میانگین همساز — به زبان ساده

۶۱۳۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۴ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲ دقیقه
میانگین همساز — به زبان ساده

یکی از انواع میانگین‌، «میانگین همساز» (Harmonic Mean) است که به میانگین توافقی نیز معروف است. زمانی که مقادیر از نوع نرخ یا نسبت باشند، از این نوع میانگین برای محاسبه متوسط داده‌‌ها استفاده می‌شود. برای مثال چنانچه مقادیر از نوع سرعت (تغییر مکان در زمان) یا نرخ رشد (تغییر مقدار در زمان) باشند میانگین همساز برای محاسبه متوسط داده‌ها به کار می‌رود. میانگین همساز با نماد H نمایش داده می‌شود.

نحوه محاسبه میانگین همساز

اگر n مشاهده به صورت a1,a2,a3...,an باشند، برای محاسبه‌ میانگین همساز، از رابطه‌ زیر کمک گرفته می‌شود:

$$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$$

در نگاه اول ممکن است که این فرمول کمی پیچیده به نظر برسد ولی برای محاسبه آن کافی است که مراحل زیر را طی کنید:

  1. همه مقادیر را معکوس کنید.
  2. مقادیر معکوس را جمع کنید.
  3. تعداد مشاهدات را تقسیم بر جمع بدست آمده در مرحله‌ ۲ کنید.

برای محاسبه میانگین همساز مقادیر 1،5،8،10 بر اساس مراحلی که در بالا گفته شد، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$H= \frac{4}{(\frac{1}{10}+\frac{1}{8}+\frac{1}{5}+\frac{1}{1})}=2.81$$

برای درک بهتر و مقایسه میانگین همساز با میانگین حسابی به مثال زیر توجه کنید.

مثال اول

فرض کنید دوچرخه سواری مسافتی 200 کیلومتری را با سرعت‌های مختلف طی کرده‌ است. او 100 کیلومتر از مسافت را با سرعت 25 کیلومتر و مابقی را با سرعت 50 کیلومتر بر ساعت رکاب زده است. در نتیجه زمان طی کردن مسافت در قسمت اول 4 ساعت ($$\frac{100}{25}$$) و برای قسمت دوم نیز 2 ساعت ($$\frac{100}{50}$$) خواهد بود. از آنجایی که مسافت 200 کیلومتری در ۶ ساعت طی شده است، متوسط سرعت او برابر با 33.3 کیلومتر بر ساعت ($$\frac{200}{6}$$) خواهد بود. همچنین اگر از میانگین همساز برای متوسط سرعت دوچرخه سوار استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$H= \frac{2}{(\frac{1}{25}+\frac{1}{50})}=33.3$$

در حالیکه اگر متوسط سرعت را به کمک میانگین حسابی به دست می‌آوردیم، مقدار به صورت زیر محاسبه می‌شد:

$$Mean =\frac{( 25 + 50)}{2} = 37.5$$

تفاوت این دو میانگین در شیوه‌ نگاه به مسئله است. زمانی که از میانگین همساز استفاده شود،  مبنا، میزان فاصله طی شده در طول زمان است که مفهوم سرعت را نشان می‌دهد، در حالیکه در میانگین حسابی، متوسط سرعت‌ها بدون در نظر گرفتن مسافت یا زمان صرف شده در نظر گرفته شده است.

مثال دوم

اگر در یک مدار الکتریکی از دو مقاو‌مت با ظرفیت ۴۰ و ۶۰ اهم به صورت موازی استفاده شده باشد، می‌توان آن‌ها را با یک مقاومت با ظرفیت 24 اهم جایگزین کرد. که نصف میانگین همساز دو مقاومت است.

$$H= \frac{2}{(\frac{1}{40}+\frac{1}{60})}=48$$

همانطور که در مثال‌ها دیده شد، میانگین همساز از میانگین حسابی کمتر است که البته می‌توان ثابت کرد این موضوع همیشه برقرار است. ولی اگر همه مقدارها یکسان باشند، میانگین همساز با میانگین حسابی نیز برابر خواهد بود.

نکته: میانگین همساز فقط برای اعداد مثبت قابل محاسبه است.

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.

^^

بر اساس رای ۴۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
WikipediaStatistics How To
۸ دیدگاه برای «میانگین همساز — به زبان ساده»

ببخشید
مجدد بررسی کردم درست هست
هر دو روش یک نتیجه دارد
اونجا اول معکوس ها رو جمع و تقسیم بر تعداد کرده بعد مجدد معکوس کرده
شما
مستقیم مشاهدات رو تقسیم بر مجموع معکوسا کردین
روش شما البته بهینه تر هست

سلام.وقتتون بخیر
کاربرد میانگین همساز توی روانشناسی چیه؟!

سلام جسارتا باید چهارتا 1/25+ دوتا 1/50 جمع میشدند و n هم شش میبودکه در آخر میشد 6 تقسیم بر 10/50 وجواب میشد 30.شما تعداد ساعاتی که دوچرخه سوار هر یک از سرعتها را داشته لحاظ نکردین. با مدل محاسبه ی شما اگر طرف نوزده ساعت با سرعت 25 میرفت ویک ساعت با سرعت 50 ،شما n را 2 قرار میدادین و میانگین باز میشد 33.3 که این منطقی نیست

سلام دوست و همراه عزیز.

توجه داشته باشید که سرعت متوسط از تقسیم مسافت طی شده بر زمان صرف شده بدست می‌آید. اگر دوچرخه سوار ما ۱۹ ساعت با سرعت ۲۵ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کرد، ۴۷۵ کیلومتر را می پیمود… در حالیکه اینجا ملاک برای مسافت فقط ۲۰۰ کیلومتر است. توجه داشته باشید که در میانگین همساز، نسبت‌ها (مثل مسافت به زمان = سرعت) یا مقادیر درصدی، میانگین گرفته می‌شوند.
به نظرم بهتر است دوباره مطلب را مطالعه کرده و با دقت بیشتر فرمول‌ها را در نظر بگیرید.

از این که همراه مجله فرادرس هستید بر خود می بالیم.

تندرست و پیروز باشید.

سلام ، وقت بخیر
یه جا مشکل داشتم که دمتون گرم با این آموزش حل شد .
فقط یه جای حل مسئله به جای 25 نوشتین 20 .
در هر صورت ممنون

درود بر شما همراه مجله فرادرس.
احتمالا در بیان مقدار به جای ۲۵ گفته شده ۲۰ ولی در هر صورت محاسبات انجام شده در متن کاملا صحیح است.
با سپاس فراوان

سلام- در مورد مثال دوچرخه سوار وقتی برای مقایسه از فرمول میانگین استفاده کردید و دو عدد 20 و 50 را با هم جمع و تقسیم بر 2 کردید، عدد 20 از کجا آمد. در سوال عددهای 25 و 50 داریم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *