تعیین مولفه های تنش و کرنش در حالت برش خالص – آموزش جامع

هنگامی که یک میله یا لوله دایره‌ای شکل در معرض پیچش قرار می‌گیرد، تنش‌های برشی بر روی مقاطع عرضی و طولی آن ایجاد می‌شوند. در مبحث «تحلیل میله‌های تحت پیچش»، جهت‌گیری و مقدار تنش‌های برشی مربوط به شرایط بارگذاری پیچشی را مورد بررسی قرار دادیم. در این مقاله، به معرفی نحوه تعیین مؤلفه‌های تنش و کرنش در حالت برش خالص خواهیم پرداخت. در انتها نیز به منظور آشنایی بیشتر با روابط ارائه شده، یک مثال را تشریح خواهیم کرد.

المان تنش در بارگذاری پیچشی

المان تنش نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. این المان از میان دو مقطع عرضی در یک میله تحت پیچش انتخاب شده است. به دلیل اعمال تنش‌های برشی بر روی چهار طرف المان abcd و عدم وجود تنش‌های نرمال، abcd در حالت برش خالص قرار دارد.

تنش‌های اعمال شده بر روی المان تنش جدا شده از یک میله تحت پیچش (برش خالص)

جهت‌گیری تنش‌های برشی موجود در المان abcd به جهت اعمال گشتاور پیچشی T بستگی دارد. در این مثال فرض می‌کنیم که گشتاورهای اعمال شده باعث دوران ساعت‌گرد انتهای سمت راست میله می‌شوند.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

به این ترتیب، جهت‌گیری تنش‌های برشی مطابق شکل بالا خواهد بود. وضعیت تنش برای المان‌های داخل میله نیز مشابه وضعیت المان abcd است؛ با این تفاوت که به دلیل کوچک‌تر بودن فاصله شعاعی المان‌های داخلی تا مرکز میله، مقدار تنش‌های موجود بر روی این المان‌ها کوچک‌تر از مقدار تنش‌های موجود بر روی المان‌های سطحی خواهد بود. به طور کلی، قواعد علامت‌گذاری تنش‌های برشی به صورت زیر بیان می‌شوند:

• اگر تنش برشی موجود بر روی یک صفحه مثبت در جهت مثبت محورهای مختصات اعمال شود، علامت آن تنش مثبت خواهد بود.
• اگر تنش برشی موجود بر روی یک صفحه مثبت در جهت منفی محورهای مختصات اعمال شود، علامت آن تنش منفی خواهد بود.
• اگر تنش برشی موجود بر روی یک صفحه منفی در جهت منفی محورهای مختصات اعمال شود، علامت آن تنش مثبت خواهد بود.
• اگر تنش برشی موجود بر روی یک صفحه منفی در جهت مثبت محورهای مختصات اعمال شود، علامت آن تنش منفی خواهد بود.

با در نظر گرفتن این قواعد برای علامت‌گذاری تنش‌های برشی اعمال شده بر روی المان بالا، مشاهده می‌کنیم که علامت هر چهار تنش برشی، مثبت است. به عنوان مثال، تنش برشی موجود بر روی صفحه سمت راست (صفحه مثبت x) در جهت مثبت محور y اعمال می‌شود. تنش برشی موجود بر روی صفحه سمت چپ (صفحه منفی x) نیز در جهت منفی محور y اعمال می‌شود. با توجه به قواعد علامت‌گذاری، علامت هر دو تنش مثبت خواهد بود. این موضوع برای دو تنش دیگر نیز صدق می‌کند.

تنش‌های موجود بر روی صفحات مورب

اکنون می‌توانیم تنش‌های اعمال شده بر روی صفحات مورب المان‌های تحت برش خالص را تعیین کنیم. روش اتخاذ شده در این بخش همانند مطالب ارائه شده در مبحث «آشنایی با نحوه تعیین مؤلفه‌های تنش بر روی صفحات مورب» است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح 1 و 2 – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

برای شروع تحلیل، المان دوبعدی زیر را در نظر بگیرید. رسم المان دوبعدی به منظور سادگی تحلیل صورت می‌گیرد. باید توجه داشته باشید که المان مورد بررسی در راستای عمود بر صفحه نیز دارای بعد (ضخامت) است.

در مرحله بعد، المان مربعی را تحت زاویه θ نسبت به محور x برش می‌دهیم (شکل زیر). به این ترتیب، یک المان تنش گوه‌ای (مثلثی) به وجود می‌آید. تنش‌های نرمال (σ_θ) و برشی (τ_θ) بر روی صفحه مورب این المان اعمال می‌شوند. قواعد علامت‌گذاری برای تنش‌های برشی اعمال شده بر روی صفحات مورب (τ_θ) با قواعد علامت‌گذاری برای تنش‌های برشی اعمال شده بر روی صفحات یک المان مکعبی (τ) متفاوت است.

اگر جهت تنش برشی موجود بر روی صفحات مورب به صورت ساعت‌گرد باشد، علامت آن مثبت در نظر گرفته خواهد شد. علاوه بر این، علامت مثبت برای تنش‌های نرمال کششی و علامت منفی برای تنش‌های نرمال فشاری مورد استفاده قرار می‌گیرد.

با توجه به نکات ارائه شده، صفحات عمودی و افقی المان مثلثی بالا دارای تنش‌های برشی مثبت و صفحه مورب آن دارای تنش‌های نرمال و برشی مثبت خواهند بود. اکنون با در نظر گرفتن تعادل المان مثلثی می‌توانیم تنش‌های σ_θ و τ_θ را تعیین کنیم. نیروهای اعمال شده بر روی هر صفحه از حاصل‌ضرب تنش در مساحت به دست می‌آید. به عنوان مثال، نیروی اعمال شده بر روی صفحه سمت چپ با حاصلِ τA₀ برابر است.

A₀، مساحت صفحه عمودی را نمایش می‌دهد. با توجه به نمودار جسم آزاد نمایش داده شده در شکل زیر، این نیرو در جهت منفی محور y اعمال می‌شود. به دلیل ثابت بودن ضخامت المان در راستای z، مساحت صفحه پایینی از رابطه A₀tanθ و مساحت صفحه مورب از رابطه A₀secθ به دست می‌آید. با ضرب تنش‌های موجود در مساحت صفحات دربرگیرنده آن‌ها و تعیین نیروهای باقیمانده، نمودار جسم آزاد المان مثلثی کامل می‌شود.

پس از رسم نمودار جسم آزاد می‌توانیم دو معادله تعادل را برای المان مثلثی بنویسیم. معادله اول در جهت σ_θ و معادله دوم در جهت τ_θ خواهد بود. در هنگام نوشتن این معادلات باید نیروهای موجود بر روی صفحات سمت چپ و پایین المان را به مؤلفه‌های هم‌جهت با σ_θ و τ_θ تجزیه کنیم. به این ترتیب با جمع نیروهای موجود در راستای σ_θ، خواهیم داشت:

یا

معادله دوم از جمع نیروهای موجود در راستای τ_θ به دست می‌آید:

یا

با استفاده از روابط مثلثاتی می‌توانیم این معادلات را به فرم ساده‌تری بازنویسی کنیم:

با استفاده از معادلات بالا، امکان محاسبه تنش‌های نرمال و برشی اعمال شده بر روی صفحه مورب، با توجه به مقادیر تنش برشی τ بر روی صفحات x و y و زاویه θ فراهم می‌شود. شکل زیر، نحوه تغییرات تنش‌های σ_θ و τ_θ نسبت به زاویه θ را در قالب یک نمودار نمایش می‌دهد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به این نمودار، مقدار تنش نرمال و برشی در صفحه سمت راست المان تنش (θ=0) به ترتیب برابر با σ_θ=0 و τ_θ=τ است. به دلیل اعمال پادساعت‌گرد تنش برشی τ، علامت تنش برشی τ_θ باید مثبت باشد. این موضوع با علامت نمایش داده شده در نمودار مطابقت دارد.

نمودار تغییرات تنش‌های نرمال σθ و تنش‌های برشی τθ در برابر زاویه صفحه مورب (θ)

برای صفحه بالایی المان (θ=90)، مقادیر تنش برابر با σ_θ=0 و τ_θ=-τ خواهند بود. علامت منفی در τ_θ، بیانگر ساعت‌گرد بودن جهت اعمال این تنش است. توجه داشته باشید که بزرگ‌ترین مقادیر عددی تنش‌های برشی در زوایای θ=0 و θ=90 و همچنین صفحات مقابل آن‌ها، یعنی θ=180 و θ=270 رخ می‌دهند.

با توجه به نمودار، تنش نرمال σ_θ در زاویه θ=45 به مقدار ماکسیمم خود می‌رسد. در این زاویه، تنش نرمال دارای علامت مثبت (کشش) و مقدار عددی τ است. به همین ترتیب، σ_θ در زاویه θ=-45 به مقدار مینیمم خود می‌رسد. در این زاویه، تنش مذکور دارای علامت منفی (فشار) و مقدار عددی τ- است. مقدار تنش برشی τ_θ در هر دو زاویه 45 برابر با صفر خواهد بود.

شکل زیر، المان تنش دوران یافته تحت زوایای θ=0 و θ=45 را نمایش می‌دهد. بر اساس این شکل، المان دوران یافته تحت زاویه 45 درجه در معرض تنش‌های کششی و فشاری برابر قرار دارد. تنش‌های کششی در راستای عمود بر تنش‌های فشاری اعمال می‌شوند. به علاوه، هیچ تنش برشی در این المان به وجود نمی‌آید.

توجه داشته باشید که تنش‌های نرمال اعمال شده بر روی المان دوران یافته (شکل سمت راست) در اثر اعمال تنش‌های برشی τ بر روی المان اولیه (شکل سمت چپ) به وجود می‌آیند. در صورتی که جهت اعمال تنش‌های برشی المان اولیه برعکس شود، جهت تنش‌های نرمال المان دوران یافته نیز تغییر خواهد کرد. اگر یک المان تنش تحت زاویه‌ای به غیر از 45 دوران کند، هم تنش‌های نرمال و هم تنش‌های برشی بر روی صفحات مورب آن اعمال خواهند شد.

معادلات این بخش برای المان‌های تنش در حالت برش خالص معتبر هستند و به نوع سازه مورد بررسی بستگی ندارند. به علاوه، این معادلات برای تمام مواد (الاستیک یا غیر الاستیک، خطی یا غیر خطی) کاربرد دارند؛ چراکه به منظور تعیین آن‌ها تنها از معادلات تعادل کمک گرفته شده است. در هنگام اعمال بارهای پیچشی، ترک‌های ایجاد شده در مواد شکننده و مواد دارای مقاومت کششی پایین به صورت یک مارپیچ 45 درجه‌ای گسترش می‌یابند. علت این امر، وجود تنش‌های کششی ماکسیمم بر روی صفحاتی است که تحت زاویه 45 درجه دوران یافته‌اند. این رفتار را می‌توان در هنگام پیچاندن یک تکه گچ کلاسی به خوبی مشاهده کرد (مانند شکل زیر).

کرنش‌های موجود در حالت برش خالص

در این بخش می‌خواهیم کرنش‌های موجود بر روی یک المان تحت برش خالص را مورد بررسی قرار دهیم. برای شروع تحلیل، المان نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. کرنش برشی γ، میزان تغییر زاویه بین دو خط عمود در المان اولیه پس از اعمال بارگذاری را نمایش می‌دهد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۲ + مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

در المان زیر، میزان کاهش زاویه گوشه پایین-چپ المان به عنوان کرنش برشی γ در نظر گرفته می‌شود. اندازه‌گیری این کرنش بر حسب رادیان صورت می‌گیرد.

میزان کاهش زاویه گوشه بالا-راست و افزایش زاویه دو گوشه دیگر نیز با کرنش برشی γ برابر خواهد بود. با وجود این تغییرات، طول اضلاع المان در حین رخ دادن تغییر شکل‌های برشی ثابت باقی می‌ماند. بنابراین، شکل المان از یک متوازی‌السطوح قائم (شکل سمت چپ) به یک متوازی‌السطوح مایل (شکل سمت راست) تغییر می‌کند.

این تغییرات با عنوان «اعوجاج برشی» (Shear Distortion) شناخته می‌شود. اگر با ماده الاستیک خطی مواجه باشیم، رابطه بین کرنش برشی المان دوران یافته تحت زاویه θ=0 و تنش برشی آن با استفاده از قانون هوک برای مواد تحت برش به دست می‌آید:

G: مدول برشی

در مرحله بعد، کرنش‌های موجود بر روی المان دوران یافته تحت زاویه θ=45 را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید. در این حالت، تنش‌های کششی تمایل به افزایش طول المان در راستای 45 درجه دارند. به دلیل اثر پواسون، اعمال این تنش‌ها باعث کاهش طول المان در راستای عمود بر این راستا (135 یا 45-) نیز می‌شود.

به همین ترتیب، تنش‌های فشاری اعمال شده در زاویه 135 درجه تمایل به کاهش طول المان در راستای مذکور و افزایش طول آن در راستای 45 درجه دارند. تغییر ابعاد المان در شکل زیر قابل مشاهده است (خط‌چین‌ها). به دلیل عدم وجود انحراف برشی در این حالت، شکل المان تغییریافته به صورت یک متوازی‌السطوح قائم باقی می‌ماند.

اگر ماده مورد بررسی الاستیک خطی باشد و رفتار آن از قانون هوک پیروی کند، امکان تعیین رابطه بین تنش و کرنش اعمال شده بر روی المان دوران یافته تحت زاویه θ=45 وجود خواهد داشت. در این صورت، تنش کششی σ_max در زاویه θ=45 باعث ایجاد کرنش نرمال σ_max/E در همین راستا می‌شود.

با در نظر گرفتن σ_max=τ می‌توانیم این کرنش را با τ/E بیان کنیم. تنش σ_max علاوه بر τ/E راستای 45 درجه، کرنش ντ/E- در راستای عمود بر 45 درجه را نیز به وجود می‌آورد. ν، نسبت پواسون ماده را نمایش می‌دهد. به همین شکل، تنش σ_min=-τ در θ=-135 باعث ایجاد کرنشی برابر با τ/E- در همین راستا و کرنشی برابر با ντ/E در راستای عمود می‌شود. بنابراین، کرنش نرمال در زاویه 45 به صورت زیر به دست می‌آید:

مثبت بودن این رابطه، افزایش طول المان را نمایش می‌دهد. کرنش موجود در راستای عمود دارای مقداری برابر اما با علامت منفی است. به عبارت دیگر، برش خالص باعث ایجاد افزایش طول در راستای 45 درجه و کاهش طول در راستای 135 درجه می‌شود. این کرنش‌ها با شکل المان تغییریافته زیر مطابقت دارند.

رابطه زیر بین کرنش برشی و کرنش نرمال برقرار است:

در صورت مشخص بودن مقدار تنش برشی τ می‌توان با ادغام رابطه بالا با γ=τ/G، کرنش‌های برشی ماکسیمم و کرنش‌های نرمال ماکسیمم در حالت پیچش خالص را محاسبه کرد.

مثال

شکل زیر، یک لوله دایره‌ای با قطر خارجی 80 میلی‌متر و قطر داخلی 60 میلی‌متر را نمایش می‌دهد. این لوله در معرض گشتاور پیچشی 4 کیلو نیوتن در متر (kN.m) قرار دارد. با توجه به اطلاعات مسئله، موارد الف و ب را تعیین کنید.

• الف) تنش‌های برشی، کششی و فشاری ماکسیمم در لوله
• ب) کرنش‌های ماکسیمم به وجود آمده در اثر اعمال تنش‌های ماکسیمم

توجه: مدول برشی ماده تشکیل‌دهنده لوله را برابر با 27 گیگا پاسکال در نظر بگیرید.

الف) تنش‌های ماکسیمم

مقادیر ماکسیمم هر سه تنش برشی، کششی و فشاری از نظر عددی با هم برابر هستند. مقدار این تنش‌ها با استفاده از رابطه پیچش به دست می‌آید:

تنش‌های برشی ماکسیمم مطابق شکل زیر بر روی مقاطع عرضی و طولی المان تنش اعمال می‌شوند. در این المان، محور x با محور طولی میله موازی است.

تنش‌های کششی و فشاری ماکسیمم عبارت‌اند از:

مطابق شکل زیر، این تنش‌ها بر روی صفحات دوران یافته تحت زاویه 45 درجه نسبت به محور میله اعمال می‌شوند.

ب) کرنش‌های ماکسیمم

پس از تعیین تنش‌های ماکسیمم می‌توانیم کرنش برشی ماکسیمم موجود در لوله را نیز با استفاده از قانون هوک برای مواد تحت برش به دست آوریم:

در شکل زیر، تغییر شکل ناشی از کرنش برشی توسط خط‌چین نمایش داده شده است.

مقدار کرنش‌های نرمال ماکسیمم به صورت زیر محاسبه می‌شود: