تحلیل حالت دائمی سینوسی یکی از روش‌های بسیار مهم در تجزیه و تحلیل مدارت الکتریکی AC است. در مطالب قبلی مجله فرادرس با روش به دست آوردن پاسخ حالت دائمی (Steady State Response) برای ورودی‌های سینوسی، با استفاده از فازورها (Phasor) آشنا شدیم. همچنین می‌دانیم که قوانین اهم (Ohm) و کیرشهف (Kirchhoff) در مدارات AC نیز قابل اعمال هستند. روش‌های تحلیل مش و تحلیل گره نیز در مدارات DC قبلا توضیح داده شده‌اند. در این مطلب قصد داریم به بررسی تحلیل حالت دائمی سینوسی و نحوه اعمال روش‌های تحلیل مش و تحلیل گره در مدارات AC بپردازیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

تحلیل مدارات AC همیشه در سه گام اساسی انجام می‌گیرد:

  1. ابتدا باید مدار به حوزه فرکانسی یا فازوری انتقال داده شود.
  2. مسئله با استفاده از تکنیک‌های مداری مانند تحلیل مش و تحلیل گره و یا جمع آثار حل شود.
  3. جواب‌های به دست آمده در حوزه فرکانسی به حوزه زمان منتقل شوند.

توجه کنید که اگر مسئله خود در حوزه زمان مطرح شده باشد، از گام اول صرف نظر می‌شود. در گام دوم تحلیل مدار دقیقا مانند آن‌چه در مدارات DC انجام می‌گرفت، تکرار می‌شود و تنها تفاوت در وجود اعداد مختلط در محاسبات حوزه فرکانس است. حال به بررسی روش تحلیل گره در تحلیل حالت دائمی سینوسی می‌پردازیم.

آنالیز گره در تحلیل حالت دائمی سینوسی

اساس روش آنالیز گره بر قانون جریان کیرشهف استوار است. از آن‌جا که قانون KCL در مورد فازورها هم قابل اعمال است، در نتیجه می‌توان برای تحلیل مدارات AC از روش تحلیل گره استفاده کرد. در مثال زیر به بررسی نحوه اعمال این روش می‌پردازیم.

مثال ۱

در مدار زیر $$i_x$$ را با استفاده از روش تحلیل گره بیابید.

مدار مثال ۱
مدار مثال ۱

حل: ابتدا مدار را به حوزه فرکانس منتقل می‌کنیم.

$$\begin{aligned} 20 \cos 4 t & \Rightarrow \quad 20 / 0^{\circ}, \quad \omega=4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ 1 \mathrm{H} & \Rightarrow \quad j \omega L=j 4 \\ 0.5 \mathrm{H} & \Rightarrow \quad j \omega L=j 2 \\ 0.1 \mathrm{F} & \Rightarrow \frac{1}{j \omega C}=-j 2.5 \end{aligned}$$

بنابراین مدار معادل فرکانسی به صورت زیر خواهد بود.

مدار معادل حوزه فرکانس مثال ۱
مدار معادل حوزه فرکانس مثال ۱

حال در گره ۱ KCL اعمال می‌کنیم.

$$\frac{20-\mathbf{V}_{1}}{10}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{-j 2.5}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{j 4}$$

معادله بالا را بازنویسی می‌کنیم.

$$(1+j 1.5) \mathbf{V}_{1}+j 2.5 \mathbf{V}_{2}=20$$

با اعمال KCL در گره شماره ۲ داریم:

$$2 \mathbf{I}_{x}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{j 4}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{j 2}$$

از طریق جایگذاری $$\mathbf{I}_{x}=\mathbf{V}_{1} /-j 2.5$$ در معادله بالا داریم:

$$\frac{2 \mathbf{V}_{1}}{-j 2.5}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{j 4}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{j 2}$$

پس از ساده کردن معادله بالا داریم:

$$11 \mathbf{V}_{1}+15 \mathbf{V}_{2}=0$$

معادلات بالا را می‌توان به فرم ماتریسی نیز نوشت.

$$\left[\begin{array}{cc}{1+j 1.5} & {j 2.5} \\ {11} & {15}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\mathbf{V}_{1}} \\ {\mathbf{V}_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{20} \\ {0}\end{array}\right]$$

حال باید دترمینان ماتریس‌ را به دست بیاوریم.

$$\Delta=\left|\begin{array}{cc}{1+j 1.5} & {j 2.5} \\ {11} & {15}\end{array}\right|=15-j 5$$

دستگاه معادلات بالا را می‌توان به روش کرامر حل کرد.

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{cc}{20} & {j 2.5} \\ {0} & {15}\end{array}\right|=300, \quad \Delta_{2}=\left|\begin{array}{cc}{1+j 1.5} & {20} \\ {11} & {0}\end{array}\right|=-220$$

$$\begin{array}{l}{\mathbf{V}_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{300}{15-j 5}=18.97 / 18.43^{\circ} \mathrm{V}} \\ {\mathbf{V}_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-220}{15-j 5}=13.91 / 198.3^{\circ} \mathrm{V}}\end{array}$$

در نتیجه جریان $$I_x$$ را می‌توان به صورت زیر به دست آورد:

$$\mathbf{I}_{x}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{-j 2.5}=\frac{18.97 / 18.43^{\circ}}{2.5 \angle-90^{\circ}}=7.59 / 108.4^{\circ} \mathrm{A}$$

در نهایت باید جواب به دست آمده را به حوزه زمان منتقل کنیم.

$$i_{x}=7.59 \cos \left(4 t+108.4^{\circ}\right) \mathrm{A}$$

آنالیز مش در تحلیل حالت دائمی سینوسی

قانون ولتاژ کیرشهوف پایه و اساس روش تحلیل مش را شکل می‌دهد. این روش را می‌توان در مدارات AC نیز به کار برد. توجه کنید که روش تحلیل مش را باید در مدارات مسطح دو وجهی (Planar) به کار برد. حال نحوه اعمال این روش را در مثال زیر بررسی می‌کنیم.

مثال ۲

جریان $$I_o$$ را در مدار شکل زیر از طریق روش تحلیل مش به دست آورید.

مدار مثال ۲
مدار مثال

حل: قانون KVL را در مش ۱ اعمال می‌کنیم.

$$(8+j 10-j 2) \mathbf{I}_{1}-(-j 2) \mathbf{I}_{2}-j 10 \mathbf{I}_{3}=0$$

در مش شمار ۲ نیز قانون KVL را اعمال می‌کنیم.

$$\left(4-j 2-j 2 \mathrm{I}_{2}-(-j 2) \mathrm{I}_{1}-(-j 2) \mathrm{I}_{3}+20 / 90^{\circ}=0\right.$$

جریان $$I_3$$ در مش شماره ۳ برابر با ۵ آمپر است. این مقدار را در معادلات بالا جایگذاری می‌کنیم.

$$\begin{aligned}(8+j 8) \mathbf{I}_{1}+j 2 \mathbf{I}_{2} &=j 50 \\ j 2 \mathbf{I}_{1}+(4-j 4) \mathbf{I}_{2} &=-j 20-j 10 \end{aligned}$$

این معادلات را می‌توانیم به فرم ماتریسی بازنویسی کنیم.

$$\left[\begin{array}{cc}{8+j 8} & {j 2} \\ {j 2} & {4-j 4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\mathbf{I}_{1}} \\ {\mathbf{I}_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{j 50} \\ {-j 30}\end{array}\right]$$

حال مانند مثال قبل دترمینان ماتریس را به دست می‌آوریم.

$$\Delta=\left|\begin{array}{cc}{8+j 8} & {j 2} \\ {j 2} & {4-j 4}\end{array}\right|=32(1+j)(1-j)+4=68$$

دستگاه معادلات را به روش کرامر حل می‌کنیم.

$$\begin{aligned} \Delta_{2}=\left|\begin{array}{cc}{8+j 8} & {j 50} \\ {j 2} & {-j 30}\end{array}\right|=340-j 240=416.17 \angle-35.22^{\circ} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\mathbf{I}_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=& \frac{416.17 /-35.22^{\circ}}{68}=6.12 /-35.22^{\circ} \mathrm{A} \end{aligned}$$

حال جریان $$I_o$$ را می‌توان به صورت زیر به دست آورد.

$$\mathbf{I}_{o}=-\mathbf{I}_{2}=6.12 / 144.78^{\circ} \mathrm{A}$$

اگر مطالب بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط با آن بیشتر بدانید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

^^

فیلم‌ های آموزش تحلیل حالت دائمی سینوسی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی پاسخ مدارهای الکتریکی به ورودی سینوسی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی نمایش فازوری سینوسی‌ها

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی نمایش فازوری مقاومت، سلف و خازن

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی آنالیز گره در حالت دائمی سینوسی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از آنالیز گره در حالت دائمی سینوسی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی آنالیز مش در حالت دائمی سینوسی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از آنالیز مش در حالت دائمی سینوسی

دانلود ویدیو

«مرضیه آقایی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. فعالیت‌های کاری و پژوهشی او در زمینه کنترل پیش‌بین موتورهای الکتریکی بوده و در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 11 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *