مجانبی و $$ f : \mathbb { R } \backslash 0 \rightarrow \mathbb { R } $$ باشد، در این صورت تابع $$ f $$ را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ f ( x ) \sim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \varphi _ {‌ n } ( x ) \quad \text { as } x \rightarrow 0 $$
معادله ۱

در این صورت به ازای مقادیر $$ N = 0 , 1 , 2 , \ldots $$، عبارت زیر را می‌توان نوشت.

$$ f ( x ) - \sum _ { n = 0 } ^ { N } a _ { n } \varphi _ { n }( x ) = o \left( \varphi _ { N } \right) \quad \text { as } x \rightarrow 0 $$

به معادله ۱، بسط مجانبی تابع $$ f $$ نسبت به $$ \left \{ \varphi _ { n } \right \} $$ گفته می‌شود.

مثال ۱

تابع $$ \log \sin x $$ را در نظر بگیرید. بسط مجانبی این تابع هنگامی که $$ x \rightarrow 0 ^ { + } $$ میل می‌کند برابر است با:

$$ \log \sin x \sim \log x + \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + \ldots \quad \text { as } x \rightarrow 0 ^ { + } $$

مثال ۲

تابع $$ f $$ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ f ( x ) = \frac { 1 } { 1 - x } + e ^ { - 1 / x } \sin e ^ { 1 / x }
$$

در این صورت تابع $$ f $$ را می‌توان به صورت زیر در نزدیکی مقادیر صفر مثبت تقریب زد.

$$ f ( x ) \sim 1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \ldots \quad \text { as } x \rightarrow 0 ^ { + } $$

اما توجه داشته باشید که رفتار مشتق تابع مذکور را نمی‌توان با استفاده از مشتق‌گیری از تابع فوق بدست آورد. در حقیقت مشتق تابع را می‌توان برابر با عبارت زیر تقریب زد.

$$ f ^ { \prime} ( x ) \sim - \frac { \cos e ^ { 1 / x } } { x ^ { 2 } } + 1 + 2 x + 3 x ^ { 2 } + \ldots \quad \text { as } x \rightarrow 0 ^ { + } $$

سری توانی مجانبی

شکل معمول سری‌های توانی به‌ صورت زیر است:

$$ f ( x ) \sim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n } \quad \text { as } x \rightarrow 0 $$

اگر تابع $$ f $$ تابعی هموار در نزدیکی مبدا باشد، در این صورت حد بالای تابع را می‌توان مطابق با نامساوی زیر بیان کرد:

$$ \left|f(x)-\sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } x ^ { n } \right| \leq C _ { N + 1 } x ^ { N + 1 } \quad \text { , } \ \ | x | \leq r
$$

مقدار $$ C _ { N + 1 } $$ در رابطه فوق برابر است با:

$$ C _ { N + 1 } = \sup _ { | x | \leq r } \frac { \left| f ^ { ( N + 1 ) } ( x ) \right| } { ( N + 1 ) ! } $$

حد بالای موجود نشان می‌دهد که می‌توان تابع $$ f $$ را مطابق با بسط مجانبی زیر تقریب زد.

$$ f ( x ) \sim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( n ) }( 0 ) }{ n‌ ! } x ^ { n }‌ \quad \text { as } x \rightarrow 0 $$

بسط مجانبی ارائه شده در بالا تنها زمانی در همسایگی مبدا، به تابع $$ f $$ همگرا می‌شود که تابع $$ f $$ در مرکز تحلیلی باشد. اگر تابع $$ f $$ هموار اما غیرتحلیلی باشد، سری ممکن است به تابعی به غیر از $$ f $$ همگرا شده و یا به کلی واگرا شود. بسط تیلور تابع $$ f $$ در $$ x = x _ 0 $$ برابر است با:

$$ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( n ) } \left( x _ { 0 } \right ) } { n ! } \left( x - x _ { 0 } \right ) ^ { n } $$

بسط فوق تنها زمانی معادل با بسط مجانبی $$ f $$ است که $$ x \rightarrow x _ { 0 } $$ میل کند.

بسط مجانبی و سری همگرا

در بالا بیان شد که یک بسط مجانبی الزاما ممکن است همگرا نباشد. همچنین هر سری همگرا الزاما ممکن است مجانبی نباشد. به منظور توضیح بیشتر این مفهوم، یک سری را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \varphi _ { n } ( x ) $$

$$ { a _ n } $$ دنباله‌ای است که ضرایب سری فوق را تشکیل می‌دهد. $$ { ϕ _ n ( x ) } $$ نیز نشان‌دهنده دنباله‌ای مجانبی، هنگامی است که مقدار $$ x $$ به صفر نزدیک می‌شود. با این فرضیات جمع جزئی زیر را در نظر بگیرید.

$$ S _ { N } ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } a _ { n } \varphi _ { n } ( x ) $$

همگرایی سری $$ S _ N $$ را می‌توان زمانی بررسی کرد که مقدار $$ N $$ به بینهایت نزدیک شده و $$ x $$ نیز ثابت در نظر گرفته شود ($$ N \to \infty $$). برای بررسی سری مجانبی نیز، $$ N $$ را باید ثابت در نظر گرفته و همزمان مقدار $$ x $$ به سمت صفر میل داده شود.

یک سری همگرا مقداری مشخص را به عنوان حد در بینهایت به ما می‌دهد. این در حالی است که همگرا بودن به ما نمی‌گوید که سری با چه سرعتی همگرا شده است. در مقابل، سری مجانبی تقریبی دقیق از مقدار سری در بینهایت به ما نمی‌دهد اما می‌تواند برای جزئی از سری در $$ x $$های به اندازه کافی کوچک، تقریب خوبی را ارائه دهد. در ادامه مثالی ارائه شده که برای درک بهتر پیشنهاد می‌شود آن را مطالعه فرمایید.

مثال ۳

تابع خطا، انتگرالی است که در فضای $$ \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } $$ به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$ \operatorname {erf} x = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ {x } e ^ { -t ^ { 2 } } d t $$

با انتگرال ترم به ترم سری توانیِ $$ e ^ { - t ^ { 2 } } $$، تابع $$ \text {erf} \ x $$ در قالب سری زیر بدست می‌‌آید.

$$ \text {erf} \ x = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \left \{ x - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \ldots + \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) n ! } x ^ { 2 n + 1 } + \ldots \right \} $$

عبارت فوق به ازای هر مقداری از $$ x ∈ R $$ همگرا است. البته به ازای مقادیر بزرگِ $$ x $$، سرعت همگرایی تابع نیز کم می‌شود؛ این جا است که می‌توان از بسط مجانبی واگرای زیر به منظور تقریب تابع خطا در مقادیر بزرگ $$ x $$ استفاده کرد.

$$  \text {erf} \ x \sim 1 - \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } } \frac { 1 } { x ^ { n + 1 } } \quad \text { as } x \rightarrow \infty $$

در رابطه فوق $$ ( 2 n - 1 ) ! ! = 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot ( 2 n - 1 ) $$ است. برای نمونه هنگامی که $$ x = 3 $$ است، به $$ 31 $$ جمله از سری تیلور در $$ x =3 $$ نیاز داریم تا بتوانیم مقدار $$ erf \ 3 $$ را با دقت $$ 10 ^ { - 5 } $$ تقریب بزنیم. این در حالی است که در بسط مجانبی تنها به $$ 2 $$ ترم نیاز داریم.

حال می‌خواهیم اثبات کنیم کنیم که سری ارائه شده در بالا، سری مجانبی است. بدین منظور در ابتدا تابع خطای زیر را در نظر بگیرید.

$$  \text {erf} \ x = 1 - \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \int _ { x } ^ { \infty } e ^ {- t ^ { 2 } } d t $$

حال تغییر متغیر $$ s = t ^ 2 $$ را در نظر می‌گیریم. در این صورت انتگرال فوق به صورت زیر در خواهد آمد.

$$  \text {erf} \ x = 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { x ^ { 2} } ^ { \infty } s ^ { - 1 / 2 } e ^ { - s } d s $$

به ازای مقادیر $$ n = 0 , 1 , 2 , \ldots $$ توابع $$ F _ n $$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$ F _ { n } ( x ) = \int _ { x ^ { 2 } } ^ { \infty } s ^ { - n - 1 / 2 } e ^ { - s } d s $$

در این صورت با انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء به عبارت زیر می‌رسیم.

$$ F _ { n } ( x ) = \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { x ^ { 2 n + 1 } } -\left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) F _ { n + 1 } ( x ) $$

فرمول بازگشتی فوق را می‌توان به صورت زیر نیز بازنویسی کرد:

$$ \begin{aligned}  \text {erf} \ x & = 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } F _ { 0 } ( x ) \\ & = 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \left[\frac{ e ^ { - x ^ { 2 } } } { x } - \frac { 1 } { 2 } F _ { 1 } ( x ) \right] \\ &=1-\frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \left[e^{-x^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 3 } } \right) + \frac{1 \cdot 3}{2^{2}} F_{2}( x ) \right] \end{aligned} $$

$$ \begin {aligned} = & 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \left[ e ^ { -x ^ { 2 } } \left ( \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 3 } } + \ldots ( - 1 ) ^ { N } \frac { 1 \cdot 3 \cdots ( 2 N - 1 ) } { 2 ^ { N } x ^ { 2 N + 1 } } \right) \right. \\ & + (‌ - 1 ) ^ { N + 1 } \frac { 1 \cdot 3 \cdots \cdot ( 2 N + 1 ) } { 2 ^ { N + 1 } } F_ { N + 1 } ( x ) ] \end {aligned} $$

در نتیجه تابع خطا را می‌توان بر حسب سری فوق بیان کرد:

$$ \operatorname{erf} x = 1 - \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \sum _ {n = 0 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot ( 2 n - 1 ) }{ 2 ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } } + R _ { N + 1 } ( x ) $$

مقدار $$ R _ { N + 1 } $$ نیز برابر است با:

$$ R _ { N + 1 } ( x ) = ( - 1 ) ^ { N + 1 } \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \frac { 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot ( 2 N + 1 ) } { 2 ^ { N + 1} } F _ { N + 1 } ( x ) $$

توجه داشته باشید که نامساوی زیر را می‌توان برای $$ F _ n $$ بیان کرد:

$$ \begin {aligned}\left|F _ { n } ( x ) \right| &=\left|\int _ { x ^ { 2 } } ^ { \infty } s ^ { - n - 1 / 2 } e ^ { - s } d s \right| \\ & \leq \frac { 1 } { x ^ { 2 n + 1 } } \int _ { x ^ { 2 } } ^ { \infty} e ^ { - s } d s \\ & \leq \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { x ^ { 2 n + 1 } }‌ \end {aligned} $$

مقدار $$ C _ N $$ نیز برابر است با:

$$ C _ { N } = \frac { 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot ( 2 N + 1 ) } { 2 ^ { N + 1 } \sqrt { \pi } } $$

حد بالای بدست آمده برای $$ R _ { N + 1 } $$ نشان می‌دهد، سری مدنظر، مجانبی است.

در صورتی که مطلب بالا برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• بسط تیلور -- به زبان ساده
• سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد
• الگوها و دنباله های متداول عددی – به زبان ساده

^^