نمونه سوال اتحاد و تجزیه — همراه با جواب

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با اتحاد و تجزیه در ریاضی آشنا شدیم. در این آموزش، ابتدا چند اتحاد مهم را بیان کرده و پس از آن تعدادی نمونه سوال اتحاد و تجزیه را حل خواهیم کرد. پیشنهاد می‌کنیم قبل از خواندن این آموزش، مطلب «اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده» را مطالعه کنید. همچنین، برای دسترسی سریع به فرمول‌های مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید «تقلب‌نامه (Cheat Sheet) فرمول‌های جبری» را دانلود کنید.

اتحادها در ساده‌سازی محاسبات مربوط به اعداد، به دست آوردن ریشه چندجمله‌ای‌ها، تجزیه عبارات چندجمله‌ای و محاسبه ب.م.م و ک.م.م کاربرد دارند و سعی شده است که این کاربردها در نمونه سوالات در نظر گرفته شوند.

اتحادهای مهم ریاضی

در این بخش مهم‌ترین اتحادهای ریاضی را بیان می‌کنیم:

• مربع مجموع دوجمله‌ای (اتحاد اول):

$$ \large (a+b)^ 2 = a ^ 2 + 2 ab+b^2$$

• مربع تفاضل دوجمله‌ای (اتحاد دوم):

$$ \large ( a - b )^ 2 = a ^ 2 - 2 a b + b ^ 2 $$

• مکعب دوجمله‌ای:

$$ \large (a+b)^ 3 = a ^ 3 + 3a^2b+3ab^2+b^ 3 $$

$$ \large (a-b)^ 3 = a ^ 3 -3 a^2b+3ab^2-b^ 3 $$

• مربع سه‌جمله‌ای:

$$ \large (a+b+c)^2 = a ^ 2 +b^ 2 + c ^ 2 + 2 ab + 2ac +2bc$$

• اتحاد مزدوج:

$$ \large (a+b ) ( a - b ) = a ^ 2 - b ^ 2 $$

• اتحاد جمله مشترک:

$$\large  ( x + a ) ( x  + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b $$

$$ \large ( x + a ) ( x  - b ) = x ^ 2 + ( a - b ) x - a b $$

• اتحاد چاق و لاغر:

$$ \large a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 - ab + b ^ 2 ) $$

$$ \large a ^ 3 - b ^ 3 = ( a - b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) $$

چند نمونه سوال اتحاد و تجزیه

در این بخش، چند نمونه سوال اتحاد و تجزیه در ریاضی را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

با استفاده از اتحادها، صحت تساوی زیر را نشان دهید:

$$ \large ( x - y ) ^ 2 + ( x + y ) ^ 2 = 2 ( x ^ 2 + y ^ 2 ) $$

حل: از اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم:

$$ \large ( x - y ) ^ 2 = x ^ 2 - 2 x y + y ^ 2 $$

$$ \large ( x + y ) ^ 2 = x ^ 2 + 2 x y + y ^ 2 $$

بنابراین، داریم:

$$ \large \require {cancel} \begin {align*} ( x - y ) ^ 2 + ( x+ y ) ^ 2 & = x ^ 2 \cancel {- 2 x y} + y ^ 2 + x ^ 2 + \cancel { 2 x y } + y ^ 2\\ & = 2 x ^ 2 + 2 y ^ 2 = 2 ( x ^ 2 + y ^ 2 ) \end {align*} $$

مثال ۲

چندجمله‌ای‌های زیر را به بزرگترین عامل‌های مشترک تجزیه کنید.

(الف) $$ \large 8 { x ^ 4 } - 4 { x ^ 3 } + 1 0 { x ^ 2 } $$

حل: ابتدا از $$2$$ فاکتور می‌گیریم. سپس می‌توانیم از $$x^2$$ نیز فاکتور بگیریم. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large 8 { x ^ 4 } - 4 { x ^ 3 } + 1 0 { x ^ 2 } = 2 { x ^ 2 } \left ( { 4 { x ^ 2 } - 2 x + 5 } \right ) $$

عبارت داخل پرانتز را نمی‌توان ساده‌تر کرد و جواب نهایی همان عبارت اخیر است.

(ب)‌ $$ \large { x ^ 3 } { y ^ 2 } + 3 { x ^ 4 } y + 5 { x ^ 5 } { y ^ 3 } $$

در این حالت، هم $$x$$ و هم $$y$$ در جملات عبارت بالا حضور دارند، اما روند محاسبات را تغییری نمی‌دهند. هر جمله شامل $$ x ^ 3 $$ و $$ y $$ است و به همین دلیل، می‌توانیم از $$ x ^ 3 y $$ فاکتور بگیریم:

$$ \large { x ^ 3 } { y ^ 2 } + 3 { x ^ 4 } y + 5 { x ^ 5 } { y ^ 3 } = { x ^ 3 } y \left ( { y + 3 x + 5 { x ^ 2 } { y ^2 } } \right ) $$

(ج) $$ \large 3 { x ^ 6 } - 9 { x ^ 2 } + 3 x $$

حل: در این چندجمله‌ای، می‌توانیم از $$ 3 x $$ فاکتور بگیریم.

$$ \large 3 { x ^ 6 } - 9 { x ^ 2 } + 3 x = 3 x \left ( { { x ^ 5 } - 3 x + 1 } \right ) $$

این عبارت را نمی‌توان ساده‌تر کرد.

(د)‌ $$ \large 9 { x ^ 2 } \left ( { 2 x + 7 } \right ) - 1 2 x \left ( { 2 x + 7 } \right ) $$

حل: در این مثال، از $$ (2 x + 7 ) $$ فاکتور می‌گیریم و در نهایت، به نتیجه زیر می‌رسیم:

$$ \large 9 { x ^ 2 } \left ( { 2 x + 7 } \right ) - 1 2 x \left ( { 2 x + 7 } \right ) = 3 x \left ( { 2 x + 7 } \right ) \left ( { 3 x - 4 } \right ) $$

مثال ۳

اگر $$ x + \frac { 1 } { x } = 5 $$ باشد، حاصل عبارت $$ x ^ 2 + \frac { 1 } { x ^ 2 } $$ را به دست آورید.

حل: از اتحاد اول یا همان مربع مجموع دوجمله‌ای کمک می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*}
( x + \frac { 1 } { x } ) ^ 2 & = ( x ) ^ 2 + 2 ( x ) (\frac {1} { x } ) + (\frac { 1 } { x }) ^ 2 \\ & = x ^ 2 + 2 + \frac { 1 } { x ^ 2 }
\end {align*} $$

بنابراین، عبارت مورد نظر به صورت زیر قابل محاسبه است:

$$ \large \begin {align*}
x ^ 2 + \frac { 1 } { x ^ 2 } = ( x + \frac { 1 } { x } ) ^ 2 - 2 = (5)^2 -2 = 23
\end {align*} $$

مثال ۴

چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید:

(الف) $$ \large 3 { x ^ 2 } - 2 x + 1 2 x - 8 $$

حل: در این مثال، جملات را به صورت دو گروه زیر تفکیک می‌کنیم:

$$ \large \left ( { 3 { x ^ 2 } - 2 x } \right ) + \left ( { 1 2 x - 8 } \right ) $$

در جمله اول، از $$ x $$ و در جمله دوم از $$ 4$$ فاکتور می‌گیریم:

$$ \large 3 { x ^ 2 } - 2 x + 1 2 x - 8 = x \left ( { 3 x - 2 } \right ) + 4 \left ( { 3 x - 2 } \right ) $$

همان‌طور که می‌بینیم، عامل $$ (3x-2)$$ مشترک است و در نتیجه، چندجمله‌ای به صورت زیر تجزیه خواهد شد:

$$ \large 3 { x ^ 2 } - 2 x + 1 2 x - 8 = \left ( { 3 x - 2 } \right ) \left ( { x + 4 } \right ) $$

(ب) $$ \large { x ^ 5 } + x - 2 { x ^ 4 } - 2 $$

حل: چندجمله‌ای را به صورت زیر تفکیک می‌کنیم:

$$ \large \left ( { { x ^ 5 } + x } \right ) - \left ( { 2 { x ^ 4 } + 2 } \right ) $$

در پرانتز اول از $$ x $$ و در دومی از $$2$$ فاکتور می‌گیریم:

$$ \large { x ^ 5 } + x - 2 { x ^ 4 } - 2 = x \left ( { { x ^ 4 } + 1 } \right ) - 2 \left ( { { x ^ 4 } + 1 } \right ) $$

اکنون یک عامل مشترک $$ ( x ^ 4 + 1 )$$ داریم و با توجه به این نکته، می‌توانیم به فرم نهایی زیر برسیم:

$$ \large { x ^ 5 } + x - 2 { x ^ 4 } - 2 = \left ( { { x ^ 4 } + 1 } \right ) \left ( { x - 2 } \right ) $$

(ج) $$ \large { x ^ 5 } - 3 { x ^ 3 } - 2 { x ^ 2 } + 6 $$

حل: چندجمله‌ای را به صورت دو گروه زیر تفکیک می‌کنیم:

$$ \large \left ( { { x ^ 5 } - 3 { x ^ 3 } } \right ) - \left ( { 2 { x ^ 2 } - 6 } \right ) $$

در نهایت، چندجمله‌ای به صورت زیر تجزیه می‌شود:

$$ \large { x ^ 5 } - 3 { x ^ 3 } - 2 { x ^ 2 } + 6 = { x ^ 3 } \left ( { { x ^ 2 } - 3 } \right ) - 2 \left ( { { x ^ 2 } - 3 } \right ) = \left ( { { x ^ 2 } - 3 } \right ) \left ( { { x ^ 3 } - 2 } \right) $$

مثال ۵

با استفاده از اتحادها، حاصل عبارات زیر را به دست آورید.

(الف) $$ \large 105 \times 95 $$

حل: این حاصل‌ضرب را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large \begin {align*} 105 \times 95 & = (1 0 0 + 5 ) \times ( 100 - 5 ) = (100)^ 2 - (5 ) ^ 2 \\ & = 10000-25 = 9975
\end {align*} $$

(ب) $$ \large 110^ 2 $$

حل: این عدد را می‌توان با استفاده از اتحاد جمع دوجمله‌ای به صورت زیر نوشت و محاسبه کرد:

$$ \large \begin {align*} ( 110 ) ^ 2 & = ( 100 + 10 ) ^ 2 = 100 ^ 2 + 2 ( 100 ) ( 10 ) + 10^ 2 \\ & = 10000+2000+ 100 = 12100 \end {align*} $$

(ج) $$ \large 8 2 \times 98 $$

حل: این ضرب را به صورت زیر می‌نویسیم و از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} 82 \times 98 & = (90- 8 ) \times (90 + 8 ) = (90)^ 2 - (8 )^ 2 \\ & = 8100 - 64 = 8036 \end {align*} $$

مثال ۶

چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

(الف)‌ $$ \large { x ^ 2 } + 2 x - 1 5 $$

حل: از آنجایی که جمله نخست $$ x ^ 2 $$ است، می‌دانیم که فاکتورگیری باید به فرم زیر باشد:

$$ \large { x ^ 2 } + 2 x - 1 5 = \left ( { x + \underline { \,\,\,\, } } \right ) \left ( { x + \underline { \,\,\,\, } } \right ) $$

می‌دانیم که $$ x ^ 2 $$ از ضرب $$ x $$ در $$ x $$ به دست می‌آید. بنابراین، اولین جمله هر فاکتور یا عامل را برابر با $$ x $$ قرار می‌دهیم. حال باید دو جمله دیگر را به دست آوریم که جای خالی برای آن‌ها قرار داده‌ایم.

یک راه این است که حالت‌های ممکن را بررسی کنیم. اگر به چندجمله‌ای دقت کنید، یک عدد $$ - 15 $$ دارد. دو عددی که در پی یافتن آن‌ها هستیم، باید حاصل‌ضربی برابر با $$ - 15 $$ داشته باشند. در اینجا اعداد صحیح را بررسی می‌کنیم. ضرب‌های زیر منجر به $$ - 15 $$ می‌شوند:

$$ \large \left ( { - 1 } \right ) \left ( { 1 5 } \right ) \hspace{0.25in} \left ( 1 \right ) \left ( { - 1 5 } \right ) \hspace{0.25in} \left ( { - 3 } \right ) \left ( 5 \right ) \hspace {0.25in} \left ( 3 \right ) \left ( { - 5 } \right ) $$

می‌توانیم چهار حالت ممکن بالا را آزمایش کرده و جواب صحیح را پیدا کنیم. اگر کمی دقت کنیم، می‌توانیم سه مورد از احتمالات بالا را حذف کنیم. اما چگونه؟ بدین صورت که مجموع دو عددی که انتخاب می‌کنیم باید برابر با ضریب $$ x $$ چندجمله‌ای باشد.

با توجه به آنچه گفتیم، چندجمله‌ای به صورت زیر فاکتورگیری می‌شود:

$$ \large { x ^ 2 } + 2 x - 1 5 = \left ( { x - 3 } \right ) \left ( { x + 5 } \right)$$

پس به طور خلاصه، در مواردی که می‌خواهیم از یک چندجمله‌ای مرتبه دوم فاکتورگیری کنیم، باید دو عدد را پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با عدد موجود در چندجمله‌ای بوده و حاصل‌جمع آن‌ها برابر با ضریب $$ x $$ چندجمله‌ای باشد. در حقیقت، در این موارد از اتحاد جمله مشترک استفاده می‌کنیم.

(ب) $$ \large { x ^ 2 } - 1 0 x + 2 4 $$

حل: مانند قبل، چندجمله‌ای را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { x ^ 2 } - 1 0 x + 2 4 = \left ( { x + \underline { \,\,\,\, } } \right ) \left ( { x + \underline { \, \,\,\, } } \right ) $$

با توجه به آنچه که گفتیم، باید دو عدد را پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با $$ 24$$ و مجموع آن‌ها $$ - 10 $$ باشد. می‌بینیم که این دو عدد مورد نظر، $$ - 6 $$ و $$ - 4 $$ هستند و در نهایت، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large { x ^ 2 } - 1 0 x + 2 4 = \left ( { x - 4 } \right ) \left ( { x - 6 } \right ) $$

(ج) $$ \large { x ^ 2 } + 6 x + 9 $$

حل: چندجمله‌ای باید به فرم زیر باشد:

$$ \large { x ^ 2 } + 6 x + 9 = \left ( { x + \underline { \, \, \, \, } } \right ) \left ( { x + \underline { \, \, \, \, } } \right ) $$

در اینجا باید دو عدد را پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با $$ 9 $$ و مجموع آن‌ها برابر با $$ 6 $$ باشد. با کمی تأمل می‌بینیم که این دو عدد $$ 3 $$ و $$ 3 $$ هستند. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large { x ^ 2 } + 6 x + 9 = \left ( { x + 3 } \right ) \left ( { x + 3 } \right ) = { \left ( { x + 3 } \right ) ^ 2 } $$

(د) $$ \large { x ^ 2 } + 5 x + 1 $$

حل: مانند مثال‌های قبل، چندجمله‌ای را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { x ^ 2 } + 5 x + 1 = \left ( { x + \underline { \, \, \, \, } } \right ) \left ( { x + \underline { \, \, \, \, } } \right ) $$

حال باید دو عدد را پیدا کنیم که مجموع آن‌ها برابر با $$5$$ و حاصل‌ضربشان $$1$$ باشد. اما دو عدد صحیح که در چنین شرایطی صدق کنند، وجود ندارند. به همین دلیل، می‌توان گفت که نمی‌توان با اعداد صحیح چندجمله‌ای مرتبه دوم بالا را تجزیه کرد.

(ه) $$ \large 3 { x ^ 2 } + 2 x - 8 $$

حل: این چندجمله‌ای باید به صورت زیر باشد:

$$ \large 3 { x ^ 2 } + 2 x - 8 = \left ( { 3 x + \underline { \, \, \, \, } } \right ) \left ( { x + \underline { \, \, \, \, } } \right ) $$

در ادامه، باید اعدادی را بررسی کنیم که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با $$ -8 $$ می‌شود:

$$ \large \left ( { - 1 } \right ) \left ( 8 \right ) \hspace {0.5in} \left ( 1 \right ) \left ( { - 8 } \right ) \hspace {0.25in} \left( { - 2 } \right ) \left ( 4 \right ) \hspace {0.25in} \left ( 2 \right ) \left ( { - 4 } \right ) $$

اعداد منفی را فراموش نکنید. با کمی سعی و خطا، در می‌یابیم که جواب درست، به صورت زیر است:

$$ \large \left ( { 3 x + 2 } \right ) \left ( { x - 4 } \right ) = 3 { x ^ 2 } - 1 0 x - 8 $$

اگر جای دو عدد $$ -4$$ و $$ 2$$ را تغییر دهیم، خواهیم داشت:

$$ \large \left ( { 3 x - 4 } \right ) \left ( { x + 2 } \right ) = 3 { x ^ 2 } + 2 x - 8 $$

همان‌طور که می‌بینیم، با اینکه جملات اول و آخر جندجمله‌ای صحیح هستند، اما ضریب $$ x $$ اشتباه خواهد بود. این به دلیل آن است که در دو عامل، ضریب $$ x $$ برابر نیست.

(و) $$ \large 4{x^2} + 10x - 6$$

حل: این مثال کمی سخت‌تر از مثال‌های قبل است. برای ضریب $$ x^ 2$$ می‌توان بیش از یک حالت در نظر گرفت:

$$ \large \begin {align*} 4 { x ^ 2 } + 1 0 x - 6 & = \left ( { 4 x + \underline {\,\,\,\,} } \right ) \left ( { x + \underline {\,\,\,\,} } \right ) \\ 4 { x ^ 2 } + 1 0 x - 6 & = \left ( { 2 x + \underline {\,\,\,\,} } \right ) \left ( { 2 x + \underline {\,\,\,\,} } \right ) \end {align*} $$

برای به دست آوردن اعداد جای خالی، باید عامل‌های $$ -6$$ را بررسی کنیم:

$$ \large \left( { - 1} \right)\left( 6 \right)\hspace{0.25in}\left( 1 \right)\left( { - 6} \right)\hspace{0.25in}\left( { - 2} \right)\left( 3 \right)\hspace{0.25in}\left( 2 \right)\left( { - 3} \right) $$

با کمی محاسبات و سعی و خطا، جواب زیر به دست می‌آید:‌

$$ \large 4{x^2} + 10x - 6 = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 6} \right) $$

اگر بخواهیم عبارت بالا را ساده‌تر کنیم، می‌توانیم از $$ 2$$ نیز فاکتور بگیریم:

$$ \large 4{x^2} + 10x - 6 = 2\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$$

همچنین، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large 4{x^2} + 10x - 6 = \left( {4x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) $$

مثال ۷

ریشه‌های معادله $$ x ^ 2 - 5 x + 6 = 0 $$ را با استفاده از اتحادها به دست آورید.

حل: برای حل معادله بالا، باید آن را تجزیه کنیم. بدین منظور، از اتحاد جمله مشترک کمک می‌گیریم:

$$ \large x ^ 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 $$

واضح است که ریشه‌های چندجمله‌ای که آن را صفر می‌کنند، $$ x = 2 $$ و $$ x = 3 $$ هستند.

مثال ۸

با استفاده از اتحادها، عبارات زیر را تجزیه کنید.

(الف) $$ \large {x^2} - 20x + 100$$

حل: همان‌طور که می‌دانیم، $$100$$ مربع عدد $$ 10$$ است. حال برای آنکه بدانیم می‌توانیم از اتحاد مربع استفاده کنیم، ضریب $$ x $$ را بررسی می‌کنیم که $$ 2 (10) = 20 $$ است. بنابراین، می‌توانیم از اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده کنیم:

$$ \large { x ^ 2 } - 2 0 x + 1 0 0 = { \left ( { x - 1 0 } \right ) ^ 2 } $$

(ب) $$ \large 25{x^2} - 9 $$

اگر به چندجمله‌ای بالا دقت کنیم، می‌توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large 2 5 { x ^ 2 } - 9 = { \left ( { 5 x } \right ) ^ 2 } - { \left ( 3 \right ) ^ 2 } $$

واضح است که می‌توانیم از اتحاد مزدوج استفاده کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large 2 5 { x ^ 2 } - 9 = \left ( { 5 x + 3 } \right ) \left ( { 5 x - 3 } \right ) $$

(ج) $$ \large 8{x^3} + 1$$

حل: مسئله را می‌توان به صورت مجموع دو مکعب کامل نوشت:

$$ \large 8 { x ^ 3 } + 1 = { \left ( { 2 x } \right ) ^ 3 } + { \left ( 1 \right ) ^ 3 } $$

و با توجه به اتحادهایی که بیان شد، می‌توانیم چندجمله‌ای را به صورت زیر تجزیه کنیم:

$$ \large 8 { x ^ 3 } + 1 = \left ( { 2 x + 1 } \right ) \left ( { 4 { x ^ 2 } - 2 x + 1 } \right ) $$

نکته: به نامساوی زیر دقت کنید و توجه داشته باشید که سهواً مرتکب اشتباه نشوید:

$$ \large { a ^ 2 } + { b ^ 2 } \ne { \left ( { a + b } \right ) ^ 2 } $$

مثال ۹

اگر $$ x + y = 10$$ و $$ x y = 5 $$ باشد، حاصل $$ x ^ 2 + y ^ 2 $$ را به دست آورید.

حل: اتحاد مربع دوجمله‌ای به صورت زیر است:

$$ \large ( x + y ) ^ 2 = x ^2 + 2 x y + y ^ 2 $$

طبق این رابطه، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$ \large x ^ 2 + y ^ 2 = ( x + y ) ^ 2 - 2 x y $$

بنابراین، مقدار مورد نظر این‌گونه به دست می‌آید:

$$ \large x ^ 2 + y ^ 2 = ( 10) ^ 2 - 2 ( 5 ) = 100 -10 = 90 $$

مثال ۱۰

چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

(الف)‌ $$ \large 3 { x ^ 4 } - 3 { x ^ 3 } - 3 6 { x ^ 2 } $$

حل: می‌بینیم که $$ 3x^2$$ در همه جملات وجود دارد و می‌توان از آن فاکتور گرفت. بنابراین، داریم:

$$ \large 3 { x ^ 4 } - 3 { x ^ 3 } - 3 6 { x ^ 2 } = 3 { x ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } - x - 1 2 } \right ) $$

با استفاده از اتحاد جمله مشترک، در نهایت چندجمله‌ای به صورت زیر تجزیه می‌شود:

$$ \large 3 { x ^ 4 } - 3 { x ^ 3 } - 3 6 { x ^ 2 } = 3 { x ^ 2 } \left ( { x - 4 } \right ) \left ( { x + 3 } \right ) $$

(ب) $$ \large {x^4} - 25 $$

حل: چندجمله‌ای را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large { x ^ 4 } - 2 5 = { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ 2 } - { \left ( 5 \right ) ^ 2 } $$

در نتیجه، با استفاده از اتحاد مزدوج، خواهیم داشت:

$$ \large { x ^ 4 } - 2 5 = \left ( { { x ^ 2 } + 5 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } - 5 } \right ) $$

(ج) $$ \large {x^4} + {x^2} - 20 $$

حل: اگر به چندجمله‌ای بالا دقت کنیم، جمله $$ x ^ 2 $$ آن را می‌توانیم به عنوان یک متغیر در نظر بگیریم و در نتیجه با توان‌هایی پایین‌تر سر و کار داشته باشیم تا ساده‌سازی عبارت آسان‌تر شود. بنابراین، $$ u = x ^ 2 $$ را در نظر می‌گیریم. در نتیجه، $$ {u^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4} $$ خواهد بود. بنابراین، چندجمله‌ای به صورت زیر در می‌آید:

$$ \large { x ^ 4 } + { x ^ 2 } - 2 0 = { u ^ 2 } + u - 2 0 $$

این چندجمله‌ای را می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد:

$$ \large \begin {align*} { x ^ 4 } + { x ^ 2 } - 2 0 & = { u ^ 2 } + u - 2 0 \\ & = \left ( { u - 4 } \right ) \left ( { u + 5 } \right ) \\ & = \left ( { { x ^ 2 } - 4 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } + 5 } \right ) \end {align*} $$

اما این هنوز پایان کار نیست. می‌توانیم $$ x ^ 2 - 4 $$ را با استفاده از اتحاد مزدوج ساده کنیم. در نهایت، چندجمله‌ای مورد نظر به صورت زیر تجزیه خواهد شد:

$$ \large { x ^ 4 } + { x ^ 2 } - 2 0 = \left ( { x - 2 } \right ) \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } + 5 } \right ) $$