مکانیک , مهندسی 318 بازدید

شاید برای شما هم این سوال پیش آمده باشد که چرا دوچرخه در حالت سکون، به زمین می‌افتد؛ ولی دوچرخه در حال حرکت می‌تواند تعادل خودش را حفظ کند؟ فیزیک ژیروسکوپ (Gyroscope) یکی از مفاهیم دشوار فیزیک است که درک آن، به دقت و توجه زیادی نیاز دارد. اولین بار «لئون فوکو» (Leon Foucault)، فیزیکدان فرانسوی در سال 1852 برای نشان دادن حرکت زمین، از این ابزار استفاده کرد. هنگامی که ژیروسکوپ شروع به دوران می‌کند، اولین سوالی که به ذهن می‌رسد این است که چرا به دلیل نیروی جاذبه، روی زمین نمی‌افتد. در این مقاله خواهیم دید که بدون نیاز به استفاده از ریاضیات پیچیده، می‌توان این مفهوم را به خوبی درک کرد. در اینجا، حرکت ژیروسکوپ نشان داده شده است.

حرکت ژیروسکوپ

شماتیک یک ژیروسکوپ را می‌توان به صورت زیر رسم کرد. در این شکل، سرعت زاویه‌ای ثابت دیسک با $$\omega_s$$ و بر حسب رادیان بر ثانیه نشان داده شده است. $$\omega_p$$ نشان دهنده سرعت حرکت تقدیمی (Precession) بوده و با واحد رادیان بر ثانیه اندازه گرفته می‌شود. طول میله با $$L$$ و شعاع دیسک با $$r$$ نشان داده شده‌اند. زاویه $$\theta$$ بیانگر زاویه بین میله و خط عمود به زمین است و مقدار ثابتی دارد. هنگامی که دیسک با سرعت زاویه‌ای $$\omega_s$$ دوران می‌کند، سرعت حرکت تقدیمی ژیروسکوپ حول لولایی که روی زمین قرار دارد، برابر با $$\omega_p$$ است (زاویه $$\theta$$ در این حرکت ثابت می‌ماند). حال می‌خواهیم به پرسشی که در ابتدای مقاله مطرح شد، پاسخ دهیم.

به دلیل دوران مرکب و با سرعت‌های زاویه‌ای $$\omega_s$$ و $$\omega_p$$، گشتاوری به دیسک دوار وارد می‌شود. این گشتاور با حاصل ضرب خارجی $$\overrightarrow{\omega_s}\times\overrightarrow{\omega_p}$$ متناسب است. برای تعیین جهت این گشتاور از قانون دست راست استفاده می‌کنیم. در نتیجه گشتاوری در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت به سیستم وارد می‌شود. از طرفی، نیروی گرانش باعث می‌شود گشتاوری در جهت حرکت عقربه‌های ساعت به دیسک وارد شود. تقابل این دو گشتاور که خلاف جهت هم هستند، از افتادن ژیروسکوپ جلوگیری می‌کند. اکنون می‌توانیم معادلات حرکت را برای ژیروسکوپ بنویسیم.

تحلیل ریاضی حرکت ژیروسکوپ

محورهای مختصات XYZ را به صورت شکل زیر برای ژیروسکوپ رسم می‌کنیم. محورهای مختصات به زمین ثابت شده‌اند.

نیروهای وارد بر ژیروسکوپ

در شکل بالا، $$g$$ نماد شتاب گرانش است. نقطه G مرکز جرم دیسک را نشان می‌دهد. محل تکیه‌گاه نیز با P نمایش داده می‌شود. مبدأ مختصات XYZ، نقطه P است. بردارهای J ،I و K بردارهای یکه هستند و به ترتیب جهت مثبت محورهای Y ،X و Z را نشان می‌دهند. در این حالت، سرعت زاویه‌ای دیسک نسبت به زمین به صورت زیر به دست می‌آید.

$$\large\overrightarrow{\omega_w}=(\omega_s\sin\theta)\hat{J}+(\omega_s\cos\theta+\omega_p)\hat{K}$$

با مشتق‌گیری از رابطه بالا نسبت به زمان، شتاب زاویه‌ای دیسک به شکل زیر محاسبه می‌شود.

$$\large\overrightarrow{a_w}=\frac{d[(\omega_s\sin\theta)\hat{J}]}{dt}+\frac{d[(\omega_s\cos\theta\:+\omega_p)\hat{K}]}{dt}$$

همان‌طور که پیش‌تر نیز بدان اشاره کردیم، $$\omega_s$$ ثابت است. در نتیجه مشتق آن صفر می‌شود و برای محاسبه رابطه بالا، فقط باید از بردارهای یکه مشتق گرفت. به این ترتیب، رابطه شتاب به شکل زیر ساده می‌شود.

$$\large\overrightarrow{a}_w=-\omega_s\omega_p\sin\theta\:\hat{I}$$

می‌دانیم سرعت زاویه‌ای میله با کمک رابطه زیر محاسبه می‌شود.

$$\large\overrightarrow{\omega}_r=\omega_p\:\hat{K}$$

از آنجایی که سرعت زاویه‌ای میله ثابت است و جهت آن هم تغییر نمی‌کند، شتاب زاویه‌ای آن صفر خواهد بود.

تحلیل دیسک

در این بخش می‌خواهیم نیروها و گشتاورهای وارد به دیسک را تحلیل کنیم. نمودار جسم آزاد دیسک در شکل زیر نشان داده شده است. در این شکل میله را از دیسک جدا کرده‌ایم. به این نکته توجه کنید که دستگاه مختصات محلی xyz، روی دیسک ثابت شده است و به همراه آن حرکت می‌کند. مبدأ این دستگاه مختصات، نقطه G است. دقت کنید که محور x موازی محور X قرار دارد.

معادلات تعادل ژیروسکوپ

در شکل بالا، گشتاور در نقطه G و در راستای محور x را با $$M_x$$ نشان داده‌ایم. گشتاورهای $$M_y$$ و $$M_z$$ نیز به طریقی مشابه تعریف شده‌اند. همچنین $$F_{GX}$$ نیرو را در نقطه G و هم‌راستا با محور X نشان می‌دهد. نیروهای $$F_{GY}$$ و $$F_{GZ}$$ نیز به ترتیب با محورهای Y و Z در یک راستا قرار دارند. قانون دوم نیوتن را برای دیسک می‌نویسیم.

$$\large\sum_{}F_X=F_{GX}=m_wa_{GX}\\~\\
\large\sum_{}F_Y=F_{GY}=m_wa_{GY}\\~\\
\large\sum_{}F_Z=F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ}$$

در رابطه‌های بالا، جرم دیسک با $$m_w$$ نمایش داده شده است. $$a_{GX}$$ شتاب را در نقطه G و در راستای X نشان می‌دهد. شتاب‌های $$a_{GY}$$ و $$a_{GZ}$$ نیز به طوری مشابه و به ترتیب در جهت‌های Y و Z تعریف شده‌اند. از آنجایی که نقطه G روی یک مسیر  افقی به شکل دایره و با سرعت ثابت حرکت می‌کند، شتاب مماسی برابر صفر است.

$$\large F_{GY}=m_wa_{GY}$$

در نتیجه کافیست فقط رابطه‌های دوم و سوم را در نظر بگیریم. حرکت نقطه G روی مسیر دایره‌ای، شتاب مرکزگرا ایجاد می‌کند. این شتاب مرکزگرا به سمت مرکز دوران است. بنابراین رابطه‌های شتاب و نیرو به صورت زیر نوشته می‌شوند.

$$\large a_{GY}=-{\omega_p}^2(L\sin\theta)$$

$$\large F_{GY}=-m_w{\omega_p}^2(L\sin\theta)$$

(رابطه 1)

از آنجایی که نقطه G با سرعت ثابت روی یک دایره افقی حرکت می‌کند، شتاب در راستای Z برابر با صفر است.

$$\large F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ}=0$$

$$\large F_{GZ}=-m_w\:g$$

(رابطه 2)

حال، معادلات حرکت اویلر را در جهت x برای جسم صلب به کار می‌بریم. این معادلات در دو جهت دیگر، مساوی صفر هستند. همان‌طور که می‌دانیم دستگاه مختصات xyz در جهت‌های اصلی اینرسی دیسک قرار گرفته‌اند.

$$\large \sum M_{Gx}=I_{Gx}\alpha_x-(I_{Gy}-I_{Gz})\omega_y\omega_z$$

توجه کنید که نیروهای $$F_{GX}$$ ،$$F_{GY}$$ و $$F_{GZ}$$ حول نقطه G هیچ گشتاوری ایجاد نمی‌کنند. زیرا هر سه نیرو از نقطه G عبور می‌کنند و طول بازوی گشتاور در آنها صفر است. در رابطه بالا، $$I_{Gx}$$ ،$$I_{Gy}$$ و $$I_{Gz}$$، به ترتیب ممان‌های اینرسی را حول نقطه G در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهد. مقدار ممان‌های اینرسی دیسک به دلیل تقارن، به صورت زیر محاسبه می‌شوند.

$$\large I_{Gx}=I_{Gz}=\frac{1}{4}m_wr^2$$

$$\large I_{Gy}=\frac{1}{2}m_wr^2$$

در نتیجه معادله حرکت اویلر در جهت x به دست خواهد آمد.

$$\large M_x=-\frac{1}{4}m_wr^2\omega_s\omega_p\sin\theta-\frac{1}{4}m_wr^2(\omega_s+\omega_p\cos\theta)\omega_p\sin\theta$$

(رابطه 3)

تحلیل میله

در این بخش گشتاورهای وارد شده به میله را حول نقطه P بررسی خواهیم کرد. نمودار جسم آزاد میله به صورت زیر رسم شده است. دستگاه مختصات xyz طوری رسم شده که بتواند با میله حرکت کند. مبدأ این دستگاه در نقطه P قرار دارد. همچنین محورهای این دستگاه نیز در راستای جهت‌های اصلی اینرسی میله قرار گرفته‌اند.

تکیه گاه لولایی

نقطه P به عنوان یک لولای بدون اصطکاک در نظر گرفته شده است. در نتیجه هیچ گشتاوری روی میله ایجاد نخواهد کرد. به منظور محاسبه برآیند گشتاور در نقطه P، معادله حرکت اویلر را در جهت x می‌نویسیم.

$$\large \sum M_{Px}=I_{Px}a_x-(I_{Py}-I_{Pz})\omega_y\omega_z$$

سرعت و شتاب زاویه‌ای میله در دستگاه xyz را می‌توان به صورت زیر نوشت.

$$\large \omega_x=0\:\:,\:\:\omega_y=\omega_p\cos\theta\:\:,\:\:\omega_z=\omega_p\sin\theta\\~\\
\large a_x=a_y=a_z=0$$

در رابطه بالا، $$I_{Px}$$ ،$$I_{Py}$$ و $$I_{Pz}$$، به ترتیب ممان‌های اینرسی میله را حول نقطه P در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهند. ممان‌های اینرسی میله به صورت زیر قابل محاسبه هستند. در رابطه‌های زیر $$m_r$$ جرم میله را نشان می‌دهد.

$$\large I_{Px}=I_{Pz}=\frac{1}{3}m_rL^2\\~\\
\large I_{Py}=0$$

در نتیجه معادله حرکت اویلر در جهت x به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large -m_rg\frac{L}{2}\sin\theta-F_{GZ}L\sin\theta+F_{GY}L\cos\theta-M_x\\
\large=\frac{1}{3}m_rL^2{\omega_p}^2\cos\theta\sin\theta$$

(رابطه 4)

با ادغام رابطه‌های 1 تا 4 به نتیجه زیر میرسیم.

$$\large {\omega_p}^2\cos\theta(\frac{1}{3}m_rL^2-\frac{1}{4}m_wr^2+m_wL^2)\\
\large=\frac{1}{2}m_wr^2\omega_s\omega_p-m_rg\frac{L}{2}-m_wgL$$

حال می‌توان این رابطه را برای هریک از پارامترهای $$\omega_p$$ ،$$\theta$$ و $$\omega_s$$ حل کرد و هریک را برحسب دو پارامتر دیگر به دست آورد.

پایداری ژیروسکوپ

با توجه به مباحث مطرح شده در تکانه زاویه‌ای، تغییرات بردار تکانه زاویه‌ای جسم صلب در بازه زمانی $$t_i$$ تا $$t_f$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود. پارامتر $$H_f$$ بردار تکانه زاویه‌ای را در لحظه نهایی $$t_f$$ نشان می‌دهد. بردار تکانه زاویه‌ای در لحظه اولیه $$t_i$$ نیز برابر با $$H_i$$ است. بردار $$M$$ هم بیانگر گشتاورهای خارجی وارد به جسم صلب است.

$$\large \sum \int_{ti}^{tf}\overrightarrow{M}dt={\overrightarrow{H}}_f-{\overrightarrow{H}}_i$$

با اینکه رابطه بالا برای جسم صلب تعریف شده است، می‌توان آن را برای هر سیستمی از ذرات نیز به کار برد. برای اثبات این موضوع می‌توانید به کتاب‌های کلاسیک در حوزه مهندسی مکانیک مراجعه کنید. این رابطه در دو مورد به کار می‌رود. یکی هنگامی که مبدأ محورهای محلی xyz در مرکز جرم G مربوط به جسم صلب قرار گرفته باشد. در حالت دوم، این مبدأ می‌تواند در نقطه O که روی جسم صلب ثابت است (در صورت وجود) قرار داده شود. در ادامه‌ این بخش، از حالت اول استفاده شده است. بنابراین، گشتاورها، مقادیر اینرسی و تکانه زاویه‌ای نسبت به نقطه G سنجیده خواهند شد.

برای نشان دادن پایداری ژیروسکوپ، جسم صلبی را مانند یک دیسک در نظر بگیرید که تقارن محوری دارد. این جسم در لحظه مورد نظر، با سرعت زاویه‌ای $$\omega$$ در حال دوران است.

پایداری ژیروسکوپ

در شکل بالا، تغییر بردار تکانه زاویه‌ای بین زمان‌های $$t_i$$ و $$t_f$$ با $$\Delta H$$ نشان داده شده است. با توجه به رابطه قبلی، این مقدار برابر با ضربه خارجی است.

با ثابت بودن مقدار $$\Delta H$$، کاهش زاویه φ موجب افزایش مقدار $$H_i$$ می‌شود. یعنی هرچه مقدار تکانه زاویه‌ای اولیه بیشتر باشد، مقدار زاویه φ برای تغییر $$\Delta H$$ به مقدار ثابت، کوچکتر خواهد بود. در نتیجه، اندازه بردار تکانه زاویه‌ای $$H$$ با اندازه بردار سرعت زاویه‌ای $$\omega$$ متناسب است. به عبارت دیگر هرچه سرعت چرخش جسم به دور خود بیشتر شود، زاویه φ کوچکتر می‌شود.

اگر هیچ گشتاور خارجی به جسم وارد نشود، $$H_i=H_f$$ و زاویه φ صفر خواهد بود. در این حالت حرکت جسم، بدون گشتاور است. بنابراین، اندازه و جهت بردار تکانه زاویه‌ای ثابت می‌ماند و تکانه زاویه‌ای پایستار است.

در جسم صلبی که دارای حرکت بدون گشتاور است، محور حرکت تقدیمی، منطبق بر بردار تکانه زاویه‌ای دیده می‌شود. محور حرکت تقدیمی، جهت‌گیری جسم را تعیین می‌کند. در نتیجه، هرگونه تغییر کوچک در جهت بردار تکانه زاویه‌ای موجب تغییر کوچکی در جهت‌گیری جسم می‌شود. یعنی پس از اینکه ضربه خارجی اعمال شود، بار دیگر حرکت جسم، بدون گشتاور می‌شود.

به این ترتیب، هرگاه به جسمی که دارای تقارن محوری است و با سرعت زیاد (بدون گشتاور) به دور خود می‌چرخد، ضربه خارجی وارد شود، جسم قادر است محور حرکت تقدیمی را با تغییری جزئی حفظ کند.

کاربرد اثر ژیروسکوپی در دنیای واقعی

درک ماهیت عملکرد ژیروسکوپ این موضوع را مشخص می‌کند که چرا برای جهت‌یابی، از یک دیسک دوار (که از طریق یک موتور تغذیه می‌شود) درون یک قاب فلزی (جیمبال)  استفاده می‌شود. دیسک دوار درون قاب فلزی نصب می‌شود تا هیچ‌گونه گشتاور خارجی به آن وارد نشود. بنابراین، جهت‌گیری آن، به جز یک مقدار ناچیز، تغییری نخواهد داشت. همین عامل موجب می‌شود ژیروسکوپ در سیستم‌های ناوبری کشتی‌ها و قایق‌ها به وفور به کار رود. در این حالت، حتی اگر مسیر حرکت کشتی هم عوض شود، جهت‌گیری ژیروسکوپ بدون تغییر می‌ماند. شکل زیر یک نمونه سیستم ژیروسکوپ-جیمبال را نشان می‌دهد.

ژیروسکوپ جیمبال

پایداری ژیروسکوپ را می‌توان در حرکت پرتابه‌ نیز بررسی کرد. به عنوان یک مثال آشنا، توپ استفاده شده در فوتبال آمریکایی را در نظر بگیرید که هم تقارن محوری دارد و هم پس از پرتاب، به دور خودش می‌چرخد. فرض کنید این توپ به درستی پرتاب شود. در این حالت مطابق شکل زیر، راستای محور طولی آن در حین پرواز تغییر نمی‌کند. چرخش توپ به دورِ خود در پاسخ به نیروهای آیرودینامیکی، اثر ژیروسکوپی ایجاد می‌کند. در این مثال، با ترکیبی از شتاب ژیروسکوپی، نیروهای آیرودینامیکی ناشی از درگ (Drag) و لیفت (نیروی برا) روبرو هستیم. در اینجا به دنبال تحلیل این مسأله پیچیده نیستیم و این مثال فقط به عنوان کاربردی از اثر ژیروسکوپ در دنیای واقعی ارائه شد.

اثر ژیروسکوپی

در ادامه، موضوع دیگری را بررسی می‌کنیم. جسم صلبی را در نظر بگیرید که حرکت بدون گشتاور دارد. در این حالت از دید ناظری که در دستگاه مختصات لخت قرار دارد، این‌گونه به نظر می‌رسد که محور حرکت تقدیمی بر بردار تکانه زاویه‌ای منطبق است. در حالی که می‌دانیم این محور ثابت بوده و اندازه و جهت آن تغییر نمی‌کند.

تحلیل ریاضی اسپین خالص در ژیروسکوپ

بار دیگر به محاسبات ریاضی برمی‌گردیم. شکل زیر را در نظر بگیرید که محورهای مختصات محلی xyz مطابق آن تعریف شده است.

اسپین خالص

می‌خواهیم رابطه‌ای برای ارتباط بین زاویه $$\theta$$ و بردارهای $$H_G$$ و $$\omega_s$$ پیدا کنیم. با استفاده از ضرب داخلی، رابطه زیر به راحتی به دست می‌آید.

$$\large \cos\theta=\frac{{\overrightarrow{H}}_G.\hat{J}}{|{\overrightarrow{H}}_G|}$$

در این رابطه، $$H_G$$، تکانه زاویه‌ای حول مرکز G است. با یک بار مشتق‌گیری از این رابطه برحسب زمان، نتیجه زیر حاصل می‌شود.

$$\large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{{\overrightarrow{H}}_G}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})$$

با جاگذاری عبارت $$(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})=\overrightarrow{\omega}\times\hat{j}$$ در رابطه بالا و استفاده از مفهوم ضرب خارجی، رابطه قبل را می‌توان به این صورت نوشت.

$$\large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{(I_z-I_x)\omega_z\omega_x}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}$$

براساس رابطه به دست آمده، هنگامی که مقادیر $$I_x$$ و $$I_z$$ با یکدیگر برابر باشند (هر دو برابر با $$I_w$$)، $$\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$ صفر خواهد بود. مانند اتفاقی که برای جسم چرخان در فضا رخ می‌دهد. حال فرض کنید زاویه α صفر باشد. در این حالت، محور حرکت تقدیمی روی بردار تکانه زاویه‌ای $$H_G$$ قرار می‌گیرد. در نتیجه $$\omega_x=\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=0$$ و θ مقداری ثابت خواهد داشت.

در ادامه می‌خواهیم با استفاده از نتایج بالا، $$\omega_s$$ و $$\omega_p$$ را برحسب یکدیگر محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه θ همیشه ثابت است، تکانه زاویه‌ای را می‌توان به صورت زیر و در دستگاه مختصات xyz  بیان کرد.

$$\large {\overrightarrow{H}}_G=(|{\overrightarrow{H}_G}|\cos\theta)\hat{j}+(|{\overrightarrow{H}_G}|\sin\theta)\hat{k}$$

(رابطه 5)

از طرفی، روابط زیر را هم از قبل در اختیار داریم.

$$\large {\overrightarrow{H}}_G=I_x\omega_x\hat{i}+I_y\omega_y\hat{j}+I_z\omega_z\hat{k}\\~\\
\large {\overrightarrow{H}}_G=I_w\omega_x\hat{i}+I_{Gy}\omega_y\hat{j}+I_w\omega_z\hat{k}$$

(رابطه ۶)

حال با مقایسه رابطه‌های ۵ و ۶ و با کمک روابط هندسی، معادلات زیر به دست می‌آیند.

$$\large\omega_x=\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=0\\~\\
\large\omega_y=\omega_p\cos\theta+\omega_s\\~\\
\large\omega_z=\omega_p\sin\theta$$

حال با حل این سه معادله می‌توانیم $$\omega_s$$ و $$\omega_p$$ را برحسب یکدیگر بیابیم.

$$\large\omega_s=\omega_p\cos\theta\frac{I_w-I_{Gy}}{I_{Gy}}$$

اطلاعات تکمیلی در مورد ژیروسکوپ

تا اینجا دانستیم اگر جسمی با سرعت زاویه‌ای $$\omega_s$$ حول محور تقارن خود در حال چرخش باشد، محور چرخش و بردار تکانه زاویه‌ای آن در یک راستا خواهند بود. حال ممکن است این جسم به طور موقت در معرض یک گشتاور خارجی قرار بگیرد. در این وضعیت، حرکت تقدیمی به چرخش اسپین اضافه می‌شود. از اینجا به بعد، محور حرکت تقدیمی بر بردار جدید تکانه زاویه‌ای منطبق می‌شود. برای محاسبه حرکت جدید جسم، باید از معادلات حرکت اویلر استفاده کرد.

در حرکت بدون گشتاور، تنها نیروی خارجی وارد به جسم، نیروی وزن است که به مرکز جرم وارد می‌شود. وقتی صحبت از حرکت بدون گشتاور به میان می‌آید، به این دلیل است که هیچ گشتاوری وجود ندارد که قادر باشد جسم را حول مرکز جرمش (G) دوران دهد. در نتیجه، تکانه زاویه‌ای حول مرکز جرم تغییر نخواهد کرد. برای درک بهتر موضوع، می‌توان تصور کرد مرکز چرخش جسم در مرکز جرم آن قرار دارد.

همان‌طور که دیدید ماهیت ژیروسکوپ، موضوعی پیچیده و نیازمند توجهی عمیق است. امیدواریم با مطالعه این مقاله، به درک مناسبی از عملکرد این اثر فیزیکی دست یافته باشید و این مطلب، انگیزه‌ای برای یادگیری بیشتر مفاهیم ژیروسکوپ در شما ایجاد کرده باشد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *