نمونه سوال انتگرال — همراه با جواب

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با مفهوم انتگرال و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم. در این آموزش چند نمونه سوال انتگرال را بررسی می‌کنیم. این مثال‌های متنوع طوری انتخاب شده‌اند که روش حل مسئله را بیاموزید و بهترین راه‌حل را انتخاب کنید. علاوه بر این، برای تسلط بیشتر بر مفاهیم و روش‌های مختلف انتگرال‌گیری توابع مختلف، پیشنهاد می‌کنیم در صورت لزوم، آموزش‌های زیر را مطالعه کنید:

• انتگرال گیری جزء به جزء — به زبان ساده
• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
• انتگرال توابع مثلثاتی — از صفر تا صد
• انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد
• انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی — از صفر تا صد
• انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
• انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی — به زبان ساده
• انتگرال lnx — به زبان ساده
• انتگرال رادیکالی — به زبان ساده
• انتگرال نامعین — به زبان ساده
• انتگرال معین — از صفر تا صد

فرمول انتگرال‌های مقدماتی

فرمول‌های زیادی برای محاسبه انتگرل وجود دارد. البته با چند فرمول ساده و مقدماتی می‌توان اغلب انتگرال‌های دشوار را نیز حل کرد.

این انتگرال‌های مقدماتی به شرح زیر هستند و در حل مسائل مربوط به انتگرال می‌توانید از آن‌ها استفاده کنید:

$$ \large \begin {aligned}
& \int x ^ { \alpha} d x = \frac { x ^ { \alpha + 1 } } { \alpha + 1 } + C , x > 0 ; \quad \text { pro } \alpha \neq - 1 \\
& \int \frac { 1 } { x } d x = \ln | x | + C , x \neq 0 \quad \int e ^ { x } d x = e ^ { x } + C \\
& \int \sin ( x ) d x = - \cos ( x ) + C \quad \int \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( x ) } d x = \operatorname {tg} ( x ) + C , x \neq \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\
& \int \cos ( x ) d x = \sin ( x ) + C \quad \quad \int \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( x ) } d x = - \operatorname {cotg} ( x ) + C , x \neq k \pi \\
& \int \sinh ( x ) d x = \cosh ( x ) + C \quad \int \frac { 1 }{ \cosh ^ { 2 } ( x ) } d x = \operatorname {tgh} ( x ) + C \\
& \int \cosh ( x ) d x = \sinh ( x ) + C \quad \int \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } ( x ) } d x = - \operatorname {cotgh} ( x ) + C , x \neq 0 \\
& \int \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x = \operatorname {arctg} ( x ) + C \quad \int \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } d x = \arcsin ( x) + C , x \in ( - 1 , 1 )
\end {aligned} $$

علاوه بر این، برای دسترسی به فهرست کامل انتگرال‌های پرکاربرد می‌توانید «تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های انتگرال» را دانلود کنید.

نمونه سوال انتگرال

در این بخش، چند نمونه سوال مربوط به مبحث انتگرال را حل می‌کنیم.

مثال ۱

حاصل انتگرال معین زیر را به دست آورید.

$$ \large \int _ { 4 } ^ { 9 } \frac { x + 1 } { x + 2 \sqrt { x } - 3 } d x $$

حل مثال ۱: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large y= \sqrt { x } \Longrightarrow \left \{ \begin {array} { c }
{ d y = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } d x \Longrightarrow d x = 2 \sqrt { x } d y = 2 y d y } \\
{ x = y ^ { 2 } \Longrightarrow x + 1 = y ^ { 2 } + 1 } \\
{ x = 4 \mapsto y = 2 } \\
{ x = 9 \mapsto y = 3 }
\end {array} \right . $$

بنابراین، انتگرال به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \large \int _ { 4 } ^ { 9 } \frac { x + 1 } { x + 2 \sqrt { x } - 3 } d x = \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { y ^ { 2 } + 1 } { y ^ { 2} + 2 y - 3 } 2 y d y = \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { 2 y ^{ 3 } + 2 y } { y ^ { 2 } + 2 y - 3 } d y $$

همان‌طور که می‌بینیم، انتگرالده یک تابع گویا یا کسری است و به دلیل بزرگ‌تر بودن توان صورت نسبت به مخرج، با استفاده از تقسیم چندجمله‌ای‌ها خارج قسمت و باقیمانده را به دست می‌آوریم. باقیمانده یک تابع گویا با درجه مخرج بزرگ‌تر از صورت است و آن را به کسرهای جزئی بسط می‌دهیم:

$$ \large \begin {aligned}
\int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { 2 y ^ { 3 } + 2 y } { y ^ { 2 } + 2 y - 3 } d y & = \int _ { 2 } ^ { 3 } 2 y - 4 + \frac { 1 6 y - 1 2 } { ( y - 1 ) ( y + 3 ) } d y \\
& = \int _ { 2 } ^ { 3 } 2 y - 4 + \frac { A } { y - 1 } + 1 5 \frac { B } { y + 3 } d y
\end {aligned} $$

که در آن، $$ A $$ و $$ B $$ به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ \large \begin {array} { l }
{ A = \left. \frac { 1 6 y - 1 2 } { ( / / / / /)( y + 3 ) } \right | _ { y = 1 } = \frac { 4 } { 4 } = 1 , \quad B = \left. \frac { 1 6 y - 1 2 } { ( y - 1 ) ( / / / / /) } \right | _ { y = - 3 } = \frac { - 6 0 } { -4 } = 1 5 } \\
{ \Longrightarrow \int _ { 2 } ^ { 3 } 2 y - 4 + \frac { 1 6 y - 1 2 } {( y - 1 ) ( y + 3 ) } d y = \int _ { 2 } ^ { 3 } (2 y - 4 + \frac { 1 } { y - 1 } + 1 5 \frac { 1 } { y + 3 }) d y } \end {array} $$

اکنون سه جمله انتگرالده به انتگرال‌های مقدماتی تبدیل شده‌اند و به راحتی می‌توان حاصل انتگرال را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {array} { l } { \int _ { 4 } ^ { 9 } \frac { x+ 1 } { x + 2 \sqrt { x } - 3 } d x = \left [ y ^ { 2 } - 4 y + \ln | y - 1 | + 1 5 \ln | y + 3 | \right ] _ { 2 } ^ { 3 } } \\
{ = [ 9 - 1 2 + \ln ( 2 ) + 1 5 \ln ( 6 ) ] - [ 4 - 8 + 0 + 1 5 \ln ( 5 ) ] } \\
{ = \ln ( 2 ) + 1 5 \ln ( 2 ) + 1 5 \ln ( 3 ) - 1 5 \ln ( 5 ) + 1 } \\
{ = 1 6 \ln ( 2 ) + 1 5 \ln ( 3 ) - 1 5 \ln ( 5 ) + 1}
\end {array} $$

جواب انتگرال نامعین نیز به صورت زیر است:

$$ \large \int \frac { x + 1 } { x + 2 \sqrt { x } - 3 } d x = x - 4 \sqrt { x } + \ln | \sqrt { x } - 1 | + 1 5 \ln | \sqrt {x } + 3| + C $$

مثال ۲

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int 2 \sin (x) \cos ( x ) d x $$

حل مثال ۲: عبارت $$ \cos ( x ) d x $$ را می‌توانیم به صورت $$ d y $$ در نظر بگیریم. در این صورت خواهیم داشت:

$$ \large
\begin {aligned}
\int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) d x & = \left | \begin {array} { c }
y = \sin ( x ) \\
{ d y } = \cos ( x ) d x
\end {array} \right | = \int 2 y d y \\
& = y ^ { 2 } + C = \sin ^ { 2 } ( x )+ C , x \in \mathbb { R }
\end {aligned} $$

یک راه دیگر این است که $$\sin ( x ) $$ را همراه با $$ d x $$ برابر با $$ d y $$ فرض کنیم که منجر به جواب زیر می‌شود:

$$ \large \int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) d x = - \cos ^ { 2 } ( x ) + C , x \in \mathbb { R } $$

اگر اتحادهای مثلثاتی را به خاطر داشته باشید، احتمالاً به این نکته پی برده‌اید که انتگرالده برابر با $$ \sin ( 2 x ) $$ است. بنابراین، سومین جواب ممکن انتگرال به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {aligned}
\int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) d x & = \int \sin ( 2 x ) d x = \left | \begin {array} { c }
{ y = 2 x } \\
{ d y } { = 2 d x } \\
{ d x } { = \frac { 1 } { 2 } d y }
\end {array} \right | \\
& = \frac { 1 } { 2 } \int \sin ( y ) d y = - \frac { 1 } { 2 } \cos ( y ) + C \\
& = - \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 x ) + C , x \in \mathbb { R }
\end {aligned} $$

نکته جالبی در اینجا وجود دارد. سه جواب مختلف به دست آوردیم که هیچکدام از آن‌ها برابر نیستند:

$$ \large
\begin {array} { l }
{ \sin ^ { 2 } ( x ) \neq - \cos ^ { 2 } (x ) } \\
{ \sin ^ { 2 } ( x ) \neq - \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 x ) } \\
{ \cos ^ { 2 } ( x ) \neq \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 x ) }
\end {array} $$

اما تفاوت این‌ جواب‌ها در چیست؟ تفاوت در ثابت $$+C $$ است که یک عدد دلخواه است. این عبارت ثابت در سه جواب با هم برابر نیست و در حقیقت می‌توان آن را با حروف دیگری نیز نشان داد. برای مثال، داریم:

$$ \large \begin {aligned}
- \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 x ) + C & = - \frac { 1 } { 2 } \left [ \cos ^ { 2 } ( x ) - \sin ^ { 2 } ( x ) \right ] + C \\
& = - \frac { 1 } { 2 } \left [ \cos ^ { 2 } ( x ) - 1 + \cos ^ { 2 } ( x ) \right ] + C \\
& = - \cos ^ { 2 } ( x ) + \left ( \frac { 1 } { 2 } + C \right ) =- \cos ^ { 2 } ( x ) + D
\end {aligned} $$

انتگرال این مثال را به روش جزء به جزء نیز می‌توانیم حل کنیم، زیرا یک تابع و دیفرانسیل تابعی که آن را می‌دانیم در انتگرالده وجود دارند. بنابراین، جواب با استفاده از این روش برابر است با:

$$ \large \begin {aligned}
\int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) & = \left | \begin {array} { c c }
{ f = 2 \sin ( x ) } & { g ^ { \prime } = \cos ( x ) } \\
{ f ^ { \prime } = 2 \cos ( x ) } & { g } { = \sin ( x ) }
\end {array} \right | \\
& = 2 \sin ^ { 2 } (x ) - \int 2 \cos ( x ) \sin ( x ) d x
\end {aligned} $$

مثال۳

انتگرال نامعین زیر را حل کنید.

$$ \large \int \frac { e ^ x } {1+ e ^ { 2 x } } d x $$

حل مثال ۳:‌ این انتگرال در جدول‌ انتگرال‌های مقدماتی نیست و باید با اعمال تغییراتی آن را ساده کنیم. بنابراین از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم. بهترین کار این است که کل مخرج را برابر با یک عبارت قرار دهیم:

$$ \large y = 1 + e ^ { 2 x } \Longrightarrow \left\{ \begin {array} { c }
{ d y = 2 e ^ { 2 x } d x \Longrightarrow d x = \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 x } } d y = \frac { 1 } { 2 ( y - 1 ) } d y } \\
{ e ^ { 2 x } = y - 1 }
\end {array} \right . $$

با استفاده از این تغییر متغیر، مخرج و $$ d x $$ را تغییر دادیم. اما صورت را چگونه باید تغییر دهیم؟ برای این کار باید به شکل زیر عمل کنیم:

$$ \large { y = 1 + e ^ { 2 x } = 1 + \left ( e ^ { x } \right ) ^ { 2 } \Longrightarrow e ^ { x } = \sqrt { y - 1 } } $$

در نتیجه، انتگرال این‌گونه محاسبه خواهد شد:

$$ \large { \int \frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x = \int \frac { \sqrt { y - 1 } } { y } \frac { 1 } { 2 ( y - 1 ) } d y = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \sqrt {y - 1 } } { y ( y -1 ) } d y}\\\large =\arctan (\sqrt {y-1}) +C=\arctan (e ^ x ) +C$$

یک راه ساده دیگر  این است که تغییر متغیر $$ y = e ^ x $$ را در نظر بگیریم:

$$ \large \begin {aligned}
\int \frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x & = \int \frac { e ^ { x } d x }{ 1 + \left ( e ^{ x } \right ) ^ { 2 }} = \left | \begin {array} { c }
{ y =e ^ { x } } \\
{ d y = e ^ { x } d x }
\end {array} \right | = \int \frac { d y } { 1 + y ^ { 2 } } \\
& = \arctan ( y ) + C = \arctan \left ( e ^ { x } \right ) + C , x \in \mathbb { R } \end {aligned} $$

در نظر گرفتن تابعی که توان آن نیز در کسر وجود دارد، معمولاً منجر به یک تابع گویای ساده خواهد شد.

مثال ۴

انتگرال معین زیر را حل کنید.

$$\large \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ( x ) ( 4 \cos ( x ) ) e ^ { 2 \cos ( x ) + 1 } d x $$

حل مثال ۴: این انتگرال شبیه انتگرال‌های معمولی مانند مثلثاتی، کسری، نمایی و... نیست و به همین دلیل باید آن را با روش‌هایی مانند تغییر متغیر حل کنیم. بدین منظور، توان نمایی را برابر با $$ y $$ در نظر می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$ \large \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ( x ) ( 4 \cos ( x ) ) e ^ { 2 \cos ( x ) + 1 } d x = \left | \begin {array} { c }
{ y = 2 \cos ( x ) + 1 \Longrightarrow 2 \cos ( x ) = y - 1 } \\
{ d y = - 2 \sin ( x ) d x \Rightarrow \sin ( x ) d x = - \frac { 1 } { 2 } d y } \\
{ x = \frac { \pi } { 2 } \Longrightarrow y = 2 \cos \left ( \frac { \pi } { 2 } \right ) + 1 = 1 } \\
{ x = 0 \Longrightarrow y = 2 \cos ( 0 ) + 1 = 3 }
\end {array} \right | $$

$$ \large = \int _ { 3 } ^ { 1 } 2 ( y - 1 ) e ^ { y } \left ( -\frac { 1 } { 2 } \right ) d y = - \int _ { 3 } ^ { 1} ( y - 1 ) e ^ { y } d y = \int _ { 1 } ^ { 3 } ( y - 1 ) e ^ { y } d y $$

انتگرال اخیر را به کمک روش جزء به جزء می‌توان حل کرد:

$$ \large \begin {aligned}
\int _ { 1 } ^ { 3 } ( y - 1 ) e ^ { y } d y & = \left | \begin {array} { c c }
{ f = y - 1 } & { g ^ { \prime } } & { = e ^ {y}} \\
{ f ^ { \prime } = 1 } & { g } & { = e ^ { y } }
\end {array}\right | = \left [ ( y - 1 ) e ^ { y } \right ] _ { 1 } ^ { 3 } - \int _ { 1 } ^ { 3 } e ^ { y } d y \\
&= 2 e ^ { 3 } - 0 - \left [ e ^ { y } \right ] _ { 1 } ^ { 3 } = 2 e ^ { 3 } - \left [ e ^ { 3 } - e \right ] = e ^ { 3 } + e
\end {aligned} $$

حال اگر بخواهیم انتگرال نامعین این مثال را حل کنیم، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
\int \sin ( x ) ( 4 \cos ( x ) ) e ^ { 2 \cos ( x ) + 1 } d x & = ( y - 2 ) e ^ { y } - e ^ { y } + C = ( y - 3 ) e ^ { y } + C \\
& = ( 2 \cos ( x ) - 2 ) e ^ { 2 \cos ( x ) + 1 } + C , x \in \mathbb { R } \end {aligned} $$

دقت کنید که از یک تغییر متغیر دیگر نیز می‌توانیم استفاده کنیم:

$$ \large \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ( x ) ( 4 \cos ( x ) ) e ^ { 2 \cos ( x ) + 1 } d x = \left | \begin {array} { c c }
{ y = \cos ( x ) } & { } \\
{ d y = - \sin ( x ) } { d x } \\
{ x = \frac { \pi } { 2 } } { \Longrightarrow y = \cos \left ( \frac { \pi } { 2 } \right ) = 0 } \\
{ x = 0 } { \Longrightarrow y = \cos ( 0 ) = 1 }
\end {array} \right | $$

$$ \large \begin {aligned}
& = \int _ { 1 } ^ { 0 } 4 y e ^ { 2 y + 1 } ( - d y ) = -\int _ { 1 } ^ { 0 } 4 y e ^ { 2 y + 1 } d y = \int _ { 0 } ^ { 1 } 4 y e ^ { 2 y + 1 } d y \\
& = \left| \begin {array} { l l }
{ f = 4 y } & { g ^ { \prime } = e ^ { 2 y + 1 } } \\
{ f ^ { \prime } = 4 } & { g = \frac { 1 } { 2 } e ^ { y } }
\end {array} \right | = \left [ 4 y \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 y + 1 } \right ] _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 e ^ { 2 y + 1 } d y \\
& = 2 e ^ { 3 } - 0 - \left [ e ^ { 2 y + 1 } \right ] _ { 0 } ^ { 1 } = 2 e ^ { 3 } - \left [ e ^ { 3 } - e \right ] = e ^ { 3 } + e
\end {aligned} $$

یک راه دیگر، تغییر متغیر به صورت زیر است:

$$ \large \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ( x ) ( 4 \cos ( x ) ) e ^ { 2 \cos ( x ) + 1 } d x = \left | \begin {array} { c }
{ y = 2 \cos ( x ) } \\
{ d y = - 2 \sin ( x ) d x } \\
{ x = \frac { \pi } { 2 } \Longrightarrow y = 2 \cos \left ( \frac { \pi } { 2 } \right ) = 0 } \\
{ x = 0 \Longrightarrow y = 2 \cos ( 0 ) = 2 }
\end {array} \right | $$

$$ \large \begin {aligned}
& = \int _ { 2 } ^ { 0 } 2 y e ^ { 2 y + 1 } \left ( - \frac { 1 } { 2 } \right ) d y = - \int _ { 2 } ^ { 0 } y e ^ { y + 1 } d y = \int _ { 0 } ^ { 2 } y e ^ { y + 1 } d y \\
& = \left | \begin {array} { l l }
{ f = y } & { g ^ { \prime } = e ^ { y + 1 } } \\
{ f ^ { \prime } = 1 } & { g = e ^ { y + 1 } }
\end {array} \right | = \left [ y e ^ { y + 1 } \right] _ { 0 } ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { y + 1 } d y \\
& = 2 e ^ { 3 } - 0 - \left [ e ^ { y + 1 } \right ] _ { 0 } ^ { 2 } = 2 e ^ { 3 } - \left [ e ^ { 3 } - e \right ] = e ^ { 3 } + e \end {aligned} $$

مثال ۵

جواب انتگرال زیر را به دست آورید.

$$ \int 2 \sqrt {1 - e ^ { 2 x } } d x $$

حل مثال ۵: از روش تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \int 2 \sqrt { 1 - e ^ { 2 x } } d x = \left | \begin {array} { c }
{ y = 1 - e ^ { 2 x } } \\
{ d y = - 2 e ^ { 2 x } d x } \\
{ d x = \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 x } } d y = \frac { - d y }{ 2 ( 1 - y ) } }
\end {array} \right | = 2 \int \sqrt { y } \frac { - d y } { 2 ( 1 - y ) } $$

یک بار دیگر از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:‌

$$ \large \begin {aligned}
\int \sqrt { 1 - e ^ { 2 x } } d x & = \int \frac { \sqrt { y } } { y - 1 } d y = \left | \begin {array} { c }
{ z = } { \sqrt { y } } \\
{ y } { = z ^ { 2 } } \\
{ d y } { = 2 z d z }
\end {array} \right | \\
& = \int \frac { z } { z ^ { 2 } - 1 } 2 z d z = \int \frac { 2 z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } - 1 } d z
\end {aligned} $$

اکنون با استفاده از تقسیم چندجمله‌ای‌ها و نیز گسترش کسرهای جزئی، به سادگی حاصل انتگرال را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {array} { l }
{ \int \sqrt { 1 - e ^ { 2 x } } d x = \int \frac { 2 z ^ { 2 } }{ z ^ { 2 } - 1 } d z = \int 2 + \frac { 2 } { z ^ { 2 } - 1} d z } \\
{ \quad = \int 2 + \frac { 2 } { ( z - 1 ) ( z + 1 ) } d z = 2 z + \int \frac { 1 } { z - 1 } - \frac { 1 } { z + 1 } d z } \\
{ \quad = 2 \sqrt { y } + \ln | z - 1 | - \ln | z + 1 | + C = 2 \sqrt { 1 - e ^ { 2 x } } + \ln \left | \frac { \sqrt { y } - 1 }{ \sqrt { y } + 1 } \right | + C } \\
{ } { \quad = 2 \sqrt { 1 - e ^ { 2 x } } + \ln \left | \frac { \sqrt { 1 - e ^ { 2 x } } - 1 } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 x }} + 1 } \right | + C , x < 0 }
\end {array} $$

مثال ۶

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int \frac { x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } d x
$$

حل مثال ۶: انتگرالده یک تابع گویا است و باید از کسرهای جزئی استفاده کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large
\frac { x ^ { 5 } + x ^{ 4} + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } = \frac { A x + B } { x ^ { 2 } + 1 } + \frac { C x + D } { \left ( x^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } + \frac { E x + F } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } \\
x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 = ( A x + B ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } + ( C x + D ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) \\
+ ( E x + B ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right) ^{ 2} + ( C x + D ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right )
+ ( E x + F ) \\
x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 = A x ^ { 5 } + B x ^ { 4 } + x ^ { 3 } ( 2 A + C ) + x ^ { 2 } ( 2 B + D ) \\
+ x ( A + C + E ) + ( B + D + F ) \\
\Longrightarrow A = 1 , B = 1 , C = 0 , D = 0 , E = 4 , F = 8
$$

در نتیجه، انتگرال به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \large \begin {aligned}
& \int \frac { x ^ { 5 } + x ^ {4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } d x = \int \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + 1 } + \frac { 4 x + 8 }{ \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } d x \\
& = \int \frac { x d x } { x ^ { 2 } + 1 } + \int \frac { d x }{ x ^ { 2 } + 1 } + \int \frac { 4 x d x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } + \int \frac { 8 d x } { \left ( x ^ { 2} + 1 \right ) ^ { 3 } }
\end {aligned} $$

حال تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم و برای سه انتگرال اول خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
&\int \frac { x d x } { x^ {2 } + 1 } + \int \frac { d x }{ x ^ { 2 } + 1 } + \int \frac { 4 x d x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } = \left | \begin {array} { c }
{ y = x ^ { 2 } + 1 } \\
{ d y = 2 x d x }
\end {array} \right | \\
&= \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d y } { y } + \operatorname {arctg} ( x ) + 2 \int \frac { d y } { y ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 } \ln | y | + \operatorname {arctg} ( x ) - \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \\
& = \frac { 1 } { 2 } \ln \left | x ^ { 2 } + 1 \right | + \operatorname {arctg} ( x ) - \frac { 1 } { \left ( x ^{ 2 }+ 1 \right ) ^ { 2 } }
\end {aligned} $$

اکنون باید انتگرال چهارم را حساب کنیم:

$$ \large \begin {aligned}
8 \int \frac { d x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } =& 8 \left [ \frac { 1 } { 4 } \frac { x } { \left ( x ^{ 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \int \frac { d x }{ \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ] & \\
= & \frac { 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } + 6 \int \frac { d x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \\
= & \frac { 2 x } { \left ( x ^ { 2 }+ 1 \right ) ^ { 2 } } + 6 \left [ \frac { 1 } { 2 } \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] \\
= & \frac { 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } + \frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } + 3 \operatorname {arctg} ( x )
\end {aligned} $$

و در نهایت، حاصل انتگرال به صورت زیر است:

$$ \large \begin {array} { l }
{ \int \frac { x ^ { 5 } +x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } +5 x + 9 } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ {3 } } d x} \\
{ = \frac { 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } + \frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | x ^ { 2 } + 1 \right | + 4 \operatorname {arctg} ( x ) + C , x \in \mathbb { R } }
\end {array} $$

مثال ۷

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int _ { 0 } ^ { 4 }( | 2 - 2 x | + 1 ) d x $$

حل مثال ۷: در این مثال، انتگرالده شامل تابع قدر مطلق است و باید آن را به صورت زیر ساده کنیم:

$$ \large | 2 - 2 x | + 1 = \left \{ \begin {array} { r l }
{ ( 2 - 2 x ) + 1 , } & { ( 2 - 2 x ) \geq 0 ; } \\
{ - ( 2 - 2 x ) + 1 , } & { ( 2 - 2 x ) \leq 0 }
\end {array} = \left \{ \begin {array} { l l }
{ 3 - 2 x , } & { x \leq 1 } \\
{ 2 x - 1 , } & { x \geq 1 }
\end {array} \right . \right . $$

بنابراین، اگر بخواهیم انتگرال نامعین را به دست آوریم، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
& x \leq 1 : \quad \int | 2 - 2 x | + 1 d x = \int 3 - 2 x d x = 3 x - x ^ { 2 } + C \\
& x \geq 1 : \quad \int | 2 - 2 x | + 1 d x = \int 2 x - 1 d x = x ^ { 2 } - x + C
\end {aligned} $$

در نتیجه:

$$ \large \int | 2 - 2 x | + 1 d x = \left \{ \begin {array} { c c }
{ 3 x - x ^ { 2 } + C , } & { x \leq 1 } \\
{ x ^ { 2 } - x + C , } & { x \geq 1 }
\end {array} \right . $$

اکنون انتگرال را به دو بازه تقسیم می‌کنیم:

$$ \large \int _ { 0 } ^ { 4 } (| 2 - 2 x | + 1 ) d x = \int _ { 0 } ^ { 1 }( |2 - 2 x | + 1 ) d x + \int _ { 1 } ^ {4 } (| 2 -2 x| + 1 ) d x $$

دو تابع $$ G ( x ) = 3 x - x ^ 2 $$ و $$ H ( x ) = x ^ 2 - x $$ را در نظر گرفته و در نهایت جواب انتگرال را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \int _ { 0 } ^ { 4 } | 2 - 2 x | + 1 d x =[ G ( x ) ] _ { 0 } ^ { 1 } + [ H ( x ) ] _ { 1 } ^ { 4 } = [ 2 - 0 ] + [ 1 2 - 0] = 1 4 $$

مثال ۸

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int {z ^ 2 ( 3 - 2 z ) ^ 9 d z } $$

حل مثال ۸: به سادگی از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم و حاصل انتگرال را به دست می‌‌آوریم:

$$ \large \begin {aligned}
\int z ^ { 2 } ( 3 - 2 z ) ^ { 9 } d z = & \left | \begin {array} { c }
{ w } & { = 3 - 2 z } \\
{ z } & { = \frac { 3 - w } { 2 } } \\
{ d z } & { = - \frac { 1 } { 2 } d w }
\end {array} \right | = \int \left ( \frac { 3 - w } { 2 } \right ) ^ { 2 } w ^ { 9 } \left ( - \frac { 1 } { 2 } \right ) d w \\
= & - \frac { 1 } { 2 } \int \left ( \frac { 9 } { 4 } - \frac { 3 } { 2 } w + \frac { 1 } { 4 } w^ { 2 } \right ) w ^ { 9 } d w = \int - \frac { 9 } { 8 } w ^ { 9 } + \frac { 3 } { 4 } w ^ { 1 0 } - \frac { 1 } { 8 } w ^ { 1 1 } d w \\
= & - \frac { 9 } { 8 0 } w ^ { 1 0 } + \frac { 3 } { 4 4 } w ^ { 1 1 } - \frac { 1 } { 9 6 } w ^ { 1 2 } + C \\
= & \frac { 3 } { 4 4 }( 3 - 2 z ) ^ { 1 1 } - \frac { 9 }{ 8 0 } ( 3 -2 z ) ^ { 1 0 } - \frac { 1 } { 9 6 } ( 3 - 2 z) ^{ 1 2 } + C , z \in \mathbb { R }
\end {aligned} $$

مثال ۹

جواب انتگرال زیر را به دست آورید.

$$\large  \int _ { 0} ^ { 1 } 2 x ^ { 3 } \ln \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) d x $$

حل مثال ۹: در حل این مثال از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned}
\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ^{ 3 } \ln \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) d x & = \left | \begin {array} { c c }
{ f = \ln \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) } & { g ^ { \prime } = 2 x ^ { 3 } } \\
{ f ^ { \prime } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } } & { g } { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } }
\end {array} \right | \\
& = \left [ \ln \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) \cdot \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } \right ] _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x \\
& = \left [ \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) - 0 \right ] - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { 5} } { x ^ { 2 } + 1 } d x
\end {aligned} $$

در نهایت، حاصل انتگرال با استفاده از تغییر متغیر و با کمک کسرهای جزئی به صورت زیر به دست خواهد آمد:

$$ \large \begin {aligned}
\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ^ { 3 } \ln \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) d x & = \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 3 } - x + \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } d x & \\
& = \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) - \left [ \frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right ] _ { 0 } ^ { 1 } -\frac { 1 } { 2 } \int _ { 0} ^ { 1 } \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x = \left | \begin {array} { c }
{ y = x ^ { 2 } + 1 } \\
{ x = 0 } & { \mapsto y = 1 } \\
{ x = 0} & { \mapsto y = 1 } \\
{ x = 1 } & { \mapsto y = 2 }
\end {array} \right | \\
& = \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) - \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { d y }{ y } = \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1} { 2 } [ \ln | y | ] _ { 1 } ^ { 2 } \\
& = \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 ) + 0 = \frac { 1 } { 4 }
\end {aligned} $$

مثال ۱۰

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int _ { 2 } ^ { 7 } \frac { x } { 1 - \sqrt { 2 + x } } d x $$

حل مثال ۱۰: در این مثال نیز از تغییر متغیر و گسترش کسرهای جزئی کمک می‌گیریم:

$$ \large \int _ { 2 } ^ { 7 } \frac { x } { 1 - \sqrt { 2 + x } } d x = \left |
\begin {aligned}
y & = \sqrt { 2 + x } \\
x & = y ^ { 2 } - 2 \\
d x & =2 y d y \\
x = 2 & \mapsto y = 2 \\
x = 7 & \mapsto y = 3
\end {aligned} \right | = \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { y ^ { 2 } - 2 } { 1 - y } 2 y d y = \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { 2 y ^ { 3 } - 4 y } { 1 - y } d y $$

یک بار دیگر نیز لازم است از تغییر متغیر و گسترش کسرهای جزئی استفاده کنیم:

$$ \large \int _ { 2 } ^ { 7 } \frac { x } { 1 - \sqrt { 2 + x } } d x = \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { 2 y ^ { 3 } - 4 y } { 1 - y } d y = \int _ { 2 } ^ { 3 } - 2 y ^ { 2} -2 y + 2 - 2 \frac { 1 } { 1 - y } d y $$

$$ \large \begin {aligned}
& = \left | \begin {array} { c }
{ z = 1 - y } \\
{ d z = - d y } \\
{ y = 2 } \mapsto z = -1 \\
{ y = 3 } \mapsto z = - 2
\end {array} \right | = \left [ - \frac { 2 } { 3 } y ^ { 3 } -y ^ { 2 } + 2 y \right ] _ { 2 } ^ { 3 } + 2 \int _ { - 1 } ^ { - 2 } \frac { 1 } { z } d z \\
& = \left [ - 1 8 - 9 + 6 + \frac { 1 6 } { 3 } + 4 - 4 \right ] + [ 2 \ln | z | ] _ { - 1 } ^ { - 2 } \\
& = - 1 5 - \frac { 2 } { 3 } + 2 [ \ln ( 2 ) - \ln ( 1 ) ] = 2 \ln ( 2 ) - \frac { 4 7 } { 3 }
\end {aligned} $$

مثال ۱۱

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\large  \int x \cos ( ax) d x $$

حل مثال ۱۱:‌ از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:

$$ \large \int x \cos ( a x ) d x = \left | \begin {array} { l l }
{ f = x } & { g^ { \prime } = \cos ( a x ) } \\
{ f ^ { \prime } = 1 } & { g = \int \cos ( a x ) d x }
\end {array} \right | $$

با استفاده از یک تغییر متغیر بسیار ساده ابتدا $$ \int \cos (ax)dx$$ را حساب می‌کنیم:

$$ \large \int \cos ( a x ) d x = \left | \begin {array} { c }
{ y = a x } \\
{ d y = a d x } \\
{ d x = \frac { 1 } { a } d y }
\end {array} \right | = \frac { 1 } { a } \int \cos ( y ) d y = \frac { 1} { a } \sin ( y ) = \frac { 1 } { a } \sin ( a x ) $$

و در نهایت، حاصل انتگرال برابر است با:

$$ \large
\int x \cos ( a x ) d x = \left | \begin {array} { c c }
{ f = x } & { g ^ { \prime } = \cos ( a x ) } \\
{ f ^ { \prime } = 1 } & { g = \frac { 1 } { a } \sin ( a x ) }
\end {array} \right | = \frac { 1 } { a } x \sin ( a x ) - \frac { 1 } { a } \int \sin ( a x ) d x \\
= \left | \begin {array} { c }
{ y = a x } \\ \large
{ d y = a d x }
\end {array} \right | = \frac { 1 } { a } x \sin ( a x )- \frac { 1 } { a } \cdot \frac { 1 } { a } \int \sin ( y ) d y \\ \large
= \frac { 1 } { a } x \sin ( a x ) + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \cos ( y ) + C = \frac { 1 } { a } x \sin ( a x ) + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \cos ( a x ) + C , x \in \mathbb { R } $$

اما اگر $$ a = 0 $$ باشد، انتگرال به صورت زیر است:

$$ \large \int x \cos ( 0 \cdot x ) d x = \int x \cos ( 0 ) d x = \int x \cdot 1 d x = \int x d x = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + C , x \in \mathbb { R } $$

و جواب نهایی به شکل دقیق‌تر زیر است:‌

$$ \large \int x \cos ( a x ) d x = \left \{ \begin {array} { c c }
{ \frac { 1 } { a } x \sin ( a x ) + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \cos ( a x ) + C , } & { x \in \mathbb { R } \text { for } a \neq 0 } \\
{ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2} + C , } & { x \in \mathbb { R } \text { for } a = 0 }
\end {array} \right . $$

مثال ۱۲

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int \frac { \ln ( x ) } { x } d x $$

حل مثال ۱۲: در اینجا از روش انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:

$$ \large \int \frac { \ln ( x ) } { x } d x = \left | \begin {array} { l l }
{ f = \ln ( x ) } & { g ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } } \\
{ f ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } } & { g = \ln ( x ) }
\end {array} \right | = \ln ( x ) \ln ( x ) - \int \ln ( x ) \frac { d x } { x } $$

و خواهیم داشت:

$$ \large \begin {array} { l }
{ 2 \int \frac { \ln ( x ) } { x } d x = \ln ^ { 2 } ( x ) + D } \\
{ \int \frac { \ln ( x ) } { x } d x = \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } ( x ) + C , x > 0 }
\end {array} $$

یک راه ساده دیگر برای حل این انتگرال، استفاده از تغییر متغیر است:

$$ \large \int \frac { \ln ( x ) } { x } d x = \left | \begin {array} { c}
{ y = \ln ( x ) } \\
{ d y = \frac { d x } { x } }
\end {array} \right | = \int y d y = \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } + C = \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } ( x ) + C , x > 0 $$

مثال ۱۳

حاصل انتگرال زیر را به دست آورید.

$$ \large \int _ { 3 } ^ { 4 } \frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } \left ( 2 + \frac { 1 } { x } \right ) \left ( 2 - \frac { 1 } { x } \right ) \left ( \frac { 2} { x } - 1 \right ) } $$

حل مثال ۱۳: تغییر متغیر زیر را به کار می‌بریم:

$$ \large \begin {aligned}
\int \frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } \left ( 2 + \frac { 1 } { x } \right ) \left ( 2 - \frac { 1 } { x } - 1 \right ) } & = \left | \begin {array} { c }
{ y = \frac { 1} { x } } \\
{ d y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } d x }
\end {array} \right | = \int \frac { - 2 0 d y } { (2 + y) ( 2 - y ) ( 2 y - 1 ) } \\
& = \int \frac { 2 0 d y } { ( y + 2 ) ( y - 2 ) ( 2 y - 1 ) }
\end {aligned} $$

اکنون با کمک انتگرال‌های مقدماتی می‌توانیم حاصل این انتگرال را بنویسیم:

$$ \large \begin {array} { l }
{ \int \frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } \left ( 2 + \frac { 1 }{ x } \right ) \left ( 2 - \frac { 1 } { x } \right ) \left ( \frac { 2 } { x } - 1 \right ) } = \int \frac { d y } { y + 2 } + \frac { 5 } { 3 } \int \frac { d y } { y - 2 } - \frac { 1 6 } { 3 } \int \frac { d y } { 2 y - 1 } } \\
{ \quad = \ln | y + 2 | + \frac { 5 } { 3 } \ln | y - 2 | -\frac { 1 6 } { 3 } \frac { 1 } { 2 } \ln | 2 y - 1 | + C } \\
{ \quad = \ln \left | \frac { 1 } { x } + 2 \right | + \frac { 5 } { 3 } \ln \left | \frac { 1 } { x } - 2 \right | - \frac { 8 } { 3 } \ln \left | \frac { 2 } { x } - 1 \right |+C, x \neq 0, \pm \frac { 1 } { 2 } , 2 } \end {array} $$

جواب انتگرال معین در بازه ۳ تا ۴ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {array} { l }
{ \int _ { 3 } ^ { 4 } \frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } \left ( 2 + \frac { 1 } { x } \right ) \left ( 2 - \frac { 1 }{ x } \right ) \left ( \frac { 2 } { x } - 1 \right ) } } \\
{ \quad = \ln \left ( \frac { 9 } { 4 } \right ) + \frac { 5 } { 3 } \ln \left ( \frac { 7 } { 4 } \right ) - \frac { 8 } { 3 } \ln \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) - \ln \left ( \frac { 7 } { 3 } \right ) -\frac { 5 } { 3 } \ln \left ( \frac { 5 } { 3 } \right ) + \frac { 8 } { 3 } \ln \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) } \\
{ \quad = - \frac { 8 } { 3 } \ln ( 2 ) + 2 \ln ( 3 ) - \frac { 5 } { 3 } \ln ( 5 ) + \frac { 2 } { 3 } \ln ( 7 ) }
\end {array}
$$

مثال ۱۴

جواب انتگرال زیر را بیابید.

$$ \large \int \frac { 6 \sin ( x ) \cos ^ { 2 } ( x ) + \sin ( 2 x ) - 2 3 \sin ( x ) } { ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } \left ( 5 - \sin ^ { 2 } ( x ) \right ) } d x $$

حل مثال ۱۴: با انتگرال یک تابع کسری مثلثاتی روبه‌رو هستیم. ابتدا انتگرالده را ساده می‌کنیم:

$$ \large \int \frac { 6 \sin ( x ) \cos ^ { 2 } ( x ) + 2 \sin ( x ) \cos ( x ) - 2 3 \sin ( x ) } { ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } \left ( 5 - \sin ^ { 2 } ( x ) \right ) } d x $$

اکنون یک انتگرال فقط با $$\sin ( x ) $$ و $$ \cos ( x ) $$ داریم و باید بهترین تصمیم را بگیریم و مسئله را حل کنیم. اگر بخواهیم از تغییر متغیر $$\sin ( x ) $$ استفاده کنیم، باید یک $$ \sin ( x) $$ در کنار $$ d x $$ داشته باشیم و برای تغییر متغیر $$ \sin ( x ) $$ باید $$ \cos ( x ) d x $$ داشته باشیم. در صورت انتگرالده می‌توانیم از $$ \sin ( x ) $$ فاکتور بگیریم. بنابراین، از تغییر متغیر $$ \cos ( x ) $$ استفاده می‌کنیم. برای این کار مخرج را نیز برحسب $$ \cos ( x ) $$ می‌نویسیم. در نتیجه، داریم:

$$ \large \begin {array} { c }
\int \frac { 6 \cos ^ { 2 } ( x ) + 2 \cos ( x ) - 2 3 } { ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } \left ( 5 - \left [ 1 - \cos ^ { 2 }( x ) \right ] \right ) } \sin ( x ) d x \\
\quad = \int \frac { 6 \cos ^ { 2 } ( x ) + 2 \cos ( x ) - 2 3 }{ ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } \left ( \cos ^ { 2 } ( x ) + 4 \right ) } \sin ( x ) d x
\end {array} $$

اکنون می‌توانیم به راحتی از تغییر متغیر زیر استفاده کنیم:

$$ \large \begin {aligned}
\int \frac { 6 \cos ^ { 2 } ( x ) + 2 \cos ( x ) - 2 3 } { ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } \left ( \cos ^ { 2 } ( x ) + 4 \right ) } \sin ( x ) d x & = \left | \begin {array} { c }
y = \cos ( x ) \\
d y = - \sin ( x ) d x \\
\sin ( x ) d x = - d y
\end {array} \right | \\
& = - \int \frac { 6 y ^ { 2 } + 2 y -2 3 } { ( y - 1 ) ^ { 2 } \left ( y ^ { 2 } + 4 \right ) } d y
\end {aligned} $$

به کمک کسرهای جزئی، انتگرل به شکل زیر در می‌آید:

$$ \large \begin {array} { r }
- \int \frac { 6 y ^ { 2 } + 2 y + 9 } { ( y - 1 ) ^ { 2 } \left ( y ^ { 2 }+ 4 \right ) } d y = \int - \frac { 4 } { y - 1 } + \frac { 3 } { ( y - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { - 4 y + 5 } { y ^ { 2 } + 4 } d y \\
= - \int \frac { 4 d y } { y - 1 } + \int 3 ( y - 1 ) ^ { - 2 } d y + \int \frac { 4 y d y } { y ^ { 2 } + 4 } - \int \frac { 5 d y } { y ^ { 2 } + 4 }
\end {array} $$

برای حل این انتگرال از تغییر متغیر کمک می‌گیریم:

$$ \large \begin {array} { l }
- \int \frac { 6 y ^ { 2 } + 2 y + 9 } { ( y - 1 ) ^ { 2 } \left ( y ^ { 2 } + 4 \right ) } d y = \left | \begin {array} { c }
z = y ^ { 2 } + 4 \\
d z = 2 y d y
\end {array} \right | \left | \begin {array} { c }
y = 2 t \\
d y =2 d t
\end {array} \right | \\
= - 4 \ln | y - 1 | - 3 ( y - 1 ) ^ { - 1 } + \int \frac { 2 d z }{ z } - \int \frac { 1 0 d t } { 4 t ^ { 2 } + 4 } \\
= - 4 \ln | y - 1 | - \frac { 3 } { y - 1 } + 2 \ln | z | - \frac { 5 } { 2 } \int \frac { d t } {t ^ { 2 } + 1 } \\
= - 4 \ln | y - 1 | - \frac { 3 } { y - 1 } + 2 \ln \left | y ^ { 2 } + 4 \right | - \frac { 5 } { 2 } \arctan \left ( t ^ { 2 } \right ) + C \\
\quad = 2 \ln \left | \frac { y ^ { 2 } + 4 } { ( y - 1 ) ^ { 2 } } \right | - \frac { 3 } {y - 1 } - \frac { 5 } { 2 } \arctan \left ( \frac { y } { 2 } \right ) + C
\end {array} $$

و در نهایت، با قرار دادن مقادیر اصلی، حاصل انتگرال را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {array} { l }
\int \frac { 6 \sin ( x ) \cos ^ { 2 } ( x ) + \sin ( 2 x ) - 2 3 \sin ( x ) } { ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } \left (5 - \sin ^ { 2 } ( x ) \right ) } d x \\
\quad = 2 \ln \left | \frac { \cos ^ { 2 }( x ) + 4 } { ( \cos ( x ) - 1 ) ^ { 2 } } \right | - \frac { 3 } { \cos ( x ) - 1 } -\frac { 5 } { 2 } \arctan \left ( \frac { \cos ( x ) } { 2 } \right ) + C , x \neq \pi + 2 k \pi
\end {array} $$

مثال ۱۵

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \int \large \frac { 1 } { \sqrt { x - x ^ 2 } } d x $$

حل مثال ۱۵: ابتدا رادیکال را به شکل زیر می‌نویسیم تا بتوانیم از انتگرال‌های مقدماتی استفاده کنیم:

$$ \large \sqrt { x - x ^ { 2 } } = \sqrt { - \left ( x ^ { 2 } - x \right ) } = \sqrt { - \left ( x ^ { 2 } - 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } \right ) } = \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - \left ( x - \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } } $$

و حاصل انتگرال را با کمک تغییر متغیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {aligned}
\int \frac { 1 } { \sqrt { x - x ^ { 2 } } } d x & = \int \frac { 1 } { \sqrt { \left ( \frac {1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } - \left ( x - \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } } } d x = \left | \begin {array} { c }
x - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } y \\
d x = \frac { 1 } { 2 } d y
\end {array} \right | \\
& = \int \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } } } \frac { 1 } { 2 } d y = \int \frac { d y }{ \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \\
& = \arcsin ( y ) + C = \arcsin ( 2 x - 1 ) + C , x \in ( 0 , 1 ) \end {aligned} $$

مثال ۱۶

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ {6 } } d x $$

حل مثال ۱۶: با استفاده از تغییر متغیر ساده $$ u = x ^ 3 $$ و $$ d u = 3 x ^ 2 $$ به راحتی داریم:

$$ \large \int \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ {6 } } d x = \int \frac { 1 } { 3 \left ( 1 +u ^{ 2 } \right ) } d u = \frac { 1 } { 3 } \arctan u + C = \frac { 1 } { 3 } \arctan \left ( x ^ { 3 } \right ) + C $$

مثال ۱۷

جواب انتگرال مثلثاتی زیر را به دست آورید.

$$ \large \int ( \tan x + \cot x ) ^ { 2 } d x $$

حل مثال ۱۷: با کمک اتحادهای مثلثاتی برای تانژانت و کتانژانت جواب انتگرال به راحتی به دست می‌آید:

$$ \large \begin {aligned}
\int ( \tan x + \cot x ) ^ { 2 } d x & = \int \left ( \tan ^ { 2 } x + 2 \tan x \cot x + \cot ^ { 2 } x \right ) d x \\
& = \int \left ( \sec ^ { 2 } x - 1 + 2 + \csc ^ { 2 } x - 1 \right ) d x \\
& = \int \left ( \sec ^ { 2 } x + \csc ^ { 2 } x \right ) d x \\
& = \tan x - \cot x + C
\end {aligned} $$

مثال ۱۸

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int \frac { t ^ { 3 } } { \left ( 2 - t ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d t $$

حل مثال ۱۸: تغییر متغیر $$ u = 2 - t ^ 2 $$ و در نتیجه، $$ du = - 2 t $$ را در نظر می‌گیریم و مسئله را حل می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned}
\int \frac { t ^ { 3 } } { \left ( 2 - t ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d t & = \int \frac { t ^ { 2 } } { \left ( 2 - t ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } ( t d t ) = \int -\frac { 2 - u } { 2 u ^ { \frac { 5 } { 2 } } } d u \\
& = \int \left ( - u ^ { - \frac { 5 } { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } u ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \right ) d u \\
& = \frac { 2 } { 3 } u ^ { - \frac { 3 } { 2 } } -u ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + C \\
\Rightarrow \int \frac { t ^ { 3 } } { \left ( 2 -t ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3} { 2 }} } d t & = \frac {2 } { 3 } \left ( 2 - t ^ { 2 } \right ) ^ { - \frac { 3 } {2 } } - \left ( 2 - t ^ { 2 } \right ) ^ { - \frac { 1 } {2 } } + C
\end {aligned} $$

مثال ۱۹

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int ( 1 + \cos \theta ) ^ { 2 } d \theta $$

حل مثال ۱۹: این انتگرال را می‌توان به سادگی با استفاده از اتحادهای مثلثاتی حل کرد:

$$ \large \begin {aligned}
\int ( 1 + \cos \theta ) ^ { 2 } d \theta & = \int \left ( 1 + 2 \cos \theta + \cos ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \\
& = \int d \theta + 2 \int \cos \theta d \theta + \int \cos ^ { 2 } \theta d \theta \\
& = \theta + 2 \sin \theta + \int \left ( \frac { 1 + \cos ( 2 \theta ) } { 2 } \right ) d \theta \\
& = \theta + 2 \sin \theta + \frac { \theta } { 2 } + \frac { \sin ( 2 \theta ) } { 4 } + C \\
\Rightarrow \int ( 1 + \cos \theta ) ^ { 2 } d \theta & = \frac { 3 } { 2 } \theta + 2 \sin \theta + \frac { 1 } { 4 } \sin ( 2 \theta ) + C
\end {aligned} $$

مثال ۲۰

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \large \int \frac { 1 } { k ^ { 2 } - 6 k + 9 } d k $$

حل مثال ۲۰: با توجه به تساوی $$ k ^ 2 - 6 k + 9 = ( k - 3 ) ^ 2 $$ و استفاده از تغییر متغیر $$ u = 3 - k $$ و در نتیجه $$ d u = d k $$، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
\int \frac { 1 } { k ^ { 2 } - 6 k + 9 } d k & = \int \frac { 1 } { ( k - 3 ) ^ { 2 } } d k = \int \frac { 1 } { u ^ { 2 } } d u = - \frac { 1 } { u } + C \\
\Rightarrow \int \frac { 1 } { k ^ { 2 } - 6 k + 9 } d k & = - \frac { 1 } { k - 3 } + C \end{aligned} $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش جامع ریاضی دبیرستان – ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• نماد انتگرال — با سرگذشت جالب این علامت ریاضی آشنا شوید
• نمونه سوال اتحاد و تجزیه — همراه با جواب
• نمونه سوال مثلثات — همراه با جواب

^^