انتقال جرم چیست؟ – از صفر تا صد

مقدمه‌ای بر انتقال جرم

عدم توازن گونه‌ای که در یک ماده قرار گرفته، باعث می‌شود توزیع آن گونه بارها و بارها تغییر کند تا توازن و برابری در آن برقرار شود. تمایل به این تغییر که از آن به عنوان نیروی محرکه هم یاد می‌شود، مکانیزمی را معرفی می‌کند که در بسیاری از پدیده‌های انتقال نقش دارد.

اگر غلظت هر گونه را برابر با مقدار آن گونه در واحد حجم تعریف کنیم، می‌توانیم ادعا کنیم جریان گونه همیشه در جهت کاهش غلظت اتفاق می‌افتد. به عبارت دیگر و مطابق شکل بالا، جریان گونه از ناحیه غلیظ‌تر به ناحیه رقیق‌تر برقرار است. هنگامی که مخلوطی از گازها یا مایعات دارای گرادیان غلظت، در محفظه‌ای قرار داشته باشند، پدیده نفوذ (Diffusion) در مقیاس مولکولی از ناحیه با غلظت بالا به ناحیه دیگر رخ می‌دهد. سرعت جریان گونه با گرادیان غلظت که آن را به صورت $$\large dC/ dx$$ تعریف می‌کنیم و همین‌طور مساحت مقطع عمود بر مسیر جریان $$\large A$$ متناسب است. در اینجا تغییرات غلظت $$\large C$$ در واحد طول $$\large x$$ و در جهت حرکت جریان سنجیده می‌شود.

$$\large \dot {Q} \:=\: -\: k_ {\text {diff}} A\frac {C} {x}$$

برای درک بهتر فرآیند نفوذ، مخزنی را در نظر بگیرید که با کمک یک دیواره جداکننده، به دو قسمت مساوی تقسیم شده است. در ابتدا، نیمه سمت چپ مخزن، حاوی گاز نیتروژن $$\large \text {N} _2$$ است و در نیمه سمت راست نیز هوا (در حدود ۲۱ درصد از آن اکسیژن و مابقی نیتروژن است) وجود دارد. فشار و دما در هر دو نیمه مخزن یکسان هستند. همان‌طور که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، مولکول‌های اکسیژن و نیتروژن به ترتیب با دایره‌های قرمز و سفید مشخص شده‌اند.

به طریق مشابه می‌توانیم نشان دهیم که برآیند حرکت مولکول‌های $$\large \text {O} _2$$‌ نیز به سمت چپ است و به همین دلیل می‌گوییم، $$\large \text {O} _2$$‌ به سمت چپ منتقل شده است. این فرآیند آن‌قدر ادامه می‌یابد تا غلظت $$\large \text {N} _2$$ و $$\large \text {O} _2$$‌ در سراسر مخزن یکنواخت شود و تعداد مولکول‌های $$\large \text {N} _2$$ یا $$\large \text {O} _2$$‌ که به سمت راست حرکت می‌کنند، با تعداد مولکول‌های هم‌نوعشان که به سمت چپ می‌روند، مساوی شود. در این حالت، برآیند حرکت مولکول‌ها از صفحه فرضی، صفر خواهد بود.

انتقال جرم می‌تواند در مایعات و حتی جامدات نیز اتفاق بیفتد. به عنوان مثال، اگر یک لیوان آب را در اتاقی قرار دهید. پس از گذشت مدتی، به دلیل نفوذ مولکول‌های آب در هوا، تمام آب تبخیر خواهد شد. این حالت، انتقال جرم مایع در گاز نامیده می‌شود. یک تکه یخ خشک ($$\large \text {CO} _2$$ جامد) به مرور زمان، کوچک و کوچکتر خواهد شد. زیرا مولکول‌های $$\large \text {CO} _2$$ در هوا نفوذ می‌کنند. این حالت، انتقال جرم جامد در گاز است. یک قاشق شکر ریخته شده در یک فنجان پر از چای، پس مدتی چای را شیرین می‌کند. زیرا مولکول‌های شکر نسبت به مولکول‌های آب سنگین‌ترند و به راحتی در آنها نفوذ می‌کنند (انتقال جرم جامد در مایع).

عامل دیگری که در فرآیند نفوذ تعیین کننده است، فاصله مولکولی (Molecular Spacing) نام دارد. به طور کلی هرچه این فاصله بزرگتر باشد، سرعت نفوذ بالاتر خواهد بود. بنابراین، سرعت نفوذ در گازها نسبت به مایعات و در مایعات نسبت به جامدات بسیار بیشتر است.

مقایسه انتقال جرم و انتقال حرارت

مکانیزم‌های انتقال جرم و انتقال حرارت شباهت زیادی به یکدیگر دارند. به همین دلیل نیازی نیست تا زمان زیادی را برای یادگیری مباحث انتقال جرم اختصاص دهیم. در بسیاری از موارد می‌توان از قرینه‌های موجود در مباحث انتقال حرارت برای درک بهتر مسائل انتقال جرم کمک گرفت. استفاده از این پل‌های ارتباطی موجب می‌شود بتوانیم در تعداد زیادی از مسائل انتقال جرم برای گرفتن ایده، به دانش قبلی خودمان در زمینه انتقال حرارت رجوع کنیم. معکوس این ارتباط نیز برقرار است و با کمک دانش انتقال جرم می‌توان مسائلی از انتقال حرارت را حل کرد. ماهیت جرم ذاتاً همان انرژی است و این دو، با کمک فرمول انیشیتین $$\large E= mc^2$$ به یکدیگر تبدیل می‌شوند. در این رابطه، $$\large c$$ سرعت نور است. از این رو، جرم و حرارت دو شکل مختلف از انرژی هستند.

فیلم آموزش انتقال جرم در فرادرس

کلیک کنید

مفهوم دما در انتقال جرم و حرارت

مفهوم رسانش در انتقال جرم و حرارت

$$\large \dot {Q} _{\text {cond}} \:=\: -\:kA \frac {\text {d} T}{\text {d} x}$$

در رابطه بالا، $$\large k$$ ضریب رسانش حرارتی ماده و $$\large A$$ نیز سطح مقطع عمود به جهت انتقال حرارت است. به طور مشابه، سرعت نفوذ جرمی $$\large \dot {m} _{\text {diff}}$$ مربوط به گونه $$\large A$$ در یک ماده ایستا و در جهت $$\large x$$، با گرادیان غلظت $$\large \frac {\text {d} C}{\text {d} x}$$ در همان جهت متناسب است و با قانون نفوذ فیک (Fick's Law of Diffusion) تعریف می‌شود.

$$\large \dot {m} _{\text {diff}} \:=\: -\:D_ {AB} \times A \frac {\text {d} C_A}{\text {d} x}$$

مفهوم تولید گرما در انتقال جرم و حرارت

تولید گرما به تبدیل شکلی از انرژی مانند انرژی الکتریکی، شیمیایی یا هسته‌ای به انرژی حرارتی گفته می‌شود. تولید گرما در ماده اتفاق می‌افتد و مشخصه آن نیز افزایش دما است. به طور مشابه، در برخی از مسائل انتقال جرم، واکنش‌هایی در داخل ماده رخ می‌دهد که نتیجه آن تولید یک فرآورده جدید است. بنابراین، تولید گونه، یک پدیده حجمی (Volumetric Phenomenon) است و سرعت تولید آن ممکن است در نقاط مختلف ماده با هم تفاوت داشته باشد.

این واکنش‌های شیمیایی که درون ماده اتفاق می‌افتند، واکنش‌های همگن نامیده شده و معادل تولید گرما به حساب می‌آیند. در مقابل، برخی واکنش‌های شیمیایی دیگر، به دلیل تماس بین ماده و محیط اطراف، روی سطح ماده به وقوع می‌پیوندند. این واکنش‌ها منجر به تولید گونه‌ای در روی سطح ماده می‌شوند. مواردی از این قبیل، پدیده سطحی (Surface Phenomenon) نام دارند و باید مانند یک شرط مرزی با آنها رفتار شود. در مطالعات انتقال جرم چنین واکنش‌هایی، واکنش‌های ناهمگون نامیده شده و با شار حرارتی از سطح معادل هستند.

مفهوم جابجایی در انتقال جرم و حرارت

سرعت انتقال حرارت جابجایی برای جریان خارجی را می‌توان با استفاده از قانون سرمایش نیوتن بیان کرد.

$$\large \dot {Q} _{ \text {conv}} \:=\: h_ {\text {conv}} A_s (T_s \:-\: T_ {\infty})$$

در رابطه بالا، $$\large h_ {\text {conv}}$$ ضریب انتقال حرارت و $$\large A_s$$ هم اندازه سطح است. اختلاف دما در لایه مرزی حرارتی را نیز با $$\large T_s \:-\: T_ {\infty}$$ نشان داده‌ایم. به طور مشابه می‌توان سرعت جابجایی جرمی را نیز با رابطه زیر تعریف کرد.

$$\large \dot {m}_ {\text {conv}} \:=\: h_ {\text {mass}} A_s (\large C_s \:-\: C_ {\infty})$$

در این رابطه، $$\large h_ {\text {mass}}$$ ضریب انتقال جرم و $$\large A_s$$ هم اندازه سطح است. همچنین اختلاف غلظت را در لایه مرزی غلظت با $$\large C_s \:-\: C_ {\infty}$$ نشان داده‌ایم.

نفوذ جرمی چیست

براساس قانون نفوذ فیک که در سال ۱۸۵۵ میلادی معرفی شد، سرعت نفوذ یک گونه شیمیایی در نقطه‌ای از یک مخلوط گازی (یا محلول مایع یا جامد) با گرادیان غلظت آن گونه در همان نقطه متناسب است. دو روش رایج برای بیان غلظت یک گونه وجود دارد؛ یکی غلظت جرمی و دیگری غلظت مولار.

غلظت جرمی

غلظت جرمی براساس چگالی بیان می‌شود و برابر با جرم در واحد حجم است. حجم کوچک $$\large V$$ را در قسمتی از یک مخلوط در نظر بگیرید. اگر چگالی جزئی هریک از گونه‌ها ($$\large i$$) را در آن قسمت، با $$\large \rho _i \:=\: m_i /V$$ نشان دهیم، چگالی کل مخلوط در آن قسمت به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large \rho \:=\: m/V \:=\: \sum_{} m_i /V \:=\: \sum_{} \rho _i$$

بنابراین چگالی مخلوط در هر قسمت با مجموع چگالی گونه‌های تشکیل دهنده آن در همان قسمت برابر است. غلظت جرمی را می‌توان به صورت عددی بی‌بُعد و تحت عنوان کسر جرمی (Mass Fraction) و با نماد $$\large \text {w}$$ هم نشان داد. کسر جرمی هریک از گونه‌ها به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large \text {w}_i \:=\: \frac {m_i} {m} \:=\: \frac {m_i /V} {m/V} \:=\: \frac {\rho _i} {\rho}$$

غلظت مولار

$$\large C\:=\: N /V \:=\: \sum_{} N_i /V \:=\: \sum_{} C_i$$

$$\large y_i \:=\: \frac {N_i} {N} \:=\: \frac {N_i /V} {N/V} \:=\: \frac {C_i} {C}$$

$$\large m\:=\: NM$$

ضمناً رابطه بالا در واحد حجمی به شکل $$\large \rho =CM$$ تبدیل می‌شود. زیرا همان‌طور که می‌دانید، جرم هر یک کیلومول از ماده برابر با $$\large M$$ کیلوگرم است. در نتیجه، جرم $$\large N$$ کیلومول از آن ماده برابر با $$\large NM$$ کیلوگرم خواهد بود. در نتیجه می‌توانیم غلظت‌های جرمی و مولار ماده را با رابطه‌های زیر به ترتیب برای هریک از گونه‌ها و کل مخلوط، به یکدگیر تبدیل کنیم.

$$\large C_i \:=\: \frac {\rho _i} {M_i} \\~\\ \large C \:=\: \frac {\rho} {M}$$

برای به دست آوردن جرم مولی مخلوط که با $$\large M$$ نشان داده شده است، می‌توانیم به طریق زیر عمل کنیم.

$$\large M\:=\: \frac {m} {N} \:=\: \frac {\sum_{} N_i M_i} {N} \:=\: \sum_{} \frac {N_i} {N} M_i \:=\: \sum_{} y_i M_i$$

رابطه بین کسرهای جرمی و مولی مربوط به هریک از گونه‌های این مخلوط نیز به صورت زیر است.

$$\large \text {w}_i \:=\: \frac {\rho _i} {\rho} \:=\: \frac {C_i M_i} {CM} \:=\: y_i \frac {M_i} {M}$$

در این قسمت، دو روش برای بیان غلظت معرفی شد. همان‌طور که مشاهده کردید، هر دو روش با هم معادل هستند. از این رو، نوع خواسته‌های هر مسأله مشخص می‌کند که از کدام‌یک باید استفاده شود.

قانون نفوذ فیک

همان‌طور که می‌دانیم، سرعت نفوذ جرمی یک گونه شیمیایی در ماده‌ای راکد و در یک جهت مشخص، با گرادیان غلظت محلی در همان جهت متناسب است. این رابطه خطی بین سرعت نفوذ و گرادیان غلظت در سال ۱۸۵۵ میلادی توسط فیک (Fick) به عنوان قانون نفوذ فیک و به صورت زیر تعریف شد.

شار جرمی $$\large =$$ گرادیان غلظت $$\large \times$$ ثابت تناسب

فیلم آموزش انتقال‌ جرم – پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

ولی غلظت یگ گونه را در یک مخلوط گازی یا محلول مایع یا جامد، می‌توانیم به چند شیوه از قبیل چگالی، کسر جرمی، غلظت مولار و کسر مولی بیان کنیم. پس قانون فیک را می‌توان به چند روش ریاضی تعریف کرد. اما بهترین راه برای ارائه آن، به صورت گرادیان غلظت و برحسب کسر جرمی یا مولی است. یکی از فرمول‌های متداول قانون فیک برای نفوذ گونه $$\large A$$ در مخلوط دوتایی و ایستای تشکیل شده از گونه‌های $$\large A$$ و $$\large B$$ در جهت $$\large x$$ به دو صورت زیر به ترتیب براساس غلظت جرمی و غلظت مولار نشان داده می‌شود.

$$\large j_ {\text {diff, A}} \:=\: \frac {\dot {m} _{\text {diff, A}}} {A} \:=\: -\: \rho D_ {AB} \frac {\text {d} (\rho_A /\rho)} {\text {d}x} \:=\: -\: \rho D_{AB} \frac {\text {d} \text {w}_A} {\text {d} x} ~~~ ~~~ ~~~ (kg/s \:.\: m^2) \\~\\ \large \overline{j}_ {\text {diff, A}} \:=\: \frac {\dot {N} _{\text {diff, A}}} {A} \:=\: -\: CD_ {AB} \frac {\text {d} (C_A /C)} {\text {d}x} \:=\: -\: CD_{AB} \frac {\text {d} y_A} {\text {d} x} ~~~ ~~~ ~~~ (kmol/s \:.\: m^2)$$

در رابطه‌های بالا، $$\large j_ {\text {diff, A}}$$ شار جرمی نفوذی مربوط به گونه $$\large A$$ است و به صورت انتقال جرم از طریق نفوذ در واحد زمان و در واحد سطح مقطع عمود به جهت انتقال جرم تعریف شده و با واحد اندازه‌گیری $$\large kg/s \:.\: m^2$$ بیان می‌شود. در رابطه بعدی نیز، $$\large \overline{j}_ {\text {diff, A}}$$ شار مولی نفوذی است که به طریق مشابه و با واحد اندازه‌گیری $$\large kmol/s \:.\: m^2$$ تعریف می‌شود. شار جرمی یک گونه در یک موقعیت مشخص، با چگالی مخلوط در آن موقعیت متناسب است. توجه کنید که چگالی مخلوط دوتایی، برابر با $$\large \rho= \rho_A + \rho_B$$ و غلظت مولار آن نیز برابر با $$\large C= C_A + C_B$$ است و این مقادیر در حالت کلی، در قسمت‌های مختلف مخلوط، متغیر است. بنابراین می‌توانیم روابط زیر را بدین منظور بنویسیم.

$$\large \rho \text {d}( \rho_A /\rho) \neq \text {d} \rho _A \\~\\ \large C \text {d}( C_A /C) \neq \text {d} C _A$$

ولی در حالت خاصی که چگالی و غلظت مولار مخلوط ثابت باشد، رابطه‌های قانون فیک به شکل زیر ساده می‌شوند.

$$\large j_ {\text {diff, A}} \:=\: -\: D_{AB} \frac {\text {d} \rho_A} {\text {d} x} ~~~ ~~~ ~~~ (kg/s \:.\: m^2) \\~\\ \large \overline{j}_ {\text {diff, A}} \:=\: -\: D_{AB} \frac {\text {d} C_A} {\text {d} x} ~~~ ~~~ ~~~ (kmol/s \:.\: m^2)$$

مثال ۱: تعیین کسر جرمی با استفاده از کسر مولی

سؤال: ساختار اتمسفر استانداردِ خشک برحسب مول و به صورت $$\large 78.1$$ درصد $$\large \text {N} _2$$، $$\large 20.9$$ درصد $$\large \text {O} _2$$ و $$\large 1.0$$ درصد $$\large \text {Ar}$$ داده شده است. کسر جرمی گونه‌های تشکیل دهنده هوا را محاسبه کنید.

پاسخ: جرم مولی مولکول‌های $$\large \text {N} _2$$، $$\large \text {O} _2$$ و $$\large \text {Ar}$$ به ترتیب برابر با $$\large 28.0$$، $$\large 32.0$$ و $$\large 39.9$$ کیلوگرم بر کیلومول است. در نتیجه جرم مولی هوا به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large M\:=\: \sum_{} y_i M_i \:=\: 0.781 \times 28.0 \:+\: 0.209 \times 32.0 \:+\: 0.01 \times 39.9 \:=\: 29.0\: kg/ kmol$$

حالا می‌توانیم کسرهای جرمی گازهای تشکیل دهنده هوا را تعیین کنیم.

$$\large \text {w}_ {N_2} \:=\: y_ {N_2} \frac {M_ {N_2}} {M} \:=\: (0.781) \frac {28.0} {29.0} \:=\: 0.754 \\~\\ \large \text {w}_ {O_2} \:=\: y_ {O_2} \frac {M_ {O_2}} {M} \:=\: (0.209) \frac {32.0} {29.0} \:=\: 0.231 \\~\\ \large \text {w}_ {Ar} \:=\: y_ {Ar} \frac {M_ {Ar}} {M} \:=\: (0.01) \frac {39.0} {29.0} \:=\: 0.014$$

شرایط مرزی در انتقال جرم

همان‌طور که پیش‌تر هم گفتیم، معادله نفوذ جرمی، شباهت زیادی با معادله نفوذ حرارت (رسانش) دارد. در نتیجه برای تعیین توزیع غلظت هریک از گونه‌ها در یک ماده، باید بتوانیم شرایط مرزی را نیز مقایسه کنیم. دو شرط مرزی متداول عبارتند از ۱) غلظت مشخص گونه‌ها (که با دمای مشخص، معادل است) و ۲) شار مشخص گونه‌ها (که با شار حرارتی مشخص، معادل است).

فیلم آموزش انتقال جرم و توزیع غلظت در جریان متلاطم در فرادرس

کلیک کنید

اما با وجود شباهت ظاهری، تفاوتی مهم بین دما و غلظت وجود دارد. دما لزوماً یک تابع پیوسته است ولی غلظت در حالت کلی این‌طور نیست. به عنوان مثال، دمای دیوار و دمای هوا روی سطح دیوار، همیشه یکسان است. اما در سوی مقابل، بدیهی است که غلظت هوا در دو طرف سطح تماس آب -- هوا، تفاوت بسیاری دارد. در واقع، غلظت هوا در آب، نزدیک به صفر است. شکل زیر را در نظر بگیرید. غلظت آب در دو طرف سطح تماس آب -- هوا، حتی اگر آب در حالت اشباع باشد، با هم متفاوت است.

از این رو، هنگامی که می‌خواهیم یک شرط مرزی را تعیین کنیم، تعیین موقعیت به تنهایی کافی نیست و باید مشخص کنیم که در مورد کدام طرف سطح تماس صحبت می‌کنیم. بدین منظور، دو سطح فرضی را در دو طرف سطح تماس و با فاصله بی‌نهایت نزدیک به آن، در نظر می‌گیریم.

با استفاده از قانون فیک، شرط مرزی شار ثابت برای گونه در حال نفوذ $$\large A$$ در مرز $$\large x=0$$ (در غیاب هرگونه مکش یا دمش) به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large -\:CD _{AB} \frac {\text {d}y _{A}} {\text {d}x}|_ {x=0} \:=\: \overline{j} _{A, \:0} \\~\\ \large -\:\rho D _{AB} \frac {\text {d} \text {w} _{A}} {\text {d}x}|_ {x=0} \:=\: j _{A, \:0}$$

در رابطه بالا، $$\large \overline{j} _{A, \:0}$$ و $$\large j _{A, \:0}$$ به ترتیب، شار مولی و جرمی گونه $$\large A$$ در مرز هستند. در حالتی خاص که شار جرمی برابر صفر شود ($$\large \overline{j} _{A, \:0} = j _{A, \:0}=0$$)، با سطحی نفوذ‌ناپذیر مواجه خواهیم بود که معادل رابطه زیر است.

$$\large \frac {\text {d} y_A (0)} {\text {d}x} \:=\: \frac {\text {d} \text {w}_A (0)} {\text {d}x} \:=\:0$$

مثال ۲: کسر مولی بخار آب در سطح دریاچه

سؤال: با توجه به شکل زیر، کسر مولی بخار آب را در سطح دریاچه‌ای که دمای آن