مدار الکتریکی — از صفر تا صد

در مباحث گذشته وبلاگ فرادرس مفاهیمی بنیادین از علم فیزیک هم‌چون قانون کولن، پتانسیل الکتریکی، میدان الکتریکی توضیح داده شد. این مفاهیم پیش‌نیاز ابزاری است که در جای‌ جای زندگی روزمره ما هویدا است. آن‌چه که در مورد آن در حال صحبت هستیم، مدار الکتریکی نام دارد. در ادامه این مفهوم را به تفصیل توضیح خواهیم داد. در حالت کلی یک مدار از بیشمار ترانزیستور، دیود، خازن و دیگر اجزاء الکترونیکی ساخته شده. اما در این مطلب مفاهیم پایه‌ای مربوط به مدار الکتریکی را توضیح خواهیم داد.

مقدمه

پیش‌تر به مطلبی تحت عنوان پتانسیل الکتریکی پرداختیم. در مطلب مذکور گفتیم که اختلاف پتانسیل بیان کننده انرژی پتانسیل بوجود آمده ناشی از میدان الکتریکی در واحد بار الکتریکی است.

با این فرضیات، مطابق با انیمیشن زیر دو صفحه با بار مخالف را تصور کنید که توسط سیم رسانایی به یکدیگر متصل شده‌اند. از این رو بین آن‌ها میدان و در نتیجه پتانسیل الکتریکی بوجود می‌آید. بدیهی است که پس از اتصال این دو صفحه به یکدیگر، بار‌های دو صفحه یکدیگر را خنثی خواهند کرد.

بنابراین بار‌های الکتریکی برای زمان اندکی جریان می‌یابند. جهت تداوم این جریان بایستی دوباره به آن‌ها انرژی داده شود؛ از این رو توسط جزئی الکتریکی – مثلا باتری –  به بار‌ها انرژی داده شده و به‌طور مداوم مسیر بسته‌ای را طی می‌کنند. اگر این حرکت بار‌ها را همچون جریان سیال فرض می‌کنیم، می‌توان با قرار دادن اجزا مختلف در مسیر آن از این جریان کار تولید کرد.

برای نمونه در انیمیشن زیر با قرار دادن یک لامپ در مدار و عبور بار‌های الکتریکی از آن، انرژی بار‌ها به انرژی نورانی تبدیل شده ‌است.

این فرآیند دقیقا مشابه با عبور دادن جریان آب از توربین و تولید کار است. در شکل زیر شبیه‌سازی بین مدار الکتریکی و سیستم بسته مکانیکی که خروجی آن تولید کار است، نشان داده شده.

بنابراین مدار الکتریکی عبارت است از مسیر بسته‌ایی که بار‌های الکتریکی (الکترون) در آن جریان یافته و پس از عبور از چند جزء الکترونیکی هم‌چون خازن، مقاومت، ترانزیستور و غیره، کار مشخصی را انجام می‌دهند.

اگر دو یا چند جزء از مدار به یک اختلاف پتانسیل متصل باشد، اتصال مذکور، موازی تلقی می‌شود. همواره منبع تغذیه موجود در یک مدار به صورت موازی به آن متصل می‌شود. در شکل زیر دو منبع تغذیه در دو حالت متفاوت به یکدیگر متصل شده‌اند.

از طرفی در شکل سمت چپ، لامپ‌ها به طور موازی متصل شده و سمت راست اتصال سری – یا متوالی – را نشان می‌دهد. در یک مدار الکتریکی جهت نشان دادن هر جزء از نماد خاصی استفاده می‌شود. برای نمونه جدول زیر نماد‌های مربوط به سه جزء پرکاربرد را در مدار‌های الکتریکی نشان می‌دهد.

معمولا در یک مدار از اجزائی تحت عنوان کلید استفاده می‌شود. زمانی که کلید باز باشد، اتصال منبع تغذیه با مدار قطع و در صورت بسته بودن کلید‌، اتصال مذکور برقرار است.

نیروی محرکه

بدیهی است که به‌منظور برقراری دائم جریان الکتریکی، بایستی نیرویی خارجی وجود داشته باشد. برای نمونه در مثال توربین و جریان سیال، پس از عبور دادن جریان از توربین، توسط پمپ به سیال انرژی داده می‌شود و از سیال پر انرژی کار گرفته می‌شود.

معمولا منبع انرژی در یک مدار الکتریکی را «نیروی محرکه الکتریکی» (Electromotive Force) می‌نامند و به‌منظور نشان دادن آن از نماد ε استفاده می‌شود. باتری‌ها و سلول‌های خورشیدی نمونه‌های بارزی از نیروی محرکه الکتریکی هستند. در حقیقت نیروی محرکه الکتریکی، پمپی الکتریکی است که بار‌ها را از پتانسیل کمتر به پتانسیل بیشتر منتقل می‌کند. از نظر ریاضیاتی نیروی محرکه بصورت زیر تعریف می‌شود.

رابطه بالا انرژی مورد نیاز جهت جابجایی بارِ واحد، به پتانسیل بیشتر را بیان می‌کند. واحد کمیت ارائه شده در بالا، ولت (V) است.

در ساده‌ترین حالت، مطابق با شکل زیر مداری را در نظر بگیرید که از یک باتری و یک مقاومت الکتریکی تشکیل شده.

یکی از مشخصه‌های مهم یک باتری ولتاژ آن است. این عدد برابر با نیروی محرکه (ε) محسوب می‌شود. با اعمال اختلاف پتانسیل دو سر یک مدار، جریان الکتریکی و در نتیجه میدانی الکتریکی در مدار بوجود می‌آید. با توجه به این‌که بار‌های الکتریکی مسیر بسته‌ای را طی می‌کنند، در نتیجه کار خالصی رو آن‌ها انجام نمی‌شود. از نظر ریاضیاتی می‌توان این مفهوم را به شکل زیر نشان داد.

رابطه بالا انتگرال روی یک مسیر بسته را نشان می‌دهد. برای محاسبه آن، نقطه a در شکل زیر به عنوان نقطه شروع در نظر گرفته می‌شود.

زمانی که بار‌ها از باتری عبور می‌کنند، پتانسیل آن‌ها به اندازه ε افزایش می‌یابد. از طرفی با توجه به مطلب جریان و مقاومت الکتریکی پتانسیل بارها به اندازه IR کاهش می‌یابد؛ در حقیقت این میزان از انرژی به انرژی حرارتی تبدیل می‌شود. همان‌طور که کمی‌ پیش‌تر بیان شد، تغییر پتانسیل خالص بار‌ها در یک مدار برابر با صفر است. از این رو می‌توان گفت:

البته گفتنی است که در شرایط واقعی، باتری نیز دارای مقاومتی الکتریکی است. بنابراین شکل صحیح مداری که از یک باتری و مقاومت تشکیل شده را بایستی به صورت زیر نشان داد.

بنابراین پس از زیاد شدن پتانسیل بار‌ها به اندازه ε، دوباره افتی برابر با Ir را تجربه خواهند کرد. از این رو با در نظر گرفتن مقاومت داخلی یک باتری، رابطه زیر را می‌توان برای مدار مذکور نوشت:

با بازنویسی رابطه بالا، جریان الکتریکی برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

شکل زیر تغییرات جریان الکتریکی در نقاط مختلف چنین مداری را نشان می‌دهد.

توجه داشته باشید که سیم‌های متصل کننده اجزاء، بدون مقاومت فرض شده‌اند. بدیهی است که در واقعیت این فرض درست نبوده و بایستی مقاومت سیم‌ها نیز در نظر گرفته شود.

برای مداری با نیروی محرکه ε، نرخ انرژی داده شده به بار‌ها برابر است با:

در حقیقت این انرژی برابر با انرژی است که بار‌ها در مقاومت بیرونی و مقاومت درونی باتری از دست می‌دهند.

مقاومت‌های سری و موازی

یکی از المان‌های مهم استفاده شده در هر مدار، مقاومت الکتریکی است. در حالت کلی از دو نوع اتصال در این المان‌ها استفاده می‌شود. در ادامه به معرفی آن‌ها خواهیم پرداخت.

اتصال سری

مدار زیر مقاومت R₁ و R₂ را نشان می‌دهد که به صورت سری به یکدیگر متصل شده‌اند.

با توجه به شکل بالا، افت پتانسیل رخ داده در دو مقاومت، برابر است با:

با توجه به رابطه بالا می‌توان از یک مقاومت معادل بجای این دو مقاومت استفاده کرد. مقاومت فرضیِ مذکور را با R_eq نشان می‌دهیم. اگر افت پتانسیل را در قالب رابطه _معادلΔV=IR محاسبه کنیم، می‌توان مقاومت معادل را برابر با مقدار زیر فرض کرد:

مفهوم بالا را می‌توان در مورد چندین مقاومت نیز ارائه داد؛ بنابراین اگر در بخشی از یک مدار، از N مقاومت استفاده شده باشد، می‌توان آن‌ها را با مقاومتی معادل برابر با مقدار زیر جایگزین کرد.

با توجه به رابطه بالا واضح است که اگر یکی از مقاومت‌ها از بقیه‌ بسیار بزرگ‌تر باشد، می‌توان مقاومت معادل را برابر با آن در نظر گرفت.

اتصال موازی

مداری را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. همان‌طور که می‌بینید دو مقاومت R₁ و R₂ به اختلاف پتانسیلی یکسان متصل هستند؛ به اتصالی که در آن چندین المان به یک اختلاف پتانسیل وصل شده‌ باشند، اتصال موازی گفته می‌شود.

با توجه به نحوه اتصال مقاومت‌ها می‌توان دید که جریان ورودی به مقاومت‌ها، بین آن‌ها تقسیم می‌شود. از طرفی هریک از این مقاومت‌ها از قانون اهم نیز پیروی می‌کنند؛ در نتیجه می‌توان اختلاف پتانسیل دوسر آن‌ها را به صورت $$\Delta V_1=I_1R_1$$ و $$\Delta V_2=I_2R_2$$ محاسبه کرد. از طرفی با توجه به این‌که اختلاف پتانسیل دو سر مقاومت‌ها با یکدیگر برابر است، می‌توان قانون پایستگی جریان را به شکل زیر ارائه داد.

I جریان ورودی به دو مقاومت و I₁ و I₂ نشان دهنده جریان‌های مقاومت‌های ۱ و۲ هستند. همانند حالت سری در این نوع از اتصال نیز می‌توان دو مقاومت را با استفاده از یک مقاومت معادل جایگزین کرد. با این فرض می‌توان گفت:

با مقایسه دو رابطه ۱ و ۲ با یکدیگر، مقاومت معادل برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

به طور مشابه در حالتی که N مقاومت به طور موازی به یکدیگر متصل شده باشند، مقاومت معادل برابر است با:

رابطه بالا به این معنی است که تمامی جریان‌های ورودی به یک نقطه در مقاومت‌ها پخش می‌شوند. این‌که سهم جریان هر مقاومت چقدر باشد، با معکوس مقدار آن مقاومت در ارتباط است. برای نمونه اگر مقاومت یکی از بخش‌ها بسیار زیاد باشد، جریان بسیار کمی از آن‌ خواهد گذشت.

قوانین کیر‌شهف

به‌منظور تحلیل مدار‌های الکتریکی، دو قانون اصلی وجود دارد:

1. قانون گره
2. قانون حلقه

این قوانین توسط «گوستاو روبرت کیرشهف» (Gustav Robert Kirchhoff) فیزیکدان معروف آلمانی ارائه شده؛ از این رو آن‌ها را تحت عنوان قوانین کیر‌شهف می‌شناسند. در ادامه هر کدام از این قوانین را بطور جداگانه توضیح خواهیم داد.

قانون گره

به‌منظور توضیح این قانون، مطابق با شکل زیر بخشی از یک مدار را در نظر بگیرید که در آن یک گره، نقطه اتصال چند مسیر مختلف است. هرکدام از این شاخه‌ها جریانی را در خود دارند که دارای جهت خاصی نیز می‌باشند.

با توجه به این فرضیات، قانون گره بیان می‌کند که مجموع جریان‌های ورودی به یک گره برابر با جمع جریان‌های خروجی از آن است. این مفهوم را در قالب ریاضیات می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:

برای نمونه قانون گره برای شکل ۱ به صورت زیر قابل نوشتن است.

قانون حلقه

این قانون بیان می‌کند که جمع اختلاف پتانسیلِ تمامی اجزاء یک مدار برابر با صفر است.

برای جمع زدن ولتاژها می‌توان به‌طور ساعتگرد یا پادساعتگرد در یک حلقه حرکت کرد. توجه داشته باشید، بسته به این‌که در چه جهتی حرکت می‌کنیم،‌ علامت اختلاف پتانسیل‌های اضافه شده می‌تواند مثبت یا منفی باشد. بایستی بدانید که در هر دو حالت به یک نتیجه خواهید رسید. در جدول زیر این حالت‌ها بیان شده است.

برای نمونه مداری را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

قانون حلقه برای مدار شکل ۲ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

با توجه به رابطه بالا، جریان ایجاد شده در این مدار برابر است با:

جریانی که در بالا بدست آمده در تمامی حلقه ثابت است؛ بنابراین جریان عبوری از مقاومت R₂ نیز برابر با I است. با استفاده از قانون اُهم، ولتاژ دو سر مقاومت R2 – یا همان V_out نشان داده شده در شکل ۲ – برابر است با:

با استفاده از این دو قانون می‌توان جریان و ولتاژ را در اکثر مدار‌های الکتریکی بدست آورد. برای تسلط کامل به مدار‌های الکتریکی لطفا، حتما به مثال‌های ارائه شده در ادامه مطلب مراجعه کنید.

استراتژی حل مسئله

در بالا روش‌های حلقه و گره برای حل مسائل مدار‌های الکتریکی را تشریح کردیم. در نگاه اول قوانین مذکور بدیهی و ساده به‌نظر می‌رسند. اما ممکن است همواره استفاده از آن‌ها راحت نباشد و به محاسبات بسیاری نیاز داشته باشیم. از این رو به منظور حل سریع‌تر و راحت‌تر یک مدار الکتریکی می‌توانید مطابق با گام‌های زیر به پیش بروید.

1. در ابتدا اجزاء مدار را شماره‌گذاری کرده و جریان‌ها و پتانسیل‌های معلوم و مجهول را مشخص کنید. نهایتا تعداد مجهولات موجود در مسئله برابر با تعداد معادلات خطی و مستقل بدست آمده خواهد بود.
2. برای هر شاخه جهتی فرضی را در نظر بگیرید. جریانی که منفی بدست می‌‌آید به این معنی است که جهت جریان مذکور، عکس جهت جریان در نظر گرفته شده است.
3. قانون گره را برای تمامی گره‌ها به جزء یکی از آن‌ها اعمال کنید.
4. قانون حلقه را تا جایی بنویسید که تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات مستقل از هم شود. برای نمونه اگر سه مجهول وجود داشته باشد، بایستی نهایتا به سه معادله مستقل دست یابیم.
5. در مرحله آخر با توجه به برابر بودن تعداد معادلات و تعداد مجهولات، مسئله قابل حل است.

مثال‌ها

در این قسمت به مثال‌هایی در مورد مقاومت معادل و پیدا کردن جریان‌ها و ولتاژ‌ها خواهیم پرداخت.

مثال ۱

مداری را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. جریان عبوری از مقاومت‌ها چقدر است؟

همان‌طور که در بالا بیان شد در قدم اول بایستی مجهولات معادله را معلوم کنیم. مجهولات در این معادلات برابر با $$I_1 \enspace ، \enspace I_2 \enspace ، \enspace I_3$$ هستند؛ از این رو بایستی نهایتا ۳ معادله مستقل از هم نوشته شود.

در قدم دوم جهت‌های فرضی I را برای هرکدام از شاخه‌ها مطابق با شکل زیر تعیین کنید. [جهت‌های نشان داده شده در شکل زیر، فرضی هستند و شما می‌توانید به صورتی متفاوت آن‌ها را تصور کنید].

در قدم سوم با اعمال قانون گره در نقطه b داریم:

توجه داشته باشید که اگر قانون گره در نقطه c نوشته شود نیز به معادله بالا خواهیم رسید.

بنابراین می‌بینید که در قدم سوم تنها یک معادله بدست آمد و این در حالی است که ما با ۳ مجهول مواجه هستیم. جهت نوشتن دو معادله دیگر می‌توان قانون حلقه را در حلقه‌های شماره ۱ و ۲ نوشت. در بالا بیان کردیم که مجموع اختلاف پتانسیل‌ها در یک حلقه برابر با صفر هستند؛ بنابراین برای حلقه شماره ۱ یا befcb، می‌توان نوشت:

به همین صورت این قانون برای حلقه شماره ۲ (حلقه abcda) به صورت زیر نوشته می‌شود.

توجه داشته باشید که می‌توان قانون حلقه را برای تمامی مدار (حلقه abefcda) به شکل زیر بیان کرد:

رابطه بالا جمع رابطه ۱ و ۲ است؛ بنابراین نمی‌توان آن را به‌صورت معادله‌ای مستقل در نظر گرفت.

در قدم آخر بایستی سه معادله بدست آمده را حل کرده و می‌توان مجهولات مسئله را یافت؛ بنابراین پس از حل این ۳ معادله به پاسخ‌های زیر دست خواهیم یافت.

در برخی از مسائل در ابتدا می‌توان با معادل‌سازی بخشی از مدار، زمان حل مسئله را کوتاه‌تر کرد. در مثالی که در ادامه آمده مقاومت معادل بدست آمده است.

مثال ۲

مداری را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. مقدار R₁ بایستی چقدر باشد تا مقاومت معادل نیز با R₀ باشد؟

مقدار معادل سه مقاومت قرار گرفته در سمت راست، برابر است با:

‘R با مقاومتِ سمت چپ (R₁) سری است. در نتیجه می‌توان آن‌ها را با هم جمع کرد. نهایتا مقاومت معادل در حالت نهایی برابر است با:

با برابر قرار دادن مقدار معادلِ بدست آمده با R_۱ ،R۰ برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

نتیجه جالب است، چراکه مقاومت معادلِ بدست آمده برابر با یکی از مقاومت‌ها است. بر خلاف این مثال در برخی از مسائل نمی‌توان به راحتی با استفاده از قوانین مقاومت‌های سری یا موازی، مقاومت معادل را محاسبه کرد.

مثال ۳

همانند شکل زیر مکعبی را در نظر بگیرید که روی هر کدام از اضلاع آن مقاومتی برابر با R قرار گرفته است. مقاومت معادل آن‌ها بین دو نقطه a و b چقدر است؟

در ابتدا گره a را در نظر بگیرید. با توجه به تقارن مسئله، جریان ورودی به نقطه a به‌طور مساوی بین سه شاخه متصل به نقطه a پخش می‌شود. از این رو جریان در هر کدام از این‌ شاخه‌ها برابر با I/3 است [منظور، جریان در شاخه‌های ac, af, ah هستند]. هر کدام از این جریان‌ها در گره بعدی به دو جریان مساوی تقسیم می‌شوند. بنابراین جریان شاخه‌های ce و cd نیز برابر با I/6 خواهد بود. بر همین مبنا جریان موجود در شاخه db نیز برابر با حاصل جمع جریان شاخه‌های fd و cd است (I/6+I/6).

با بدست آمدن این‌ جریان‌ها می‌توان ولتاژ بین دو نقطه a و b را به شکل زیر محاسبه کرد.

بنابراین از رابطه بالا مقدار مقاومت معادل برابر است با:

مثال ۴

در مدار مطابق با شکل زیر جریان‌های I₂،I₁ و I₃ را بدست آورید.

همان‌طور که از شکل می‌توان دید، این مدار دارای 6 جریان مجهول است. البته مسئله از ما ۳ جریان را می‌خواهد. جریان‌های مجهول، I_{1 تا} I_۶ هستند. از این رو نیازمند ۶ معادله برای یافتن آن‌ها هستیم. توجه داشته باشید که جهت جریان‌ها مطابق با شکل ۳ در نظر گرفته شده. در ابتدا با نوشتن قانون گره در نقاط C ،A و D داریم:

$$A: \enspace \enspace I_4=I_1-I_2 $$
$$C: \enspace \enspace  I_5=I_1-I_3 $$
$$D: \enspace \enspace  I_6=I_2-I_3 $$

تاکنون به دو معادله دست یافته‌ایم. برای حل مسئله سه معادله دیگر نیز بایستی نوشته شود. این سه معادله را می‌توان به شکل زیر برای حلقه‌های شماره ۱، ۲ و ۳ نوشت.

$$Loop1: 10- 1i_1-25i_4-50i_5=0$$
$$Loop2: 25i_4-30i_2+i_6=0$$
$$Loop3: 50i_5+1i_6-55i_3=0$$

بنابراین به ۶ معادله و ۶ مجهول رسیده‌ایم. این معادلات نسبت به یکدیگر خطی هستند؛ از این رو می‌توان با حل آن‌ها به پاسخ‌های زیر دست یافت.

$$i_1=0.245، \enspace i_2=0.111 \enspace و  \enspace i_3=0.117 \enspace A $$

مبنای محاسبات مداری در حالات پیچیده‌تر نیز همین اصول است.

جهت حل سریع مسائل مرتبط با مدار‌های الکتریکی می‌توانید به مثال‌های حل شده در این لینک مراجعه کنید. هم‌چنین در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مدار‌های الکتریکی احتمالا آموزش‌های زیر می‌تواند برایتان کاربردی باشند:

• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی برق
• مجموعه آموزش‌های مهندسی برق
• آموزش حل تمرین مدارهای الکتریکی ۱
• مجموعه آموزش‌های دروس فیزیک
• جریان و مقاومت الکتریکی — از صفر تا صد

^^