اعداد برنولی و خصوصیات آن | به زبان ساده

۱۰۳۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۰ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
اعداد برنولی و خصوصیات آن | به زبان ساده

در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس با «مجموعه اعداد گویا» (Rational Numbers) و همچنین ویژگی آن‌ها آشنا شده‌اید. نوع خاصی از اعداد گویا به نام اعداد برنولی وجود دارند که ویژگی‌های جالبی داشته و در بسیاری از شاخه‌های دیگر علوم مانند فیزیک به کار می‌روند. به همین علت این مطلب را به اعداد برنولی و خصوصیات آن اختصاص داده‌ایم.

997696

به منظور آشنایی بیشتر با مباحث مطرح شده در این حوزه، بهتر است مطالب چند جمله‌ای‌ها — به زبان ساده و تابع زتای ریمان — از صفر تا صد را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتارهای سری بینهایت — به زبان ساده و رابطه بازگشتی — از صفر تا صد نیز خالی از لطف نیست.

اعداد برنولی و خصوصیات آن

در ریاضیات، «اعداد برنولی» (Bernoulli Numbers) که با نماد BnB_n نمایش داده می‌شوند، دنباله‌ای از اعداد گویا هستند که اغلب در نظریه اعداد به کار می‌روند. اعداد برنولی را می‌توان در بسط یا دنباله تابع «تانژانت» (Tangent) و «تانژانت هایپربولیک» (Hyperbolic Tangent) مشاهده کرد. همچنین در مجموع توان mmام اعداد صحیح مثبت نیز از اعداد برنولی صحبت به میان می‌آید. از طرفی در «تابع زتای ریمان» (Riemann Zeta Function) نیز با اعداد برنولی برخورد خواهیم کرد.

در جدول زیر، ۲۰ عدد اول برنولی را مشاهده می‌کنید. واضح است که این مقادیر هم می‌توانند مثبت باشند و هم منفی، ولی به هر حال به صورت یک کسر بیان می‌شوند.

nکسرعدد برنولی
011+1.000000000
1±12 \pm \frac{1}{2} ±0.500000000
216  \frac{1}{6} +0.166666666
300+0.000000000
4130−\frac{1}{30}−0.033333333
500+0.000000000
6142\frac{1}{42}+0.023809523
700+0.000000000
8130−\frac{1}{30}−0.033333333
900+0.000000000
10566\frac{5}{66}+0.075757575
1100+0.000000000
126912730−\frac{691}{2730}−0.253113553
1300+0.000000000
1476\frac{7}{6}+1.166666666
1500+0.000000000
163617510−\frac{3617}{510}−7.092156862
1700+0.000000000
1843867798\frac{43867}{798}+54.97117794
1900+0.000000000
20174611330−\frac{174611}{330}529.1242424

همانطور که در جدول بالا مشاهده می‌کنید، فقط عدد برنولی B1B_1 است که هم علامت مثبت داشته و هم منفی. ترتیب علامت‌ها در اعداد برنولی n3 n \geq 3 به صورت، صفر، منفی، صفر و مثبت است. به این معنی که برای n>1n>1 و فرد، مقدار عدد برنولی صفر است. سپس اعداد برنولی به صورت تناوبی تغییر علامت داده و برای اعداد برنولی با nn زوج، یکی در میان منفی و مثبت هستند.

این خاصیت را می‌توان به این صورت نیز در نظر گرفت که برای nnهای زوج، اگر nn بر چهار بخش‌پذیر باشد، مقدار عدد برنولی منفی و در غیر اینصورت مثبت است. برای مثال B4=0.03333B_4 = -0.03333 و B6=+0.02380B_6 = +0.02380.

نکته: از آنجایی که BnB_nها برای مقادیر فرد nn، برابر با صفر هستند، گاهی اعداد برنولی را با نماد B2nB_{2n} نشان می‌دهند.

تاریخچه اعداد برنولی

اعداد برنولی ریشه در تاریخ قدیم دارند، جایی که ریاضیدانان می‌خواستند مجموع اعداد صحیح توان‌دار را بدست آورند. مجموع nn عدد اول صحیح، مجموع مربعات یا مکعب آن‌ها ذهن دانشمندان عصر قدیم را به خود مشغول کرده بود. ولی در این بین فرمولی که بتواند برای همه آن‌ها چاره ساز باشد، کشف نشد.

در بین دانشمندانی مانند الکرجی، فرما و پاسکال، تنها «ژاکوب برنولی» (Jakob Bernoulli) بود که توانست یک فرمول برای بدست آوردن مجموع توان‌های nn عدد اول صحیح بدست آورد. او دنباله‌ای به صورت B0,B1,B2,B_0, B_1, B_2 , \cdots یافت که می‌توانستند مجموع توان‌های اعداد صحیح را مشخص کنند.

فرمول برنولی برای جمع توانی، مفیدترین و قابل تعمیم‌ترین فرمول تا به امروز است. ضرایب موجود در فرمول برنولی به دنبال پیشنهادی از «آبراهام د مویر» (Abraham de Moivre)، اعداد برنولی نامیده شد. طبق اعداد برنولی، مجموع اعداد صحیح توان‌دار به صورت زیر محاسبه می‌شود.

k=1nkc=nc+1c+1+12nc+k=2cBkk!ck1nck+1 \large {\displaystyle \sum_{k = 1 }^{ n } k^{c} = { \frac {n^{c + 1}}{c + 1}} + {\frac {1}{2}}n^{c} + \sum _{k = 2}^{c}{ \frac {B_{ k }}{ k !}}c^{ \underline {k - 1}}n^{c - k + 1 }}

که در آن B1=12B_1 = \frac{1}{2} است. همچنین نماد ck1c^{\underline{k−1}} نیز نشانگر «فاکتوریل نزولی» (Falling Factorial) است که برای «چند جمله‌ای‌ها» (Polynomials) صورت زیر نوشته می‌شود.

(x)n=xn=x(x1)(x2)(xn+1)=k=1n(xk+1)=k=0n1(xk) \large {\displaystyle (x)_{n} = x^{\underline {n}} = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - n + 1 ) = \prod _{k = 1}^{n}(x - k + 1 ) = \prod _{ k = 0 }^{n - 1}(x - k)}

نکته: در محاسبه جمع اعداد توان‌دار صحیح، مقدار c1c^{\underline{−1}} برابر با 1c+1\frac{1}{c+1} است. بنابراین می‌توانیم فرمول برنولی را به صورت زیر بنویسیم:

k=1nkc=k=0cBkk!ck1nck+1\large {\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}k^{c} = \sum_{k = 0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{ c - k + 1 }}

بطوری که B1=12B_1 = \frac{1}{2} است. البته برای محاسبه k=1nk9{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}} یک خطا وجود دارد،‌ بطوری که باید در بخش اول فرمول داشته باشیم 320n2-\frac{3}{20}n^2 در حالیکه در فرمول بالا نتیجه به شکل 112n2-\frac{1}{12}n^2 بدست می‌آید.

تعریف اعداد برنولی

در زمانی که اعداد برنولی معرفی شدند، روش‌های متعدد و مختلفی برای تعریف آن‌ها ابداع شد. در این بخش فقط به سه روش معمول یعنی روش «معادله بازگشتی» (Recursive Equation)، «فرمول صریح» (Explicit Formula) و روش «تابع مولد» (Generating Function) برای تعریف اعداد برنولی می‌پردازیم.

تعریف اعداد برنولی به روش معادله بازگشتی

اعداد برنولی در رابطه زیر صدق می‌کنند.

k=0m(m+1k)Bk=δm,0k=0m(m+1k)Bk+=m+1 \large {\displaystyle {\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{m}{\binom {m + 1}{k}}B_{k}^{- {}}& =\delta_{m,0}\\\sum_{k = 0}^{m}{\binom {m + 1}{k}} B_{k}^{+{}} & = m + 1 \end{aligned}}}

البته واضح است که در فرمول اخیر، عدد صحیح mm ‌مقادیر  m=0,1,2,m = 0 ,1,2,\ldots را گرفته و δ\delta هم بیانگر «دلتای کرونکر» (Kronecker Delta) است. حل این معادلات براساس BmB^{\mp}_m منجر به رابطه بازگشتی زیر خواهد شد.

Bm=δm,0k=0m1(mk)Bkmk+1Bm+=1k=0m1(mk)Bk+mk+1 \large {\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}} & = \delta _{m,0} - \sum_{k = 0 }^{m - 1}{\binom{m}{k}}{\frac{B_{k}^{-{}}}{m - k + 1 }} \\ B_{m}^{+} & = 1 - \sum_{k = 0}^{m - 1}{\binom{m}{k}}{\frac{B_{k}^{+}}{ m - k + 1 }}\end{aligned}}}

تعریف اعداد برنولی با فرمول صریح

در سال ۱۸۹۳، «لویس سالشوتز» (Louis Saalchutz)، تقریبا ۳۶ فرمول صریح برای اعداد برنولی معرفی کرد. یکی از آن‌ها که بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد، به صورت زیر نوشته می‌شود.

Bm=k=0mv=0k(1)v(kv)vmk+1Bm+=k=0mv=0k(1)v(kv)(v+1)mk+1 \large {\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}& = \sum_{k=0}^{m}\sum_{v =0}^{k}(-1)^{v}{\binom{k}{v}}{\frac {v^{m}}{k + 1}}\\ B_{m}^{+}& = \sum_{k = 0}^{m}\sum _{v = 0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v + 1)^{m}}{k + 1}}\end{aligned}}}

تعریف اعداد برنولی به روش تابع مولد

توابع مولد نمایی برای اعداد برنولی به صورت زیر نوشته می‌شوند.

tet1=t2(cotht21) =m=0Bmtmm!t1et=t2(cotht2+1) =m=0Bm+tmm! \large{\displaystyle {\begin{aligned}{ \frac {t}{e^{t} - 1}} & = { \frac {t}{2}} \left( \operatorname {coth} {\frac {t}{2}} - 1 \right)  = \sum_{m = 0}^{\infty }{ \frac {B_{m}^{ - {}}t^{m}}{m!}} \\{\frac {t}{1 - e^{-t}}} & = {\frac{t}{2}} \left( \operatorname {coth} {\frac {t}{2}} + 1 \right)  = \sum_{m = 0}^{\infty }{ \frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}} \end{aligned}}}

به این ترتیب تابع مولد، به شکل زیر خواهد بود.

z1ψ1(z1)=m=0Bm+zm \large {\displaystyle z^{- 1} \psi_{1} (z^{- 1}) = \sum_{m = 0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m} }

رابطه بالا، یک دنباله نامتناهی و مجانبی برای اعداد برنولی ارائه می‌کند. واضح است که Φ1\Phi_1، «تابع تریگاما» (Trigamma Function) است که به صورت مشتق دوم از لگاریتم «تابع گاما» (Gamma Function) تعریف می‌شود.

اعداد برنولی و تابع زتای ریمان

اعداد ریمان را به وسیله عبارت‌هایی برحسب «تابع زتای ریمان» ( Riemann zeta function) نیز می‌توان نوشت. به رابطه زیر توجه کنید.

Bn+=nζ(1n),    n1 \large B^{+}_ {n} = − n\zeta (1 − n),\;\; \forall n ≥ 1

در اینجا پارامتر تابع زتا، صفر یا منفی است. به کمک معادله تابعی زتا و تابع فرمول انعکاسی گاما رابطه زیر حاصل می‌شود.

B2n=(1)n+12(2n)!(2π)2nζ(2n),    n1 \large { \displaystyle B_{2n} = {\frac {(-1)^{n + 1}2(2n)!}{(2 \pi)^{2n}}}\zeta (2n)}, \;\; \forall n ≥ 1

در این حالت پارامتر تابع زتا، مثبت خواهد شد. با بزرگتر شدن nn یا میل کردن nn به بی‌نهایت، تابع زتا هم به مقدار ۱ میل کرده و طبق «فرمول استرلینگ» (Stirling's Formula)، به رابطه زیر خواهیم رسید.

B2n4πn(nπe)2n,    n \large {\displaystyle |B_{2n}| \sim 4{\sqrt {\pi n}} \left({\frac {n}{\pi e}} \right)^{2n}} , \;\; n \to \infty

نکته: فرمول استرلینگ یک مقدار تقریبی برای فاکتوریل ارائه می‌دهد. رابطه زیر نشانگر این تقریب است.

n!enlnnn2πnen=2πn(ne)n\large {\displaystyle n! \sim e^{n\ln n} n {\sqrt {\frac { 2\pi }{n}}}e^{ - n} = { \sqrt {2\pi n}} \left( {\frac {n}{e}} \right) ^{n} }

Bernoulli Numbers By Zeta function
اعداد برنولی برحسب تابع زتای ریمان

کاربرد اعداد برنولی

هر چند اعداد برنولی در بسیاری از محاسبات و تقریب‌های ریاضیاتی، نقش مهمی دارند ولی در این قسمت به دو کاربرد اعداد برنولی در زمینه محاسبه مجموع اعداد توان‌دار و همچنین «بسط تیلور» (Tailor Expansion) توابع مثلثاتی می‌پردازیم.

مجموع عبارت‌های توانی و اعداد برنولی

مجموع nn عدد اول صحیح را که به توان mm رسیده‌اند را در نظر بگیرید. واضح است که m,n0m , n \geq 0 هستند. این جمع را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

Sm(n)=k=1nkm=1m+2m+3m++nm\large {\displaystyle S_{m}(n) = \sum _{k = 1}^{n}k^{m} = 1^{m} + 2^{m} + 3^{m} +\cdots + n^{m}}

این رابطه را می‌توان به صورت چند جمله‌ای برحسب nn با درجه یا مرتبه m+1m+1 نوشت. ضرایب این چند جمله‌ای با اعداد برنولی بوسیله فرمول برنولی و به شکل زیر در ارتباطند.

Sm(n)=1m+1k=0m(m+1k)Bk+nm+1k=m!k=0mBk+nm+1kk!(m+1k)!\large {\displaystyle S_{m}(n) = {\frac {1}{m + 1}}\sum_{k = 0}^{m}{\binom {m + 1}{k}} B_{k}^{+} n^{m + 1 - k } = m! \sum_{k = 0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m + 1 - k}}{k! ( m + 1 - k )!}}}

توجه داشته باشید که در اینجا ضرایب دو جمله‌ای را به صورت (m+1k)\binom{m+1}{ k} نشان داده‌ایم.

برای مثال mm را برابر با ۱ گرفته و مجموع اعداد مثلثی (Triangular Numbers) مانند 0,1,3,6,0,1,3,6, \ldots را محاسبه می‌کنیم.

1+2++n=12(B0n2+2B1+n1)=12(n2+n)\large {\displaystyle 1 + 2 + \cdots + n = {\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}) = {\tfrac {1}{2}}(n^{2} + n)}

همچنین اگر m=2m=2 باشد، مجموع «اعداد هرمی مربع» (Square Pyramidal Numbers) به شکل 0,1,5,14, 0 ,1,5 ,14 , \ldots را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

12+22++n2=13(B0n3+3B1+n2+3B2n1)\large {\displaystyle 1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2} = {\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3} + 3B_{1}^{+}n^{2} + 3 B_{2}n^{1}) }

=13(n3+32n2+12n) \large {\displaystyle = {\frac {1}{3}} \left(n^{3} + {\tfrac {3}{2}}n^{2} + {\tfrac {1}{2}} n \right)}

سری تیلور و اعداد برنولی

اعداد برنولی در سری تیلور برای بسط توابع مثلثاتی نیز ظاهر می‌شوند. در ادامه بسط تیلور تانژانت، کتانژانت، تانژانت هایپربولیک و کتانژانت هایپربولیک را مشاهده می‌کنید.

تانژانت

بسط تیلور تابع تانژانت به کمک اعداد برنولی در رابطه زیر دیده می‌شود. مشخص است که دامنه تغییرات xx در حدود (π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2) تغییر می‌کند.

tanx=n=1(1)n122n(22n1)B2n(2n)!  x2n1,x<π2 \large {\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}}

کتانژانت

به همین ترتیب بسط تیلور تابع کتانژانت را با اعداد برنولی در ادامه می‌بینید. دامنه تغییرات x|x| در بازه (0,π)(0,\pi) است.

cotx=1xn=0(1)nB2n(2x)2n(2n)!,0<x<π \large {\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}}

تانژانت هایپربولیک

بسط تیلور تابع تانژانت هایپربولیک به کمک اعداد برنولی در رابطه زیر دیده می‌شود. حدود تغییرات x|x| نیز در بازه [0,π/2)[0,\pi/2) است.

tanhx=n=122n(22n1)B2n(2n)!  x2n1,x<π2 \large {\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}

کتانژانت هایپربولیک

در سری تیلور تابع کتانژانت هایپربولیک نقش اعداد برنولی در رابطه زیر مشخص شده است. کران‌های x|x| نیز بازه (0,π)(0, \pi) است.

cothx=1xn=0B2n(2x)2n(2n)!,0<x<π \large {\displaystyle {\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}}

اعداد برنولی و مثلث خیام-پاسکال

فرض کنید AnA_n، ماتریسی باشد که از «اعداد مثلث خیام-پاسکال» (Pascal Triangle Numbers) تشکیل شده‌اند که دارای nn سطر یا ستون است. بین اعداد موجود در مثلث خیام-پاسکال و اعداد برنولی می‌توان رابطه زیر را در نظر گرفت.

Bn+=An(n+1)! \large {\displaystyle B_{n}^{+} = {\frac {|A_{n}|}{(n + 1 )!}}}

در این بین An|A_n| دترمینان ماتریس AnA_n بوده و عناصر این ماتریس نیز به صورت زیر هستند.

ai,k={0if k>1+i(i+1 k1)otherwise \large {\displaystyle a_{i,k} = {\begin{cases} 0 & {\text{if }}k > 1 + i \\ { i + 1  \choose k - 1 } & { \text{otherwise}} \end{cases}}}

نکته: منظور از (ik) { i \choose k } تعداد ترکیب‌های kk از ii است.

برای مثال مثلث خیام-پاسکال را با ۶ سطر در نظر بگیرید.

A6=(120000133000146400151010501615201561721353521) \large A_6 = {\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 1 0 & 1 0 & 5 & 0 \\ 1 & 6 & 1 5 & 2 0 & 1 5 & 6 \\ 1 & 7 & 2 1 & 3 5 & 3 5 & 2 1 \end{pmatrix}}

آنگاه می‌توانیم ششمین عدد برنولی را برحسب دترمینان این ماتریس و به صورت زیر بنویسیم.

B6+=det(120000 133000146400151010501615201561721353521)7!=1205040=142 \large{\displaystyle B_{6}^{+} = {\frac {\det {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 1 0 & 1 0 & 5 & 0 \\ 1 & 6 & 1 5 & 2 0 & 1 5 & 6 \\ 1 & 7 & 2 1 & 3 5 & 3 5 & 2 1 \end{pmatrix}}}{7!}} = {\frac {120}{5040}} = {\frac {1}{42}}}

نمایش اعداد برنولی بوسیله انتگرال

انتگرال مختلط زیر را در نظر بگیرید.

b(s)=2esiπ/20sts1e2πtdtt \large {\displaystyle b(s) = 2 e^{si \pi /2} \int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1 - e^{2 \pi t}}}{\frac {dt}{t}}}

مقدار این انتگرال برای اعداد صحیح زوج (2n2n) می‌تواند اعداد برنولی B2nB_{2n} را ایجاد کند.

b(2n)=B2n,    n>0 \large b(2n) = B_{2n} , \;\; n>0

برای مثال، اگر ζ\zeta تابع زتای ریمان باشد و ii نیز همان مقدار واحد در اعداد مختلط (i2=1i^2 = -1) در نظر گرفته شود، آنگاه خواهیم داشت:

b(3)=32ζ(3)π3i \large b(3) = \frac{3}{2} \zeta(3)\pi^{-3} i

و همچنین

b(5)=152ζ(5)π5i \large b(5) = \frac{-15}{2} \zeta(5)\pi^{-5} i

اویلر اعداد یاد شده را در نظر گرفت و محاسبات را به صورت زیر انجام داد.

p=32π3(1+123+133+)=0.0581522q=152π5(1+125+135+)=0.0254132 \large{\displaystyle {\begin{aligned} p & = {\frac {3}{2 \pi ^{3}}}\left( 1 + {\frac {1}{2^{3}}} + {\frac {1}{3^{3}}} + \cdots \right) = 0.0581522 \ldots \\ \large q & = {\frac {15}{2 \pi ^{5}}}\left( 1 + {\frac {1}{2^{5}}} + {\frac {1}{3^{5}}} + \cdots \right) = 0.0254132 \ldots \end{aligned}} }

خلاصه و جمع‌بندی

اعداد برنولی در ریاضیات و دیگر شاخه‌های مهندسی، از اهمیت زیادی برخوردارند. سری تیلور، توابع مثلثاتی، تابع «دیگاما» (Digamma) و «تریگاما» (Trigamma)، همگی از اعداد برنولی بهره می‌برند. ایده اصلی برای پیدا کردن چنین اعدادی، محاسبه مجموع توان‌های اعداد صحیح بود. برنولی این مجموع را برای n=10n=10 محاسبه کرد و اویلر برای n=30n=30 چنین محاسباتی را صورت داد. در سال ۲۰۰۸، «اولکساندر پاولیک» (Oleksandr Pavlyk) با نرم‌افزار «متمتیکا» (Mathematica)، مقدار BnB_n را برای nn برابر با ده میلیون، بدست آورد. این عدد تقریبا دارای ۶۷۶ میلیون رقم است.

بر اساس رای ۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Wikipediaمجله فرادرس
۲ دیدگاه برای «اعداد برنولی و خصوصیات آن | به زبان ساده»

مطالب خیلی خوب و مفهومی بودش،ممنونم از شما❤

سپاس فراوان بابت مطالب مفید ارایه شده
دوست گرامی بدنبال مطالعه کلیه روش هاس ارایه شده برای بدست آوردن اعداد برنولی هستم.
آیا منبعی است که بتوان از آنجا به مقصود رسید؟
جستجو در اینترنت؛ جوابگو نمی باشد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *