در این آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با مباحث مرتبط با مثلثات به طور کامل آشنا شدیم. در این آموزش، نمونه سوال مثلثات را ارائه کرده و جواب آن‌ها را نیز بیان خواهیم کرد. برای آشنایی با مفاهیم مثلثات و آمادگی برای حل نمونه سوال های این مبحث، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را مطالعه کنید:

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

در ادامه، مثال‌هایی را بیان خواهیم کرد.

مثال ۱

اگر زاویه $$ \alpha $$ در ربع چهارم بوده و $$ \cos \alpha = \frac {1 } { 3 } $$، آن‌گاه مقدار $$ \sin \alpha $$ را محاسبه کنید.

حل: مقدار $$ \sin \alpha $$ را می‌توانیم از معادله $$ \sin ^ 2 \alpha + \cos ^ 2 \alpha = 1 $$ به دست آوریم:

$$ \large \begin {aligned} \sin ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \alpha & = 1 \\ \sin ^ { 2 } \alpha & = 1 – \cos ^ { 2 } \alpha \\ \sin \alpha & = \pm \sqrt { 1 – \cos ^ { 2 } \alpha } = \pm \sqrt { 1 – \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { 2 } } \\ & =\pm \sqrt { 1 – \frac { 1 } { 9 } } = \pm \sqrt { \frac { 8 } { 9 } } = \pm \frac { \sqrt { 8 } } { 3 } \end {aligned} $$

از آنجایی که زاویه $$ \alpha $$ در ربع چهارم قرار دارد، $$ \sin \alpha $$ منفی است. بنابراین، داریم: $$ \sin \alpha = – \frac {\sqrt{8}}{3} $$.

مثال 2

فرض کنید $$ x $$ در ربع سوم قرار دارد و $$ \sin x = – \frac { 2 } { 5 } $$. مقادیر زیر را به دست آورید.

(الف) $$ \cos x $$   (ب) $$ \sec x $$   (ج) $$ \tan x $$

حل الف: می‌توانیم مقدار $$ \cos x $$ را از رابطه $$ \sin ^ x + \cos ^ 2 x = 1 $$ محاسبه کنیم:

$$ \large \begin {aligned} \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x & = 1 \\ \cos ^ { 2 } x & = 1 – \sin ^ { 2 } x \\ \cos x & = \pm \sqrt { 1 – \sin ^ { 2 } x } = \pm \sqrt { 1 – \left ( – \frac { 2 }{ 5 } \right ) ^ { 2 } } \\ & = \pm \sqrt { 1 – \frac { 4 } { 2 5 } } = \pm \sqrt { \frac { 2 1 } { 2 5 } } = \pm \frac { \sqrt { 2 1 } } { 5 } \end {aligned} $$

از آنجایی که $$ x $$ در ربع سوم است، مقدار $$ \cos x $$ منفی است. بنابراین، $$ – \sqrt { \frac { 2 1 } { 2 5 }}  $$.

حل ب:

$$ \large \sec x = \frac { 1 } { \cos x } = \frac { 1 } { – \frac { \sqrt { 2 1 } } { 5 } } = – \frac { 5 } { \sqrt { 2 1 } } $$

حل ج:

$$ \large \tan x = \frac { \sin x } { \cos x } = \frac { – \frac { 2 }{ 5 } } { – \frac { \sqrt { 2 1 } } { 5 } } = – \frac { 2 } { 5 } \left ( – \frac { 5 } { \sqrt { 2 1 } } \right ) = \frac { 2 } { \sqrt { 2 1 } } $$

مثال ۳

مقدار $$ \cos \alpha $$ را بیابید که در آن $$ \alpha $$ یک زاویه حاده (کمتر از ۹۰ درجه) است و در رابطه $$ \tan \alpha = \frac {1} { 2 } $$ صدق می‌کند.

حل: با دو روش می‌توانیم مقدار مورد نظر را محاسبه کنیم.

روش اول: از آنجایی که $$ \alpha $$ یک زاویه حاده است، همه توابع مثلثاتی متناظر با آن مثبت هستند. بنابراین، با توجه به رابطه $$ \tan \alpha = \frac {1} { 2} $$ می‌توانیم مثلث قائم‌الزاویه زیر را رسم کنیم.

مثلث قائم‌الزاویه

به سادگی و با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توانیم وتر مثلث بالا را به دست آوریم که اندازه آن برابر با $$ \sqrt {5} $$ خواهد بود. بنابراین، مقدار $$ \cos \alpha $$ برابر با $$ \frac {2} {\sqrt{5}} $$ به دست می‌آید.

روش دوم: از اتحاد معروف زیر استفاده می‌کنیم:‌

$$ \large \sin ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \alpha = 1 $$

با تقسیم رابطه بالا بر $$ \cos ^ 2 \alpha $$ داریم:

$$ \large \frac {\sin ^ { 2 } \alpha } { \cos ^ { 2 } \alpha } + \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha } $$

$$ \large \tan ^ { 2 } \alpha + 1 = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha } $$

حال، دو طرف رابطه بالا را عکس می‌کنیم:

$$ \large \frac { 1 } { \tan ^ { 2 } \alpha + 1 } = \cos ^ { 2 } \alpha $$

با جذرگیری از دو طرف رابطه بالا، داریم:

$$ \large \pm \sqrt { \frac { 1 } { \tan ^ { 2 } \alpha + 1 } } = \cos \alpha $$

همان‌طور که می‌دانیم، زاویه $$ \alpha $$ حاده است و به همین دلیل $$ \cos \alpha $$ مثبت خواهد بود:

$$ \large \cos \alpha = \sqrt { \frac { 1 } { \tan ^ { 2 } \alpha + 1 } } = \sqrt { \frac { 1 } { \left ( \frac { 1 }{ 2 } \right ) ^ { 2 } + 1 } } = \sqrt { \frac { 1 } { \frac { 5 } { 4 } } } = \sqrt { \frac { 4 } { 5 } } = \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } $$

مثال ۴

اگر $$ \cot A = 2 $$ باشد، مقدار $$ \sin A $$ را به دست آورید.

حل: از اتحاد معروف فیثاغورس استفاده می‌کنیم:

$$ \large \sin ^ { 2 } A + \cos ^ { 2 } A = 1 $$

با تقسیم رابطه بالا بر $$ \sin ^ 2 A $$، داریم:

$$ \large \frac { \sin ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } + \frac { \cos ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A } $$

$$ \large 1 + \cot ^ { 2 } A = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A } $$

از آنجایی که $$ \cot A = 2 $$، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {aligned} 1 + 2 ^ { 2 } & = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A } \\ 5 & = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A } \\ \sin ^ { 2 } A & = \frac { 1 } { 5 } \\ \sin A & = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \end {aligned} $$

مثال ۵

عبارت زیر را ساده کنید:

$$ \large \frac {\tan t + \sin (-t) \cos (-t) } {\tan t } $$

حل:

$$ \large \begin {align*} & \frac { \tan t + \sin ( – t ) \cos ( – t ) } { \tan t } = \frac { \tan t – \sin t \cos t } { \tan t } = \frac { \frac { \sin t } { \cos t } – \sin t \cos t } { \frac { \sin t } { \cos t } } \\ & = \frac { \cos t } { \cos t } \cdot \frac { \frac { \sin t } { \cos t } – \sin t \cos t } { \frac { \sin t } { \cos t } } = \frac { \cos t \left ( \frac { \sin t } { \cos t } – \sin t \cos t \right ) } { \cos t \left ( \frac { \sin t } { \cos t } \right ) } \\ & = \frac { \sin t – \sin t \cos ^ { 2 } t } { \sin t } = \frac { \sin t \left ( 1 – \cos ^ { 2 } t \right ) } { \sin t } = \frac { \sin t \sin ^ { 2 } t } { \sin t } \\ & = \frac { \sin ^ { 3 } t } { \sin t } = \sin ^ { 2 } t \end {align*} $$

مثال ۶

اگر تساوی $$ 1+ \tan x = \frac {35} {12} \sin x $$ را داشته باشیم، مقدار $$ \sin 2x $$ را به دست آورید.

حل:

$$ \large \begin {aligned} 1 + \tan x & = \frac { 3 5 } { 12 } \sin x \\ 1 + \frac { \sin x } { \cos x } & = \frac { 3 5 } { 1 2 } \sin x \end {aligned} $$

با ضرب طرفین در $$ \cos x $$، داریم:

$$ \large \cos x + \sin x = \frac { 3 5 } { 1 2 } \sin x \cos x $$

حال دو طرف را به توان دو می‌رسانیم:‌

$$ \large ( \cos x + \sin x ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 3 5 } { 1 2 } \sin x \cos x \right ) ^ { 2 } $$

$$ \large \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x + 2 \sin x \cos x = \left ( \frac { 3 5 } { 1 2 } \right ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 2 } x $$

با در نظر گرفتن $$ a = \sin x \cos x $$، داریم:

$$ \large 1 + 2 a = \frac { 3 5 ^ { 2 } } { 1 2 5 a ^ { 2 } } $$

$$ \large 0 = 1 2 2 5 a ^ { 2 } – 2 8 8 a – 1 4 4 $$

جواب این معادله درجه دوم به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \begin {aligned} a _ { 1 , 2 } & = \frac { 2 8 8 \pm \sqrt { ( – 28 8 ) ^ { 2 } – 4 ( 1 2 2 5 ) ( – 1 4 4 ) } } { 2 \cdot 1 2 2 5 } = \frac { 2 8 8 \pm \sqrt { 8 2 9 4 4 + 7 0 5 6 0 0 } } { 2 4 5 0 } \\ & = \frac { 2 8 8 \pm \sqrt { 7 8 8 5 4 4 } } { 2 4 5 0 } = \frac { 2 8 8 \pm 8 8 8 } { 2 4 5 0 } = \left\{ \begin {array} {l} { \frac { 2 8 8 + 8 8 8 } { 2 4 5 0 } = \frac { 1 1 7 6 } { 2 4 5 0 } = \frac {1 2 } { 2 5 } } \\ { \frac {2 8 8 – 8 8 8 } { 2 4 5 0 } = \frac { – 6 0 0 } { 2 4 5 0 } = – \frac { 1 2 } { 4 9 } } \end {array} \right.\end {aligned} $$

با توجه به اینکه $$ a = \sin x \cos c$$، داریم:

$$ \large – \frac { 24 } { 49 }$$  یا  $$ \large \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 a = \frac { 24 } { 25 }$$

مثال ۷

فرض کنید $$ \alpha + \beta + \gamma = 90 ^ \circ $$ که در آن، $$ \alpha$$، $$ \beta $$ و $$ \gamma$$ زاویه‌هایی حاده هستند. ثابت کنید: $$ \cot \alpha \cot \beta \cot \gamma = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma $$.

حل: با استفاده از اطلاعات مسئله رابطه $$ \gamma = 90 ^ \circ – (\beta + \alpha) $$ و در نتیجه، $$ \cot \gamma = \cot ( 90 ^ \circ – (\beta + \alpha)) $$ را داریم. همچنین، اتحاد $$ \cot ( 90 ^ \circ – (\beta + \alpha)) = \tan (\beta + \alpha) $$ را می‌دانیم.

با در نظر گرفتن این موارد، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {aligned} & \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma = \frac { 1 } { \tan \alpha } + \frac { 1 } { \tan \beta } + \tan ( \alpha + \beta ) = \frac { 1 } { \tan \alpha } + \frac { 1 } { \tan \beta } + \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 – \tan \alpha \tan \beta } \\ & = \frac { \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } + \frac { \tan \alpha ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } + \frac { \tan \alpha \tan \beta ( \tan \alpha + \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } \\ & = \frac { \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) + \tan \alpha ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) + \tan \alpha \tan \beta ( \tan \alpha + \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } \\ & = \frac { \tan \beta – \tan \alpha \tan ^ { 2 } \beta + \tan \alpha – \tan ^ { 2 } \alpha \tan \beta + \tan ^ { 2 } \alpha \tan \beta + \tan \alpha \tan ^ { 2 } \beta } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) }
\\ & = \frac { \tan \beta + \tan \alpha } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \frac { \tan \beta + \tan \alpha }{ ( 1 – \tan \alpha \tan \beta ) } = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \tan ( \alpha + \beta ) \\ & = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \cot \left ( 9 0 ^ { \circ } – ( \alpha + \beta ) \right ) = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \cot \gamma = \cot \alpha \cot \beta \cot \gamma
\end {aligned} $$

مثال ۸

تساوی‌های زیر را اثبات کنید:‌

(الف) $$ \large \frac { 2 } { \sin 2 x } = \tan x + \cot x $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { 2 } { \sin 2 x } = \frac { 2 } { 2 \sin x \cos x } = \frac { 1 } { \sin x \cos x } = \frac { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } \\ & = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } + \frac { \cos ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } = \frac { \sin x } { \cos x } + \frac { \cos x } { \sin x } = \tan x + \cot x \end{aligned} $$

(ب) $$ \large \begin {aligned} \frac { \tan 2 x } { \tan x } = 1 + \frac { 1 } { \cos 2 x } \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \tan 2 x } { \tan x } = \frac { \frac { 2 \tan x } { 1 – \tan ^ { 2 } x } } { \tan x } = \frac { 2 \tan x } { 1 – \tan ^ { 2 } x } \cdot \frac { 1 } { \tan x } = \frac { 2 } { 1 – \tan ^ { 2 } x } = \frac { 2 } { 1 – \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } = \frac { 2 } { \cos ^ { 2 } x } – \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } \\ & = \frac { 2 }{ \frac { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } = 2 \cdot \frac { \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } = \frac { 2 \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } = \frac { \cos ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } \\ &
= \frac { \cos ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } = \frac { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } + \frac { \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } \\ & = 1 + \frac { \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x – \sin ^ { 2 } x } = 1 + \frac { 1 } { \cos 2 x }
\end {aligned} $$

(ج) $$ \large \begin {aligned} \frac { \tan \left( \frac { \pi } { 4 } – x \right ) } { \tan \left ( \frac { \pi }{ 4 } + x \right ) } = \frac { 1 – \sin 2 x } { 1 + \sin 2 x } \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \tan \left( \frac { \pi } { 4 } – x \right ) } { \tan \left ( \frac { \pi }{ 4 } + x \right ) } = \frac { \frac { 1 – \tan x } { 1 + \tan x } } { \frac { \tan x + 1 } { 1 – \tan x } } \cdot \frac { 1 – \tan x } { 1 + \tan x } = \left ( \frac { 1 – \tan x } { 1 + \tan x } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 – \frac { \sin x } { \cos x } } { 1 + \frac { \sin x } { \cos x } } \right ) ^ { 2 } \\ & = \left ( \frac { \frac { \cos x } { \cos x } – \frac { \sin x } { \cos x } } { \frac { \cos x } { \cos x } + \frac { \sin x } { \cos x } } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { \frac { \cos x } { \cos x } } { \frac { \cos x } { \cos x } } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { \frac { \cos x – \sin x } { \cos x } } { \cos x } \cdot \frac { \cos x } { \cos x } \right ) ^ { 2 } \\ & = \left ( \frac { \cos x – \sin x } { \cos x + \sin x } \right ) ^ { 2 } = \frac { 1 – \sin 2 x } { 1 + \sin 2 x } \end{aligned} $$

(د) $$ \large \begin {aligned} \sin 35 ^ { \circ } + \sin 25 ^ { \circ } = \cos 5 ^ { \circ } \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} \sin 35 ^ { \circ } + \sin 25 ^ { \circ } & = \sin \left ( 3 0 ^ { \circ } + 5 ^ { \circ } \right ) + \sin \left ( 3 0 ^ { \circ } – 5 ^ { \circ } \right ) \\ & = \sin 30 ^ { \circ } \cos 5 ^ { \circ } + \cos 30 ^ { \circ } \sin 5 ^ { \circ } + \sin 30 ^ { \circ } \cos 5 ^ { \circ } – \cos 30 ^ { \circ } \sin 5 ^ { \circ } \\ & = 2 \sin 30 ^ { \circ } \cos 5 ^ { \circ } = 2 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) \cos 5 ^ { \circ } = \cos 5 ^ { \circ } \end {aligned} $$

(ه) $$ \large \begin {aligned} \cos 1 2 ^ { \circ } – \cos 48 ^ { \circ } = \sin 18 ^ { \circ} \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} \cos 1 2 ^ { \circ } – \cos 48 ^ { \circ } & = \cos \left ( 3 0 ^ { \circ } – 1 8 ^ { \circ } \right ) – \cos \left ( 3 0 ^ { \circ } + 1 8 ^ { \circ } \right ) \\ & = \cos 3 0 ^ { \circ } \cos 1 8 ^ { \circ } + \sin 3 0 ^ { \circ } \sin 1 8 ^ { \circ } – \left ( \cos 3 0 ^ { \circ } \cos 1 8 ^ { \circ } – \sin 3 0 ^ { \circ } \sin 1 8 ^ { \circ } \right ) \\ & = \cos 3 0 ^ { \circ } \cos 1 8 ^ { \circ } + \sin 3 0 ^ { \circ } \sin 1 8 ^ { \circ } – \cos 3 0 ^ { \circ } \cos 1 8 ^ { \circ } + \sin 3 0 ^ {\circ} \sin 18^{\circ} \\ & = 2 \sin 3 0 ^ { \circ } \sin 18 ^ { \circ } = 2 \left ( \frac { 1 } { 2} \right ) \sin 18 ^ { \circ } = \sin 18 ^ { \circ} \end {aligned} $$

مثال ۹

مقدار عبارت $$ \frac { 1 + \tan 1 5 ^ { \circ } } { 1 – \tan 1 5 ^ { \circ } } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا $$ \tan 15^ \circ $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} \tan 15 ^ { \circ } & = \tan \left ( 4 5 ^ { \circ } – 3 0 ^ { \circ } \right ) = \frac { \tan 4 5 ^ { \circ } – \tan 3 0 ^ { \circ } } { 1 + \tan 4 5 ^ { \circ } \tan 30 ^ { \circ } } = \frac { 1 – \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } { 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } = \frac { 1 – \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } }{ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \cdot \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } \\ & = \frac { \sqrt { 3 } – 1 }{ \sqrt { 3 } + 1 } = \frac { \sqrt { 3 } – 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } \cdot \frac { \sqrt { 3 } – 1 } { \sqrt { 3 } -1 } = \frac { 3 + 1 – 2 \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { 4 – 2 \sqrt { 2 } } { 2 } = \frac { 2 ( 2 -\sqrt { 3 } ) } { 2 } = 2 – \sqrt { 3 } \end {aligned} $$

حاصل عبارت مورد نظر نیز برابر است با:

$$ \large \frac { 1 + \tan 1 5 ^ { \circ } } { 1 – \tan 1 5 ^ { \circ } } = \frac { 1 + ( 2 – \sqrt { 3 } ) } { 1 – ( 2 – \sqrt { 3 } ) } = \frac { 3 – \sqrt { 3 } } { – 1 + \sqrt { 3 } } = \frac { \sqrt { 3 } ( \sqrt { 3 } – 1 ) } { \sqrt { 3 } – 1 } = \sqrt { 3 } $$

مثال ۱۰

اتحادهای زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \sin ( x + y ) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$

$$ \large \cos (x + y ) = \cos x \cos y – \sin x \sin y $$

فرمولی برای $$ \tan ( x + y ) $$ بر حسب $$ \tan x $$ و $$ \tan y $$  به دست آورید.

حل:

$$ \large  \tan ( x + y ) = \frac { \sin ( x + y ) } { \cos ( x + y ) } = \frac { \sin x \cos y + \cos x \sin y } { \cos x \cos y – \sin x \sin y } $$

اکنون صورت و مخرج را بر $$ \cos x \cos y $$ تقسیم کرده و عبارت مورد نظر را ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} \tan ( x + y ) & = \frac { \frac { \sin x \cos y + \cos x \sin y } { \cos x \cos y } } { \frac { \cos x \cos y – \sin x \sin y } { \cos x \cos y } } = \frac { \frac { \sin x \cos y } { \cos x \cos y } + \frac { \cos x \sin y } { \cos x \cos y } }{ \frac { \cos x \cos y } { \cos x \cos y } – \frac { \sin x \sin y }{ \cos x \cos y } } \\ & = \frac { \frac { \sin x } { \cos y } } { 1 -\frac { \sin x } { \cos x } \frac { \sin y } { \cos y } } = \frac { \tan x + \tan y } { 1 – \tan x \tan y } \end {aligned} $$

مثال ۱۱

در شکل زیر، مقدار $$ \alpha $$ را به دست آورید.

مثلث

حل: با توجه به شکل بالا، روابط $$ \tan \alpha = \frac {2} { x } $$ و $$ \tan 2 \alpha = \frac {6} { x } $$ را می‌توان نوشت.

$$ \large \tan 2 \alpha = \frac {2 \tan \alpha } { 1- \tan ^ 2 \alpha } $$

$$ \large \begin {array} { l } { \frac { 6 } { x } = \frac { 2 \left ( \frac { 2 } { x } \right ) } { 1 – \left ( \frac { 2 } { x } \right ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { 6 } { x } = \frac { \frac { 4 } { x } } { 1 – \frac { 4 } { x ^ { 2 } } } \cdot \frac { x ^ { 2 } }{ x ^ { 2 } } } \end {array} $$

$$ \large \begin {aligned} \frac { 3 } { x } & = \frac { 2 x }{ x ^ { 2 } – 4 } \\ 3 \left ( x ^ { 2 } – 4 \right ) & = 2 x ^ { 2 } \\ 3 x ^ { 2 } – 1 2 & = 2 x ^ { 2 } \\ x ^ { 2 } & = 1 2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; x = \pm \sqrt {12} \end {aligned} $$

مثال ۱۲

اتحادهای مثلثاتی زیر را اثبات کنید.

(۱) $$ \large \tan x \sin x + \cos x = \sec x $$

حل: از رابطه $$ \tan x = \frac {\sin x } { \cos x } $$ و اتحاد ساده $$ \sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x = 1 $$ استفاده می‌کنیم. سمت چپ تساوی برابر است با:

$$ \large \begin {aligned} & \tan x \sin x + \cos x = \frac { \sin x } { \cos x } \cdot \sin x + \cos x = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos x } + \cos x \\ & = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos x } + \frac { \cos ^ { 2 } x } { \cos x } = \frac { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x }{ \cos x } = \frac { 1 } { \cos x } = \sec x \end {aligned}
$$

(۲) $$ \large \frac { 1 } { \tan x } + \tan x = \frac { 1 } { \sin x \cos x } $$

حل: از رابطه $$ \tan x = \frac {\sin x } { \cos x } $$ و اتحاد ساده $$ \sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x = 1 $$ استفاده می‌کنیم. سمت چپ تساوی برابر است با:

$$ \large \frac { 1 } { \tan x } + \tan x = \frac { \cos x } { \sin x } + \frac { \sin x } { \cos x } = \frac { \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } = \frac { 1 } { \sin x \cos x }
$$

(۳) $$ \large \sin x – \sin x \cos ^ { 2 } x = \sin ^ { 3 } x $$

حل: از $$ \sin x $$ فاکتور می‌گیریم و از اتحاد $$ \sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x = 1 $$ استفاده می‌کنیم:

$$ \large \sin x – \sin x \cos ^ 2 x = \sin x ( 1 – \cos ^ 2 x ) = \sin x \cdot \sin ^ 2 x = \sin ^ 3 x $$

(۴) $$ \large \begin {aligned} \frac { \cos \alpha } { 1 + \sin \alpha } + \frac { 1 + \sin \alpha } { \cos \alpha } = 2 \sec \alpha \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \cos \alpha } { 1 + \sin \alpha } + \frac { 1 + \sin \alpha } { \cos \alpha } = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } + \frac { ( 1 + \sin \alpha ) ^ { 2 } } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } \\ & = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha + ( 1 + \sin \alpha ) ^ { 2 } } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha + 1 + 2 \sin \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } \\ & = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha + 1 + 2 \sin \alpha } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } = \frac { 2 + 2 \sin \alpha } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } \\ & = \frac { 2 ( 1 + \sin \alpha ) } { ( 1 + \sin \alpha ) \cos \alpha } = \frac { 2 } { \cos \alpha } = 2 \cdot \frac { 1 } { \cos \alpha } = 2 \sec \alpha \end {aligned}
$$

(۵) $$ \large  \begin {aligned} & \frac { \cos x } { 1 – \sin x } – \frac { \cos x } { 1 + \sin x } = 2 \tan x \end {aligned} $$

حل: از سمت چپ شروع کرده و مخرج مشترک می‌گیریم:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \cos x } { 1 – \sin x } – \frac { \cos x } { 1 + \sin x } = \frac { \cos x ( 1 + \sin x ) } { ( 1 – \sin x ) ( 1 + \sin x ) } – \frac { \cos x ( 1 – \sin x ) } { ( 1 – \sin x ) ( 1 + \sin x ) } \\ & = \frac { \cos x ( 1 + \sin x ) – \cos x ( 1 – \sin x ) } { ( 1 – \sin x ) ( 1 + \sin x ) } = \frac { \cos x + \cos x + \cos x \sin x – \cos x + \cos x \sin x }{ 1 – \sin ^ { 2 } x } \\ & = \frac { 2 \sin x \cos x } { \cos ^ { 2 } x } = \frac { 2 \sin x } { \cos x } = 2 \tan x \end {aligned} $$

(۶)‌ $$ \large \cos ^ 2 x = \frac { \csc x \cos x } { \tan x + \cot x } $$

حل: از سمت راست تساوی بالا شروع می‌کنیم و به سمت چپ آن می‌رسیم. همه عبارت‌ها را بر حسب $$ \sin x $$ و $$ \cos x $$ می‌نویسیم و آن‌ها را ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \csc x \cos x } { \tan x + \cot x } = \frac { \frac { 1 } { \sin x } \cdot \cos x } { \frac { \sin x } { \cos x } + \frac { \cos x } { \sin x } } = \frac { \frac { 1 } { \sin x } \cdot \frac { \cos x } { 1 } } { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } + \frac { \cos ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } } = \frac { \frac { \cos x } { \sin x } } { \frac { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } { \sin x \cos x } } \\ & = \frac { \frac { \cos x }{ \sin x } } { \frac { 1 } { \sin x \cos x } } = \frac { \cos x } { \sin x } \cdot \frac { \cos x \sin x } { 1 } = \frac { \cos ^ { 2 } x } { 1 } = \cos ^ { 2 } x \end{aligned}
$$

(۷) $$ \large \begin {aligned} \frac { \sin ^ { 4 } x – \cos ^ { 4 } x } { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } = 1 \end{aligned} $$

حل: می‌توانیم در صورت از اتحاد مزدوج استفاده کنیم و ساده‌سازی را انجام دهیم:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \sin ^ { 4 } x – \cos ^ { 4 } x } { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } = \frac { \left ( \sin ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } – \left ( \cos ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } \\ & = \frac { \left ( \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x \right ) \left ( \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x \right ) } { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } \\ & = \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x = 1 \end{aligned} $$

(۸) $$ \large \begin {aligned} \frac { \tan ^ { 2 } x } { \tan ^ { 2 } x + 1 } = \sin ^ { 2 } x \end{aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \tan ^ { 2 } x } { \tan ^ { 2 } x + 1 } = \frac { \left ( \frac { \sin x } { \cos x } \right ) ^ { 2 } } { \left ( \frac { \sin x } { \cos x } \right ) ^ { 2 } + 1 } = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } + \frac { \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } \\ & = \frac { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } { \frac { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } = \frac { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } }{ \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } x } } = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } \cdot \frac { \cos ^ { 2 } x } { 1 } = \sin ^ { 2 } x \end{aligned} $$

(۹) $$ \large \begin {aligned} \frac { 1 – \sin x } { \cos x } = \frac { \cos x } { 1 + \sin x } \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { 1 – \sin x } { \cos x } = \frac { 1 -\sin x } { \cos x } \cdot 1 = \frac { 1 – \sin x } { \cos x } \cdot \frac { 1 + \sin x } { 1 + \sin x } = \frac { ( 1 – \sin x ) ( 1 + \sin x ) } { \cos x ( 1 + \sin x ) } \\ & = \frac { 1 – \sin ^ { 2 } x }{ \cos x ( 1 + \sin x ) } = \frac { \cos ^ { 2 } x } { \cos x ( 1 + \sin x ) } = \frac { \cos x } { 1 + \sin x } \end {aligned} $$

(۱۰) $$ \large \begin {aligned} 1 – 2 \cos ^ { 2 } x = \frac { \tan ^ { 2 } x – 1 } { \tan ^ { 2 } x + 1 } \end{aligned} $$

حل: از سمت راست تساوی به سمت چپ آن می‌رسیم:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \tan ^ { 2 } x – 1 } { \tan ^ { 2 } x + 1 } = \frac { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } – 1 } { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } + 1 } = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } + \frac { \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } = \frac { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } \\ & = \frac { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } \cdot \frac { \cos ^ { 2 } x } { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } = \frac { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } \\ & = \frac { \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x } { 1 } = \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x \\ & = \left ( 1 – \cos ^ { 2 } x \right ) – \cos ^ { 2 } x = 1 – 2 \cos ^ { 2 } x \end{aligned} $$

(۱۱) $$ \large \begin {aligned} \tan ^ { 2 } \theta = \csc ^ { 2 } \theta \tan ^ { 2 } \theta – 1 \end {aligned} $$

حل: از سمت راست به سمت چپ می‌رسیم:

$$ \large \begin {aligned} & \csc ^ { 2 } \theta \tan ^ { 2 } \theta – 1 = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \cdot \left ( \frac { \sin \theta } { \cos \theta } \right ) ^ { 2 } – 1 = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \cdot \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } – 1 = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \theta } – 1 \\ & = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \theta } – \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } = \frac { 1 – \cos ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } = \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } = \left ( \frac { \sin \theta } { \cos \theta } \right ) ^ { 2 } = \tan ^ { 2 } \theta \end {aligned} $$

(۱۲) $$ \large \begin {aligned} \sec x + \tan x = \frac { \cos x } { 1 – \sin x } \end{aligned} $$

حل: از سمت راست تساوی به سمت چپ آن می‌رسیم:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \cos x } { 1 – \sin x } = \frac { \cos x } { 1 – \sin x } \cdot 1 = \frac { \cos x } { 1 – \sin x } \cdot \frac { 1 + \sin x } { 1 + \sin x } = \frac { \cos x ( 1 + \sin x ) } { ( 1 – \sin x ) ( 1 + \sin x ) } \\ & = \frac { \cos x ( 1 + \sin x ) } { 1 – \sin ^ { 2 } x } = \frac { \cos x ( 1 + \sin x ) } { \cos ^ { 2 } x } = \frac { 1 + \sin x } { \cos x } = \frac { 1 } { \cos x } + \frac { \sin x } { \cos x }\\ & = \sec x + \tan x \end{aligned} $$

(۱۳) $$ \large \begin {aligned} & \frac { \csc \beta } { \sin \beta } -\frac { \cot \beta } { \tan \beta } = 1 \end{aligned} $$

حل: از سمت چپ تساوی شروع کرده و همه عبارات را بر حسب $$ \sin \beta $$ می‌نویسیم و آن‌ها را ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \csc \beta } { \sin \beta } -\frac { \cot \beta } { \tan \beta } = \frac { \frac { 1 } { \sin \beta } } { \frac { \sin \beta } { 1 } } – \frac { \frac { \cos \beta } { \sin \beta } } { \frac { \sin \beta } { \sin \beta } } = \frac { 1 } { \sin \beta } \cdot \frac { 1 } { \sin \beta } – \frac { \cos \beta } { \sin \beta } \cdot \frac { \cos \beta } { \sin \beta } \\ & = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \beta } – \frac { \cos ^ { 2 } \beta } { \sin ^ { 2 } \beta } = \frac { 1 – \cos ^ { 2 } \beta } { \sin ^ { 2 } \beta } = \frac { \left ( \sin ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \beta \right ) – \cos ^ { 2 } \beta } { \sin ^ { 2 } \beta } \\ & = \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { \sin ^ { 2 } \beta } = 1 \end{aligned} $$

(۱۴) $$ \large \begin {aligned} & \sin ^ { 4 } x – \cos ^ { 4 } x = 1 – 2 \cos ^ { 2 } x \end{aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \sin ^ { 4 } x – \cos ^ { 4 } x = \left ( \sin ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } – \left ( \cos ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } = \left ( \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x \right ) \left ( \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x \right ) \\ & = 1 \cdot \left ( \sin ^ { 2 } x – \cos ^ { 2 } x \right ) = \left ( 1 – \cos ^ { 2 } x \right ) -\cos ^ { 2 } x = 1 – 2 \cos ^ { 2 } x \end{aligned} $$

(۱۵) $$ \large \begin {aligned} ( \sin x – \cos x ) ^ { 2 } + ( \sin x + \cos x ) ^ { 2 } =2 \end{aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & ( \sin x – \cos x ) ^ { 2 } + ( \sin x + \cos x ) ^ { 2 } \\ & = \left ( \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x – 2 \sin x \cos x \right ) + \left ( \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x + 2 \sin x \cos x \right ) \\ & = 2 \sin ^ { 2 } x + 2 \cos ^ { 2 } x = 2 \left ( \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x \right ) = 2 \cdot 1 =2 \end{aligned} $$

(۱۶) $$ \large \begin {align*} \frac { \sin ^ { 2 } x + 4 \sin x + 3 } { \cos ^ { 2 } x } = \frac { \sin x + 3 } { 1 – \sin x } \end {align*} $$

حل:

$$ \large \begin {align*} & \frac { \sin ^ { 2 } x + 4 \sin x + 3 } { \cos ^ { 2 } x } = \frac { ( \sin x + 1 ) ( \sin x + 3 ) } { 1 – \sin ^ { 2 } x } \\ & = \frac { ( \sin x + 1 ) ( \sin x + 3 ) } { ( 1 + \sin x ) ( 1 – \sin x ) } = \frac { \sin x + 3 } { 1 – \sin x } \end {align*} $$

(۱۷) $$ \large \begin {aligned} \frac { \cos x } { 1 – \sin x } – \tan x = \sec x \end{aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \frac { \cos x } { 1 – \sin x } – \tan x = \frac { \cos x } { 1 – \sin x } – \frac { \sin x } { \cos x } = \frac { \cos ^ { 2 } x – \sin x ( 1 – \sin x ) } { \cos x ( 1 – \sin x ) } \\ & = \frac { \cos ^ { 2 } x – \sin x + \sin ^ { 2 } x } { \cos x ( 1 – \sin x ) } = \frac { \left ( \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x \right ) – \sin x } { \cos x ( 1 – \sin x ) } = \frac { 1 – \sin x } { \cos x ( 1 – \sin x ) } = \frac { 1 } { \cos x } = \sec x \end{aligned} $$

(۱۸) $$ \large \begin {aligned} \tan ^ { 2 } x + 1 + \tan x \sec x = \frac { 1 + \sin x }{ \cos ^ { 2 } x } \end {aligned} $$

حل:

$$ \large \begin {aligned} & \tan ^ { 2 } x + 1 + \tan x \sec x = \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } + 1 + \frac { \sin x } { \cos x } \cdot \frac { 1 } { \cos x }\\ & = \frac { \sin ^ { 2 } x }{ \cos ^ { 2 } x } + \frac { \cos ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } + \frac { \sin x } { \cos ^ { 2 } x } \\ & = \frac { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x + \sin x } { \cos ^ { 2 } x } = \frac { 1 + \sin x }{ \cos ^ { 2 } x } \end {aligned} $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش نمونه سوال مثلثات — همراه با جواب (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی نمونه سوال مثلثات – محاسبه سینوس با توجه به کسینوس و بالعکس

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی نمونه سوال مثلثات – محاسبه سینوس و کسینوس با توجه به تانژانت

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی نمونه سوال مثلثات – ساده‌سازی عبارات مثلثاتی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی نمونه سوال مثلثات – محاسبه سینوس زاویه با داشتن تساوی مثلثاتی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی اثبات اتحاد‌های مثلثاتی با داشتن رابطه بین زوایا

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی اثبات روابط مثلثاتی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی نمونه سوال مثلثات – محاسبات زوایای غیرمتعارف

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی اثبات اتحادهای تانژانت مجموع زوایا

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از ترکیب هندسه و مثلثات

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی اثبات چند اتحاد مثلثاتی

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 16 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *