اعداد اویلر و خصوصیات آن | به زبان ساده

۱۷۲۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۴ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۶ دقیقه
اعداد اویلر و خصوصیات آن | به زبان ساده

اعداد در زندگی بشر نقش مهمی دارند. آن‌ها یک انتزاع از کمیت‌های طبیعی هستند. البته برای بعضی، اعداد فقط مجموعه اعداد صحیح محسوب می‌شوند ولی مجموعه‌هایی از اعداد وجود دارد که کاربردهای خاصی داشته و بخصوص در تعیین روند‌ها یا دنباله‌های ریاضیاتی، نقش مهمی دارند. یکی از این دنباله اعداد، به نام اعداد اویلر (Euler Numbers) شناخته می‌شود که در محاسبات تقریبی نقش مهمی دارند. به همین علت این نوشتار از مجله فرادرس را به اعداد اویلر و خصوصیات آن اختصاص داده‌ایم.

997696

برای آشنایی بیشتر با اصطلاحات به کار رفته در این متن بهتر است مطالب دیگر مجله فرادرس مانند اعداد برنولی و خصوصیات آن | به زبان ساده و ثابت اویلر ماسکرونی (Euler–Mascheroni) — به زبان ساده را بخوانید. همچنین مطالعه نوشتارهای عدد اویلر یا نپر – به زبان ساده و لگاریتم و خصوصیات آن — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اعداد اویلر و خصوصیات آن

قبل از اینکه به اعداد اویلر بپردازیم باید نکته‌ای را روشن کنیم. اعداد اویلر (Euler Numbers) با «عدد اویلر» (Euler Number) تفاوت دارد. اعداد اویلر، دنباله‌ای از اعداد است که در قاعده‌ای خاص صدق می‌کنند در حالیکه «عدد اویلر» (Euler's Number) یا «عدد نپر» (Naper's Number)، یک ثابت است و نباید با اعداد اویلر اشتباه شود.

در ریاضیات، اعداد اویلر یک دنباله به شکل EnE_n از اعداد طبیعی هستند که بوسیله «سری تیلور» (Taylor Series) و به صورت زیر معرفی می‌شوند.

1cosht=2et+et=n=0Enn!tn \large {\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}} = {\frac {2}{e^{t} + e^{ -t}}} = \sum_{n = 0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}} \cdot t^{n}}

می‌دانید که نماد cosh\cosh برای تابع کسینوس بیضوی (Cosine Hyperbolic) به کار رفته است.

اعداد اویلر به شکلی خاص با چند جمله‌ای اویلر در ارتباط هستند.

En=2nEn(12) \large {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})}

نکته: چند جمله‌ای اویلر به صورت زیر نوشته می‌شود.

Em(x)=n=0m12nk=0n(1)k(nk)(x+k)m \large E_m(x)= \sum_{n=0}^m \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m

که در آن mm درجه چند جمله‌ای و (nk) {n \choose k } ترکیب kk از nn است.

اعداد برنولی در بسط یا سری تیلور برای تابع «سکانت» (Secant) و «سکانت هذلولوی» (Secant Hyperbolic) نیز دیده می‌شوند. همچنین این اعداد را در «ترتیب‌های متناوب» (Alternating Permutations) زمانی که تعداد عناصر زوج باشد می‌توان مشاهده کرد.

فرمول‌های تشکیل اعداد برنولی

رابطه‌هایی که در ادامه مشاهده می‌کنید، نحوه تشکیل اعداد برنولی را برحسب «اعداد استرلینگ نوع دوم» (Striling Numbers of the Second Kind) نشان می‌دهkد.

Er=22r1k=1r(1)kS(r,k)k+1(3(14)(k)(34)(k)) \large {\displaystyle E_{r}=2^{2r-1}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right)}

و همچنین رابطه زیر نیز برای زمانی که مرتبه زوج اعداد اویلر مورد نظر باشد، مناسب است.

E2l=42lk=12l(1)kS(2l,k)k+1(34)(k) \large {\displaystyle E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}}

در رابطه‌های بالا منظور از S(r,k)S(r,k) عدد استرلینگ نوع دوم بوده و x(n)x^{(n)} که به آن «فاکتوریل صعودی» (Rising Factorial) گفته می‌شود نیز به شکل زیر محاسبه می‌شود.

x(n)=(x)(x+1)(x+n1) \large {\displaystyle x^{(n)} = (x)(x + 1)\cdots (x + n - 1 )}

به این ترتیب می‌توانیم این دنباله از اعداد را به صورت زیر محاسبه کنیم.

E0=1 E2=1 E4=5 E6=61 E8=1385 E10= 50521 E12=2702765 E14=199360981 E16=19391512145 E18=2404879675441 E_0 = 1 \\ E_2 = −1 \\ E_4 = 5 \\ E_6 = −61 \\ E_8 = 1385 \\ E_10 =  50521 \\ E_12 = 2702765 \\ E_14 = −199360981 \\ E_16 = 19391512145 \\ E_18 = −2404879675441

همانطور که متوجه شده‌اید، دنباله اعداد اویلر برای مرتبه‌های فرد برابر با صفر است. همچنین برای مرتبه یا اندیس‌های زوج نیز ترتیب علامت اعداد اویلر به طور متناوب تغییر می‌کند. نظیر این ویژگی را در «اعداد برنولی» (Bernoulli's Numbers) نیز مشاهده کرده‌اید.

نمایش اعداد اویلر به کمک جمع مضاعف

رابطه زیر اعداد اویلر را به کمک «جمع مضاعف» (Double Sums) نشان می‌دهد.

E2k=(2k+1)=12k(1)12(+1)(2k)q=0(q)(2q)2k \large {\displaystyle E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k}}

همچنین رابطه زیر نیز به همین منظور قابل استفاده است.

E2k=i=12k(1)i12i=02i(1)(2i)(i)2k \large {\displaystyle E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}}

نمایش اعداد اویلر به کمک جمع مکرر

نظیر رابطه‌ای که برای حالت نمایش جمع مضاعف اعداد اویلر داشتیم، به کمک جمع مکرر (Iterated Sum) نیز می‌توان اعداد اویلر را محاسبه کرد و نمایش داد.

E2n=ik=12n+1j=0k(kj)(1)j(k2j)2n+12kikk \large {\displaystyle E_{2n} = i \sum _{k = 1}^{2n + 1} \sum_{j = 0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k - 2j)^{2n + 1}}{2^{k}i^{k}k }}}

فقط توجه داشته باشید که در اینجا منظور از ii همان «عدد مختلط واحد» (Imaginary Unit) است که برایش داریم i2=1i^2 = -1 .

نمایش اعداد اویلر به کمک تفکیک جمع

اعداد اویلر (E2nE_{2n}) را می‌توان به صورت جمع روی «افرازهای زوج» (Even Partitions) از 2n2n محاسبه کرد. به رابطه زیر دقت کنید.

E2n=(2n)!0k1,,knn(Kk1,,kn)δn,mkm(12!)k1(14!)k2(1(2n)!)kn \large {\displaystyle E_{2n} = (2n)! \sum _{0\leq k_{1}, \ldots ,k_{n}\leq n}{ \binom {K}{k_{1}, \ldots , k_{n}}} \delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}} \right)^{k_{2}}\cdots \left(- {\frac {1}{(2n)!}} \right)^{k_{n}}}

همین کار را روی افرازهای فرد 2n12n-1 نیز می‌توان اجرا کرد.

E2n=(1)n1(2n1)!0k1,,kn2n1(Kk1,,kn)δ2n1,(2m1)km(11!)k1(13!)k2((1)n(2n1)!)kn \large {\displaystyle E_{2n} = (-1)^{n - 1}(2n - 1)! \sum _{0 \leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n - 1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n - 1,\sum (2m - 1)k_{m}}\left(- {\frac {1}{1!}} \right)^{k_{1}} \left( {\frac {1}{3!}} \right)^{k_{2}} \cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n - 1)! }}\right)^{k_{n}}}

توجه داشته باشید که در اینجا K=k1++knK = k_1 + \ldots + k_n و داریم:

(Kk1,,kn)K!k1!kn! \large {\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}

رابطه بالا، همان ضرایب چند جمله‌ای‌ها است. از طرفی نماد δ\delta نیز بیانگر «تابع دلتای کرونکر» (Kronecker Delta Function) است که باعث می‌شود جمع روی ksks تا 2k1+4k2++2nkn=2n2k_1 + 4k_2+ \ldots + 2nk_n= 2n و k1+3k2++(2n1)kn=2n1k_1 + 3k_2+ \ldots + (2n - 1) k_n = 2n - 1 محدود شود.

به عنوان یک مثال رابطه زیر را برای محاسبه E10E_{10} در نظر بگیرید.

E10=10!(110!+22!8!+24!6!32!26!32!4!2+42!34!12!5)=9!(19!+31!27!+61!3!5!+13!351!45!101!33!2+71!63!11!9)=50521 \large {\displaystyle {\begin{aligned}E_{10} & = 10! \left( - {\frac {1}{10!}} + {\frac {2}{2!\,8!}} + {\frac {2}{4!\,6!}} - {\frac {3}{2!^{2}\,6!}} - {\frac {3}{2!\,4!^{2}}} + {\frac {4}{2!^{3}\,4!}} - {\frac {1}{2!^{5}}}\right) \\[6pt] & = 9! \left(- {\frac {1}{9!}} + {\frac {3}{1!^{2}\,7!}} + {\frac {6}{1!\,3!\,5!}} + {\frac {1}{3!^{3}}} - {\frac {5}{1!^{4}\,5!}} - {\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}} + {\frac {7}{1!^{6}\,3!}} -{\frac {1}{1!^{9}}}\right) \\[6pt] & = - 50\, 521\end{aligned}}}

نمایش اعداد اویلر به کمک دترمینان

شیوه دیگری برای نمایش اعداد اویلر، استفاده از نمایش «دترمینانی» (Determinant) است که در زیر قابل مشاهده است.

E2n=(1)n(2n)!12!114!12!1 1(2n2)!1(2n4)!12!11(2n)!1(2n2)!14!12! \large {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1& & &\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1& &\\ \vdots &~&\ddots &\ddots &\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}& &{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

نمایش اعداد اویلر به صورت انتگرال

روابط زیر نحوه نمایش اعداد اویلر را به صورت حاصل انتگرال، مشخص کرده‌اند.

(1)nE2n=0t2ncoshπt2  dt=(2π)2n+10x2ncosh x  dx=(2π)2n01log2n(tanπt4)dt=(2π)2n+10π/2log2n(tanx2)dx=22n+3π2n+20π/2xlog2n(tanx)dx=(2π)2n+20πx2log2n(tanx2)dx \large{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n} E_{2n} & = \int_{0}^{ \infty }{\frac {t^{2n}} { \cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\; dt = \left( {\frac {2}{\pi }} \right) ^{2n + 1} \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh  x}} \;dx \\[8pt] & = \left({\frac {2}{\pi }} \right)^{2n} \int _{0}^{1} \log ^{2n} \left( \tan {\frac {\pi t}{4}}\right) \, dt = \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n + 1}\int_{0}^{\pi /2} \log ^{2n}\left( \tan {\frac {x}{2}}\right)\, dx \\[8pt] & = {\frac {2^{2n + 3}}{\pi ^{2n + 2}}}\int _{0}^{\pi /2}x \log ^{2n}(\tan x) \, dx = \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n + 2}\int_{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right) \, dx\end{aligned}}}

نمایش اعداد اویلر با استفاده از ترتیب و تناسب

«تساوی ترکیباتی» (Combinational Identity) بین اعداد اویلر و اعداد اول (pp) را در رابطه زیر مشاهده می‌کنید.

