مجموع زوایای داخلی مثلث چند درجه است؟ + اثبات و مثال به زبان ساده

۵۰۶۷۲ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
مجموع زوایای داخلی مثلث چند درجه است؟ + اثبات و مثال به زبان ساده

مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است. از مجموع زاویه های داخلی مثلث می‌توان برای محاسبه مجموع زاویه های داخلی تمام چند ضلعی‌ها استفاده کرد. در واقع، فرمول مخصوص مجموع زوایای داخلی، برگرفته از رابطه هندسی بین مثلث با چند ضلعی‌های دیگر است. در این مقاله از مجله فرادرس، نحوه محاسبه مجموع زوایای داخلی مثلث و استفاده از آن برای محاسبه مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌های دیگر را به همراه حل چند مثال متنوع آموزش می‌دهیم.

فهرست مطالب این نوشته

مثلث چیست ؟

در مطلب «مثلث چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» از مجله فرادرس با تعریف مثلث آشنا شدیم. مثلث، یکی از چند ضلعی‌ها و از اشکال هندسی پایه است که از سه ضلع تشکیل می‌شود.

از اجزای اصلی و مهم مثلث می‌توان به قاعده (ضلع)، ارتفاع، راس (محل اتصال ضلع‌ها)، زاویه داخلی و زاویه خارجی اشاره کرد.

انواع مثلث
مثلث مختلف الاضلاع (سبز)، متساوی الساقین (آبی)، متساوی الاضلاع (زرد)، حاده (صورتی)، منفرجه (نارنجی) و قائم الزاویه (بنفش)

زاویه داخلی مثلث چیست ؟

به زاویه‌هایی که درون ضلع‌های مثلث قرار دارند، زاویه‌های داخلی مثلث می‌گویند. مثلث دارای سه زاویه داخلی است. به زاویه‌های مکمل زاویه‌های داخلی مثلث، زاویه‌های خارجی مثلث گفته می‌شود.

زوایای داخلی و خارجی مثلث
زوایای داخلی و خارجی مثلث

مجموع زوایای داخلی مثلث چگونه بدست می آید ؟

شاید تصور کنید که مجموع زوایای داخلی هر مثلث با اندازه‌گیری هر یک از زاویه‌ها توسط روش‌های مستقیم (مانند نقاله) به دست می‌آید.

باید بگوییم که برای تعیین مجموع زاویه های داخلی مثلث، نیازی به این کار نیست؛ چراکه این مجموع، برای تمام مثلث‌ها برابر است.

زوایای داخلی مثلث (الف ب پ)
مثلث (الف ب پ)

مجموع زوایای داخلی مثلث، همواره برابر 180 درجه است. به عبارت دیگر:

180° = زاویه (پ) + زاویه (ب) + زاویه (الف)

فرمول مجموع زوایای داخلی مثلث چیست ؟

به طور کلی، مجموع زوایای داخلی تمام چند ضلعی‌ها با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

  • S: مجموع زوایای داخلی چند ضلعی
  • n: تعداد ضلع‌ها

مثال 1: محاسبه مجموع زوایای داخلی مثلث

مجموع زاویه های داخلی مثلث را با استفاده فرمول به دست بیاورید.

برای حل این مثال، فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها را برای مثلث می‌نویسیم:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

  • S: مجموع زوایای داخلی مثلث
  • n: تعداد ضلع‌های مثلث برابر 3

تعداد ضلع‌ها را درون فرمول قرار می‌دیم و آن را حل می‌کنیم:

$$
S = (3-2) \times 180°
$$

$$
S = (1) \times 180°
$$

$$
S = 180°
$$

در نتیجه، مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر با 180 درجه است.

روش های مختلف اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث

در این بخش، اثبات مجموع زاویه های داخلی مثلث را با استفاده از روش‌های ابتدایی و استدلال‌های هندسی آموزش می‌دهیم.

روش اول: اثبات مجموع زاویه های داخلی مثلث با استفاده از کاغذ یا مقوا

برای شروع اثبات مجموع زوایای داخلی یک مثلث، ابتدا شکل یک مثلث را بر روی کاغذ یا مقوا رسم کنید.

رسم مثلث
رسم مثلث

در مرحله بعدی، گوشه‌های مثلث را مانند شکل زیر، رنگ یا علامت بزنید. گوشه‌های مثلث، زوایای داخلی آن هستند.

رنگ‌آمیزی و علامت‌گذاری گوشه‌های مثلث
رنگ‌آمیزی و علامت‌گذاری گوشه‌های مثلث

گوشه‌های مثلث را از روی کاغذ یا مقوا جدا کنید.

جدا کردن گوشه‌های مثلث
جدا کردن گوشه‌های مثلث

گوشه‌های مثلث را مانند تصویر زیر در کنار یکدیگر قرار دهید. توجه داشته باشید که ضلع هر گوشه باید بر روی ضلع گوشه مجاور منطبق شود.

قرار دادن گوشه‌های مثلث در کنار یکدیگر
قرار دادن گوشه‌های مثلث در کنار یکدیگر

با توجه به تصویر بالا، سه گوشه مثلث در کنار یکدیگر، یک زاویه نیم صفحه می‌سازند. زاویه نیم صفحه برابر 180 درجه است. در نتیجه، مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه خواهد بود.

روش دوم: اثبات مجموع زاویه های داخلی مثلث با قضیه خطوط موازی و مورب

روش دوم برای تعیین و اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث، استفاده از قضیه خطوط موازی و مورب است. بر اساس این قضیه، اگر خط d، دو خط موازی a و b را مطابق با تصویر زیر قطع کند، زاویه‌های ۱ و ۷ با هم، زاویه‌های ۲ و ۸ با هم، زاویه‌های ۳ و ۵ با هم و زاویه‌های ۴ و ۶ با هم برابر خواهند بود.

خطوط موازی و مورب
زاویه‌های ایجاد شده در اثر برخورد خطوط موازی و مورب

با توجه به قضیه خطوط موازی و مورب، یک مثلث دلخواه (مانند مثلث ABC در تصویر زیر) را در نظر بگیرید.

رسم مثلث
رسم مثلث

برای اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث ABC، خط d را موازی با ضلع BC از روی راس A رسم می‌کنیم.

رسم خط موازی با یکی از ضلع‌های مثلث و گذرنده از راس مقابل آن ضلع
رسم خط موازی با یکی از ضلع‌های مثلث و گذرنده از راس مقابل آن ضلع

خط d با ضلع‌های AB و AC، سه زاویه می‌سازد. این زاویه‌ها را با اعداد 1، 2 و 3 نامگذاری می‌کنیم.

عددگذاری زاویه‌های بین خط موازی با ضلع BC و گذرنده از راس A برای اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث
عددگذاری زاویه‌های بین خط موازی با ضلع BC و گذرنده از راس A

با توجه به قضیه خطوط موازی و مورب، می‌توان ضلع‌های AB و AC را به عنوان خط‌های مورب AB و d در نظر گرفت.

اگر AB مورب خطوط موازی d و BC باشد، زاویه راس B برابر با زاویه شماره 1 خواهد بود.

زاویه راس B و زاویه 1
زاویه راس B برابر زاویه 1 است.

اگر AC، مورب خطوط موازی d و BC باشد، زاویه راس C برابر با زاویه شماره 3 خواهد بود.

زاویه راس C و زاویه 3
زاویه راس C برابر زاویه 3 است.

زاویه راس A نیز برابر زاویه شماره 3 است. مجموع زوایای 1، 2 و 3، یک زاویه نیم صفحه را تشکیل می‌دهند. بنابراین، مجموع این زوایا برابر 180 درجه است:

180° = زاویه 3 + زاویه 2 + زاویه 1

اکنون به جای هر یک از زاویه‌های رابطه بالا، زاویه برابر با آن‌ها را قرار می‌دهیم:

  • زاویه 1 = B
  • زاویه 2 = A
  • زاویه 3 = C

$$
B + A + C = 180°
$$

در نتیجه، مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است. مجموع زاویه های داخلی مثلث، برای تعیین مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها نیز کاربرد دارد. در بخش‌های بعدی، این کاربرد را با حل چند مثال توضیح می‌دهیم.

مثال های مجموع زوایای داخلی مثلث

در این بخش، چند مثال از مجموع زوایای داخلی انواع مثلث و کاربرد مثلث در تعیین مجموع زوایای داخلی اشکال چند ضلعی‌ را توضیح می‌دهیم.

مثال 2: مجموع زوایای داخلی مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین، مثلثی است که دو ضلع آن (ساق‌ها) با هم و دو زاویه آن با هم مساوی هستند. اگر زاویه‌های مساوی یک مثلث متساوی الساقین، برابر 50 درجه باشند، زاویه سوم آن را حساب کنید.

مجموع زوایای داخلی مثلث متساوی الساقین با دو زاویه 50 درجه
مثلث متساوی الساقین با دو زاویه 50 درجه

مجموع زاویه های داخلی یک مثلث برابر 180 درجه است. بنابراین، می‌توانیم رابطه زیر را برای مثلث متساوی الساقین بنویسیم:

180° = زاویه C + زاویه B + زاویه A

  • B = 50°
  • C = 50°

زاویه‌های معلوم را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

180° = 50° + 50° + زاویه A

180° = 100° + زاویه A

100° - 180° = زاویه A

80° = زاویه A

در نتیجه، زاویه داخلی سوم برابر 80 درجه است.

مثال 3: مجموع زوایای داخلی مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه، مثلثی با یک زاویه راست یا قائمه است. تصویر زیر، یک مثلث متساوی الساقین با زاویه راست را نمایش می‌دهد. اندازه زاویه های داخلی این مثلث را حساب کنید.

مجموع زوایای داخلی مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه
مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه

از آنجایی که مثلث بالا از نوع قائم الزاویه است، یکی از زاویه‌های آن (با توجه به تصویر، زاویه راس B) برابر با 90 درجه خواهد بود. علاوه بر این، به دلیل متساوی الساقین بودن مثلث، زاویه دو راس دیگر با یکدیگر برابر هستند. به عبارت دیگر:

$$
\angle A = \angle C
$$

می‌دانیم که مجموع زاویه های داخلی تمام مثلث‌ها برابر 180 درجه است. این قضیه را برای مثلث ABC می‌نویسیم:

$$
\angle A + \angle B + \angle C = 180^{ \circ}
$$

  • $$\angle A$$: زاویه راس A
  • $$\angle B$$: زاویه راس B برابر 90 درجه
  • $$\angle C$$: زاویه راس C

زاویه 90 را درون فرمول قرار می‌دهیم و به جای زاویه راس C، زاویه راس A را دوباره می‌نویسیم (به دلیل برابر بودن این دو زاویه):

$$
\angle A + 90^{ \circ} + \angle A = 180^{ \circ}
$$

$$
2 (\angle A) + 90^{ \circ} = 180^{ \circ}
$$

$$
2 (\angle A) = 180^{ \circ} - 90^{ \circ}
$$

$$
2 (\angle A) = 90^{ \circ}
$$

$$
\angle A = \frac{90^{ \circ}} {2}
$$

$$
\angle A = 45^{ \circ}
$$

در نتیجه، زاویه راس A و زاویه راس C برابر 45 درجه هستند.

مثال 4: مجموع زوایای داخلی مثلث متساوی الاضلاع

مثلث نمایش داده شده در تصویر زیر، دارای سه ضلع هم اندازه است. اندازه هر یک از زاویه‌های داخلی آن را حساب کنید.

مجموع زوایای داخلی مثلث با سه ضلع برابر
مثلثی با سه ضلع برابر

مثلث متساوی الاضلاع، مثلثی با سه ضلع و زاویه مساوی است. این مثلث، یک چند ضلعی منتظم به شمار می‌رود. به دلیل برابر بودن تمام زاویه‌ها، اندازه هر زاویه مثلث متساوی الاضلاع را می‌توان با استفاده از نسبت زیر به دست آورد:

$$
\frac {(n-2) \times 180^{ \circ } } { n }
$$

  • n: تعداد ضلع‌های مثلث

در واقع نسب بالا، حاصل جمع زاویه های داخلی مثلث متساوی الاضلاع تقسیم بر تعداد ضلع‌ها را نمایش می‌دهد. با قرار دادن عدد 3 (تعداد ضلع‌های مثلث) در این فرمول، خواهیم داشت:

$$
\frac {(3-2) \times 180^{ \circ } } { 3 }
$$

$$
\frac {(1) \times 180^{ \circ } } { 3 }
$$

$$
60^{ \circ }
$$

در نتیجه، اندازه هر یک از زاویه های مثلث متساوی الاضلاع برابر 60 درجه است.

مثال 5: مجموع زوایای داخلی مربع توسط مثلث

مجموع زوایای داخلی مربع زیر را با در نظر گرفتن مجموع زاویه های داخلی مثلث و بدون استفاده از فرمول تعیین کنید.

مربع

یکی از روش‌های تعیین مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی‌ها، تقسیم‌بندی آن‌ها به چند مثلث است. بر اساس این روش، ابتدا باید یکی از راس‌های چند ضلعی (در اینجا مربع)، را انتخاب کرده و آن را توسط پاره خط به تمام راس‌های غیر مجاور، وصل کرد.

اتصال یکی از راس‌های مربع به راس‌های غیر مجاور برای تعیین مجموع زوایای داخلی مثلث ها
اتصال یکی از راس‌های مربع به راس‌های غیر مجاور

به این ترتیب، مربع به دو مثلث تبدیل می‌شود. همان طور که مشاهده می‌کنید، جمع زوایای داخلی این دو مثلث، جمع زوایای داخلی مربع است. در نتیجه:

180° + 180° = جمع زوایای داخلی مربع

360° = جمع زوایای داخلی مربع

در نتیجه، جمع زاویه های داخلی مربع برابر 360 درجه است. توجه داشته باشید که این روش برای تمام چهار ضلعی‌ها و چند ضلعی‌های دیگر نیز قابل استفاده است. در واقع، فرمول مجموع زاویه های داخلی N ضلعی، با استفاده از رابطه بین مثلث و چند ضلعی‌ها به دست می‌آید.

مثال 6: مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی توسط مثلث

مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی زیر را با استفاده از تقسیم‌بندی آن به مثلث و فرمول تعیین کنید.

هشت ضلعی

با توجه به تعداد ضلع‌ها، شکل بالا یک هشت ضلعی است. به منظور تقسیم‌بندی این هشت ضلعی به چند مثلث، یکی از راس‌های آن را انتخاب کرده و آن را توسط چند پاره خط به راس‌های غیر مجاور وصل می‌کنیم.

تقسیم‌بندی هشت ضلعی به چند مثلث برای تعیین مجموع زوایای داخلی مثلث ها
تقسیم‌بندی هشت ضلعی به چند مثلث

تعداد مثلث‌های ایجاد شده برابر شش است. مجموع زاویه های داخلی هر مثلث نیز برابر 180 درجه است. بنابراین، جمع زوایای داخلی این شش مثلث برابر مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی خواهد بود:

$$
180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ }
$$

$$
=1080^{ \circ }
$$

در نتیجه، مجموع زاویه های داخلی هشت ضلعی برابر 1080 درجه است. اکنون، فرمول مجموع زاویه های داخلی n ضلعی را برای هشت ضلعی می‌نویسیم:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

  • S: مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی
  • n: تعداد ضلع‌های هشت ضلعی برابر 8

تعداد ضلع‌ها را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$
S = (8-2) \times 180°
$$

$$
S = (6) \times 180°
$$

$$
S = 1080°
$$

سوالات متداول مجموع زاویه های داخلی مثلث

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه مجموع زاویه های داخلی مثلث پاسخ می‌دهیم.

مجموع زاویه های داخلی مثلث چند درجه است ؟

مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر 180 درجه است.

مجموع زاویه های خارجی مثلث چند درجه است ؟

مجموع زاویه های خارجی مثلث برابر 360 درجه است.

فرمول مجموع زاویه های داخلی مثلث چیست ؟

فرمول مجموع زوایای داخلی مثلث برابر °180×(n-2) است که در آن، n، تعداد ضلع‌های مثلث را نمایش می‌دهد.

مجموع زاویه های داخلی انواع مثلث با هم تفاوت دارند؟

خیر. مجموع زوایای داخلی مثلث‌های مختلف الاضلاع، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، حاده، قائم الزاویه و منفرجه برابر 180 درجه است و نوع مثلث، تاثیری بر روی این عدد ندارد.

اندازه هر یک از زاویه های داخلی مثلث متساوی الاضلاع چقدر است؟

اندازه هر زاویه داخلی مثلث متساوی الاضلاع برابر 60 درجه است.

بر اساس رای ۳۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرسریاضی پایه هشتم
۲ دیدگاه برای «مجموع زوایای داخلی مثلث چند درجه است؟ + اثبات و مثال به زبان ساده»

سلام
اگر بخواهیم با داشتن اندازه سه ضلع مثلثی اندازه زوایای آن را برحسب درجه بدست آوریم از فرمول مساحت مثلث به حالت ض ز ض کمک گرفتم ولی وقتی یکی از زوایای مثلث باز (منفرجه) است اندازه صحیح بدست نمی آید چرا؟

سلام و وقت بخیر؛

به منظور محاسبه اندازه زاویه‌های یک مثلث با سه ضلع معلوم باید از قانون کسینوس‌ها استفاده کنید. برای یادگیری این قانون مطالعه مطلب «قانون کسینوس‌ ها — به زبان ساده» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

سلامت و موفق باشید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *