سرعت لحظه ای چیست؟ – فرمول محاسبه با مثال و تمرین

مطلب پیشنهادی:

سرعت متوسط چیست ؟ – فرمول، تعریف و محاسبه + حل تمرین

شروع مطالعه

مطلب پیشنهادی:

نمودار مکان زمان – توضیح به زبان ساده + حل مثال

شروع مطالعه

روش محاسبه سرعت لحظه‌ای

در بخش‌ قبل دیدیم که اگر نمودار مکان - زمان یا حتی نمودار سرعت - زمان را داشته باشیم، چطور می‌توانیم سرعت لحظه‌ای را بدون کاربرد مستقیم فرمولش به‌دست آوریم. در واقع یاد گرفتیم که با استفاده از نتایج حاصل از کاربرد فرمول سرعت متوسط، سرعت لحظه‌ای را بیابیم. پیش از ادامه این بخش، اگر علاقه‌مند هستید در زمینه فیزیک مکانیک مسائل متنوع و پیشرفته‌تری در سطوح دانشگاهی حل کنید، پیشنهاد ما این است که فیلم آموزشی فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس را مشاهده کنید. لینک این دوره در ادامه برای شما قرار داده شده است:

در این بخش می‌آموزیم که نحوه استفاده از فرمول سرعت لحظه‌ ای چیست. اولین چیزی که برای کاربرد فرمول سرعت لحظه ای لازم است مشخص باشد، تابع مکان جسم بر حسب زمان یا $$x(t)$$ است. در مرحله بعد طبق فرمول زیر، فقط کافی است که از این تابع نسبت به زمان مشتق بگیریم:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

در این محاسبات مهم‌ترین نکته این است که بتوانید مشتق‌گیری را به‌راحتی انجام دهید. برای مثال، اغلب تابع $$x(t)$$ به‌صورت یک چند جمله‌ای بر حسب زمان و به فرم کلی $$x(t)=At^n$$ داده می‌شود که در آن $$A$$ یک عدد ثابت است. مشتق این عبارت برابر است با:

$$\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}At^n=nAt^{n-1}$$

اما عموما در مسائل با شکل کلی‌تری از معادلات حرکت که حرکت در دو بعد یا سه بعد را توصیف می‌کند، مواجه هستیم. در چنین مواردی، معادله مکان به‌جای $$x(t)$$ به‌ شکل $$r(t)$$ داده می‌شود. در این معادلات برای اینکه مولفه‌های مکانی در راستای هر کدام از سه محور x، y و z از هم تفکیک شوند، از بردارهایی با اندازه واحد به نام بردار‌های یکه استفاده می‌شود که به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

علت نام‌گذاری این بردارها به‌صورت بردار یکه، این است که اندازه هر کدام از این بردارها برابر است با یک. بنابراین کاربرد این بردارها در معادلات حرکت، مشخص کردن جهت هر بخش است. برای مثال معادله مکان حرکت جسمی ممکن است به شکل زیر بیان شود که در آن $$5t^2+1$$ مولفه بردار مکان جسم در راستای محور x است، در حالی که $$-3t$$ مولفه بردار مکان در راستای محور y و $$6$$ مولفه بردار مکان در راستای محور z است:

$$\vec{r(t)}=(5t^2+1)\hat{i}-3t\hat{j}+6\hat{k}$$

در ادامه با حل مثال‌های متنوع بهتر یاد می‌گیرید که کاربرد فرمول سرعت لحظه‌ ای چیست.

مثال ۱

برای ذره‌ای که در راستای یک خط مستقیم با معادله $$5^2+2t +4$$ حرکت می‌کند، در ثانیه سوم حرکت مقدار سرعت لحظه‌ ای چیست؟

پاسخ

با توجه به فرمول سرعت لحظه‌ای به شکل زیر، باید مشتق معادله مکان نسبت به زمان محاسبه شود:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(5^2+2t +4)=\frac{d}{dt}(2t)=2 \ \frac{m }{s}$$

دقت کنید باید مشتق جملاتی را محاسبه کنیم که بر حسب زمان یا $$t$$ نوشته شده‌اند. مشتق جملات عددی با مقدار ثابت، همواره برابر با صفر است. پس در تابع بالا، مشتق جمله اول و سوم صفر می‌شود و فقط دومین جمله، مشتقی مخالف صفر دارد. از طرفی معادله سرعت بر حسب زمان به‌صورت زیر خواهد شد که برابر با یک عدد ثابت است، یعنی سرعت در تمام زمان‌ها از جمله در ثانیه سوم حرکت مقدار ثابتی برابر با $$2 \ \frac{m }{s}$$ خواهد داشت:

$$v(t)=2 \ \frac{m }{s}$$

مثال ۲

تابع مکان جسمی با معادله زیر مشخص شده است. سرعت لحظه‌ای جسم در لحظه $$t=2 \ s$$ چقدر است؟

$$x(t)=3t+0.5t^3 \ m$$

آیا با محاسبه سرعت متوسط در بازه زمانی $$t=1 \ s$$ تا $$t=3 \ s$$، می‌‌توان مقدار سرعت لحظه‌ای را در $$t=2 \ s$$ تعیین کرد؟

پاسخ

ابتدا فرمول سرعت لحظه‌ای را می‌نویسیم که در واقع همان مشتق تابع بالا نسبت به زمان را می‌خواهد:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(3t+0.5t^3)=\frac{d}{dt}(3t)+\frac{d}{dt}(0.5t^3)=3+1.5t^2 \ \frac{m }{s}$$

دقت کنید مشتق تابع دو جمله‌ای مکان برابر است با مجموع مشتق هر یک از دو جمله. مشتق هر یک از جملات نیز با توجه به فرمول $$\frac{d}{dt}At^n=nAt^{n-1}$$ محاسبه شده است. تا اینجا معادله سرعت لحظه‌ای بر حسب زمان به‌دست آمده است. حالا برای اینکه مقدار سرعت را در یک لحظه‌ بدانیم، کافی است زمان معادل با آن لحظه را در معادله بالا جای‌گذاری کنیم:

$$\Rightarrow v(t=2 \ s)=3+1.5(2)^2=3+1.5(4)=9 \ \frac{m }{s}$$

در بخش دوم سوال، پرسشی مطرح شده است که بررسی آن به شما کمک می‌کند تا کاملا تفاوت سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط را متوجه شوید. به‌ویژه پیشنهاد می‌کنیم، این مثال را با مثال بخش قبل مقایسه کنید تا با تفاوت نوع سوالات نیز بهتر آشنا شوید.

می‌‌خواهیم سرعت متوسط را در بازه زمانی داده شده به‌دست آوریم. طبق فرمول برای محاسبه سرعت متوسط باید مکان اولیه و نهایی جسم در آن دو لحظه مشخص باشد. پس اولین قدم این است که هر کدام از زمان‌های $$t=1 \ s$$ و $$t=3 \ s$$ را در فرمول تابع مکان قرار دهیم تا مکان متناظر با این زمان‌ها را بدانیم:

$$x_1(t_1=1 \ s)=3(1)+0.5(1)^3=3+0.5=3.5 \ m$$

با قرار دادن زمان کمتر یعنی $$t=1 \ s$$ در معادله مکان، مکان اولیه یا $$x_1$$ به‌دست آمد. حالا با قراردادن زمان بیشتر یا $$t=3 \ s$$ در معادله مکان، مکان نهایی جسم را محاسبه می‌کنیم:

$$x_2(t_2=3 \ s)=3(3)+0.5(3)^3=22.5 \ m$$

فرمول سرعت متوسط را به شکل زیر داریم:

$$\bar{v}=\frac{\triangle x}{\triangle t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$

$$\Rightarrow \bar{v}=\frac{22.5-3.5}{3-1}=9.5 \ \frac{m }{s}$$

محاسبه سرعت متوسط فقط به ما این اطلاعات را می‌دهد که اگر متوسط تمام مقادیر سرعت لحظه‌ای جسم در بازه زمانی یک تا سه ثانیه را حساب کنیم، حاصل برابر می‌شود با $$9.5 \ \frac{m }{s}$$. پس این عدد در واقع یک مقدار میانگین برای سرعت این بازه زمانی است و سرعت لحظه‌ای در هر زمان مشخصی در این بازه مانند لحظه $$t=2 \ s$$ می‌تواند از این مقدار کمتر یا بیشتر باشد. بنابراین برای اطلاع از مقدار دقیق سرعت لحظه‌ای در $$t=2 \ s$$ باید فرمول سرعت لحظه‌ای را بکار ببریم.

مثال ۳

توپی با معادله زیر در حال افتادن روی زمین است. سرعت لحظه‌ای این توپ در لحظه $$t=10 \ s$$ چقدر است؟

$$x(t)=0.000015t^5-0.004t^3+0.4t \ \ m$$

پاسخ

برای اینکه بتوانیم سرعت لحظه‌ای توپ را در یک نقطه مشخص پیدا کنیم، لازم است ابتدا معادله سرعت آن را به‌دست آوریم. پس فرمول سرعت لحظه‌ای را می‌نویسیم و از معادله مکان نسبت به زمان مشتق می‌گیریم:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(0.000015t^5-0.004t^3+0.4t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(0.000015t^5)-\frac{d}{dt}(0.004t^3)+\frac{d}{dt}(0.4t)$$

$$\Rightarrow v(t)=0.000075t^4-0.012t^2+0.4$$

حالا می‌توانیم لحظه موردنظر خود را در این رابطه قرار دهیم تا سرعت لحظه‌ای هدف محاسبه شود:

$$\Rightarrow v(t=10 \ s)=0.000075(10)^4-0.012(10)^2+0.4=-0.05 \ \frac{m }{s}$$

مثال ۴

جسمی را در نظر بگیرید که در راستای محور xها حرکت می‌کند و تابع مکان آن به شکل زیر است:

$$x(t)=x_0+\frac{1}{2}bt^2$$

که در آن $$x_0$$ مکان اولیه جسم در لحظه صفر و b هر دو اعداد ثابتی هستند. با کاربرد تعریف سرعت متوسط و حدگیری، معادله سرعت این جسم را به‌دست آورید:

پاسخ

دقت کنید در این سوال از ما خواسته شده است به شیوه متفاوتی به تابع سرعت بر حسب زمان برای این جسم دست پیدا کنیم. بر خلاف مثال‌های قبل که از مشتق‌گیری تابع مکان نسبت به زمان استفاده می‌کردیم، در این سوال باید ابتدا سرعت متوسط را به‌دست آوریم. طبق تعریف، برای سرعت متوسط داریم:

$$\bar{v}=\frac{\triangle x}{\triangle t}$$

و ما فقط $$x(t)$$ را داریم. اگر یک بازه زمانی به‌صورت $$\triangle t$$ در نظر بگیریم، طوری که زمان اولیه ما معادل $$t$$ و زمان ثانویه ما معادل $$t+\triangle t$$ شود، در این صورت با توجه به معادله بالا برای مکان، می‌توانیم مکان را در زمان نهایی یا $$t+\triangle t$$ به شکل زیر به‌دست آوریم:

$$\Rightarrow x(t+\triangle t)=x_0+\frac{1}{2}b(t+\triangle t)^2$$

دقت کنید در معادله مکان به‌جای $$\triangle t$$، عبارت $$t+\triangle t$$ را قرار دادیم. می‌توانیم اتحاد داخل پرانتز در رابطه بالا را باز کنیم و تمام جملات را به توان دوم برسانیم:

$$\Rightarrow x(t+\triangle t)=x_0+\frac{1}{2}b(t^2+(\triangle t)^2+2t\triangle t)$$

حالا با نوشتن فرمول سرعت متوسط به شکل زیر، خواهیم داشت:

$$\bar{v}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x(t+\triangle t)-x(t)}{t+\triangle t-t}$$

پس در رابطه بالا به‌جای زمان نهایی و زمان اولیه، دو زمانی که انتخاب کردیم را قرار دادیم. مکان‌های متناظر با این دو زمان را نیز با توجه به تابع مکان داریم و در رابطه قرار می‌دهیم:

$$\bar{v}=\frac{x_0+\frac{1}{2}b(t^2+(\triangle t)^2+2t\triangle t)-x_0-\frac{1}{2}bt^2}{\triangle t}$$

$$\bar{v}=\frac{\frac{1}{2}b(\triangle t)^2+bt\triangle t}{\triangle t}=\frac{(b\triangle t)(\frac{1}{2}\triangle t+t)}{\triangle t}$$

$$\Rightarrow \bar{v}=\frac{1}{2}b\triangle t+bt$$

در نهایت به رابطه بالا برای سرعت متوسط می‌رسیم. حالا برای اینکه از از این عبارت سرعت لحظه‌ای را به دست آوریم باید به تعریف ابتدای نوشته رجوع کنیم. گفتیم زمانی که سرعت متوسط را در بازه زمانی بسیار بسیار کوچک اندازه‌گیری کنیم، یعنی اختلاف بین دو زمان اولیه و نهایی آن خیلی خیلی ناچیز باشد، در این صورت سرعت متوسط به سمت سرعت لحظه‌ای میل می‌کند. این بیان به این معنا است که اگر $$\triangle t$$ به سمت صفر میل کند، سرعت متوسط با سرعت لحظه‌ای برابر است. پس با گرفتن حد سرعت متوسط به‌دست آمده و میل کردن $$\triangle t$$ به سمت صفر، خواهیم داشت:

$$v(t)=\lim_{\triangle t\rightarrow0}\bar{v}$$

$$v(t)=\lim_{\triangle t\rightarrow0}{(\frac{1}{2}b\triangle t+bt)}=bt$$

در آخرین محاسبه، با صفر قرار دادن $$\triangle t$$، معادله سرعت لحظه‌ای به‌دست آمد. پس ما در این مثال سعی کردیم بدون مشتق‌گیری مستقیم از معادله مکان در صورت سوال، معادله سرعت را پیدا کنیم. در ادامه خواهید دید که با مشتق‌گیری از تابع مکان و با یک روند خیلی سریع‌تر به همین جواب می‌رسیم:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(x_0+\frac{1}{2}bt^2)=\frac{d}{dt}(x_0)+\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}bt^2)$$

چون $$x_0$$ ثابت است، مشتق آن صفر می‌شود. b هم یک عدد ثابت است. پس داریم:

$$\Rightarrow v(t)=bt$$

مثال ۵

در لحظه $$t=2 \ s$$ اندازه سرعت لحظه‌ ای چیست، اگر معادله حرکت متحرک به شکل زیر باشد:

$$\vec{r(t)}=t^2\hat{i}+t^2\hat{j}$$

پاسخ

برای پیدا کردن سرعت لحظه‌ای، از فرمول آن به شکل زیر استفاده می‌کنیم:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\vec{v(t)}=\frac{d}{dt}(t^2\hat{i}+t^2\hat{j})=\frac{d}{dt}(t^2\hat{i})+\frac{d}{dt}(t^2\hat{j})=2t\hat{i}+2t\hat{j}$$

دقت کنید در مشتق‌گیری از یک معادله مکان برداری به شکل بالا، از بردارهای یکه مشتق‌گیری انجام نمی‌شود، مگر اینکه در صورت سوال ذکر شود که این بردارها نیز با زمان تغییر می‌کنند. پس معادله سرعت به شکل زیر است و با قرار دادن لحظه موردنظر، سرعت لحظه‌ای مشخص خواهد شد:

$$\vec{v(t)}=2t\hat{i}+2t\hat{j} \Rightarrow \vec{v(t=2)}=4\hat{i}+4\hat{j}$$

پس سرعت لحظه‌ای به شکل برداری و با دو مولفه در راستای محور x و y به شکل بالا به‌دست آمد. اما در صورت سوال، اندازه این سرعت خواسته شده است. بنابراین با استفاده از قضیه فیثاغورس اندازه سرعت می‌شود:

$$\Rightarrow v(t=2)=\sqrt{4^2+4^2}=5.65 \ \frac{m }{s}$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تندی لحظه‌ای چیست؟

برای اینکه مفهوم تندی لحظه‌ای را به‌خوبی درک کنیم، لازم است تفاوت آن را با سرعت لحظه‌ای بدانیم. پس در این بخش تفاوت «سرعت» (Velocity) یا $$v$$ و «تندی» (Speed) یا $$s$$ را بررسی می‌کنیم. در فیزیک بین این دو کمیت تفاوت بزرگی وجود دارد که در حل مسائل و تشخیص نوع حرکت جسم بسیار موثر است. تندی در فیزیک یک کمیت نرده‌ای یا اسکالر است، یعنی فقط اندازه دارد. در حالی که سرعت در فیزیک یک کمیت برداری است و علاوه بر اندازه، جهت نیز دارد.

علت این تفاوت به فرمول این دو کمیت برمی‌گردد. در فرمول سرعت، جابجایی جسم بر زمان تقسیم می‌شود و چون جابجایی یک کمیت برداری است، پس سرعت هم یک کمیت برداری محسوب می‌شود. اما در فرمول تندی، بجای جابجایی مسافتی که جسم پیموده است $$(d)$$ در فرمول قرار می‌گیرد. مسافت یک کمیت نرده‌ای است و در نتیجه، تندی هم نرده‌ای است. فرمول‌ سرعت متوسط و تندی متوسط به شکل زیر است:

$$\vec{\bar{v}}=\frac{\vec{\triangle x}}{\triangle t}$$

$$\bar{s}=\frac{{d}}{\triangle t}$$

با دقت بیشتر در شکل بالا، می‌توانیم بگوییم مقدار عددی این دو کمیت نیز ممکن است با هم تفاوت داشته باشد، چون مسافت طی شده توسط این شخص نسبت به جابجایی او قطعا عدد بزرگتری است. مثال دیگری را در نظر بگیرید که در آن سفر شخصی از خانه به شهر دیگر و بازگشت مجدد او به خانه مد نظر است.

در این شرایط جابجایی این شخص صفر می‌شود، با اینکه مسافت خیلی زیادی را پیموده است. بنابراین سرعت متوسط شخص هم صفر می‌شود، در حالی که تندی متوسط آن مخالف صفر است. پس نمی‌توانیم اندازه سرعت متوسط را با تندی برابر در نظر بگیریم. اما در مورد سرعت لحظه‌ای و تندی لحظه‌ای این امکان وجود دارد، یعنی اندازه سرعت لحظه‌ای با تندی لحظه‌ای برابر است:

تندی لحظه‌ای = $$s(t)=|\vec{v(t)}|$$

فرض کنید اندازه سرعت لحظه‌ای جسمی $$1 \ \frac{m }{s}$$ و جهت آن به سمت مثبت محور xها است. جسم دیگری نیز دارای اندازه سرعت لحظه‌ای $$1 \ \frac{m }{s}$$ اما در جهت منفی محور xها است. پس سرعت لحظه‌ای این دو جسم با هم فرق دارد، ولی تندی لحظه‌ای هر دو کاملا مشابه هم و برابر با $$1 \ \frac{m }{s}$$ است.

نکته: تندی همیشه یک عدد مثبت است.

مثال ۱

فرض کنید حرکت ذره‌ای با معادله $$x(t)=3t-3t^2 \ m$$ توصیف می‌شود. تندی لحظه‌ای این ذره در لحظات $$t=0.5 \ s$$ ،$$t=0.25 \ s$$ و $$t=1 \ s$$ چقدر است؟ نمودار مکان، سرعت و تندی این ذره را بر حسب زمان رسم و تحلیل کنید:

پاسخ

همان‌طور که گفتیم، تندی لحظه‌ای ذره برابر است با اندازه سرعت لحظه‌ای آن. پس اولین قدم این است که سرعت لحظه‌ای را طبق فرمول حساب کنیم:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(3t-3t^2)=\frac{d}{dt}(3t)-\frac{d}{dt}(3t^2)=3-6t \ \frac{m }{s}$$

حالا برای محاسبه سرعت در هر کدام از این لحظات، باید زمان‌های داده شده را در معادله سرعت بالا جایگزین کنیم:

$$\Rightarrow v(t=0.25 \ s)=3-6(0.25)=1.5 \ \frac{m }{s}$$

$$\Rightarrow v(t=0.5 \ s)=3-6(0.5)=0 \ \frac{m }{s}$$

$$\Rightarrow v(t=1 \ s)=3-6(1)=-3 \ \frac{m }{s}$$

سرعت‌های لحظه‌ای پیدا شدند. پس می‌توانیم تندی لحظه‌ای را برای هر زمان به شکل زیر تعیین کنیم:

تندی لحظه‌ای = $$s(t)=|\vec{v(t)}|$$

$$\Rightarrow s(t=0.25 \ s)=|{v(t=0.25 \ s)}|=|+1.5 \ \frac{m }{s} |=+1.5 \ \frac{m }{s}$$

$$\Rightarrow s(t=0.5 \ s)=|{v(t=0.5 \ s)}|=0 \ \frac{m }{s}$$

$$\Rightarrow s(t=1 \ s)=|{v(t=1 \ s)}|=|-3 \ \frac{m }{s}|=+3 \ \frac{m }{s}$$

در روابط بالا می‌دانیم که همواره قدر مطلق یک عدد (چه منفی باشد و چه مثبت) برابر است با همان عدد، اما با علامت مثبت. در بخش دوم سوال، رسم نمودارهای مکان - زمان، سرعت - زمان و تندی - زمان از ما خواسته شده است. برای رسم نمودار مکان - زمان کافی است طبق جدول زیر،ِ چند عدد در بازه زمانی $$t=0 \ s$$ تا $$t=1.5 \ s$$ به تابع مکان $$x(t)=3t-3t^2 \ m$$ بدهیم:

حالا با در نظر گرفتن مکان روی محور عمودی و زمان روی محور افقی، مکان هر کدام از نقاط بالا را در صفحه مشخص کرده و آن‌ها را به هم وصل می‌کنیم. همچین با توجه به اینکه معادله مکان بر حسب زمان یک معادله درجه دو است، انتظار داریم که شکل نمودار منحنی یا در واقع، یک سهمی باشد. شکل شماره یک در تصویر زیر منحنی مکان - زمان برای این ذره را نشان می‌‌دهد. طبق این نمودار، حرکت ذره از لحظه صفر در جهت مثبت تا لحظه $$t=0.5 \ s$$ ادامه دارد و پس از آن، حرکت ذره معکوس می‌شود.

مرحله بعد رسم نمودار سرعت - زمان است. با توجه به اینکه در قسمت اول سوال معادله سرعت را همراه با مقادیر سرعت لحظه‌ای در سه نقطه زمانی به‌دست آوردیم، رسم این نمودار چندان سخت نیست. کافی است چهار نقطه زمانی و سرعت‌های متناظر با هر کدام را طبق جدول زیر در صفحه سرعت - زمان مطابق نمودار شماره دو در تصویر بالا به هم متصل کنیم. اگر دقت کنید، تغییر مسیر حرکت ذره در مرحله قبل را می‌توانیم در نمودار سرعت - زمان از صفر شدن و سپس منفی شدن مقادیر سرعت نتیجه‌گیری کنیم.

در نهایت برای رسم نمودار تندی - زمان، فقط کافی است اندازه سرعت‌های به‌دست آمده در مرحله قبل را به‌دست آوریم. سپس هر کدام از این نقاط را در صفحه تندی بر حسب زمان به شکل بالا به هم وصل می‌کنیم. به تفاوت نمودارهای شماره دو و سه برای سرعت و تندی توجه کنید.

اگر بخواهیم از روی نمودار مکان - زمان در مورد سرعت لحظه‌ای تصمیم‌گیری کنیم، با توجه به اینکه می‌دانیم سرعت لحظه‌ای برابر است با شیب خط مماس بر نمودار در هر لحظه، پس می‌توانیم تحلیل زیر را داشته باشیم:

• با شروع از لحظه صفر تا $$t=0.5 \ s$$، علامت سرعت مثبت است، چون شیب خط مماس بر نمودار مکان - زمان در این بازه زمانی مثبت است.
• با شروع از لحظه صفر تا $$t=0.5 \ s$$، اندازه سرعت در حال کم شدن است، چون شیب خط مماس بر نمودار در لحظه $$t=0.5 \ s$$ کاملا با صفر برابر می‌شود.
• از لحظه $$t=0.5 \ s$$ تا $$t=1 \ s$$، علامت سرعت منفی است، چون شیب خط مماس بر نمودار مکان - زمان در این بازه زمانی منفی است.
• از لحظه $$t=0.5 \ s$$ تا $$t=1 \ s$$، اندازه سرعت در حال افزایش است، چون شیب خط مماس بر نمودار در لحظه $$t=0.5 \ s$$ کاملا با صفر برابر بوده است.

این تفسیر با نمودار سرعت - زمان نیز کاملا هماهنگ است. در مورد نمودار تندی - زمان نیز با توجه به در نظر نگرفتن علامت سرعت، بخش افزایشی یا کاهشی بودن مقادیر تندی با نمودار مکان - زمان کاملا هم‌خوانی دارد.

مثال ۲

اگر حرکت مورچه‌ای روی دیوار و در راستای محور y به شکل زیر توصیف شود، تندی لحظه‌ای آن در $$t=8 \ s$$ چقدر است؟

پاسخ

ابتدا بازه‌های زمانی تفکیک شده در نمودار مکان - زمان حرکت این مورچه را مشخص می‌‌کنیم:

1. $$\triangle t_1=4- 0$$
2. $$\triangle t_2=7- 4$$
3. $$\triangle t_3=9- 7$$

حالا باید ببینیم سرعت متوسط مورچه در هر کدام از این بازه‌ها چگونه تغییر می‌کند. می‌دانیم سرعت متوسط برابر است با تغییرات مکانی متناظر با یک بازه زمانی مشخص. پس با داشتن نقاط ابتدا و انتهای هر بازه، می‌توانیم سرعت متوسط را به‌دست آوریم. برای مثال در اولین بازه زمانی، زمان اولیه $$t_0=0 \ s$$ متناظر است با مکان اولیه $$x_0=6 \ m$$ و زمان نهایی یا $$t=4 \ s$$ متناظر است با مکان نهایی $$x=2 \ m$$:

$$\bar{v}=\frac{x-x_0}{t-t_0}$$

با رسم جدولی به شکل زیر، می‌توانیم محاسبات خود را راحت‌تر جلو ببریم:

ثانیه هشتم حرکت این مورچه در بازه زمانی آخر قرار می‌گیرد و در این بازه، سرعت لحظه‌ای برابر است با شیب خط مماس بر نمودار. خط مماس بر نمودار در این لحظه کاملا روی نمودار منطبق خواهد شد. پس شیب خط مماس بر نمودار همان شیب نمودار است که با سرعت متوسط در این بازه زمانی معادل است. بنابراین سرعت لحظه‌ای و تندی لحظه‌ای هر دو در $$t=8 \ s$$ برابر هستند با $$1.5 \ \frac{m }{s}$$.

مثال ۳

اگر مکان جسمی به شکل $$x(t)=-3t^2 \ m$$ با زمان تغییر کند، تغییرات سرعت آن با زمان چگونه است؟ آیا سرعت همیشه مثبت است؟ سرعت و تندی لحظه‌ای در $$t=10 \ s$$ چقدر است؟

پاسخ

برای اینکه ببینیم تغییرات سرعت با زمان چگونه است، کافی است مشتق تابع مکان یا همان معادله سرعت لحظه‌ای را به‌دست آوریم:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

$$\Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}(-3t^2)=-6t \ \frac{m }{s}$$

در پاسخ به سوال بعدی، با توجه به اینکه زمان یا $$t$$ همواره عددی مساوی با صفر یا یک عدد مثبت است، پس در معادله سرعت حاصل‌ضرب یک عدد مثبت یا صفر در یک عدد منفی یعنی $$-6$$ را داریم. حاصل چنین ضربی همیشه یک عدد منفی یا صفر خواهد شد، فارغ از اینکه زمان عدد کوچک یا بزرگ باشد. برای مثال فرض کنید به‌جای زمان اعداد صفر و $$200$$ قرار دهیم. در این صورت داریم:

$$\Rightarrow v(t=0)=-6(0)=0 \ \frac{m }{s}$$

$$\Rightarrow v(t=200)=-6(200)=-1200 \ \frac{m }{s}$$

 پس سرعت این جسم هیچ‌گاه مثبت نخواهد شد. در آخرین سوال، سرعت و تندی لحظه‌ای را در $$t=10 \ s$$ محاسبه می‌کنیم:

$$\Rightarrow v(t=10)=-6(10)=-60 \ \frac{m }{s}$$

$$s(t)=|\vec{v(t)}|$$

$$\Rightarrow s(t=10)=|{v(t=10)}|=|-60 \ \frac{m }{s} |=+60 \ \frac{m }{s}$$

تمرین

مسیر یادگیری حرکت‌شناسی برای دانشجویان با فرادرس

در انتهای این نوشته و پیش از اینکه به جمع‌بندی مطالب گفته شده بپردازیم و مجددا توضیح دهیم که سرعت لحظه ای چیست، می‌خواهیم مشاهده چند فیلم آموزشی از فرادرس را به شما پیشنهاد دهیم. کتاب‌های فیزیک پایه دانشگاهی در اغلب رشته‌ها شامل علوم پایه و مهندسی تدریس می‌شوند و یکی از مهم‌ترین مباحث این کتاب‌ها، سینماتیک است. فرادرس چند دوره آموزشی با عنوان فیزیک پایه دانشگاهی تهیه کرده است که تماشای این دوره‌ها به یادگیری بهتر شما کمک خواهد کرد:

1. فیلم آموزش رایگان بردارها در فیزیک ۱ دانشگاهی فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل مساله فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل تست فرادرس
6. فیلم آموزش رایگان فیزیک پایه ۱ حرکت دورانی فرادرس
7. فیلم آموزش رایگان حرکت ذره در سه بعد در مکانیک تحلیلی فرادرس
8. فیلم آموزش رایگان حرکت در چارچوب نالخت فرادرس
9. فیلم آموزش رایگان سینماتیک ذرات در دینامیک مهندسی فرادرس

همچنین دو فیلم آموزشی فرادرس با موضوع کاربرد نرم‌افزار و حل مسائل حرکت‌شناسی، شامل موارد زیر هستند:

1. فیلم آموزش رایگان شبیه سازی حرکت یک پرتابه در متلب فرادرس
2. فیلم آموزش حل مسائل فیزیک با پایتون فرادرس

جمع‌بندی

در این نوشته از مجله فرادرس آموختیم فرمول سرعت لحظه‌ ای چیست و چه تفاوتی با سرعت متوسط دارد. سرعت لحظه‌ای تابعی پیوسته از زمان است که سرعت یک جسم در حال حرکت را در هر نقطه از زمان تعیین می‌کند. برای اینکه بتوانیم این سرعت را در یک لحظه مشخص محاسبه کنیم، کافی است از تابع مکان جسم نسبت به زمان مشتق بگیریم تا معادله سرعت بر حسب زمان یا $$v(t)$$ تعیین شود. سپس با قرار دادن مقدار آن لحظه مشخص به‌جای $$t$$، سرعت لحظه‌ای به‌دست می‌آید.

اگر نمودار مکان - زمان حرکت جسم را در اختیار داشته باشیم، برای تعیین سرعت لحظه‌ای باید خط مماس بر نمودار را در آن لحظه مشخص رسم کنیم. شیب این خط که معادل مشتق معادله مکان نسبت به زمان است، سرعت لحظه‌ای را مشخص می‌کند. سرعت لحظه‌ای یک کمیت برداری است و می‌تواند مقداری منفی داشته باشد. اما تندی لحظه‌ای که برابر با قدر مطلق سرعت لحظه‌ای است، همیشه یک عدد مثبت است. جدول زیر تفاوت‌های سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط را به‌خوبی نشان می‌دهد: