ریاضی، علوم پایه 905 بازدید

مقادیر ثابت (Constant) در علوم مختلف به عنوان ابزاری برای توجیه نسبت‌ها به کار گرفته می‌شوند. مثلا در فیزیک، ثابت گازها، یا در شیمی عدد آووگادرو  مقادیر ثابتی هستند که در بسیار از محاسبات مربوط به آن رشته به کار می‌روند. در ریاضیات نیز برای مثال عدد پی ($$\pi$$) یک ثابت محسوب شده که نسبت محیط دایره به قطر آن را نشان می‌دهد. از آنجایی که این نسبت‌ها، مقادیری با تعداد اعشار زیاد بوده و اکثراً در مجموعه اعداد گنگ قرار دارند، گاهی آن‌ها را با دقت کمتری (مثلا ۵ رقم اعشار) نشان داده و در محاسبات به کار می‌برند. یکی از ثابت‌های جالب در حوزه علوم ریاضی، ثابت ثابت اویلر ماسکرونی (Euler–Mascheroni) است که گاهی به آن ثابت اویلر نیز می‌گویند که در این نوشتار به آن پرداخته و خصوصیات آن را مورد بحث قرار می‌دهیم.

برای آشنایی بیشتر با ثابت‌های دیگر در ریاضیات می‌توانید مطلب نسبت طلایی — به زبان ساده و دنباله فیبوناچی – به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن عدد پی چگونه کشف شد؟ — ریاضیات به زبان ساده و عدد اویلر یا نپر – به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

ثابت اویلر ماسکرونی

یک ثابت در آنالیز و تئوری اعداد، ثابت اویلر ماسکرونی است که معمولا با حرف کوچک لاتین گاما ($$\gamma$$) نشان داده می‌شود. به طور رسمی تعریف این عدد به صورت حد یک عبارت لگاریتمی است.

$$\large {\displaystyle{\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)}}$$

رابطه ۱

که می‌توان آن را به صورت یک انتگرال به شکل زیر نیز نوشت:

$$\large {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx}$$

رابطه ۲

در اینجا منظور از $$\lfloor x \rfloor$$ تابع کف (Floor Function) یا همان جزء صحیح است.

مقدار این حد یا انتگرال با دقت ۵۰ رقم اعشار به صورت زیر است:

$$\large 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992$$

اگر با توجه به رابطه ۱، نمودار لگاریتم طبیعی یعنی $$\ln(n)$$ و $$\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$$ را ترسیم کنیم، شکلی به مانند تصویر زیر خواهیم داشت.

Gamma-area
نمایش تقریبی مقدار ثابت اویلر ماسکرونی

واضح است که تفاضل این دو مقدار در بی‌نهایت به ثابت اویلر، ماسکرونی میل خواهد کرد. این تفاضل‌ها بوسیله قسمت‌هایی از مستطیل‌هایی به رنگ آبی در نمودار بالا نشان داده شده‌اند.

تاریخچه ثابت اویلر ماسکرونی

این ثابت اولین بار توسط ریاضیدان سوئیسی، «لئونارد اویلر» (Leonhard Euler)، در مقاله‌ای که در سال 1734 منتشر کرد، معرفی شذ. اویلر از نمادهای C و O برای نمایش این ثابت استفاده کرد. بعدها، در سال 1790، ریاضیدان ایتالیایی، «لورنزو ماسکرونی» (Lorenzo Mascheroni) از علامت‌های A و a برای نمایش این ثابت کمک گرفت. البته نماد $$\gamma$$ در هیچ‌کدام از نوشته‌های اویلر یا ماسکرونی ظاهر نشده است، ولی ممکن است به علت ارتباط این ثابت به تابع گاما، این نوع نمایش برای آن در نظر گرفته شده باشد. برای مثال در سال ۱۸36، دمورگان (Augustus De Morgan) این ثابت را با نماد $$\gamma$$ در کتاب خود به کار برد.

دقت محاسباتی در سال‌های مختلف برای ثابت اویلر ماسکرونی در جدول زیر نمایش داده شده است.

ردیف تاریخ محاسبه‌گر تعداد ارقام اعشار
۱ 1734  اویلر 5
2 1735 اویلر 15
3 1781 اویلر 16
4 1790 ماسکرونی 32
5 1809 سولدنر (Soldner) 22
6 1811 کارل گاوس 22
12 1871 شانکس (Shanks) 49
13 1871 شانکس (Shanks) 101
14 1952 ویلیام رنچ (W. Wrench) 328
15 1961 فیشر 1050
16 1962 سوینی (Sweeney) 3566
17 1977 برنت (Richard Brent) 20700
18 1993 بوروین (J. Borwein) 172000
19 1999 گوردن (Xavier Gourdon) 108000000
20 2017 والتکینز (Ron Waltkins) 477511832674

کاربردهای ثابت اویلر ماسکرونی

موارد زیر به حوزه‌هایی اشاره دارد که با ثابت اویلر-ماسکرونی در ارتباط هستند.

برای مثال اگر تابع گاما (Gamma Function) را در نظر بگیریم، مشتقل اول این تابع در نقطه ۱ برابر است با قرینه ثابت اویلر. یعنی:

$$\large {\displaystyle -\gamma =\Gamma ‘(1)=\Psi (1)}$$

نکته: در اینجا منظور از $$\Psi$$ مشتق اول تابع گاما است که گاهی به آن دی‌گاما (digamma) نیز می‌گویند.

ثابت اویلر را به صورت انتگرال تابع نمایی نیز می‌توان نوشت. به تساوی‌های زیر توجه کنید.

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \left(\ln {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx\end{aligned}}}$$

در این رابطه منظور از $$H_x$$ عدد هارمونیک کسری است که به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large {\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma}$$

مشخص است که $$\gamma$$ همان ثابت اویلر و $$\psi$$ نیز تابع دی‌گاما است. همچنین نتیجه و حاصل انتگرال‌های زیر نیز با مقدار ثابت اویلر ماسکرونی (Euler–Mascheroni) مرتبط است.

$$\large{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}$$

همچنین در جهان ارقام باینری (دو-دویی) بین تعداد صفرها و یک‌های یک عدد برمبنای ۲ رابطه زیر برقرار است. این رابطه نقش ثابت اویلر را در تصحیح خطا در مخابرات دیجیتال و انتقال داده‌ها نشان می‌دهد.

$$\large{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}$$

جالب است که عدد پی ($$\pi$$) نیز با تعداد ارقام صفر و یک اعداد باینری در ارتباط است.

$$\large{\displaystyle \ln {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}$$

در اینجا $$N_1(n)$$ تعداد ارقام ۱ در عدد باینری $$n$$ است و $$N_0(n)$$ نیز تعداد ارقام صفر را در این عدد نشان می‌دهد.

جمع‌‌بندی و خلاصه

در این نوشتار با ثابت اویلر-ماسکرونی (Euler–Mascheroni) آشنا شدیم و نقش آن را در حوزه‌های دیگر ریاضی مرور کردیم. البته این ثابت علاوه بر ریاضی، در علوم دیگر مانند آمار و فیزیک نیز کاربرد دارد. حتی در رمز‌نگاری و تصحیح خطا نیز می‌توان از ثابت اویلر ماسکرونی (Euler–Mascheroni) استفاده کرد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *