آمار، اقتصادی، ریاضی ۴۴۷۰ بازدید

برای محاسبه میانگین کل بین میانگین‌های دو یا چند گروه، از «میانگین آمیخته» (Combined Mean) استفاده می‌شود. میانگین آمیخته زمانی مناسب است که فقط مقدار میانگین‌ها و تعداد هر گروه موجود باشد اما دسترسی به مقادیر اصلی گروه‌ها مقدور نباشد.

فهرست مطالب این نوشته

برای محاسبه میانگین آمیخته برای دو گروه a و b از رابطه زیر استفاده می‌شود:

$$\bar x_c=\dfrac{m \bar x_a+n\bar x_b}{m+n}$$

در این فرمول پارامترها به صورت زیر هستند:

  • $$\bar x_c$$ میانگین آمیخته
  • $$\bar x_a$$ میانگین گروه a‌
  • $$\bar x_b$$ میانگین گروه b‌
  • m‌ تعداد اعضای گروه a
  • n تعداد اعضای گروه b

در حقیقت میانگین آمیخته، همان میانگین وزنی با وزنی متناسب با تعداد اعضای هر گروه است. برای اینکه نشان دهیم میانگین آمیخته در فرمول بالا همان میانگین کل است، ابتدا برای هر گروه مجموع مقدارها را محاسبه می‌کنیم تا جمع کل به دست آید، سپس از آن برای محاسبه میانگین کل بهره می‌گیریم.

بر طبق فرمول میانگین داریم:

\[ \bar x=\frac{\sum x_i}{n}\]

در نتیجه $$\sum{x_i} = \bar x\times n$$، پس:

جمع مقدارهای گروه a= $$\bar x_a \times m$$

جمع مقدارهای گروه b= $$\bar x_b \times n$$

جمع همه مقدارهای گروه a و b = $$\bar x_a\times m + \bar x_b \times n$$

پس میانگین کل از تقسیم این جمع بر m+n‌ مقدار بدست می‌آید که همان فرمول مربوط به $$\bar x_c$$ است.

برای محاسبه میانگین آمیخته بین k‌ گروه مختلف نیز از فرمول زیر استفاده می‌شود:

$$\bar x_c=\dfrac{n_1 \bar x_1 + n_2 \bar x_2 + n_3 \bar x_3+ \cdots +n_k \bar x_k}{n_1+n_2+n_3+\cdots n_k}$$

که در آن $$\bar x_i$$ میانگین گروه iام و $$n_i$$ نیز تعداد اعضای گروه i است.

Combine

برای روشن‌تر شدن مفهوم میانگین آمیخته، مثال‌های زیر بررسی می‌شود.

مثال ۱

در بخش فنی یک شرکت، ۳ کارگر و ۲ تکنسین مشغول به کار هستند. میانگین دستمزد روزانه کارگرها ۲۵۰۰۰ تومان و میانگین دستمزد روزانه تکنسین‌ها ۵۰۰۰۰ تومان است. متوسط حقوق پرداختی روزانه بخش فنی این شرکت با استفاده از میانگین آمیخته برابر است با:

میانگین دستمزد روزانه بخش فنی شرکت$$=\dfrac{۳\times 25000 +2 \times 50000}{2+3}= \dfrac{175000}{5}=35000$$

اگر این محاسبه بدون در نظر گرفتن تعداد افراد دو گروه انجام شود، میانگین دستمزد برابر با $$\dfrac{50000+25000}{2}=37500$$ خواهد بود که به نظر صحیح نمی‌آید.

مثال ۲

به منظور بررسی متوسط دفعاتی که کودکان ۳ ساله اشکال را به صورت صحیح تشخیص داده‌اند، از ۴ مهد‌ ۷۵ کودک انتخاب و از آنها آزمون مربوطه گرفته شده. میانگین امتیازات بدست آمده از هر مهد کودک، طبق جدول زیر است.

ردیف نام مهدکودک تعداد نمونه میانگین امتیاز کسب شده
1 مهد الف 15 130
2 مهد ب 25 180
3 مهد ج 5 160
4 مهد د 30 150

میانگین کل امتیازات به کمک میانگین آمیخته قابل محاسبه است.

$$\bar x_c=\dfrac{15 \times 130 + 25 \times 180 + 5 \times 160 +30 \times 150}{(15+25+5+30)}= \frac{11750}{75}=156$$

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.

^^

بر اساس رای ۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

یک نظر ثبت شده در “میانگین آمیخته — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر