جدول سینوس کسینوس در یک نگاه

۳۶۰۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ دی ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
جدول سینوس کسینوس در یک نگاه

جدول سینوس کسینوس، جدولی است که مقادیر نسبت‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس را برای زاویه‌های مهم از جمله زاویه‌های ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ نشان می‌دهد. البته، در برخی از موارد، زوایای متقارن با زوایای مذکور در ربع‌های مختلف دایره مثلثانی نیز در جدول سینوس و کسینوس نمایش داده می‌شوند. در این مطلب از مجله فرادرس، قصد داریم به بررسی مقادیر جدول‌های سینوس و کسینوس زوایای مهم بپردازیم. علاوه بر این، جدول سینوس و کسینوس برخی از زوایای غیرمتداول اما کاربردی را نیز ارائه کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

در ادامه، ابتدا به معرفی سینوس و کسینوس زوایای مهم نظیر زاوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه در قالب چند جدول می‌پردازیم. زاویه‌های سینوس و کسینوس، معمولا بر حسب رادیان یا درجه بیان می‌شوند. بنابراین، جدول سینوس کسینوس را هم برای یکای درجه و هم برای یکای رادیان می‌آوریم. سپس، فرمول تبدیل درجه به رادیان و گرادیان را معرفی می‌کنیم. در نهایت، به مرور جدول سینوس کسینوس زوایای مهم در حوزه‌های مختلف می‌پردازیم.

جدول سینوس کسینوس زاویه های مهم

در دایره مثلثاتی، زاویه‌هایی مانند زاویه ۰ درجه، زاویه ۳۰، زاویه ۴۵، زاویه ۶۰ درجه و زاویه ۹۰ درجه، از اهمیت بیشتری نسبت به زاویه‌های دیگر برخوردارند.

به همین دلیل، معمولا در کتاب‌های ریاضی، تاکید بیشتری بر سینوس و کسینوس این زاویه‌ها می‌شود. در ادامه، جدول سینوس کسینوس زاویه‌های مهم را آورده‌ایم.

زاویه (درجه)سینوس زاویهکسینوس زاویه
$$ ۰ ^ { \circ } $$$$ ۰ $$$$ ۱ $$
$$ ۳۰ ^ { \circ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ ۴۵ ^ { \circ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ ۶۰ ^ { \circ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ ۹۰ ^ { \circ } $$$$ ۱ $$$$ ۰ $$

یکای زاویه‌های نمایش داده شده در جدول بالا، درجه است. جدول زیر، سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم را بر حسب یکای رادیان نمایش می‌دهد.

زاویه (رادیان)سینوس زاویهکسینوس زاویه
$$ ۰ $$$$ ۰ $$$$ ۱ $$
$$ \frac { \pi } { ۶ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ \frac { \pi } { ۴ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ \frac { \pi } { ۳ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ \frac { \pi } { ۲ } $$$$ ۱ $$$$ ۰ $$

زاویه‌هایی که در جداول بالا معرفی کردیم، در ربع اول دایره مثلثاتی (زاویه ۰ تا ۹۰ درجه) قرار دارند. قرینه این زاویه‌ها در ربع‌های دوم، سوم و چهارم نیز برای ما مهم هستند. بنابراین، در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، جدول سینوس کسینوس این زاویه‌ها را آورده‌ایم.

زاویه (درجه)سینوس زاویهکسینوس زاویه
$$ ۱۲۰ ^ { \circ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ ۱۳۵ ^ { \circ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ ۱۵۰ ^ { \circ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ ۱۸۰ ^ { \circ } $$$$ ۰ $$$$ - ۱ $$
$$ ۲۱۰ ^ { \circ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ ۲۲۵ ^ { \circ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ ۲۴۰ ^ { \circ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ ۲۷۰ ^ { \circ } $$$$ - ۱ $$$$ ۰ $$
$$ ۳۰۰ ^ { \circ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ ۳۱۵ ^ { \circ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ ۳۳۰ ^ { \circ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ ۳۶۰ ^ { \circ } $$$$ ۰ $$$$ ۱ $$

زاویه $$ ۳۶۰ ^ { \circ } $$، بر روی زاویه $$ ۰ ^ { \circ } $$ منطبق می‌شود. از این‌رو، مقادیر سینوس و کسینوس این زاویه و تمام زوایایی که مضربی از ۳۶۰ هستند با سینوس و کسینوس زاویه $$ ۰ ^ { \circ } $$ برابر خواهد بود.

تصویری ساده و حداقلی از فضای آرام یک کلاس خالی با میزهای به‌درستی مرتب شده، تخته‌سیاه تمیز و نور خورشید که از پنجره‌ها می‌تابد.

در ادامه، جدول سینوس کسینوس زوایای مهم ربع‌های دوم تا چهارم دایره مثلثاتی بر حسب رادیان آورده شده است.

زاویه (رادیان)سینوس زاویهکسینوس زاویه
$$ \frac { ۲ \pi } { ۳ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ \frac { ۳ \pi } { ۴ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ \frac { ۵ \pi } { ۶ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ \pi $$$$ ۰ $$$$ - ۱ $$
$$ \frac { ۷ \pi } { ۶ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ \frac { ۵ \pi } { ۴ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ \frac { ۴ \pi } { ۳ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ \frac { ۳ \pi } { ۲ } $$$$ - ۱ $$$$ ۰ $$
$$ \frac { ۵ \pi } { ۳ } $$$$ - \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$$$ \frac { ۱ } { ۲ } $$
$$ \frac { ۷ \pi } { ۴ } $$$$ - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } $$
$$ \frac { ۱۱ \pi } { ۶ } $$$$ - \frac { ۱ } { ۲ } $$$$ \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ } $$
$$ ۲ \pi $$$$ ۰ $$$$ ۱ $$

تبدیل درجه به رادیان و گرادیان

درجه، رایج‌ترین یکای مورد استفاده برای بیان زاویه است. در مثلثات، اغلب از این یکا یا رادیان برای بیان سینوس، کسینوس و دیگر نسبت‌های مثلثاتی یک زاویه استفاده می‌شود. علاوه بر رادیان، گرادیان نیز به عنوان یکی از یکاهای شناخته شده زاویه به شمار می‌رود. فرمول‌‌‌های تبدیل یکاهای زاویه عبارت هستند از:

$$ radian = \frac { degree \times \pi }{ ۱۸۰ ^ { \circ }} $$

$$ gradian = \frac { degree \times ۴۰۰ }{ ۳۶۰ ^ { \circ }} $$

  • degree: درجه
  • radian: رادیان
  • gradian: گرادیان

به این ترتیب، اگر جدول سینوس و کسینوس، بر اساس یکی از یکاهای درجه، رادیان و گرادیان نوشته شده باشد، می‌توانید زاویه‌ها را به دو یکای دیگر تبدیل کنید.

ترفند حفظ جدول سینوس و کسینوس زاویه های مهم دایره مثلثاتی

برای به خاطر داشتن جدول سینوس و کسینوس زوایای مهم، نیازی به حفظ کردن تمام اعداد و علامت‌ها نیست. فقط زوایای مهم در ربع اول دایره مثلثاتی (۰ تا ۹۰ درجه) را حفظ کنید. مقادیر سینوس و کسینوس زوایای مهم، در ربع‌های دوم، سوم و چهارم تکرار می‌شوند و فقط علامت آن‌ها در برخی از ربع‌ها تغییر می‌کند. برای درک این موضوع، دایره مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید.

برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگ‌تر، بر روی آن کلیک کنید.

علامت سینوس و کسینوس در ربع‌های مختلف دایره مثلثاتی به صورت زیر است:

  • ربع اول: علامت سینوس و کسینوس مثبت است.
  • ربع دوم: علامت سینوس، مثبت و علامت کسینوس، منفی است.
  • ربع سوم: علامت سینوس و کسینوس منفی است.
  • ربع چهارم: علامت سینوس، منفی و علامت کسینوس مثبت است.

با به خاطر داشتن مقادیر سینوس و کسینوس ربع اول دایره مثلثاتی و علامت آن‌ها در ربع‌های دیگر، به راحتی می‌توانید سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم را حفظ کنید.

جدول سینوس کسینوس زاویه های غیرمتداول اما مهم

هنگام بحث در مورد جدول سینوس و کسینوس، معمولا سینوس و کسینوس زوایایی نظیر ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه به ذهن می‌آید.

با وجود تاکید منابع مختلف بر روی این زوایای مهم، زاویه‌های دیگری نیز وجود دارند که سینوس و کسینوس آن‌ها، از اهمیت بالایی در حوزه‌های مختلف برخوردار هستند. این زوایا در جدول زیر آورده شده‌اند.

زاویه (درجه)سینوس زاویهکسینوس زاویه
$$ ۱۵ ^ { \circ } $$$$
\frac { \sqrt { ۶ } - \sqrt { ۲ } } { ۴ } \approx ۰/۲۵۹
$$
$$
\frac { \sqrt { ۶ } + \sqrt { ۲ } } { ۴ } \approx ۰/۹۶۶
$$
$$ ۳۶ ^ { \circ } $$$$
\frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۵ - \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۵۸۸
$$
$$
\frac { \sqrt { ۵ } + ۱ } { ۴ } \approx ۰/۸۰۹
$$
$$ ۵۳ ^ { \circ } $$$$ ۰/۷۹۹ $$$$ ۰/۶۰۲ $$
$$ ۷۲ ^ { \circ } $$$$
\frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۵ + \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۹۵۱
$$
$$
\frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۳ - \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۳۰۹
$$

زوایای معرفی شده در جدول بالا و مقادیر سینوس و کسینوس آن‌ها، در بسیاری از مسائل ریاضی مقاطع دبیرستان و دانشگاه آورده می‌شوند.

سوالات متداول در رابطه با جدول سینوس و کسینوس

در آخرین بخش از این مطلب مجله فرادرس، به برخی از پرتکرارترین سوالات مرتبط با جدول سینوس و کسینوس و زاویه‌های مهم در این جدول پاسخ می‌دهیم.

تصویری ساده و حداقلی از فضای آرام یک کلاس خالی با میزهای به‌درستی مرتب شده، تخته‌سیاه تمیز و نور خورشید که از پنجره می‌تابد.

زاویه های مهم در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟

زوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰، مهم‌ترین زوایا در جدول سینوس و کسینوس هستند.

مهم‌ترین زوایای غیرمتداول در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟

زوایای ۱۵، ۳۶، ۵۳ و ۷۲، از زوایای مهمی هستند که معمولا در جدول سینوس و کسینوس نمایش داده نمی‌شوند. سینوس و کسینوس این زوایا، کاربردهای زیادی در حوزه‌های مختلف دارد.

یکای زاویه ها در جدول سینوس و کسینوس چیست؟

درجه و رادیان، متداول‌ترین یکای زاویه در جدول سینوس کسینوس هستند.

رابطه بین جدول سینوس کسینوس با جدول تانژانت و کتانژانت چیست؟

با تقسیم مقادیر جدول سینوس و کسینوس بر هم، مقادیر جدول تانژانت و کتانژانت به دست می‌آید. تانژانت، حاصل تقسیم سینوس بر کسینوس و کتانژانت، حاصل تقسیم کسینوس بر روی سینوس است.

سینوس و کسینوس کدام زاویه با هم برابرند؟

سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ درجه با هم برابرند.

سینوس و کسینوس زاویه ۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۰ و کسینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۱ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۳۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با یک‌دوم و کسینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم است.

سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ درجه چند است؟

سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ برابر با رادیکال دو دوم است.

سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم و کسینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با یک‌دوم است.

سینوس و کسینوس زاویه ۹۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۱ و کسینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۰ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۱۵ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۱۵ درجه، تقریبا برابر با ۰/۲۵۹ و کسینوس زاویه ۱۵ درجه، تقریبا برابر با ۰/۹۶۶ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۳۶ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۳۶ درجه، تقریبا برابر با ۰/۵۸۸ و کسینوس زاویه ۳۶ درجه، تقریبا برابر با ۰/۸۰۹ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۷۲ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۷۲ درجه، تقریبا برابر با ۰/۹۵۱ و کسینوس زاویه ۷۲ درجه، تقریبا برابر با ۰/۳۰۹ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۵۳ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۵۳ درجه، تقریبا برابر با ۰/۷۹۹ و کسینوس زاویه ۵۳ درجه، تقریبا برابر با ۰/۶۰۲ است.

علامت مقادیر جدول سینوس و کسینوس در ربع های دایره مثلثاتی چگونه است؟

علامت سینوس در ربع‌های اول و دوم، مثبت بوده و در ربع‌های سوم و چهارم، منفی است. علامت کسینوس، در ربع‌های اول و چهارم، مثبت بوده و در ربع‌های دوم و سوم منفی است.

بر اساس رای ۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *