کاربرد بهینه سازی در هندسه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۵۵۴۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۷ شهریور ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۹۰ دقیقه
دانلود PDF مقاله
کاربرد بهینه سازی در هندسه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)کاربرد بهینه سازی در هندسه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در هندسه، مسائل مختلفی وجود دارد که در آن‌ها می‌خواهیم بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنیم. برای مثال، می‌توانیم محیط یا مساحت یک شکل یا حجم یک جسم را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم. در این‌گونه مسائل بهینه سازی در هندسه می‌توانیم یکی از پارامترهای شکل یا جسم هندسی (مثلاً طول یک ضلع یا زاویه بین دو ضلع) را به عنوان یک متغیر مستقل در نظر بگیریم. بعد از تشکیل تابع، باید مقادیر اکسترمم را با استفاده از مشتق‌گیری پیدا کنیم. باید توجه کنیم که توابع چنین مسائلی معمولاً در یک بازه کراندار تعریف می‌شوند که با هندسه سیستم و یا شرایط مسئله تعیین می‌گردند.

997696
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

مثال‌های بهینه سازی در هندسه

در این بخش، مثال‌های متنوعی را درباره کاربرد بهینه‌سازی در هندسه ارائه می‌کنیم.

مثال ۱

نقطه A(a,b)A\left( {a,b} \right) در ربع اول صفحه مختصات داده شده است. یک خط مستقیم رسم می‌کنیم که از این نقطه می‌گذرد و محورهای مختصات را در ربع اول قطع می‌کند. محل‌های برخورد با محورها را به گونه‌ای بیابید که مساحت مثلث تشکیل شده کمترین مقدار ممکن را داشته باشد (شکل ۱).

شکل ۱
شکل ۱

حل: مثلث‌های OBCOBC و MBAMBA را در نظر می‌گیریم. این مثلث‌ها متشابه هستند. در نتیجه، رابطه زیر برقرار است:

OCMA=OBMB        yb=xxa\large { \frac { { O C } } { { M A } } = \frac { { O B } }{ { M B } } \; \; } \kern0pt { \Rightarrow \; \; \frac { y } { b } = \frac { x } { { x – a } } }

که در آن، مختصات xx و yy در نامعادلات x>ax > a و y>by > b صدق می‌کنند. با استفاده از معادله آخر می‌توانیم yy را بر حسب xx بیان کنیم:

y=bxxa.\large y = \frac { { b x } } { { x – a } } .

مساحت مثلث را با تابع S(x)S\left( x \right) بیان می‌کنیم:

S(x)=xy2=x2bxxa=bx22(xa).\large { S \left ( x \right ) = \frac { { x y } } { 2 } = \frac { x } { 2 } \cdot \frac { { b x } } { { x – a } } } = { \frac { { b { x ^ 2 } } } { { 2 \left ( { x – a } \right ) } } . }

مشتق تابع مساحت به صورت زیر است:

S(x)=(bx22(xa))=b2(x2xa)=b22x(xa)x2(xa)2=b22x22axx2(xa)2=bx(x2a)2(xa)2.\large \begin {align*} S ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { b { x ^ 2 } } }{ { 2 \left ( { x – a } \right ) } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { b } { 2 } { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { { x – a } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { b } { 2 } \cdot \frac { { 2 x \left ( { x – a } \right ) – { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { b } { 2 } \cdot \frac { { 2 { x ^ 2 } – 2 a x – { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { b x \left ( { x – 2 a } \right ) } } { { { { 2 \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*}

تابع S(x)S\left( x \right) سه نقطه بحرانی x=0x = 0، x=ax = a و x=2ax = 2a دارد. از آنجایی که x>ax > a است، جواب نقطه x=2ax = 2 a است. وقتی از این نقطه بگذریم، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند؛ یعنی x=2ax = 2a نقطه مینیمم تابع S(x)S (x ) است.

ارتفاع مثلث برابر است با:

$$ \large \require {cancel} y = \frac { { b x } } { { x – a } } = \frac { { b \cdot 2 a } } { { 2 a – a } } = \frac { { 2 \cancel { a } b } } { \cancel { a } } = 2 b . $$

بنابراین، برای آنکه مساحت مثلث، کوچکترین مقدار باشد، باید ساق‌های آن 2a2a و 2b2b باشند.

مثال ۲

یک ذوزنقه متساوی الساقین، درون دایره‌ای به شعاع RR محاط شده است (شکل ۲). زاویه α\alpha باید چقدر باشد تا مساحت ناحیه سایه زده شده حداقل شود؟

شکل ۲
شکل ۲

حل: مساحت یک ذوزنقه متساوی الساقین، با رابطه زیر به دست می‌آید:

ST=a+b2h\large { S _ T } = \frac { { a + b } } { 2 } \cdot h

که در آن، aa و bb قاعده‌ها و hh ارتفاع ذوزنقه هستند. واضح است که h=2Rh = 2 R. مساحت دایره برابر با SK=πR2{S_K} = \pi {R^2} است. در نتیجه، مساحت ناحیه سایه زده شده به صورت زیر است:

S=STSK=a+b22RπR2=(a+b)RπR2.\large { S = { S _ T } – { S _ K } } = { \frac { { a + b } } { 2 } \cdot 2 R – \pi { R ^ 2 } } = { \left ( { a + b } \right ) R – \pi { R ^ 2 } . }

از آنجایی که ذوزنقه توسط دایره محاط شده است، مجموع دو ساق کناری برابر با مجموع قاعده‌ها است:

a+b=2    or    a+b=22Rsinα=4Rsinα.\large { a + b = 2 \ell \; \; \text {or} \; \; } \kern0pt { a + b = 2 \cdot \frac { { 2 R } } { { \sin \alpha } } } = { \frac { { 4 R } } { { \sin \alpha } } . }

که در آن، ll ساق ذوزنقه را نشان می‌دهد. با جایگذاری (a+b)\left( {a + b} \right) در رابطه قبلی، داریم:

S=S(α)=4RsinαRπR2=R2(4sinαπ).\large {S = S\left( \alpha \right) = \frac{{4R}}{{\sin \alpha }} \cdot R – \pi {R^2} } = {{R^2}\left( {\frac{4}{{\sin \alpha }} – \pi } \right).}

اکنون مشتق S(α)S\left( \alpha \right) را برای محاسبه مقدار اکسترمم آن محاسبه می‌کنیم:

S(α)=[R2(4sinαπ)]=4R2(1sin2α)cosα=4R2cosαsin2α.\large \begin {align*} S’ \left ( \alpha \right ) & = { \left [ { { R ^ 2 } \left ( { \frac { 4 } { { \sin \alpha } } – \pi } \right ) } \right ] ^ \prime } \\ & = { 4 { R ^ 2 } \left ( { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } \alpha } } } \right ) \cdot \cos \alpha } = { – \frac { { 4 { R ^ 2 } \cos \alpha } } { { { { \sin } ^ 2 } \alpha } } . } \end {align*}

مشتق فوق، در حالت زیر برابر با صفر است:

cosα=0,    α=π2\large \cos \alpha = 0 , \; \; \Rightarrow \alpha = \frac { \pi }{ 2 }

وقتی از این نقطه عبور کنیم (زاویه زیاد شود)، مشتق از منفی به مثبت تغییر خواهد کرد. در نتیجه، α=π2\alpha = \large\frac{\pi }{2}\normalsize‌ زاویه‌ای است که در آن، تابع S(α)S\left( \alpha \right) حداقل می‌شود. در این حالت، ذوزنقه به مربع تبدیل می‌شود. حداقل مقدار مساحت برابر است با:

Smin=R2(4π).\large { S _ { \min } } = { R ^ 2 } \left ( { 4 – \pi } \right ) .

مثال ۳

پنجره‌ای از یک مستطیل و نیم‌دایره تشکیل شده است (شکل ۳). محیط پنجره برابر با PP است. شعاع RR نیم‌‌دایره را برای حالتی تعیین کنید که بیشترین مقدار نور از پنجره وارد شود.

شکل ۳
شکل ۳

حل: واضح است که یک ضلع مستطیل برابر با 2R2R است. ضلع دیگر را با yy مشخص می‌کنیم. محیط پنجره برابر است با:

P=πR+2R+2y.\large P = \pi R + 2 R + 2 y .

از رابطه بالا، yy به صورت زیر به دست می‌آید:

y=12[P(π+2)R].\large y = \frac { 1 } { 2 } \left [ { P – \left ( { \pi + 2 } \right ) R } \right ] .

مساحت پنجره نیز برابر است با:

S=πR22+2Ry=πR22+2R12[P(π+2)R]=πR22+PRπR22R2=PRπR222R2.\large \begin {align*} S & = \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } + 2 R y = { \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } + 2 R \cdot \frac { 1 } { 2 } \left [ { P – \left ( { \pi + 2 } \right ) R } \right ] } \\ & = { \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } + P R – \pi { R ^ 2 } – 2 { R ^ 2 } } = { P R – \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } – 2 { R ^ 2 } . } \end {align*}

مساحت فوق، تابعی به صورت S(R)S\left( R \right) است. برای محاسبه مقدار اکسترمم این تابع، از آن مشتق می‌گیریم:

S(R)=(PRπR222R2)=PπR4R=P(π+4)R.\large \begin {align*} S’ \left ( R \right) & = \left ( P R – \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } – 2 { R ^ 2 } \right ) ^ \prime \\ & = P – \pi R – 4 R = P – \left ( { \pi + 4 } \right ) R . \end {align*}

با صفر قرار دادن مشتق، داریم:‌

S(R)=0,    P(π+4)R=0,    R=Pπ+4.\large { S’ \left ( R \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { P – \left ( { \pi + 4 } \right ) R = 0 , \; \; } \Rightarrow { R = \frac { P } { { \pi + 4 } } . }

مشتق دوم، منفی است:

S(R)=[P(π+4)R]=(π+4)<0\large { S ^ { \prime \prime } \left ( R \right ) = { \left [ { P – \left ( { \pi + 4 } \right ) R } \right ] ^ \prime } } = { – \left ( { \pi + 4 } \right ) \lt 0 }

در نتیجه، در نقطه‌ای که به دست آوردیم، مساحت حداکثر است. این مقدار ماکزیمم برابر است با:

Smax=PRπR222R2=P(Pπ+4)(π2+2)(Pπ+4)2=P2π+4(π+4)P22(π+4)2=2P2P22(π+4)=P22(π+4).\large \begin {align*} { S _ { \max } } & = P R – \frac { { \pi { R ^2 } } } { 2 } – 2 { R ^ 2 } = { P \left ( { \frac { P } { { \pi + 4 } } } \right ) – \left ( { \frac { \pi } { 2 } + 2 } \right ) { \left ( { \frac { P } { { \pi + 4 } } } \right ) ^ 2 } } \\ & = { \frac { { { P ^ 2 } } }{ { \pi + 4 } } – \frac { { \left ( { \cancel { \pi + 4 } } \right ){ P ^ 2 } } } { { 2 { { \left ( { \pi + 4 } \right ) } ^ { \cancel { 2 } } } } } } = { \frac { { 2 { P ^ 2 } – { P ^ 2 } } } { { 2 \left ( { \pi + 4 } \right ) } } } = { \frac { { { P ^ 2 } } } { { 2 \left ( { \pi + 4 } \right ) } } . } \end {align*}

مثال ۴

مستطیلی با اضلاع موازی با محورهای مختصات را در نظر بگیرید که یک ضلع آن روی محور xx قرار گرفته است و ضلع روبه‌رو توسط سهمی y=cx2y = c – {x^2} محاط شده است. بزرگترین مساحت ممکن مستطیل را به دست آورید.

حل: فرض کنید نقطه M(x,y)M\left( {x,y} \right) رأس مستطیل باشد که متعلق به سهمی است (شکل ۴).

شکل ۴
شکل ۴

طول اضلاع مستطیل، 2x2x و 2y2y است. مساحت مستطیل برابر است با:

S(x)=2xy=2x(cx2)=2cx2x3.\large { S \left ( x \right ) = 2 x y } = { 2 x \left ( { c – { x ^ 2 } } \right ) } = { 2 c x – 2 { x ^ 3 } . }

برای یافتن نقطه اکسترمم، از S(x)S(x) مشتق می‌گیریم:

S(x)=(2cx2x3)=2c6x2.\large S’ \left ( x \right ) = { \left ( { 2 c x – 2 { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } = 2 c – 6 { x ^ 2 } .

با برابر قرار دادن مشتق با صفر، داریم:

مشتق

واضح است که هر دو ریشه، منجر به یک مقدار مساحت برابر خواهند شد. باید مطمئن شویم c3\sqrt {\large\frac{c}{3}\normalsize} یک نقطه ماکزیمم برای S(x)S(x) است. این کار را با بررسی مشتق دوم انجام می‌دهیم:

S(x)=(2c6x2)=12x<0.\large S ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { 2 c – 6 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = – 1 2 x \lt 0 .

از آنجایی که S(x)<0S^{\prime\prime}\left( x \right) \lt 0، نقطه c3\sqrt {\large\frac{c}{3}\normalsize} ماکزیمم است.

حداکثر مساحت مستطیل، برابر است با:

حداکثر مساحت

مثال ۵

دو کانال با عرض‌های aa و bb با زاویه قائم به یکدیگر متصل شده‌اند (شکل ۵). حداکثر طول یک کشتی را به گونه‌ای حساب کنید که در دو کانال قرار بگیرد.

شکل ۵
شکل ۵

فرض می‌کنیم موقعیت کشتی، مطابق شکل ۵ با زاویه α\alpha تعیین شده باشد. حداکثر مقدار ممکن طول LL به زاویه α\alpha بستگی دارد:

L=AO+OB=asinα+acosα=L(α).\large { L = \left | { A O } \right | + \left | { O B } \right | } = { \frac { a } { { \sin \alpha } } + \frac { a } { { \cos \alpha } } } = { L \left ( \alpha \right ) . }

دو موقعیت اکسترمم به صورت زیر هستند:

α0,    sinα0,    AO;\large { \alpha \to 0 , \; \; } \Rightarrow { \sin \alpha \to 0 , \; \; } \Rightarrow { \left | { A O } \right | \to \infty ; }

απ2,    cosα0,    OB.\large { \alpha \to \frac { \pi } { 2 } , \; \; } \Rightarrow { \cos \alpha \to 0 , \; \; } \Rightarrow { \left | { O B } \right | \to \infty . }

در نتیجه، زاویه α\alpha در محدوده 0<α<π20 \lt \alpha \lt \large\frac{\pi }{2}\normalsize تغییر می‌کند.

اکنون مشتق تابع L(α)L\left( \alpha \right) را به دست می‌آوریم:

L(α)=(asin2α)cosαbcos2α(sinα)=bsinαcos2αacosαsin2α=bsin3αacos3αcos2αsin2α=4(bsin3αacos3α)sin2(2α).\large \begin {align*} L’ \left ( \alpha \right ) & = \left ( { – \frac { a } { { { { \sin } ^ 2 } \alpha } } } \right ) \cdot \cos \alpha – \frac { b } { { { { \cos } ^ 2 } \alpha } } \cdot \left ( { – \sin \alpha } \right ) \\ & = { \frac { { b \sin \alpha } } { { { { \cos } ^ 2 } \alpha } } – \frac { { a \cos \alpha } } { { { \sin ^ 2 } \alpha } } } = { \frac { { b \, { { \sin } ^ 3 } \alpha – a \, { { \cos } ^ 3 } \alpha } }{ { { { \cos } ^ 2 } \alpha \, { { \sin } ^ 2 } \alpha } } } \\ & = { \frac { { 4 \left ( { b \, { { \sin } ^ 3 } \alpha – a \, { { \cos } ^ 3 } \alpha } \right ) } } { { { { \sin } ^ 2 } \left ( { 2 \alpha } \right ) } } . } \end {align*}

با صفر قرار دادن رابطه اخیر، داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> L’ \left ( \alpha \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { 4 \left ( { b \, { { \sin } ^ 3 } \alpha – a \, { { \cos } ^ 3 } \alpha } \right ) } } { { { { \sin } ^ 2 } \left ( { 2 \alpha } \right ) } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 20 } { l } }<br /> { b \, { { \sin } ^ 3 } \alpha – a \, { { \cos } ^ 3 } \alpha = 0 } \\<br /> { { { \sin } ^ 2 } \left ( { 2 \alpha } \right ) \ne 0 }<br /> \end {array} } \right. , \; \; }\\ & \Rightarrow<br /> { b \, { \tan ^ 3 } \alpha – a = 0, \; \; } \Rightarrow<br /> { \tan \alpha = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { a }{ b } } } . }<br /> \end {align*} $$

باید مطمئن شویم که وقتی از نقطه بحرانی α\alpha می‌گذریم، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند؛ یعنی مقدار مینیمم تابع L(α)L ( \alpha ) در این نقطه رخ می‌دهد. معادلات سینوس و کسینوس α\alpha را بر حسب تانژانت می‌نویسیم:

1+cot2α=1sin2α,    sinα=11+cot2α=11+1tan2α=tanα1+tan2α\large \begin {align*} 1 + { \cot ^ 2 } \alpha & = \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } \alpha } } , \; \; \\ \Rightarrow \sin \alpha & = \frac { 1 } { { \sqrt { 1 + { { \cot } ^ 2 } \alpha } }} \\ & = { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { { { { \tan } ^ 2 } \alpha } } } } } } = { \frac { { \tan \alpha } } { { \sqrt { 1 + { { \tan } ^ 2 } \alpha } } } } \end {align*}

1+tan2α=1cos2α,    cosα=11+tan2α.\large \begin {align*} { 1 + { \tan ^ 2 } \alpha = \frac { 1 } { { { \cos ^ 2 } \alpha } } , \; \; } \Rightarrow { \cos \alpha = \frac { 1 } { { \sqrt { 1 + { { \tan } ^ 2 } \alpha } } } . } \end {align*}

اکنون می‌توانیم توصیف نهایی حداکثر طول ممکن کشتی را بنویسیم:‌

بهینه سازی

در یک حالت خاص، برای کانال‌هایی با عرض برابر (a=ba = b)، داریم:

Lmax=(2a23)3=8a2=a8.\large \begin {align*} { { L _ { \max } } = \sqrt { { { \left ( { 2 { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } ^ 3 } } } = { \sqrt { 8 { a ^ 2 } } = a \sqrt 8 . } \end {align*}

مثال ۶

مستطیلی دارای اضلاعی موازی با محورهای مختصات است و درون یک بیضی محاط شده است (شکل ۶). معادله بیضی به صورت زیر است:

x2a2+y2b2=1\large \frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1

شکل ۶
شکل ۶

فرض کنید نقطه M(x,y)M\left( {x,y} \right)، یک رأس مستطیل محاطی باشد. مساحت مستطیل برابر است با:

S=2x2y=4xy.\large S = 2 x \cdot 2 y = 4 x y .

کمیت yy را می‌توان از معادله بیضی به دست آورد:

x2a2+y2b2=1,    y2b2=1x2a2,    y2=b2a2(a2x2),    y=±baa2x2.\large \begin {align*} \frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } & = 1 , \; \; \Rightarrow { \frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1 – \frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { y ^ 2 } = \frac { { { b ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } \left ( { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } \right ) , \; \; } \\ & \Rightarrow { y = \pm \frac { b } { a } \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } . } \end {align*}

در این مسئله، فقط مقادیر مثبت xx و yy را در نظر می‌گیریم:

S=4xy=4bxaa2x2=S(x).\large { S = 4 x y } = { \frac {{ 4 b x } } { a } \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } = { S \left ( x \right ) . }

برای یافتن اکسترمم، مشتق S(x)S(x) را محاسبه می‌کنیم:

S(x)=(4bxaa2x2)=4ba[a2x2+x12a2x2(2x)]=4ba[a2x2x2a2x2]=4baa2x2x2a2x2=4b(a22x2)aa2x2.\large \begin {align*} S’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { 4 b x } } { a } \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { 4 b } } { a } \cdot } \kern0pt { \left [ { \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } + x \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } \cdot \left ( { – 2 x } \right ) } \right ] } \\ & = { \frac { { 4 b } } { a } \left [ { \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } – \frac { { { x ^ 2 } } } { { \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } } \right ] } = { \frac { { 4 b } } { a } \cdot \frac { { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } – { x ^ 2 } } } { { \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } } = { \frac { { 4 b \left ( { { a ^ 2 } – 2 { x ^ 2 } } \right ) } } { { a \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } . } \end {align*}

اگر مشتق بالا را برابر با صفر قرار دهیم، داریم:

a22x2=0,    x2=a22,    x=a2.\large { { a ^ 2 } – 2 { x ^ 2 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 2 } = \frac { { { a ^ 2 } } } { 2 } , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { a } { { \sqrt 2 } } . }

وقتی از نقطه x=a2x = {\large\frac{a}{{\sqrt 2 }}\normalsize} عبور می‌کنیم، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند. بنابراین، ماکزیمم تابع در این نقطه رخ می‌دهد.

در نتیجه، مقدار yy برابر است با:

y=baa2x2=baa2(a2)2=baa2a22=baa22=baa2=b2.\large \begin {align*} y & = \frac { b } { a } \sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } = { \frac { b } { a } \sqrt { { a ^ 2 } – { { \left ( { \frac { a } { { \sqrt 2 } } } \right ) } ^ 2 } } } \\ &= { \frac { b } { a } \sqrt { { a ^ 2 } – \frac { { { a ^ 2 } } } { 2 } } } = { \frac { b } { a } \sqrt { \frac { { { a ^ 2 } } } { 2 } } } = { \frac { b } { a } \cdot \frac { a } { { \sqrt 2 } } } = { \frac { b } { { \sqrt 2 } } . } \end {align*}

بنابراین، مستطیل محاط شده در بیضی، وقتی بیشترین مساحت ممکن را خواهد داشت که اضلاع آن به صورت زیر باشند:‌

2x=2a2=a2          2y=2b2=b2.\large \begin {align*} { 2 x = 2 \cdot \frac { a } { { \sqrt 2 } } = a \sqrt 2 \; \text{, } \; \; \; \; } \kern-0.3pt { 2 y = 2 \cdot \frac { b } { { \sqrt 2 } } = b \sqrt 2 . } \end {align*}

حداکثر مقدار مساحت نیز برابر است با:‌

Smax=a2b2=2ab.\large { S _ { \max } } = a \sqrt 2 \cdot b \sqrt 2 = 2 a b .

در حالت خاصی که محورهای بزرگ و کوچک بیضی برابر باشند (a=b=Ra = b = R)، با یک دایره مواجه خواهیم بود.

در این حالت، بزرگترین مساحت مستطیل، برابر است با:

R2\large R \sqrt 2

مثال ۷

تابلویی به ارتفاع aa روی یک دیوار به گونه‌ای آویزان شده است که به اندازه hh بالاتر از سطح چشم ناظر قرار دارد. فاصله چشم ناظر تا دیوار (xx) باید چه مقداری باشد تا او تصویر را در مطلوب‌ترین حالت ممکن ببیند (شکل ۷ (الف))؟.

شکل ۷ (الف)
شکل ۷ (الف)

حل: واضح است که وقتی ناظر در وضعیت بهینه قرار دارد که، زاویه دید او حداکثر مقدار ممکن باشد.

ابتدا رابطه زاویه دید φ=BPA\varphi = \angle BPA را به دست می‌آوریم.

شکل ۷ (ب)
شکل ۷ (ب)

طبق شکل ۷ (ب)، رابطه φ=αβ\varphi = \alpha – \beta برقرار است که در آن:

tanβ=hx,      tanα=a+hx.\large { \tan \beta = \frac { h } { x } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \tan \alpha = \frac { { a + h } } { x } . }

با استفاده از اتحاد تانژانتِ تفاضلِ زاویه‌ها داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} \tan \varphi & = \tan \left ( {\alpha – \beta } \right ) = { \frac { { \tan \alpha – \tan \beta } } {{ 1 + \tan \alpha \tan \beta } } } \\<br /> & = { \frac { { \frac { { a + h } } { x } – \frac { h } { x } } } { { 1 + \frac { { a + h } } { x } \cdot \frac { h } { x } } } } = { \frac { { \frac { { a + \cancel { h } – \cancel { h } } } { x } } } { { \frac { { { x ^ 2 } + \left ( { a + h } \right ) h } } { { { x ^ 2 } } } } } } \\& = { \frac { { a x } } { { {x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } } . }<br /> \end {align*} $$

بنابراین، می‌توانیم عبارت زیر را برای تابع φ(x)\varphi \left( x \right) بنویسیم:

φ=φ(x)=arctanaxx2+ah+h2.\large { \varphi = \varphi \left ( x \right ) } = { \arctan \frac { { a x } } { { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } } . }

مشتق این تابع برابر است با:

φ(x)=(arctanaxx2+ah+h2)=11+(axx2+ah+h2)2(axx2+ah+h2)=(x2+ah+h2)2(x2+ah+h2)2+(ax)2a(x2+ah+h2)ax2x(x2+ah+h2)2+(ax)2=ax2+a2h+ah22ax2(x2+ah+h2)2+a2x2=a2h+ah2ax2(x2+ah+h2)2+a2x2=a(ah+h2x2)(x2+ah+h2)2+a2x2.\large \begin {align*} \varphi ^ \prime \left ( x \right ) & = { \left ( { \arctan \frac { { a x } } { { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { \frac { { a x } }{ { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } } \cdot { \left ( { \frac { { a x } } { { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } } \\ &= { \frac { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { a x } \right ) } ^ 2 } } } }\kern0pt { \cdot \frac { { a \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) – a x \cdot 2 x } } { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { a x } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { a { x ^ 2 } + { a ^ 2 } h + a { h ^ 2 } – 2 a { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { a ^ 2 } { x ^ 2 } } } } = { \frac { { { a ^ 2 } h + a { h ^2 } – a { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { a ^ 2 } { x ^ 2 } } } } \\ &= { \frac { { a \left ( { a h + { h ^ 2 } – { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { a ^ 2 } { x ^ 2 } } } . } \end {align*}

با صفر قرار دادن مشتق تابع بالا، داریم:

φ(x)=0,    a(ah+h2x2)(x2+ah+h2)2+a2x2=0,    ah+h2x2=0,    x2=ah+h2,    x=h(a+h).\large \begin {align*} \varphi ^ \prime \left ( x \right ) = 0 , \; \; & \Rightarrow { \frac { { a \left ( { a h + { h ^ 2 } – { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { { x ^ 2 } + a h + { h ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + { a ^ 2 }{ x ^ 2 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { a h + { h ^ 2 } – { x ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x ^ 2 } = a h + { h ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { x = \sqrt { h \left ( { a + h } \right ) } .} \end {align*}

در این نقطه، φ(x)\varphi \left( x \right) مقدار ماکزیمم را دارد، زیرا وقتی از این نقطه می‌گذریم، مشتق اول، از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد.

بنابراین، فاصله بهینه از دیوار برای بهترین زاویه دید از تصویر، با فرمول زیر به دست می‌آید:

x=h(a+h).\large x = \sqrt { h \left ( { a + h } \right ) } .

برای مثال، اگر a=3ma = 3\,\text{m} و h=2mh = 2\,\text{m} باشد، فاصله بهینه برابر خواهد بود با:

x=h(a+h)=2(3+2)=103.16m.\large { x = \sqrt { h \left ( { a + h } \right ) } = \sqrt { 2 \left ( { 3 + 2 } \right ) } } = { \sqrt { 1 0 } \approx 3 . 1 6 \, \text {m} . }

مثال ۸

دو ضلع یک متوازی الاضلاع و یک رأس آن بر یک مثلث منطبق شده‌اند (شکل ۸). در چه شرایطی مساحت این متوازی الاضلاع حداکثر مقدار ممکن است؟

شکل ۸
شکل ۸

حل: مثلث را با دو ضلع a=BCa = BC و b=ACb = AC و زاویه α=BCA\alpha = \angle BCA بین آن‌ها تعریف می‌کنیم. متوازی الاضلاع CMKNCMKN را طبق شرایط مسئله رسم می‌کنیم. اضلاع متوازی الاضلاع را به صورت x=MKx = MK و y=KNy = KN در نظر می‌گیریم. مساحت متوازی الاضلاع با فرمول زیر تعیین می‌شود:

S=xysinα.\large S = xy\sin \alpha .

پارامتر yy را بر حسب xx و اضلاع aa و bb مثلث می‌نویسیم.

با توجه به تشابه مثلث‌های BMKBMK و BCABCA، داریم:

aya=xb.\large \frac { { a – y } } { a } = \frac { x } { b } .

در نتیجه، می‌توان نوشت:

(ay)b=ax,    abby=ax,    by=abax,    y=abaxb=aabx.\large \begin {align*} \left ( { a – y } \right ) b & = a x , \; \; \Rightarrow { a b – b y = a x , \; \; } \Rightarrow { b y = a b – a x , \; \; } \\ & \Rightarrow { y = \frac { { a b – a x } } { b } = a – \frac { a } { b } x . } \end {align*}

در نتیجه، مساحت SS را می‌توان به صورت تابع S(x)S(x) نوشت:

S=S(x)=x(aabx)sinα=axsinαabx2sinα.\large \begin {align*} S & = S \left ( x \right ) = { x \left ( { a – \frac { a } { b } x } \right ) \sin \alpha } \\ & = { a x \sin \alpha – \frac { a } { b }{ x ^ 2 } \sin \alpha . } \end {align*}

وقتی از این نقطه عبور می‌کنیم، مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد و بنابراین، در آن، مقدار تابع حداکثر است. ضلع دیگر متوازی الاضلاع برابر است با:

y=aabx=aabb2=aa2=a2.\large \begin {align*} { y = a – \frac { a } { b } x = a – \frac { a } { b } \cdot \frac { b } { 2 } } = { a – \frac { a } { 2 } = \frac { a } { 2 } . } \end {align*}

بنابراین، متوازی الاضلاع با ضلع‌های xx و yy که در مثلث محاط شده است، در شرایط زیر بیشترین مساحت را خواهد داشت:

x=b2,    y=a2\large x = \frac { b } { 2 } , \; \; y = \frac { a } { 2 }

مثال ۹

استوانه‌ای را پیشنهاد دهید که مساحت سطح آن حداقل باشد.

حل: شکل بهینه یک استوانه با حجم ثابت، هزینه مواد به کار رفته در آن را کاهش می‌دهد. این مسئله در موارد مختلفی مانند مخزن‌های ذخیره نفت مهم است (شکل ۹).

شکل ۹
شکل ۹

فرض می‌کنیم HH ارتفاع استوانه و RR شعاع سطح مقطع آن است. حجم و مساحت کل سطح استوانه با فرمول‌های زیر بیان می‌شود:

V=πR2H,      S=2πR2+2πRH.\large { V = \pi { R ^ 2 } H , } \; \; \; \kern-0.3pt { S = 2 \pi { R ^ 2 } + 2 \pi R H . }

شعاع قاعده RR را به عنوان یک متغیر مستقل در نظر می‌گیریم و ارتفاع HH را بر حسب آن می‌نویسیم (در حجم ثابت VV):

H=VπR2.\large H = \frac { V } { { \pi { R ^ 2 } } } .

می‌خواهیم مقدار اکسترمم تابع مساحت سطح S(R)S(R) را محاسبه کنیم:‌

S(R)=2πR2+2πRH=2πR2+2πRVπR2=2πR2+2VR.\large \begin {align*} S \left ( R \right ) & = 2 \pi { R ^ 2 } + 2 \pi R H \\ &= { 2 \pi { R ^ 2 } + 2 \pi R \cdot \frac { V } { { \pi { R ^ 2 } } } } \\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } + \frac { { 2 V } } { R } . } \end {align*}

مشتق تابع بالا برابر است با:

S(R)=(2πR2+2VR)=4πR2VR2=4πR32VR2.\large { S’ \left ( R \right ) = { \left ( { 2 \pi { R ^ 2 } + \frac { { 2 V } } { R } } \right ) ^ \prime } } = { 4 \pi R – \frac {{ 2 V } } { { { R ^ 2 } } } } = { \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } – 2 V } } { { { R ^ 2 } } } . }

با صفر قرار دادن این مشتق، داریم:

مشتق

مقدار RR بالا، متناظر با حداقل مساحت سطح S(R)S(R) است، زیرا با عبور از این نقطه، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند.

در نتیجه، ارتفاع استوانه برابر خواهد بود با:

ارتفاع

نسبت ارتفاع به شعاع قاعده، به صورت زیر است:

نسبت ارتفاع به شعاع

به عبارت دیگر، برای آنکه مساحت جانبی استوانه کوچکترین مقدار ممکن شود، باید ارتفاع آن برابر با قطر قاعده باشد.

مثال ۱۰

حداکثر حجم ممکن استوانه‌ای را به دست آورید که در یک مخروط با ارتفاع HH و شعاع RR محاط شده است (شکل ۱0 (الف)).

شکل ۱۰ (الف)
شکل ۱۰ (الف)

حل: شعاع قاعده استوانه را با xx و ارتفاع آن را با yy مشخص می‌کنیم (شکل ۱۰ (ب)).

شکل ۱۰ (ب)
شکل ۱۰ (ب)

با توجه به تشابه مثلث‌های SKDSKD و SOBSOB، داریم:

KDOB=SKSO      or      xR=HyH.\large { \frac { { K D } } { { O B } } = \frac { { S K } }{ { S O } } } \; \; \; \kern-0.3pt { \text {or} \; \; \; \frac { x } { R } = \frac { { H – y } } { H } .}

معادله اخیر، رابطه بین متغیرهای xx و yy را بیان می‌کند. پارامتر yy را بر حسب xx می‌نویسیم:

xR=HyH,    HX=(Hy)R,    Hx=HRRy,    y=HRHxR=H(1xR).\large \begin {align*} \frac { x } { R } = \frac { { H – y } } { H } , \; \; & \Rightarrow { H X = \left ( { H – y } \right ) R , \; \; } \Rightarrow { H x = H R – R y , \; \; } \\ & \Rightarrow { y = \frac { { H R – H x } } { R } = H \left ( { 1 – \frac { x } { R } } \right ) . } \end {align*}

حجم محاط شده در استوانه با فرمول زیر بیان می‌شود:

V=πx2y.\large V = \pi { x ^ 2 } y .

با نوشتن حجم بر حسب متغیر xx، داریم:

V(x)=πx2H(1xR)=πH(x2x3R).\large { V \left ( x \right ) = \pi { x ^ 2} H \left ( { 1 – \frac { x } { R } } \right ) } = { \pi H\left ( { { x ^ 2 } – \frac { { { x ^ 3 } } } { R } } \right ) .}

برای به دست آوردن بزرگترین حجم ممکن، از تابع V(x)V(x) مشتق می‌گیریم:

V(x)=[πH(x2x3R)]=πH(2x3x2R);\large \begin {align*} V’ \left ( x \right ) = { \left [ { \pi H \left ( { { x ^ 2 } – \frac { { { x ^ 3 } } } { R } } \right ) } \right ] ^ \prime } = { \pi H \left ( { 2 x – \frac { { 3 { x ^ 2 } } } { R } } \right ) ; } \end {align*}

جواب x1=0{x_1} = 0، متناظر با صفر بودن حجم استوانه است و از نظر فیزیکی مفهومی ندارد. وقتی از نقطه x2=2R3{x_2} = \large\frac{{2R}}{3}\normalsize عبور کنیم، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند. بنابراین، x=2R3x = \large\frac{{2R}}{3}\normalsize نقطه‌ ماکزیمم تابع V(x)V(x) است. به ازای این مقدار، ارتفاع استوانه برابر است با:

$$ \large \require {cancel} { y = H \left ( { 1 – \frac { x } { R } } \right ) } = { H \left ( { 1 – \frac { { 2 \cancel { R } } } { { 3 \cancel { R } } } } \right ) = \frac { H } { 3 } . } $$

در نتیجه، بزرگترین حجم ممکن برای استوانه محاط شده در مخروط، برابر خواهد بود با:

Vmax=πx2y=π(2R3)2H3=427πR2H.\large { { V _ { \max } } = \pi { x ^ 2 } y } = { \pi { \left ( { \frac { { 2 R } } { 3 } } \right ) ^ 2 } \cdot \frac { H } { 3 } } = { \frac { 4 } { { 2 7 } } \pi { R ^ 2 } H . }

این مقدار، برابر با 49\large\frac{4}{9}\normalsize حجم مخروط است.

مثال ۱۱

مشخصات مخروطی محاط در یک کره به شعاع RR را بیابید که حجم آن بیشترین مقدار ممکن باشد.

حل: برش مقطعی مخروط محاط در کره در شکل ۱۱ نشان داده شده است.

شکل ۱۱
شکل ۱۱

پارامتر HH را به عنوان ارتفاع مخروط، rr را به عنوان شعاع قاعده مخروط و α\alpha را به عنوان زاویه بین شعاع کره و قاعده مخروط در نظر می‌گیریم. شعاع قاعده و ارتفاع مخروط توسط فرول‌های زیر با شعاع کره مرتبط هستند:

r=Rcosα,      H=Rsinα+R.\large { r = R \cos \alpha , } \; \; \; \kern-0.3pt { H = R \sin \alpha + R . }

در این حالت، حجم مخروط را می‌توان به صورت زیر نوشت:

V=13πr2H=13π(Rcosα)2(Rsinα+R)=13πR3cos2α(sinα+1).\large \begin {align*} V & = \frac { 1 } { 3 } \pi { r ^ 2 } H = { \frac { 1 } { 3 } \pi { \left ( { R \cos \alpha } \right ) ^ 2 } \left ( { R \sin \alpha + R } \right ) } \\ & = { \frac { 1 } { 3 } \pi { R ^ 3 } { \cos ^ 2 } \alpha \left ( { \sin \alpha + 1} \right).} \end {align*}

که در آن، α\alpha در محدوده 0<α<π20 < \alpha < {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} قرار دارد. از حجم VV نسبت به α\alpha مشتق می‌گیریم:

V(α)=[13πR3cos2α(sinα+1)]=13πR3[cos2α(sinα+1)]=13πR3cosα[cos2α2sin2α2sinα];\large \begin {align*} V’ \left ( \alpha \right ) & = { { \left [ { \frac { 1 } { 3 } \pi { R ^ 3 } { { \cos } ^ 2 } \alpha \left ( { \sin \alpha + 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ &= { \frac { 1 } { 3 } \pi { R ^ 3 }{ \left [ { { { \cos } ^ 2 } \alpha \left ( { \sin \alpha + 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ &= { { \frac { 1 } { 3 } \pi { R ^ 3 } \cos \alpha } \cdot \kern0pt { \left [ { { { \cos } ^ 2 } \alpha – 2 { { \sin } ^ 2 } \alpha – 2 \sin \alpha } \right ] } ; } \end {align*}

مشتق بالا را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

V(α)=0,    13πR3cosα[cos2α2sin2α2sinα]=0.\large { V’ \left ( \alpha \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { \frac { 1 } { 3 } \pi { R ^ 3 } \cos \alpha } } \cdot \kern0pt { { \left [ { { { \cos } ^ 2 } \alpha – 2 { { \sin } ^ 2 } \alpha – 2 \sin \alpha } \right ] = 0 . } }

دو حالت مختلف رخ می‌دهد:

1)  cosα=0,    α=π2;\large { 1 ) \; \cos \alpha = 0 , \; \; } \Rightarrow { \alpha = \frac { \pi } { 2 } ; }

2)  cos2α2sin2α2sinα=0,    13sin2α2sinα=0,    3sin2α+2sinα1=0,    sinα=t,    3t2+2t1=0,    D=443(1)=16,    t1,2=2±166;    \large \begin {align*} & 2 ) \; { \cos ^ 2 } \alpha – 2 { \sin ^ 2 } \alpha – 2 \sin \alpha = 0 , \; \; \Rightarrow { 1 – 3 { \sin ^ 2 } \alpha – 2 \sin \alpha = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 3 { \sin ^ 2 } \alpha + 2 \sin \alpha – 1 = 0 , \; \; } \Rightarrow { \sin \alpha = t , \; \; } \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { D = 4 – 4 \cdot 3 \cdot \left ( { – 1 } \right ) = 1 6 , \; \; } \Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 \pm \sqrt { 1 6 } } } { 6 } ; \; \; } \end {align*}

t1=1,    sinα=1,    α=3π2,t2=13,    sinα=13.\large \begin {align*} { t _ 1 } & = – 1 , \; \; \Rightarrow { \sin \alpha = – 1 , \; \; } \Rightarrow { \alpha = \frac { { 3 \pi } } { 2 } } , \\ { t _ 2 } & = \frac { 1 } { 3 } , \; \; \Rightarrow { \sin \alpha = \frac { 1 } { 3 } . } \end {align*}

همان‌طور که می‌بینیم، پاسخ مورد نظر sinα=13\sin \alpha = \large\frac{1}{3}\normalsize است. می‌توانیم این پاسخ را با افزایش α\alpha و عبور از آن بررسی کنیم. خواهیم دید که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند.

کسینوس زاویه α\alpha‌ برابر است با:

cosα=1(13)2=119=223.\large { \cos \alpha = \sqrt { 1 – { { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) } ^ 2 } } } = { \sqrt { 1 – \frac { 1 } { 9 } } = \frac { { 2 \sqrt 2 } } { 3 } .}

در نتیجه، شعاع قاعده و ارتفاع مخروط متناظر با حجم حداکثر، به صورت زیر خواهند بود:

r=223R,      H=R13+R=43R.\large { r = \frac { { 2 \sqrt 2 } } { 3 } R , } \; \; \; \kern -0.3pt { { H = R \cdot \frac { 1 } {3 } + R } = { \frac { 4 }{ 3 } R . } }

حجم ماکزیمم نیز برابر است با:‌

V=13πr2H=π3(223)243R=π389R243R=3281πR3\large \begin {align*} V & = \frac { 1 } { 3 } \pi { r ^ 2 } H = { \frac { \pi } { 3 } \cdot { \left ( { \frac { { 2 \sqrt 2 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } \cdot \frac { 4 } { 3 } R } \\ & = { \frac { \pi } { 3 } \cdot \frac { 8 } { 9 } { R ^ 2 } \cdot \frac { 4 } { 3 } R } = { \frac { { 3 2 } } { { 8 1 } } \pi { R ^ 3 } } \end {align*}

که 827\large\frac{{8}}{{27}}\normalsize حجم کره است.

مثال 12

مخروطی به حجم VV را در نظر بگیرید. به ازای چه شعاع قاعده (RR) و ارتفاعی (HH) سطح جانبی مخروط کمینه می‌شود؟

حل: ارتفاع خمشی مخروط با mm مشخص شده است (شکل ۱۲ (الف)).

شکل ۱۲ (الف)
شکل ۱۲ (الف)

مساحت سطح جانبی با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

SL=πRm.\large { S _ { \text {L} } } = \pi Rm .

در ادامه، برای سادگی، سطح جانبی را با SS نمایش می‌دهیم. حجم مخروط برابر است با:

V=13πR2H\large V = \frac { 1 } { 3 } \pi { R ^ 2 } H

ارتفاع HH را بر حسب RR و VV می‌نویسیم:

H=3VπR2.\large H = \frac { { 3 V } } { { \pi { R ^ 2 } } } .

با استفاده از قضیه فیثاغورس، داریم:

m=H2+R2=(3VπR2)2+R2.\large { m = \sqrt { { H ^ 2 } + { R ^ 2 } } } = { \sqrt { { { \left ( { \frac { { 3 V } } { { \pi { R ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } + { R ^ 2 } } . }

در ادامه، مساحت سطح جانبی را به صورت تابعی از شعاع قاعده RR می‌نویسیم:‌

S=πRm=πR(3VπR2)2+R2=πR9V2π2R4+R2=πR9V2+π2R6π2R4=πRπR29V2+π2R6=9V2+π2R6R.\large \begin {align*} S & = \pi R m = { \pi R \sqrt { { { \left ( { \frac { { 3 V } } { { \pi { R ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } + { R ^ 2 } } } = { \pi R \sqrt { \frac { { 9 { V ^ 2 } } } { { { \pi ^ 2 } { R ^ 4 } } } + { R ^ 2 } } } \\ & = { \pi R \sqrt { \frac { { 9{ V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } { { { \pi ^ 2 } { R ^ 4 } } } } } = { \frac { { \cancel { \pi } \cancel { R } } } { { \cancel { \pi } { R ^ { \cancel { 2 } } } } } \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } \\ & = { \frac { { \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } { R } . } \end {align*}

مشتق این تابع، به صورت زیر است:‌

S(R)=(9V2+π2R6R)=6π2R529V2+π2R6R9V2+π2R6R2=6π2R62(9V2+π2R6)2R29V2+π2R6=4π2R618V22R29V2+π2R6=2π2R69V2R29V2+π2R6.\large \begin {align*} S’ \left ( R \right ) & = { { \left ( { \frac { { \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } { R } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \frac { { 6 { \pi ^ 2 } { R ^ 5 } } } { { 2 \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } \cdot R – \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } { { { R ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { 6 { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } – 2 \left ( { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } \right ) } } { { 2 { R ^ 2 } \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } } = { \frac { { 4 { \pi ^ 2 }{ R ^ 6 } – 1 8 { V ^ 2 } } } { { 2 { R ^ 2 } \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } } \\& = { \frac { { 2 { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } – 9 { V ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } \sqrt { 9 { V ^ 2 } + { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } } } } .} \end {align*}

با صفر قرار دادن مشتق بالا، داریم:‌

2π2R69V2=0,    R6=9V22π2,    R=9V22π26.\large { 2 { \pi ^ 2 } { R ^ 6 } – 9 { V ^ 2 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { R ^ 6 } = \frac { { 9 { V ^ 2 } } } { { 2 { \pi ^ 2 } } } , \; \; } \Rightarrow { R = \sqrt [ \large 6 \normalsize ]{ { \frac { { 9 { V ^ 2 } } } { { 2 { \pi ^ 2 } } } } } . }

با افزایش RR و عبور از نقطه بحرانی، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند. در نتیجه، تابع S(R)S(R) در این نقطه، کمینه است.

ارتفاع مخروط، برابر است با:

ارتفاع H

برای درک بهتر شکل بهینه مخروط، نسبت HR\large\frac{H}{R}\normalsize را محاسبه می‌کنیم:

نسبت H به R

بنابراین، ارتفاع مخروط برای آنکه مساحت سطح جانبی حداقل باشد، حدود 1.41.4 برابر بزرگتر از شعاع قاعده است.

جالب است بدانید که نسبت ارتفاع به شعاع قاعده سازه غول پیکری به نام «مرکز تفریحی خان‌چادر» (Khan Shatyr Entertainment) مشابه عددی است که در این مثال به دست آوردیم.

شکل ۱۲ (ب)
شکل ۱۲ (ب)

مثال ۱3

سطح مقطع جسمی مطابق شکل ۱۳ است. ارتفاع HH استوانه و شعاع RR نیم‌کره را به گونه‌ای محاسبه کنید که مساحت آن در حجم ثابت VV کمینه شود.

شکل ۱۳
شکل ۱۳

حل: حجم برابر است با:

V=43πR3+πR2H=πR2(4R3+H).\large { V = \frac { 4 } { 3 } \pi { R ^ 3 } + \pi { R ^ 2 } H } = { \pi { R ^ 2 } \left ( { \frac { { 4 R } } { 3 } + H } \right ) . }

ارتفاع را نیز به صورت زیر بیان می‌کنیم:

H=VπR34R3.\large H = \frac { V } { { \pi { R ^ 3 } } } – \frac { { 4 R } } { 3 } .

کل مساحت جسم نیز برابر است با:

S=4πR2+2πRH.\large S = 4 \pi { R ^ 2 } + 2 \pi R H .

با جایگذاری عبارت HH در فرمول قبل، داریم:

S=S(R)=4πR2+2πR(VπR34R3)=4πR2+2VR8πR23=4πR23+2VR.\large \begin {align*} S & = S \left ( R \right ) = { 4 \pi { R ^ 2 } + 2 \pi R \left ( { \frac { V } { { \pi { R ^ 3 } } } – \frac { { 4 R } } {3 } } \right ) } \\ &= { 4 \pi { R ^ 2 } + \frac { { 2 V } } { R } – \frac { { 8 \pi { R ^ 2 } } } { 3 } } = { \frac { { 4 \pi { R ^ 2 } } } { 3 } + \frac { { 2 V } } { R } .} \end {align*}

اکنون مشتق S(R)S(R) را محاسبه می‌کنیم:

S(R)=(4πR23+2VR)=4π32R2VR2=8πR32VR2=8πR36V3R2.\large \begin {align*} S’ \left ( R \right ) & = { { \left ( { \frac { { 4 \pi { R ^ 2 } } } { 3 } + \frac { { 2 V } } { R } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { 4 \pi } } { 3 } \cdot 2 R – \frac { { 2 V } } { { { R ^ 2 } } } } \\ &= { \frac { { 8 \pi R } } { 3 } – \frac { { 2 V } } { { { R ^ 2 } } } } = { \frac { { 8 \pi { R ^ 3 } – 6 V } } {{ 3 { R ^ 2 } } } . } \end {align*}

در نتیجه، نقطه اکسترمم به صورت زیر خواهد بود:

اکسترمم

واضح است که در نقطه بالا، تابع کمینه می‌شود. اکنون ارتفاع متناظر با این مقدار را محاسبه می‌کنیم:

فرمول

همان‌طور که می‌بینیم، شکل مورد نظر، باید کره‌ای بدون بخش استوانه‌ای باشد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش کاربرد بهینه سازی در هندسه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی کاربرد بهینه‌‌سازی در هندسه

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از کاربرد بهینه‌‌سازی در هندسه

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
دانلود PDF مقاله
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *