مشتق جزئی مراتب بالاتر — به زبان ساده

۸۴۹۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۹ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
مشتق جزئی مراتب بالاتر — به زبان ساده

پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مشتق جزئی بیان شدند. در این مطلب قصد داریم تا مشتق جزئی مراتب بالاتر را توضیح دهیم.

997696

فرمول مشتق مراتب بالاتر

تابعی چند متغیره همچون (f(x,y را در نظر بگیرید. این تابع نسبت به دو متغیر x و y تغییر می‌کند. از این رو می‌توان تغییرات تابع را نسبت به هریک از این متغیر‌ها محاسبه کرد.

توجه داشته باشید که تابع دو متغیره بوده و ۴ حالت می‌تواند برای مشتق مرتبه دوم وجود داشته باشد. در ادامه روابط مربوط به این ۴ حالت نشان داده شده است.

(fx)x=fxx=x(fx)=2fx2(fx)y=fxy=y(fx)=2fyx(fy)x=fyx=x(fy)=2fxy(fy)y=fyy=y(fy)=2fy2 \large \begin {align*} { \left ( { { f _ x } } \right ) _ x } & = { f _ { x \, x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { \frac { { \partial f } } { { \partial x } } } \right ) = \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial { x ^ 2 } } } \\ { \left ( { { f _ x } } \right ) _ y } & = { f _ { x \, y } } = \frac { \partial } { { \partial y } } \left ( { \frac { { \partial f } } { { \partial x } } } \right ) = \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial y \partial x } } \\ { \left ( { { f _ y } } \right ) _ x } & = { f _ { y \, x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { \frac { { \partial f } } { { \partial y } } } \right ) = \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial x \partial y } } \\ { \left ( { { f _ y } } \right ) _ y } & = { f _ { y \, y } } = \frac { \partial } { { \partial y } } \left ( { \frac { { \partial f } } { { \partial y } } } \right ) = \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial { y ^ 2 } } } \end {align*}

تمامی این مشتقات از مرتبه ۲ هستند. شاید نکته جالب در روابط فوق تفاوتِ فرمولِ دو مشتق fxy=y(fx) { f _ { x \, y } } = \frac { \partial } { { \partial y } } \left ( { \frac { { \partial f } } { { \partial x } } } \right ) و fyx=x(fy) { f _ { y \, x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { \frac { { \partial f } } { { \partial y } } } \right ) است. همان‌طور که احتمالا شما نیز متوجه شده‌اید، مشتق در ابتدا نسبت به اندیس چپ و سپس نسبت به اندیس سمت راست گرفته می‌شود. در ادامه مثال‌هایی ارائه شده، که مطالعه آن‌ها را توصیه می‌کنیم.

مثال ۱

تمامی مشتقات مرتبه دوم تابع f(x,y)=cos(2x)x2e5y+3y2 f \left ( { x , y } \right ) = \cos \left ( { 2 x } \right ) - { x ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { 5 y } } + 3 { y ^ 2 } را بیابید.

در ابتدا بایستی مشتقات نسبت به x و y به طور جداگانه محاسبه شود. بنابراین داریم:

fx(x,y)=2sin(2x)2xe5yfy(x,y)=5x2e5y+6y \large \begin {align*} { f _ x } \left ( { x , y } \right ) & = - 2 \sin \left ( { 2 x } \right ) - 2 x { { \bf { e } } ^ { 5 y } } \\ { f _ y } \left ( { x , y } \right ) & = - 5 { x ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { 5 y } } + 6 y \end {align*}

حال از دو عبارت بدست آمده در بالا، نسبت به x و y مشتق می‌گیریم.

fxx=4cos(2x)2e5yfxy=10xe5yfyx=10xe5yfyy=25x2e5y+6 \large \begin {align*} { f _ { x x } } & = - 4 \cos \left ( { 2 x } \right ) - 2 { { \bf { e } } ^ { 5 y } } \\ { f _ { x y } } & = - 1 0 x { { \bf { e } } ^ { 5 y } } \\ { f _ { y x } } & = - 1 0 x { { \bf{ e } } ^ { 5 y } } \\ { f _ { y y } } & = - 2 5 { x ^ 2 } { { \bf{ e } } ^ { 5 y } } + 6 \end {align*}

همان‌طور که می‌بینید در روابط بالا از (x,y) \left( {x,y} \right) استفاده نشده است. البته می‌توان از این نماد استفاده کرد، اما در شکل استاندارد معمولا این نماد به کار گرفته نمی‌شود. شاید این سوال برایتان مطرح شده باشد، که در چه زمانی می‌توان مشتقات fxy و fyx را برابر در نظر گرفت؛ از این رو در ادامه قضیه‌ای مطرح شده که این موضوع در آن مطرح شده است.

قضیه: فرض کنید تابع f در ناحیه D تعریف شده باشد. اگر مشتقات fxy { f _ { x y } } و fyx { f _ { y x } } در نقطه مذکور پیوسته باشند، در این صورت رابطه زیر برقرار خواهد بود.

fxy(a,b)=fyx(a,b) \large { f _ { x y } } \left ( { a , b } \right ) = { f _ { y x } } \left ( { a , b } \right )

در صورت علاقه به یادگیری روش‌های تعیین مشتق توابع مختلف، مطالعه مطلب «فرمول‌های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

مثال ۲

قضیه بیان شده در بالا را برای تابع f(x,y)=xex2y2 f \left ( { x , y } \right ) = x { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } نشان دهید.


در ابتدا مشتق مرتبه اول تابع را به‌ صورت زیر بدست می‌آوریم.

fx(x,y)=ex2y22x2y2ex2y2fy(x,y)=2yx3ex2y2 \large \begin {align*} { f _ x } \left ( { x , y } \right ) & = { { \bf {e} } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } - 2 { x ^ 2 } { y ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } \\ { f _ y } \left ( { x , y } \right ) & = - 2 y { x ^ 3 }{ { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } \end {align*}

حال می‌توان مشتقات fxy { f _ { x y } } و fyx { f _ { y x } } را مطابق با روابط زیر بدست آورد.

fxy(x,y)=2yx2ex2y24x2yex2y2+4x4y3ex2y2=6x2yex2y2+4x4y3ex2y2fyx(x,y)=6yx2ex2y2+4y3x4ex2y2 \large \begin {align*} { f _ { x y } } \left ( { x , y } \right ) & = - 2 y { x ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } - 4 { x ^ 2 } y { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } + 4 { x ^ 4 } { y ^ 3 } { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } = - 6 { x ^ 2 } y { { \bf{ e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } + 4 { x ^ 4 } { y ^ 3 }{ { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } \\ { f _ { y x } } \left ( { x , y } \right ) & = - 6 y { x ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } + 4 { y ^ 3 } { x ^ 4 } { { \bf{e} } ^ { - { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } \end {align*}

تاکنون تنها مشتقات مرتبه دوم را مورد بررسی قرار دادیم. توجه داشته باشید که می‌توان مشتقات جزئی را نیز تا مراتب بالاتر محاسبه کرد. در ادامه دو نمونه از مشتقات مرتبه سوم نشان داده شده است.

fxyx=(fxy)x=x(2fyx)=3fxyxfyxx=(fyx)x=x(2fxy)=3fx2y \large \begin {align*} { f _ { x \, y \, x } } & = { \left ( { { f _ { x y } } } \right ) _ x } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial y \partial x } } } \right ) = \frac { { { \partial ^ 3 } f } } { { \partial x \partial y \partial x } } \\ { f _ { y \, x\, x } } & = { \left ( { { f _ { y x } } } \right ) _ x } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial x \partial y } } } \right ) = \frac { { { \partial ^ 3 } f } } { { \partial { x ^ 2 } \partial y } } \end {align*}

توجه داشته باشید که قضیه بیان شده در بالا برای نقاطی که در آن‌ها مشتق پیوسته است، در مراتب بالاتر نیز برقرار خواهد بود. برای نمونه در این نقاط، سه مشتق جزئی زیر با هم برابر هستند.

fxxy=fxyx=fyxx \large { f _ { x \, x \, y } } = { f _ { x \, y \, x } } = { f _ { y \, x \, x } }

در حالت کلی قضیه فوق برای هر تابعی با هر تعداد متغیری برقرار خواهد بود. تنها نکته مهم برابر بودن تعداد هر متغیر در دو سمت رابطه است. برای نمونه دو مشتق زیر با هم برابر هستند و دلیل آن برابر بودن تعداد s,r,t در دو طرف رابطه است.

fssrtsrr=ftrsrssr \large { f _ { s \, s \, r\, t\, s\, r\, r } } = { f _ { t \, r \, s \, r \, s \, s \, r } }

مثال ۳

مشتقات زیر را بیابید.

  1. fxxyzz \large { f _ { x \, x \, y \, z \, z } } برای تابع f(x,y,z)=z3y2ln(x) \large f \left ( { x , y , z } \right ) = { z ^ 3 } { y ^ 2 } \ln \left ( x \right )
  2. 3fyx2 \large \displaystyle \frac { { { \partial ^ 3 } f } } { { \partial y \partial { x ^ 2 } } } برای تابع f(x,y)=exy \large f \left ( { x , y } \right ) = { { \bf{ e } } ^ { x y } }

a: توجه داشته باشید که مشتق‌گیری از چپ به راست انجام می‌شود. بنابراین داریم:

fx=z3y2x \large { f _ x } = \frac { { { z ^ 3 } { y ^ 2 } } } { x }

fxx=z3y2x2 \large { f _ { x x } } = - \frac { { { z ^ 3 } { y ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } } }

fxxy=2z3yx2 \large { f _ { x x y } } = - \frac { { 2 { z ^ 3 } y } } { { { x ^ 2 } } }

fxxyz=6z2yx2 \large { f _ { x x y z } } = - \frac { { 6 { z ^ 2 } y } } { { { x ^ 2 } } }

fxxyzz=12zyx2 \large { f _ { x x y z z } } = - \frac { { 1 2 z y } } { { { x ^ 2 } } }

b: در این حالت نیز در ابتدا دو بار نسبت به x و در مرحله بعد نسبت y مشتق‌گیری می‌کنیم.

fx=yexy \large \frac { { \partial f } } { { \partial x } } = y { { \bf { e } } ^ { x y } }

2fx2=y2exy \large \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial { x ^ 2 } } } = { y ^ 2 } { { \bf{ e } } ^ { x y } }

3fyx2=2yexy+xy2exy \large \frac { { { \partial ^ 3 } f } } { { \partial y \partial { x ^ 2 } } } = 2 y { { \bf{ e } } ^ { x y } } + x { y ^ 2 } { { \bf{ e } } ^ { x y } }

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۴۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Paul's Online notes
۳ دیدگاه برای «مشتق جزئی مراتب بالاتر — به زبان ساده»

فوق العاده زیبا خداوند خیرتون بده
ذهنم از درگیری در اومد

مطالب خیلی خوبه ولی مشکل اینجاس ک نمی گید اون عدد مثلا بیستو پنج از کجا امد ضرب چ اعدادی بود یا این تابع اخریه ک مشتقشو نوشتید از کجا مشتقشو نوشتید چرا این شده هیچ توضیحی ندادید

فوق العاده عالی وقشنگ توضیح داده شده!!!!

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *