سطوح پارامتری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس نحوه ارائه یک خم به صورت پارامتری را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا یک قدم فراتر گذاشته و نحوه بیان سطوح پارامتری را توضیح دهیم. بدین منظور پیشنهاد می‌شود در ابتدا مطالب توابع چند متغیره، تابع برداری، ضرب خارجی، معادله صفحه و رویه های درجه دوم را مطالعه فرمایید.

مقدمه

در مطلب توابع برداری بیان شد که به منظور بیان کردن پارامتری یک خم در ابتدا مقداری از t را در بازه $$\large \left [ { a , b } \right ]$$ انتخاب کرده، سپس با قرار دادن آن در تابع برداری زیر، شکل پارامتری یک خم بدست خواهد آمد.

$$\Large \overrightarrow r \left ( t \right ) = x \left ( t \right) \overrightarrow i + y \left ( t \right ) \overrightarrow j + z \left ( t \right ) \overrightarrow k$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

در حقیقت بردار فوق نقاط روی خم را نشان می‌دهد. برای نمونه در شکل زیر بردار‌های توصیف کننده یک منحنی نشان داده شده است.

معادله سطوح پارامتری

دقیقا در حالت صفحه نیز همین اتفاق رخ می‌دهد. در این حالت دو مقدار u و v از ناحیه دوبعدی D انتخاب شده و با قرار دادن آن در تابعی برداری به صورت زیر، معادله پارامتری صفحه بدست خواهد آمد.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = x \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow i + y \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow j + z \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow k$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در حقیقت با قرار دادن u,v در رابطه فوق، بردار r، نقاط روی صفحه S را نشان خواهد داد. سوالات مربوط به معادله پارامتری صفحه به طور کلی به دو صورت هستند. در برخی از موارد رابطه‌ دکارتی صفحه داده شده و هدف محاسبه شکل پارامتری صفحه است. در مواردی عکس، شکل پارامتری صفحه معلوم بوده و رابطه دکارتی آن باید بدست آید. در ادامه و در قالب مثال‌هایی مفهوم معادله پارامتری صفحه توضیح داده شده است.

مثال ۱

شکل پارامتری صفحه زیر را بدست آورید.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = u \, \overrightarrow i + u \cos v \, \overrightarrow j + u \sin v \, \overrightarrow k$$

در ابتدا مولفه‌ها را به صورت زیر برابر با x و y و z قرار دهید.

$$\Large x = u \hspace {0.5in} y = u \cos v \hspace {0.5in} z = u \sin v$$

اگر توان دوم y و z را با هم جمع کنیم، متغیر‌های u و v حذف شده و معادله به صورت زیر قابل بیان است.

$$\Large { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = { u ^ 2 } { \cos ^ 2 } v + { u ^ 2 } { \sin ^ 2 } v = { u ^ 2 } \left ( { { { \cos } ^ 2 } v + { { \sin } ^ 2 } v } \right ) = { u ^ 2 } = { x ^ 2 }$$

با توجه به مطلب رویه های درجه دوم می‌توان دریافت که رابطه دکارتی فوق نشان دهنده مخروطی در راستای x است. در ادامه شکل مخروط مذکور نشان داده شده.

معمولا در محاسبات نیاز داریم تا شکل دکارتی یک معادله را به صورت پارامتری بیان کنیم.

مثال ۲

شکل پارامتری سطوح زیر را بدست آورید.

1. سهمی گون بیضویِ $$\large x = 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 1 0$$
2. کره $$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 3 0$$
3. استوانه $$\large { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 25$$

۱. همان‌طور که می‌بینید در رابطه $$\large x = 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 1 0$$ متغیر x بر حسب دو متغیر y و z بیان شده‌. بنابراین معادله صفحه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large x = 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 10 \hspace {0.25in} y = y \hspace {0.25in} \, z = z$$

در حقیقت دو متغیر دلخواه y,z به عنوان متغیر‌های ورودی در نظر گرفته شده‌اند و صفحه بر اساس آن‌ها بیان شده است. نهایتا شکل پارامتری صفحه برابر است با:

$$\Large \overrightarrow r \left ( { y , z } \right ) = \left ( { 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 1 0 } \right ) \overrightarrow i + y \, \overrightarrow j + z \, \overrightarrow k$$

۲. معادله $$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 3 0$$ را می‌توان با استفاده از مفهوم مختصات کروی به صورت پارامتری بیان کرد. در حقیقت معادله کره‌ای به شعاع a را می‌توان در مختصات کروی به صورت زیر ارائه داد.

$$\Large \rho = a$$

بنابراین معادله کره در این مسئله را می‌توان به صورت $$\large \rho = \sqrt { 30 }$$ نوشت. از طرفی برای تبدیل کردن مختصات کارتزین به کروی، از روابط زیر استفاده می‌شود.

$$\Large x = \rho \sin \varphi \cos \theta \ \ , \hspace {0.25in} y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace {0.25in} , \ z = \rho \cos \varphi$$

بنابراین شکل برداری صفحه را نیز می‌توان به صورت زیر بیان کرد. در حقیقت در این حالت ورودی‌ها دو متغیر $$\large \theta , \varphi$$ هستند.

$$\Large \overrightarrow r \left( {\theta ,\varphi } \right) = \sqrt {30} \sin \varphi \cos \theta \,\overrightarrow i + \sqrt {30} \sin \varphi \sin \theta \,\overrightarrow j + \sqrt {30} \cos \varphi \,\overrightarrow k$$

تنها کاری که باقیمانده محدود کردن ورودی‌ها به نحوی است که شکل کره را توصیف کنند. با توجه به مطلب دستگاه مختصات کروی، زوایای $$\large \theta , \varphi$$ در بازه‌ زیر قرار می‌گیرند.

$$\Large 0 \le \varphi \le \pi \ , \ 0 \le \theta \le 2\pi$$

۳. در این حالت نیز می‌توان از مختصات استوانه‌ای استفاده کرد. معادله استوانه‌ای به شعاع a را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large r = a$$

بنابراین معادله این استوانه نیز به صورت $$\large r = 5$$ قابل بیان است. از طرفی تبدیلات کارتزین به مختصات استوانه‌ای به صورت زیر است.

$$\Large x = x \ \ \ , \hspace{0.5in} y = r \sin \theta \ \ \ , \hspace {0.5in} z = r \cos \theta$$

بنابراین نهایتا معادله پارامتری استوانه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

$$\Large \overrightarrow r \left( { x ,\theta } \right ) = x \, \overrightarrow i + 5 \sin \theta \,\overrightarrow j + 5 \cos \theta \, \overrightarrow k$$

باید توجه داشته باشید که θ در بازه $$\large 0 \le \theta \le 2\pi$$ قرار گرفته است. در ادامه شکل استوانه مذکور نشان داده شده.

با توجه به مثال فوق احتمالا متوجه شده‌اید که توابع چند متغیره را می‌توان به سادگی به صورت پارامتری بیان کرد. در حقیقت توابعی به شکل زیر را می‌توان به صورت پارامتری بیان کرد:

$$\Large \begin {align*} z &= f \left( {x,y} \right) \hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\overrightarrow r\left( {x,y} \right) = x \, \overrightarrow i + y\,\overrightarrow j + f\left( {x,y} \right)\overrightarrow k\\ x & = f\left( {y,z} \right)\hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in} \, \, \overrightarrow r \left ( { y , z } \right ) = f\left ( { y , z } \right)\,\overrightarrow i + y\,\overrightarrow j + z\,\overrightarrow k\\ y & = f\left ( { x , z } \right ) \hspace {0.25in} \, \, \Rightarrow \hspace {0.25in} \, \, \overrightarrow r \left ( { x , z } \right ) = x \, \overrightarrow i + f \left ( { x , z } \right ) \, \overrightarrow j + z\,\overrightarrow k \end {align*}$$

احتمالا تاکنون با مفهوم سطوح پارامتری آشنا شده‌اید. از این رو در این قسمت می‌خواهیم دو مورد از کاربرد‌ این توابع را توضیح دهیم. در ابتدا تصور کنید تابعی پارامتری به صورت زیر در اختیار داریم.