فرادرسجدول سینوس کسینوس در یک نگاه
جدول سینوس کسینوس، جدولی است که مقادیر نسبت‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس را برای زاویه‌های مهم از جمله زاویه‌های ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ نشان می‌دهد. البته، در برخی از موارد، زوایای متقارن با زوایای مذکور در ربع‌های مختلف دایره مثلثانی نیز در جدول سینوس و کسینوس نمایش داده می‌شوند. در این مطلب از مجله فرادرس، قصد داریم به بررسی مقادیر جدول‌های سینوس و کسینوس زوایای مهم بپردازیم. علاوه بر این، جدول سینوس و کسینوس برخی از زوایای غیرمتداول اما کاربردی را نیز ارائه کنیم.
در ادامه، ابتدا به معرفی سینوس و کسینوس زوایای مهم نظیر زاوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه در قالب چند جدول می‌پردازیم. زاویه‌های سینوس و کسینوس، معمولا بر حسب رادیان یا درجه بیان می‌شوند. بنابراین، جدول سینوس کسینوس را هم برای یکای درجه و هم برای یکای رادیان می‌آوریم. سپس، فرمول تبدیل درجه به رادیان و گرادیان را معرفی می‌کنیم. در نهایت، به مرور جدول سینوس کسینوس زوایای مهم در حوزه‌های مختلف می‌پردازیم.
جدول سینوس کسینوس زاویه های مهم
در دایره مثلثاتی، زاویه‌هایی مانند زاویه ۰ درجه، زاویه ۳۰، زاویه ۴۵، زاویه ۶۰ درجه و زاویه ۹۰ درجه، از اهمیت بیشتری نسبت به زاویه‌های دیگر برخوردارند.
به همین دلیل، معمولا در کتاب‌های ریاضی، تاکید بیشتری بر سینوس و کسینوس این زاویه‌ها می‌شود. در ادامه، جدول سینوس کسینوس زاویه‌های مهم را آورده‌ایم.
| زاویه (درجه) | سینوس زاویه | کسینوس زاویه |
| $$ ۰ ^ { \circ } $$ | $$ ۰ $$ | $$ ۱ $$ |
| $$ ۳۰ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۴۵ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۶۰ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ ۹۰ ^ { \circ } $$ | $$ ۱ $$ | $$ ۰ $$ |
یکای زاویه‌های نمایش داده شده در جدول بالا، درجه است. جدول زیر، سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم را بر حسب یکای رادیان نمایش می‌دهد.
| زاویه (رادیان) | سینوس زاویه | کسینوس زاویه |
| $$ ۰ $$ | $$ ۰ $$ | $$ ۱ $$ |
| $$ \frac { \pi } { ۶ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { \pi } { ۴ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { \pi } { ۳ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { \pi } { ۲ } $$ | $$ ۱ $$ | $$ ۰ $$ |
زاویه‌هایی که در جداول بالا معرفی کردیم، در ربع اول دایره مثلثاتی (زاویه ۰ تا ۹۰ درجه) قرار دارند. قرینه این زاویه‌ها در ربع‌های دوم، سوم و چهارم نیز برای ما مهم هستند. بنابراین، در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، جدول سینوس کسینوس این زاویه‌ها را آورده‌ایم.
| زاویه (درجه) | سینوس زاویه | کسینوس زاویه |
| $$ ۱۲۰ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ ۱۳۵ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۱۵۰ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۱۸۰ ^ { \circ } $$ | $$ ۰ $$ | $$ - ۱ $$ |
| $$ ۲۱۰ ^ { \circ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۲۲۵ ^ { \circ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۲۴۰ ^ { \circ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ ۲۷۰ ^ { \circ } $$ | $$ - ۱ $$ | $$ ۰ $$ |
| $$ ۳۰۰ ^ { \circ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ ۳۱۵ ^ { \circ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۳۳۰ ^ { \circ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۳۶۰ ^ { \circ } $$ | $$ ۰ $$ | $$ ۱ $$ |
زاویه $$ ۳۶۰ ^ { \circ } $$، بر روی زاویه $$ ۰ ^ { \circ } $$ منطبق می‌شود. از این‌رو، مقادیر سینوس و کسینوس این زاویه و تمام زوایایی که مضربی از ۳۶۰ هستند با سینوس و کسینوس زاویه $$ ۰ ^ { \circ } $$ برابر خواهد بود.
در ادامه، جدول سینوس کسینوس زوایای مهم ربع‌های دوم تا چهارم دایره مثلثاتی بر حسب رادیان آورده شده است.
| زاویه (رادیان) | سینوس زاویه | کسینوس زاویه |
| $$ \frac { ۲ \pi } { ۳ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۳ \pi } { ۴ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۵ \pi } { ۶ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ \pi $$ | $$ ۰ $$ | $$ - ۱ $$ |
| $$ \frac { ۷ \pi } { ۶ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۵ \pi } { ۴ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۴ \pi } { ۳ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۳ \pi } { ۲ } $$ | $$ - ۱ $$ | $$ ۰ $$ |
| $$ \frac { ۵ \pi } { ۳ } $$ | $$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۷ \pi } { ۴ } $$ | $$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$ |
| $$ \frac { ۱۱ \pi } { ۶ } $$ | $$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$ | $$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$ |
| $$ ۲ \pi $$ | $$ ۰ $$ | $$ ۱ $$ |
تبدیل درجه به رادیان و گرادیان
درجه، رایج‌ترین یکای مورد استفاده برای بیان زاویه است. در مثلثات، اغلب از این یکا یا رادیان برای بیان سینوس، کسینوس و دیگر نسبت‌های مثلثاتی یک زاویه استفاده می‌شود. علاوه بر رادیان، گرادیان نیز به عنوان یکی از یکاهای شناخته شده زاویه به شمار می‌رود. فرمول‌‌‌های تبدیل یکاهای زاویه عبارت هستند از:
$$ radian = \frac { degree \times \pi }{ ۱۸۰ ^ { \circ }} $$
$$ gradian = \frac { degree \times ۴۰۰ }{ ۳۶۰ ^ { \circ }} $$
- degree: درجه
- radian: رادیان
- gradian: گرادیان
به این ترتیب، اگر جدول سینوس و کسینوس، بر اساس یکی از یکاهای درجه، رادیان و گرادیان نوشته شده باشد، می‌توانید زاویه‌ها را به دو یکای دیگر تبدیل کنید.
ترفند حفظ جدول سینوس و کسینوس زاویه های مهم دایره مثلثاتی
برای به خاطر داشتن جدول سینوس و کسینوس زوایای مهم، نیازی به حفظ کردن تمام اعداد و علامت‌ها نیست. فقط زوایای مهم در ربع اول دایره مثلثاتی (۰ تا ۹۰ درجه) را حفظ کنید. مقادیر سینوس و کسینوس زوایای مهم، در ربع‌های دوم، سوم و چهارم تکرار می‌شوند و فقط علامت آن‌ها در برخی از ربع‌ها تغییر می‌کند. برای درک این موضوع، دایره مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید.
علامت سینوس و کسینوس در ربع‌های مختلف دایره مثلثاتی به صورت زیر است:
- ربع اول: علامت سینوس و کسینوس مثبت است.
- ربع دوم: علامت سینوس، مثبت و علامت کسینوس، منفی است.
- ربع سوم: علامت سینوس و کسینوس منفی است.
- ربع چهارم: علامت سینوس، منفی و علامت کسینوس مثبت است.
با به خاطر داشتن مقادیر سینوس و کسینوس ربع اول دایره مثلثاتی و علامت آن‌ها در ربع‌های دیگر، به راحتی می‌توانید سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم را حفظ کنید.
جدول سینوس کسینوس زاویه های غیرمتداول اما مهم
هنگام بحث در مورد جدول سینوس و کسینوس، معمولا سینوس و کسینوس زوایایی نظیر ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه به ذهن می‌آید.
با وجود تاکید منابع مختلف بر روی این زوایای مهم، زاویه‌های دیگری نیز وجود دارند که سینوس و کسینوس آن‌ها، از اهمیت بالایی در حوزه‌های مختلف برخوردار هستند. این زوایا در جدول زیر آورده شده‌اند.
| زاویه (درجه) | سینوس زاویه | کسینوس زاویه |
| $$ ۱۵ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۶ } - \sqrt { ۲ } } { ۴ } \approx ۰/۲۵۹ $$ | $$ \frac { \sqrt { ۶ } + \sqrt { ۲ } } { ۴ } \approx ۰/۹۶۶ $$ |
| $$ ۳۶ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۵ - \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۵۸۸ $$ | $$ \frac { \sqrt { ۵ } + ۱ } { ۴ } \approx ۰/۸۰۹ $$ |
| $$ ۵۳ ^ { \circ } $$ | $$ ۰/۷۹۹ $$ | $$ ۰/۶۰۲ $$ |
| $$ ۷۲ ^ { \circ } $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۵ + \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۹۵۱ $$ | $$ \frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۳ - \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۳۰۹ $$ |
زوایای معرفی شده در جدول بالا و مقادیر سینوس و کسینوس آن‌ها، در بسیاری از مسائل ریاضی مقاطع دبیرستان و دانشگاه آورده می‌شوند.
سوالات متداول در رابطه با جدول سینوس و کسینوس
در آخرین بخش از این مطلب مجله فرادرس، به برخی از پرتکرارترین سوالات مرتبط با جدول سینوس و کسینوس و زاویه‌های مهم در این جدول پاسخ می‌دهیم.
زاویه های مهم در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟
زوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰، مهمترین زوایا در جدول سینوس و کسینوس هستند.
مهمترین زوایای غیرمتداول در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟
زوایای ۱۵، ۳۶، ۵۳ و ۷۲، از زوایای مهمی هستند که معمولا در جدول سینوس و کسینوس نمایش داده نمی‌شوند. سینوس و کسینوس این زوایا، کاربردهای زیادی در حوزه‌های مختلف دارد.
یکای زاویه ها در جدول سینوس و کسینوس چیست؟
درجه و رادیان، متداول‌ترین یکای زاویه در جدول سینوس کسینوس هستند.
رابطه بین جدول سینوس کسینوس با جدول تانژانت و کتانژانت چیست؟
با تقسیم مقادیر جدول سینوس و کسینوس بر هم، مقادیر جدول تانژانت و کتانژانت به دست می‌آید. تانژانت، حاصل تقسیم سینوس بر کسینوس و کتانژانت، حاصل تقسیم کسینوس بر روی سینوس است.
سینوس و کسینوس کدام زاویه با هم برابرند؟
سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ درجه با هم برابرند.
سینوس و کسینوس زاویه ۰ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۰ و کسینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۱ است.
سینوس و کسینوس زاویه ۳۰ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با یکدوم و کسینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم است.
سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ درجه چند است؟
سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ برابر با رادیکال دو دوم است.
سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم و کسینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با یکدوم است.
سینوس و کسینوس زاویه ۹۰ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۱ و کسینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۰ است.
سینوس و کسینوس زاویه ۱۵ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۱۵ درجه، تقریبا برابر با ۰/۲۵۹ و کسینوس زاویه ۱۵ درجه، تقریبا برابر با ۰/۹۶۶ است.
سینوس و کسینوس زاویه ۳۶ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۳۶ درجه، تقریبا برابر با ۰/۵۸۸ و کسینوس زاویه ۳۶ درجه، تقریبا برابر با ۰/۸۰۹ است.
سینوس و کسینوس زاویه ۷۲ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۷۲ درجه، تقریبا برابر با ۰/۹۵۱ و کسینوس زاویه ۷۲ درجه، تقریبا برابر با ۰/۳۰۹ است.
سینوس و کسینوس زاویه ۵۳ درجه چند است؟
سینوس زاویه ۵۳ درجه، تقریبا برابر با ۰/۷۹۹ و کسینوس زاویه ۵۳ درجه، تقریبا برابر با ۰/۶۰۲ است.
علامت مقادیر جدول سینوس و کسینوس در ربع های دایره مثلثاتی چگونه است؟
علامت سینوس در ربع‌های اول و دوم، مثبت بوده و در ربع‌های سوم و چهارم، منفی است. علامت کسینوس، در ربع‌های اول و چهارم، مثبت بوده و در ربع‌های دوم و سوم منفی است.
