اعداد در زندگی بشر نقش مهمی دارند. آنها یک انتزاع از کمیتهای طبیعی هستند. البته برای بعضی، اعداد فقط مجموعه اعداد صحیح محسوب میشوند ولی مجموعههایی از اعداد وجود دارد که کاربردهای خاصی داشته و بخصوص در تعیین روندها یا دنبالههای ریاضیاتی، نقش مهمی دارند. یکی از این دنباله اعداد، به نام اعداد اویلر (Euler Numbers) شناخته میشود که در محاسبات تقریبی نقش مهمی دارند. به همین علت این نوشتار از مجله فرادرس را به اعداد اویلر و خصوصیات آن اختصاص دادهایم.
قبل از اینکه به اعداد اویلر بپردازیم باید نکتهای را روشن کنیم. اعداد اویلر (Euler Numbers) با «عدد اویلر» (Euler Number) تفاوت دارد. اعداد اویلر، دنبالهای از اعداد است که در قاعدهای خاص صدق میکنند در حالیکه «عدد اویلر» (Euler's Number) یا «عدد نپر» (Naper's Number)، یک ثابت است و نباید با اعداد اویلر اشتباه شود.
در ریاضیات، اعداد اویلر یک دنباله به شکل En از اعداد طبیعی هستند که بوسیله «سری تیلور» (Taylor Series) و به صورت زیر معرفی میشوند.
cosht1=et+e−t2=n=0∑∞n!En⋅tn
میدانید که نماد cosh برای تابع کسینوس بیضوی (Cosine Hyperbolic) به کار رفته است.
اعداد اویلر به شکلی خاص با چند جملهای اویلر در ارتباط هستند.
En=2nEn(21)
نکته: چند جملهای اویلر به صورت زیر نوشته میشود.
Em(x)=n=0∑m2n1k=0∑n(−1)k(kn)(x+k)m
که در آن m درجه چند جملهای و (kn) ترکیب k از n است.
اعداد برنولی در بسط یا سری تیلور برای تابع «سکانت» (Secant) و «سکانت هذلولوی» (Secant Hyperbolic) نیز دیده میشوند. همچنین این اعداد را در «ترتیبهای متناوب» (Alternating Permutations) زمانی که تعداد عناصر زوج باشد میتوان مشاهده کرد.
فرمولهای تشکیل اعداد برنولی
رابطههایی که در ادامه مشاهده میکنید، نحوه تشکیل اعداد برنولی را برحسب «اعداد استرلینگ نوع دوم» (Striling Numbers of the Second Kind) نشان میدهkد.
و همچنین رابطه زیر نیز برای زمانی که مرتبه زوج اعداد اویلر مورد نظر باشد، مناسب است.
E2l=−42lk=1∑2l(−1)k⋅k+1S(2l,k)⋅(43)(k)
در رابطههای بالا منظور از S(r,k) عدد استرلینگ نوع دوم بوده و x(n) که به آن «فاکتوریل صعودی» (Rising Factorial) گفته میشود نیز به شکل زیر محاسبه میشود.
x(n)=(x)(x+1)⋯(x+n−1)
به این ترتیب میتوانیم این دنباله از اعداد را به صورت زیر محاسبه کنیم.
همانطور که متوجه شدهاید، دنباله اعداد اویلر برای مرتبههای فرد برابر با صفر است. همچنین برای مرتبه یا اندیسهای زوج نیز ترتیب علامت اعداد اویلر به طور متناوب تغییر میکند. نظیر این ویژگی را در «اعداد برنولی» (Bernoulli's Numbers) نیز مشاهده کردهاید.
نمایش اعداد اویلر به کمک جمع مضاعف
رابطه زیر اعداد اویلر را به کمک «جمع مضاعف» (Double Sums) نشان میدهد.
رابطه بالا، همان ضرایب چند جملهایها است. از طرفی نماد δ نیز بیانگر «تابع دلتای کرونکر» (Kronecker Delta Function) است که باعث میشود جمع روی ks تا 2k1+4k2+…+2nkn=2n و k1+3k2+…+(2n−1)kn=2n−1 محدود شود.
نکته: همنهشتی عدد p با ۱ به پیمانه ۴ را به صورت زیر نشان میدهیم.
p≡1 ((mod4))
تقریب مجانبی
میزان رشد اعداد برنولی به صورت جهشی و بسیار زیاد است. در نتیجه محاسبه برای اندیسهای بزرگ، با مشکلاتی زیادی همراه است. رابطه زیر یک کران پایین برای اعداد برنولی معرفی کرده است.
در این نوشتار با مجموعه اعداد اویلر و خصوصیات آن، آشنا شدیم. همانطور که دیدید، روابط متعددی بین اعداد اویلر و اعداد برنولی وجود دارد که میتوان یکی را برحسب دیگری محاسبه کرد. به همین علت اغلب در بحث نظریه اعداد، مجموعه اعداد اویلر و برنولی با یکدیگر مقایسه شده و به کار میروند.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
«آرمان ریبد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندیهای او، یادگیری ماشین، خوشهبندی و دادهکاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه میکند.