(1)p12Ep1{0modpif p1mod4;2modpif p3mod4 \large {\displaystyle ( - 1)^{\frac {p - 1}{2}}E_{p - 1} \equiv \textstyle {\begin{cases} 0 \mod p & { \text{if }} p \equiv 1 { \bmod {4}};\\ - 2 \mod p & {\text{if }} p \equiv 3 {\bmod {4}}\end{cases}}}

می‌توان اثبات کرد که برای هر عدد اول همنهشت با ۱ به پیمانه ۴ و عدد صحیح بزرگتر از ۱ مثل α1\alpha \geq 1 ، خواهیم داشت:

Eϕ(pα)/2≢0(modpα) \large{\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}

بطوری که ϕ(n)\phi(n) «تابع فی اویلر» (Euler Phi Function) است.

نکته: همنهشتی عدد pp با ۱ به پیمانه ۴ را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

p1 ((mod4)) \large p \equiv 1  (\pmod 4)

تقریب مجانبی

میزان رشد اعداد برنولی به صورت جهشی و بسیار زیاد است. در نتیجه محاسبه برای اندیس‌های بزرگ، با مشکلاتی زیادی همراه است. رابطه زیر یک کران پایین برای اعداد برنولی معرفی کرده است.

E2n>8nπ(4nπe)2n \large |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}

اعداد زیگزاگ اویلر

سری تیلور برای تابع secx+tanx=tan(π4+x2) {\displaystyle \sec x + \tan x = \tan \left({\frac {\pi }{4}} + {\frac {x}{2}}\right)} به صورت زیر خواهد بود.

n=0Ann!xn \large {\displaystyle \sum _{n = 0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n}}

توجه داشته باشید که در اینجا AnA_n اعداد زیگزاگ اویلر (Euler Zigzag Numbers) هستند که به صورت زیر مشخص شده‌اند.

برای nn زوج:

An=(1)n2En \large {\displaystyle A_{n} = (- 1)^{\frac {n}{2}} E_{n}}

که در آن EnE_n عدد اویلر nnام است.

برای اعداد فرد:

An=(1)n122n+1(2n+11)Bn+1n+1 \large {\displaystyle A_{n} = ( - 1)^{\frac {n - 1}{2}}{\frac {2^{n + 1 } \left( 2^{n + 1} - 1\right)B_{n + 1}}{n + 1}}}

که در آن BnB_n نشانگر nnامین عدد برنولی (Bernoulli Numbers) است.

به این ترتیب می‌توان رابطه زیر را برای اعداد زیگزاگ اویلر نوشت:

An1(n1)!sin(nπ2)+m=0n1Amm!(nm1)!sin(mπ2)=1(n1)! \large {\displaystyle {\frac {A_{n - 1}}{(n - 1) !}}\sin { \left({ \frac {n\pi }{2}}\right)} + \sum_{m = 0}^{n - 1}{\frac {A_{m}}{m!(n - m - 1)!}} \sin {\left( {\frac {m \pi }{2}}\right)} = {\frac {1}{(n - 1)!}}}

در نتیجه این اعداد، تشکیل دنباله‌ای می‌دهند که چند عنصر اول آن در ادامه آورده شده است.

1,1,1,2,5,16,61,272,1385,7936,50521,353792,2702765,22368256,199360981,1903757312,19391512145,209865342976,2404879675441,29088885112832, 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981,\\ 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, \ldots

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با مجموعه اعداد اویلر و خصوصیات آن، آشنا شدیم. همانطور که دیدید، روابط متعددی بین اعداد اویلر و اعداد برنولی وجود دارد که می‌توان یکی را برحسب دیگری محاسبه کرد. به همین علت اغلب در بحث نظریه اعداد، مجموعه اعداد اویلر و برنولی با یکدیگر مقایسه شده و به کار می‌روند.

بر اساس رای ۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Wikipediaمجله فرادرس
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *