انتقال نیرو توسط میله های دایره‌ ای – به زبان ساده

در مباحث «پیچش»، «پیچش و تغییر شکل‌های ناشی از آن»، «تحلیل میله‌های تحت پیچش»، «پیچش غیر یکنواخت» و «تعیین مؤلفه‌های تنش و کرنش در بارگذاری پیچشی»، به معرفی مفهوم پیچش و نحوه تعیین مؤلفه‌های مرتبط با آن پرداختیم. در این مقاله شما را با یکی از مهم‌ترین کاربردهای مفهوم پیچش در مسائل مهندسی آشنا خواهیم کرد. در انتها نیز به منظور آشنایی با نحوه به کارگیری مفاهیم و روابط ارائه شده، به تشریح چند مثال کاربردی خواهیم پرداخت.

یکی از مهم‌ترین کاربردهای میله‌های دایره‌ای، انتقال نیروی مکانیکی از یک دستگاه به دستگاه دیگر است. نحوه عملکرد این میله‌ها را می‌توان در میل‌لنگ خودرو، شفت پروانه کشتی یا محور دوچرخه به خوبی مشاهده کرد. نیروی به وجود آمده در این سیستم‌ها توسط حرکت دورانی شفت به قطعات دیگر منتقل می‌شود. میزان نیروی انتقال‌یافته به مقدار گشتاور پیچشی و سرعت چرخش بستگی دارد. یکی از مسائل متداول در این مبحث، یافتن حداقل ابعاد مورد نیاز شفت برای انتقال مقدار مشخصی از نیرو بدون عبور از تنش‌های مجاز است (مثال 1 در انتهای مقاله).

شفت متصل به موتور

شکل زیر، یک شفت متصل به موتور را نمایش می‌دهد که با سرعت زاویه‌ای ω می‌چرخد. وظیفه شفت، انتقال گشتاور پیچشی T از موتور به یک قطعه خارجی و انجام کار مفید است. جهت گشتاوری که از سمت شفت به قطعه خارجی اعمال می‌شود با جهت سرعت زاویه‌ای مطابقت دارد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

به این ترتیب، بردار این گشتاور به سمت چپ خواهد بود. اگرچه، بردار نمایش داده شده در شکل زیر، گشتاور اعمال شده از قطعه خارجی بر شفت را نمایش می‌دهد. به همین دلیل، جهت بردار آن به سمت راست است.

توجه: سرعت زاویه‌ای با واحد رادیان بر ثانیه (rad/s) بیان می‌شود.

به طور کلی، کار انجام شده توسط اعمال یک گشتاور ثابت با حاصل‌ضرب گشتاور در زاویه پیچش برابری می‌کند:

W: کار انجام شده؛ T: گشتاور اعمال شده؛ ψ: زاویه دوران بر حسب رادیان

«توان» (Power)، کمیتی است که نرخ کار انجام شده را نمایش می‌دهد:

P: توان؛ t: زمان

نرخ تغییرات جابجایی زاویه‌ای نسبت به زمان (dψ/dt) با کمیت سرعت زاویه‌ای ω نمایش داده می‌شود. به این ترتیب، رابطه بالا به فرم زیر درمی‌آید:

این رابطه، میزان توان انتقال‌یافته توسط یک شفت در حال دوران تحت گشتاور ثابت T را تعیین می‌کند. اگر گشتاور پیچشی بر حسب نیوتن متر (N.m) بیان شود، توان با واحد وات (W) بیان خواهد شد. یک وات با یک نیوتن متر بر ثانیه (N.m/s) یا یک ژول بر ثانیه (J/s) برابر است. در سیستم یکاهای آمریکایی، گشتاور پیچشی با واحد فوت-پوند (ft-lbf) و توان با واحد فوت-پوند بر ثانیه (ft-lbf/s) بیان می‌شود.

به منظور تعیین سرعت زاویه‌ای، معمولاً فرکانس دوران (تعداد دوران صورت گرفته نسبت به واحد زمان) مورد اندازه‌گیری قرار می‌گیرد. واحد فرکانس، هرتز (Hz) و برابر با دوران بر ثانیه (s^-1) است. اگر زاویه یک دوران کامل را 2π در نظر بگیریم، سرعت زاویه‌ای با استفاده از رابطه زیر به دست خواهد آمد:

به این ترتیب، رابطه توان نیز به صورت زیر تغییر می‌کند:

یکی دیگر از واحدهای پرکاربرد برای بیان سرعت زاویه، دور بر دقیقه (rpm) است. این واحد با حرف n نمایش داده می‌شود:

و

توجه: واحد کمیت‌های P و T در روابط بالا باید با واحد آن‌ها در رابطه P=Tω یکسان باشد.

مهندسین آمریکایی در برخی از موارد توان را بر حسب اسب بخار (hp) بیان می‌کنند. این واحد با 550 فوت-پوند بر ثانیه برابر است. برای محاسبه توان یک شفت در حال دوران بر اساس واحد اسب بخار می‌توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

یک اسب بخار معادل 746 وات است. روابط ارائه شده در این مقاله، ارتباط بین گشتاور پیچشی درون شفت و توان انتقال‌یافته توسط آن را مشخص می‌کنند. با تعیین گشتاور پیچشی، امکان محاسبه تنش‌های برشی، کرنش‌های برشی، زاویه پیچش و دیگر کمیت‌های مورد نظر فراهم می‌شود.

مثال‌های کاربردی

به منظور آشنایی با نحوه به کارگیری روابط ارائه شده در مسائل مرتبط با انتقال نیرو توسط شفت‌های دایره‌ای، به تشریح دو مثال کاربردی می‌پردازیم.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۱ و ۲ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال 1

سیستم نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. در این سیستم، موتور باعث چرخش میله فولادی توپر و انتقال توان 40 اسب بخار به چرخ‌دنده B می‌شود. اگر تنش برشی مجاز فولاد، 6000psi باشد؛

• الف) قطر مورد نیاز شفت (d) برای تحمل چرخش 500 دور بر دقیقه (rpm) چقدر خواهد بود؟
• ب) قطر مورد نیاز شفت برای تحمل چرخش 3000 دور بر دقیقه چقدر خواهد بود؟

الف) چرخش 500 دور بر دقیقه

با در اختیار داشتن مقادیر توان و سرعت دوران، گشتاور پیچشی اعمال شده بر روی شفت قابل محاسبه خواهد بود. به این منظور معادله زیر را حل می‌کنیم:

این گشتاور از طریق موتور و توسط شفت به چرخ‌دنده B انتقال می‌یابد. حداکثر تنش برشی موجود در شفت نیز با استفاده از رابطه پیچش برای لوله‌های دایره‌ای و به صورت زیر تعیین می‌شود:

با جایگذاری τ_allow به جای τ_max در رابطه بالا و حل آن نسبت به کمیت d، خواهیم داشت:

به این ترتیب، حداقل قطر مورد نیاز شفت برای چرخش 500 دور بر دقیقه برابر است با:

با در نظر گرفتن این مقدار به عنوان قطر حداقلی شفت، تنش برشی ایجاد شده در آن از مقدار مجاز عبور نخواهد کرد.

ب) چرخش 3000 دور بر دقیقه

همانند روش استفاده در بخش الف، مقادیر گشتاور پیچشی و قطر d برای چرخش 3000 دور بر دقیقه به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

این قطر نسبت به قطر به دست آمده در بخش الف کمتر است. به همین دلیل می‌توان نتیجه گرفت که هرچه سرعت دوران بیشتر باشد، ابعاد مورد نیاز برای شفت کوچک‌تر خواهد بود (با فرض برابر بودن توان و تنش مجاز).

مثال 2

شکل زیر، یک شفت فولادی توپر با قطر 50 میلی‌متر را نمایش می‌دهد که در نقطه A به یک موتور متصل شده است. موتور توان 50 کیلو وات را با فرکانس 10 هرتز به شفت انتقال می‌دهد. چرخ‌دنده‌های B و C باعث حرکت دستگاه‌هایی می‌شوند که به ترتیب نیازمند توان 35 کیلو وات و 15 کیلو وات هستند. با توجه به شرایط مسئله، تنش برشی ماکسیمم درون شفت و زاویه پیچش بین موتور در نقطه A و چرخ‌دنده C را محاسبه کنید. (مدول برشی را برابر با 80 مگا پاسکال قرار دهید.)

گشتاورهای اعمال شده روی شفت

برای شروع تحلیل و حل مسئله، ابتدا گشتاورهای اعمال شده توسط موتور و چرخ‌دنده‌ها بر روی شفت را تعیین می‌کنیم. توان 50 کیلو واتی موتور در فرکانس 10 هرتز باعث به وجود آمدن گشتاور پیچشی T_A در انتهای شفت (نقطه A) می‌شود. مقدار این گشتاور با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

P: توان؛ f: فرکانس

به همین ترتیب، مقادیر گشتاورهای اعمال شده از طرف چرخ‌دنده‌ها به شفت (T_B و T_C) به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

در شکل زیر، نمودار جسم آزاد این گشتاورها نمایش داده شده است.

توجه داشته باشید که راستای گشتاورهای اعمال شده توسط چرخ‌دنده‌ها در خلاف جهت گشتاورهای اعمال شده توسط موتور است. برای درک بهتر این موضوع، گشتاور T_A را به عنوان بارِ اعمال شده توسط موتور بر روی شفت و گشتاورهای T_B و T_C را به عنوان عکس‌العمل‌های چرخ‌دنده‌ها در نظر بگیرید. اکنون می‌توانیم با استفاده از نمودار جسم آزاد، گشتاورهای داخلی در دو بخش را مورد محاسبه قرار دهیم:

شکل زیر، نمودار گشتاور پیچشی در طول شفت را نمایش می‌دهد.

با توجه به اینکه هر دو گشتاور در جهت یکسان اعمال می‌شوند (هر دو مثبت هستند)، در هنگام تعیین زاویه پیچش کل باید زوایای پیچش بخش‌های AB و BC را با هم جمع کرد.

تنش‌های برشی و زوایای پیچش

تنش برشی و زاویه پیچش در بخش AB به صورت عادی و با استفاده از روابط زیر تعیین می‌شود:

کمیت‌های مربوط به بخش BC نیز به همین ترتیب به دست می‌آیند:

به این ترتیب، تنش برشی ماکسیمم در بخش AB رخ می‌دهد و مقدار آن برابر است با:

علاوه بر این، زاویه پیچش بین انتهای A و چرخ‌دنده C نیز به صورت زیر تعیین می‌شود:

در شکل زیر، نمودار جابجایی پیچشی در طول شفت نمایش داده شده است. همان‌گونه که پیش از این توضیح داده شد، به دلیل یکسان بودن جهت دوران هر دو بخش شفت، زوایای پیچش آن‌ها با هم جمع می‌شوند.

^^