تحلیل مدارهای الکتریکی – معرفی روش ها و قضایای مهم

تحلیل مدارهای الکتریکی چیست؟

تحلیل مدارهای الکتریکی معمولاً به فرایند مطالعه و تجزیه و تحلیل و محاسبه مقادیر مختلف الکتریکی مدار، به ویژه ولتاژها و جریان‌ها، گفته می‌شود. در واقع، هرگاه جریان شاخه‌ها و ولتاژ گره‌های یک مدار را به دست آوریم، آن مدار را تحلیل کرده‌ایم.

برای حل مسائل مختلف تحلیل مدارهای الکتریکی، ابتدا باید واحدهای اساسی زیر را یاد بگیریم:

• جریان ($$I$$): واحد جریان آمپر (A) است و به عنوان مقدار جریان ایجاد شده در اثر اعمال یک ولت یه یک مقاومت یک اهمی تعریف می‌شود.
• ولتاژ ($$V$$): واحد ولتاژ ولت (V) است و به عنوان مقدار کمیت مورد نیاز برای اعمال بر یک مقاومت یک اهمی تعریف می‌شود که منجر به جریانی برابر با یک آمپر شود.

بسته به اندازه پیچیدگی مدار، از روش‌های مختلافی برای تحلیل مدار استفاده می‌شود. گاهی ممکن است تنها با قوانین ساده‌ای مانند قانون اهم تحلیل مدارهای الکتریکی را انجام داد. گاهی نیز پیچیدگی مدار به حدی است که باید از روش‌های پیشرفته‌تر استفاده کرد و محاسبات بیشتری را انجام داد. در ادامه، روش‌های مهم تحلیل مدارهای الکتریکی را معرفی می‌کنیم.

قانون اهم

فیلم آموزش فیزیک – پایه یازدهم در فرادرس

کلیک کنید

$$\large I=\dfrac{V}{R}$$

که در آن، $$V$$ ولتاژ بر حسب ولت، $$I$$ جریان برحسب آمپر و $$R$$ مقاومت بر حسب اهم است. قانون اهم کاربرد گسترده‌ای در فرمول‌ها و محاسبات مهندسی برق و تحلیل مدار دارد.

قوانین کیرشهف (KVL و KCL)

قوانین کیرشهرف (قانون جریان کیرشهف یا KCL و قانون ولتاژ‌ کیرشهف یا KVL) از قوانین مهم و پایه‌‌ای تحلیل مدارهای الکتریکی هستند.

فیلم آموزش فیزیک الکتریسیته و مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

قانون ولتاژ کیرشهف یا KVL بیان می‌کند که در هر شبکه حلقه بسته، کل ولتاژ حلقه برابر با مجموع تمام افت ولتاژهای موجود در آن است. به عبارت دیگر، مجموع تمام ولتاژهای حلقه باید برابر با صفر باشد. این ایده کیرشهف، به عنوان بقا یا پایستگی انرژی نیز شناخته می‌شود.

قضیه تونن

قضیه تونن بیان می‌کند که هر مدار خطی متشکل از منابع ولتاژ و مقاومت‌ها را می‌توان با یک منبع ولتاژ با مقاومت سری با آن جایگزین کرد.

به عبارت دیگر، می‌توان هر مدار الکتریکی را بدون توجه به میزان پیچیدگی، با یک مدار دو سر شامل منبع ولتاژ و مقاومت یا امپدانس سری با آن ساده کرد.

برای رسیدن به مدار معادل تونن، کارهای زیر را انجام می‌دهیم:

1. محاسبه ولتاژ مدار باز (ولتاژ تونن)
2. خاموش فرض کردن منابع مستقل (اتصال کوتاه کردن منبع ولتاژ مدار و مدار باز کردن منبع جریان)
3. اعمال یک منبع جریان تست با مقدار ۱ آمپر یا یک منبع ولتاژ تست با مقدار یک ولت به دو سر مدار و محاسبه ولتاژ منبع جریان یا جریان منبع ولتاژ (ولتاژ منبع جریان همان مقاومت تونن است و عکس جریان منبع ولتاژ نیز مقاومت تون)

قضیه نورتن

قضیه نورتن دوگان قضیه تونن است و بیان می‌کند: «هر مدار خطی از منابع انرژی و مقاومت‌ها را می‌توان به یک منبع جریان موازی با مقاومت کاهش داد. برای محاسبه منبع جریان معادل، دو سر مقاومت مورد نظر را اتصال کوتاه کرده و جریان گذرنده از آن را محاسبه می‌کنیم. توجه کنید که در این حالت، منابع در مدار حضور دارند.

تحلیل مش

قوانین مداری کیرشهف ابزار اساسی تحلیل هر مدار پیچیده‌ای را به ما می‌دهند، اما راه‌های دیگری مانند روش تحلیل جریان مش و روش تحلیل ولتاژ گره وجود دارند که ریاضیات و محاسبات تحلیل شبکه‌های بزرگ را کاهش می‌دهند.

مِش در واقع ساده‌ترین حلقه‌ در مدار است که شاخه‌ای درون آن وجود ندارد. به همین دلیل، مش فقط در مدارهای مسطح (یعنی مدارهایی که روی کاغذ بتوان رسم کرد بدون اینکه شاخه‌ها یکدیگر را قطع کنند مگر در گره‌ها) تعریف می‌شود.

تحلیل مش در گام‌های زیر انجام می‌شود:

1. تبدیل منابع جریان به منابع ولتاژ (در صورت امکان).
2. شماره‌گذاری مش‌ها و تعیین جهت جریان آن‌ها (معمولاً ساعتگرد)
3. در نظر گرفتن جریان برای شاخه هر مش هم‌جهت همان مش و هم‌اندازه آن و برای شاخه‌های مشترک بین دو مش برابر تفاضل آن‌ها
4. نوشتن KVL در تمام مش‌ها و برحسب جریان مش‌ها
5. به دست آمدن یک دستگاه معادلات خطی و حل آن

تحلیل گره

تحلیل گره، مکمل تحلیل مش است. این روش، ابزاری قدرتمند برای تحلیل مدارهای الکتریکی محسوب می‌شود و همان‌گونه از نام آن مشخص است، از معادلات قانون جریان کیرشهف (KCL)‌ برای پیدا کردن ولتاژهای مدار استفاده می‌کند. در تحلیل گره، مدار با ولتاژ گره‌ها نسبت به یک گره مرجع (زمین) تحلیل می‌شود.

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی 1 در فرادرس

کلیک کنید

مراحل تحلیل مدار با روش تحلیل گره به صورت زیر است:

1. شماره‌گذاری گره‌های مدار
2. انتخاب یک گره به عنوان گره مرجع
3. نوشتن جریان شاخه‌ها را بر اساس تفاضل ولتاژ دو سر گره تقسیم بر امپدانس آن
4. نوشتن معادلات قانون جریان کیرشهف برای گره‌ها (جز در گره مرجع)
5. به دست آوردن دستگاه معادلات و حل آن

تبدیل منبع در مدار

همان‌طور که می‌دانیم، معادلات ولتاژ‌ گره (یا جریان مش) را می‌توان با تحلیل یک مدار، وقتی که منابع همه منبع جریان مستقل (یا ولتاژ مستقل) باشند، به دست آورد. بنابراین، گاهی لازم است در تحلیل مدار، منبع ولتاژ سری با مقاومت را با منبع جریان موازی با مقاومت یا بالعکس جایگزین کنیم. هر کدام از این جایگزینی‌ها یک «تبدیل منبع» نامیده می‌شود.

قضیه جمع آثار

اساس قضیه جمع آثار بر مشخصه خطی بودن استوار است. قضیه جمع آثار بیان می‌کند که ولتاژ یا جریان در عنصری از یک مدار خطی برابر با جمع جبری ولتاژ یا جریان آن عنصر است که از عملکرد هر کدام از منابع به تنهایی ناشی شده باشد. اصل جمع آثار از طریق محاسبه تأثیر هریک از منابع به صورت جداگانه به ما کمک می‌کند تا تحلیل یک مدار با بیش از یک منبع مستقل را آسان‌تر انجام دهیم.

برای اعمال قضیه جمع آثار باید به دو نکته توجه کنیم.

1. باید در هر زمان فقط یکی از منابع مستقل روشن باشد و بقیه منابع را خاموش فرض کنیم. برای خاموش کردن منابع ولتاژ را صفر ولت (اتصال کوتاه) و منابع جریان را برابر با صفر آمپر (مدار باز) در نظر می‌گیریم. در این صورت مدار حاصل بسیار ساده‌تر قابل تجزیه و تحلیل است.
2. منابع وابسته باید دست نخورده باقی بمانند؛ زیرا توسط متغیرهای مدار کنترل می‌شوند.

قضیه جمع آثار را می‌توان در سه گام اعمال کرد:

1. تمام منابع مستقل به غیر از یکی از آن‌ها را خاموش و ولتاژها و جریان‌های ناشی از منبع باقی مانده را با استفاده از تکنیک‌های آنالیز مش و آنالیز گره محاسبه می‌کنیم.
2. گام اول را برای سایر منابع مدار نیز تکرار می‌کنیم.
3. مقدار کلی را با استفاده از جمع جبری آثار ناشی از تمام منابع مستقل به دست می‌آوریم.

اما تحلیل مدارهای الکتریکی با استفاده از قضیه جمع آثار یک عیب بزرگ دارد. در اکثر موارد تحلیل مدار با استفاده از این روش ممکن است، زمان بیشتری طول بکشد. اگر مدار شامل سه منبع مستقل باشد، باید سه مدار ساده‌تر را هر بار برای محاسبه اثر یکی از منابع مستقل، آنالیز کنیم. با این حال قضیه جمع آثار در کاستن از پیچیدگی تحلیل یک مدار و تبدیل آن به مداری ساده‌تر، از طریق مدار باز کردن منابع جریان مستقل و اتصال کوتاه کردن منابع ولتاژ مستقل، بسیار مفید است.

لازم است به این نکته توجه کنیم که قضیه جمع آثار برای مدارات با مشخصه خطی صادق است و به همین دلیل برای محاسبه توان ناشی از هر منبع قابل اعمال نیست؛ زیرا توان جذب شده توسط مثلاً یک مقاومت به مربع جریان یا ولتاژ بستگی دارد. اگر به محاسبه توان یک المان نیاز داشته باشیم، باید ابتدا ولتاژ یا جریان آن المان را با قضیه جمع آثار محاسبه کنیم.

قضیه هم‌پاسخی

قضیه هم‌پاسخی در تحلیل مدارهای الکتریکی برای منابع ولتاژ و جریان مستقل بیان می‌شود. در ادامه، این قضیه را برای منابع ولتاژ و جریان بیان می‌کنیم.

قضیه هم‌پاسخی برای منابع ولتاژ مستقل

فرض کنید منبع ولتاژ مستقل یک مدار الکتریکی در شاخه nام آن جریان الکتریکی $$I$$ را تولید کند (منظور از شاخه یک مسیر برای عبور جریان الکتریکی است). حال اگر محل منبع ولتاژ مستقل را تغییر دهیم به صورتی که از محل اولیه برداشته شده و به شاخه nام منتقل شود، آنگاه منبع ولتاژ مستقل (در محل جدید) در محل قبلی خود جریانی تولید می‌کند. این جریان برابر با جریان شاخه nام ناشی از منبع ولتاژ مستقل در محل قبلی است. هنگام استفاده از قضیه هم پاسخی برای منبع ولتاژ مستقل گام‌های زیر طی می‌شود:

1. منبع ولتاژ مستقل در محل قبلی اتصال کوتاه می‌شود. به عبارت دیگر، آن را از مدار بر می‌داریم و دو سر آن را با یک سیم اتصال کوتاه می‌کنیم.
2. پلاریته منبع ولتاژ مستقل در محل جدید مطابق با پلاریته جریان شاخه است. پلاریته طوری درنظر گرفته می‌شود که جریان از قطب منفی منبع ولتاژ وارد و از قطب مثبت خارج شود.

قضیه هم‌پاسخی برای منابع جریان مستقل

فرض کنید منبع جریان مستقل یک مدار الکتریکی در گره nام آن ولتاژ الکتریکی $$V$$ را تولید کند (منظور از گره محل اتصال مشترک دو یا چند المان مختلف مدار است). حال اگر محل منبع جریان مستقل را به گونه‌ای تغییر دهیم که از محل اولیه برداشته شده و به گره nاُم متصل شود، آنگاه منبع جریان مستقل (مستقر شده در محل جدید) در محل قبلی خود ولتاژی تولید می‌کند که دقیقا برابر با ولتاژ $$V$$‌ است. این ولتاژ، همان ولتاژ گره nام ناشی از منبع جریان مستقل در محل قبلی است. هنگام اعمال این قضیه به مدارهای الکتریکی گام‌های زیر طی می‌شود:

1. منبع جریان مستقل از مدار برداشته شده و دو سر آن مدار باز می‌شود.
2. پلاریته منبع جریان در گره جدید به صورتی است که با پلاریته ولتاژ آن گره در مدار قبلی همخوانی داشته باشد. به عبارت دیگر، جهت منبع جریان مستقل، واردشونده از قطب مثبت ولتاژ است.

قضیه تلگان در مدار

«قضیه تلگان» در سال ۱۹۵۲ توسط مهندس برق هلندی، «برنارد دی اچ تلگان» (Bernard D.H. Tellegen) معرفی شد. این قضیه در تحلیل شبکه‌های الکتریکی بسیار مفید است. طبق قضیه تلگان، جمع توان‌های لحظه‌ای شاخه‌های یک شبکه الکتریکی صفر است. به عبارت دیگر، جمع انرژی تحویل داده شده به شاخه‌های هر شبكه الکتریکی در هر لحظه از زمان صفر است. قضیه تلگان در طراحی فیلترها در پردازش سیگنال کاربرد فراوانی دارد و برای تنظیم پایداری در سیستم عامل‌های پیچیده نیز استفاده می‌شود. همچنین در سیستم‌های شیمیایی و بیولوژیکی و برای مشخص بررسی رفتار دینامیکی شبکه فیزیکی کاربرد دارد.

قضیه تلگان مستقل از عناصر شبکه است و برای تحلیل هر شبکه‌ای که از قانون جریان کیرشهف و قانون ولتاژ کیرشهف پیروی می‌کند، قابل اعمال است.

تحلیل حالت دائمی سینوسی

تحلیل حالت دائمی سینوسی یکی از روش‌های مهم در تحلیل مدارهای الکتریکی AC است.

1. ابتدا باید مدار به حوزه فرکانس یا فازور انتقال داده شود.
2. مسئله با استفاده از تکنیک‌های مداری مانند تحلیل مش و تحلیل گره و یا جمع آثار حل شود.
3. جواب‌های به دست آمده در حوزه فرکانس به حوزه زمان منتقل شوند.

کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدارهای الکتریکی

استفاده از تبدیل لاپلاس در مدارهای الکتریکی، سه گام دارد:

1. تبدیل مدار از حوزه زمان به حوزه s
2. حل مدار با استفاده از تحلیل گره، تحلیل مش، تبدیل منبع، جمع آثار، یا هر تکنیک دیگر
3. اعمال تبدیل لاپلاس معکوس به پاسخ و به دست آوردن پاسخ در حوزه زمان

معرفی فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱

برای یادگیری درس مدارهای الکتریکی ۱، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ فرادرس مراجعه کنید که در قالب ۲۳ ساعت و ۴۱ دقیقه و ۱۰ درس تهیه شده است. مفاهیم و قوانین پایه مدارهای الکتریکی در درس‌های یکم و دوم این این آموزش بیان شده است. در درس سوم به روش‌های آنالیز مدار پرداخته شده است.

در درس چهارم قضایای شبکه مورد بحث قرار گرفته است. موضوع درس پنجم تقویت‌کننده‌های عملیاتی است. در درس ششم به خازن‌ها و القاگرها پرداخته شده است. درس هفتم و هشتم، به مدارهای الکتریکی مرتبه اول و مدارهای الکتریکی مرتبه دوم اختصاص یافته است. درس نهم درباره مبانی مدارهای LTI است و در نهایت، در درس دهم، به آنالیز حالت دائمی سینوسی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش حل تمرین مدارهای الکتریکی ۱

یکی دیگر از آموزش‌های مدار ۱، آموزش حل تمرین مدارهای الکتریکی ۱ فرادرس است که مدت آن ۱۷ ساعت و ۲۹ دقیقه بوده و در ۵ درس ارائه شده است. در درس یکم این آموزش تحلیل مدارات الکتریکی ساده بیان شده است. در درس‌های دوم و سوم، به ترتیب، تحلیل مدارات الکتریکی مرتبه اول و تحلیل مدارات الکتریکی مرتبه ۲ و بالاتر ارائه شده است. موضوع درس چهارم تحلیل حالت دائمی سینوسی است. در نهایت، در درس پنجم به مدارات تزویج و ترانسفورماتورها پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش حل تمرین مدارهای الکتریکی ۱ + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ (مرور و حل تست)

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ (مرور و حل تست) در ۱۴ ساعت و ۲۹ دقیقه و در قالب ۶ درس ارائه شده است. در درس یکم این آموزش، مبانی مدارهای الکتریکی و قضایای تحلیل مدار بیان شده است. موضوع درس دوم مدارهای مرتبه اول است. در درس سوم به مدارهای مرتبه دوم پرداخته شده است. در درس چهارم تحلیل حالت دائمی سینوسی معرفی شده است. موضوع درس پنجم القاکنایی متقابل است. در نهایت، در درس ششم به مدارهای غیرخطی، انتگرال کانولوشن و تقویت‌کننده‌های عملیاتی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ (مرور و حل تست) + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲

برای یادگیری درس مدار ۲، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ فرادرس مراجعه کنید که مدت آن ۱۰ ساعت و ۵۷ دقیقه بوده و در ۸ درس ارائه شده است. موضوع درس یکم آموزش، تبدیل لاپلاس و مبانی شبکه‌های LTI است. در درس دوم به تزویج پرداخته شده است. درس سوم به روش‌های منظم تحلیل مدار اختصاص یافته است. در درس چهارم فرکانس‌های طبیعی مدار بیان شده است. در درس پنجم، توابع شبکه و در درس ششم، قضایای شبکه معرفی شده‌اند. موضوع درس هفتم دوقطبی‌ها است. در درس هشتم نیز سؤالات کنکور ارشد ۲ سال مرتبط به درس مدار ۲ حل شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ (حل تمرین)

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ (حل تمرین) یکی دیگر از آموزش‌های مدار ۲ فرادرس است که مدت آن ۱۸ ساعت و ۱۰ دقیقه بوده و در ۵ درس ارائه شده است. موضوع درس یکم این آموزش حل تمرین از روش‌های اساسی تحلیل مدارات است. در درس دوم حل تمرین از تبدیل لاپلاس انجام شده است. درس سوم به حل تمرین از توابع شبکه و ویژگی‌های آن اختصاص یافته است. در درس چهارم حل تمرین از شبکه‌های دوقطبی ارائه شده است. در نهایت، در درس پنجم به حل تمرین از قضایای شبکه پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ (حل تمرین) + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ (مرور و حل تست)

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ (مرور و حل تست) برای آمادگی آزمون‌های مهندسی برقی که در آن‌ها از درس مدار ۲ سؤال طرح می‌شود، بسیار کاربردی است. مدت این آموزش ۱۳ ساعت و ۳۸ دقیقه بوده و در ۵ درس تهیه شده است. در درس یکم این آموزش به گراف‌های شبکه، روش‌های تجزیه و تحلیل مدار و دوگان مدار پرداخته شده است. موضوع درس دوم مدار دوگان و معادلات حالت است. در درس سوم تبدیل لاپلاس، توابع شبکه و فرکانس طبیعی در مدار معرفی شده‌اند. در درس چهارم شبکه‌های دوقطبی مورد بررسی قرار گرفته است. در نهایت، در درس پنجم قضایای شبکه مورد بررسی قرار گرفته‌اند.

• برای مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ (مرور و حل تست) + اینجا کلیک کنید.