ریاضی, علوم پایه 40137 بازدید

در این مطلب قصد داریم تا مفهومی را توضیح دهیم که حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد ارائه شده است. این مفهوم تحت عنوان قضیه تالس شناخته می‌شود. جهت درک این مفهوم در ابتدا لازم است تا با مفاهیم مربوط به نسبت دو طول آشنا باشید.

فیلم آموزشی قضیه تالس

دانلود ویدیو

نسبتِ دو طول

جهت بیان قضیه تالس در ابتدا مطابق با شکل زیر دو پاره‌خط را در نظر بگیرید.

Thales

نسبت دو طول در شکل بالا برابر با حاصل تقسیم طول دو خط به یکدیگر است. برای نمونه طول پاره‌خط AB برابر با ۵ سانتی‌ متر و طول ‘A’B برابر با ۱۰ سانتی‌ متر است. در این صورت نسبت طول این دوخط برابر است با:

Thales

همان‌طور که در بالا محاسبه شد،‌ نسبت طول این دو خط برابر با ۰.۵ است. در حقیقت طول AB نصف طول ‘A’B است. البته رابطه‌ی بین ‌طول‌های بالا را می‌توان به‌صورت عکس نیز بیان کرد.

Thales

همان‌طور که رابطه بالا نشان می‌دهد، طول ‘A’B دو برابر طول AB است. بنابراین دو جمله زیر معادل هم هستند.

  • طول AB نصف طول ‘A’B است.
  • طول $$A’B’$$، ۲ برابر طول AB است.

بنابراین به‌منظور مقایسه طول دو پاره‌خط، تنها محاسبه یکی از نسبت‌های بالا کافی است.

ارتباط بین دو نسبت

حال در این قسمت دو طولِ CD و ‘C’D را نیز در نظر بگیرید. در زیر این دو طول، نشان داده شده‌اند.

Thales

فرض کنید در شکل بالا طول CD برابر با ۳ سانتی‌ متر و طول ‘C’D برابر با ۶ سانتی متر است. با این فرضیات با تقسیم طول CD به ‘C’D داریم:

Thales

عدد بدست آمده در بالا نشان می‌دهد در این حالت نیز طول CD نصف طول ‘C’D است. در حقیقت نسبت این دو با نسبت AB و ‘A’B برابر است.

Thales

بنابراین نسبت طول‌ها در شکل بالا برابر هستند.

Thales

قضیه تالس

با توجه به توضیح بالا، زمان آن فرا رسیده که قضیه تالس را توضیح دهیم. در ابتدا دو خط راستِ r و s را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

Thales

حال مطابق با شکل زیر دو خط بالا با خطوطی عمودی تقسیم‌بندی می‌شوند.

Thales

در مرحله‌ی بعد نقاط ایجاد شده روی خط قرمز رنگ، A,B,C و نقاط روی خط بنفش، ‘A’,B’,C نامیده می‌شوند.

Thales

همان‌گونه که در شکل بالا مشاهده می‌فرمایید، خط قرمز رنگ به دو بخشِ AB و BC تقسیم‌بندی شده‌ است. با دقتی بیشتر خواهید دید که پاره‌خط AC نیز در شکل بالا وجود دارد. بنابراین نهایتا سه پاره‌خطِ AB,BC,AC روی خط قرمز رنگ ایجاد شده است.

همانند خط قرمز رنگ، روی خط بنفش رنگ نیز ۴ پاره‌‌خط‌ِ $$A’B’,B’C’,A’C’$$ ایجاد شده است. قضیه تالس بیان می‌کند که:

هرگاه چند خط موازی با استفاده از دو خط مورب، قطع شوند، نسبت‌های ایجاد شده روی آن‌ها با هم برابر‌ند.

جمله بالا به چه معنا است؟ جهت درک بهتر، این قضیه را با استفاده از خطوط قرمز و بنفشِ ارائه شده در بالا توضیح می‌دهیم. همان‌طور که می‌بینید این دو خط، راست هستند. از طرفی خطوطِ‌ سبز رنگ موازی یکدیگراند. بنابراین رابطه زیر بین‌ طول پاره‌خط‌های ایجاد شده برقرار است.

Thales

در حقیقت حاصل تقسیم هر طولی از خط بالا به هر طولی از خط پایین که بین خطوط سبز رنگ قرار گرفته، برابر با عدد ثابتی است. منظور ما از این جمله رابطه زیر است:

Thales

اثبات قضیه تالس

مثلث زیر را در نظر بگیرید. در شکل زیر می‌دانیم DE موازی BC است و می‌خواهیم تساوی $$\frac {AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$$ را اثبات کنیم.

اثبات قضیه تالس

به دلیل یکی بودن ارتفاع‌ها، تساوی $$\large{\frac{A_{\triangle{ACE}}}{A_{\triangle{CDE}}}=\frac{AC}{CD}}$$ را داریم. $$A$$ نماد مساحت است. به طور مشابه، می‌توان نوشت: $$\large{\frac{A_{\triangle{BCD}}}{A_{\triangle{CDE}}}=\frac{BC}{CE}}$$.

مساحت مثلث‌های ADE و BDE نیز برابر است، یعنی $$A_{\triangle{ADE}}=A_{\triangle{BDE}}$$. زیرا مساحت دو مثلث با ارتفاع برابر بین دو پاره‌خط برابر است. در نتیجه، $$A_{\triangle{ACE}}=A_{\triangle{BCD}}$$ و $$\frac{A_{\triangle{ACE}}}{A_{\triangle{CDE}}}=\frac{A_{\triangle{BCD}}}{A_{\triangle{CDE}}}$$. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت:

$$ \large \frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$$

و اثبات کامل می‌شود.

پیشنهاد می‌کنیم جهت درکِ کامل قضیه تالس، مثال‌های زیر را نیز مطالعه فرمایید.

مثال ۱

خطوط a,b در شکل زیر موازی یکدیگر هستند. خطی به‌نام c را از خطوط سبز و آبی رنگ عبور می‌دهیم. طو‌ل‌های ایجاد شده، روی شکل نشان داده شده است. به نظر شما آیا خط c با a,b موازی است؟

Thales-theorem

اگر خط c موازی دو خط دیگر باشد، نسبت‌های ایجاد شده بایستی با یکدیگر برابر باشند. نسبت طول‌های ایجاد شده بین a,b برابر است با:

Thales

از طرفی نسبت طول‌های بین خطوط b,c نیز برابرند با:

Thales

همان‌گونه که می‌بینید نسبت دو طول بدست آمده با هم برابر است؛ بنابراین خط c با خطوط a,b موازی است.

مثال ۲

اندازه طول x در شکل زیر چقدر است؟

تالس

در شکل بالا دو خطِ راستِ قرمز و بنفش، با سه خطِ موازی سبز رنگ قطع شده‌اند. در نتیجه قضیه تالس برای این مسئله صادق خواهد بود. نسبت طول‌های سمت چپ و راست برابر هستند با:

Thales

با استفاده از ضرب متقاطع داریم:

Thales

نهایتا مقدار x برابر است با:

Thales

قضیه تالس در بالا بیان شد. البته از این قانون نتایجی نیز بدست می‌آید که خصوصا در بدست آوردن اضلاع مثلث کاربرد بسیاری دارد. برای مثال مطابق با شکل زیر مثلثی با رئوس ABC را در نظر بگیرید. فرض کنید خطی موازی BC، مثلث را به دو قسمت تبدیل می‌کند.

Thales-theorem

در شکل فوق روابط زیر برقرار خواهند بود. این رابطه در نتیجه قضیه‌ی تالس بدست می‌آید.

Thales's theorem

شاید عجیب باشد ولی با استفاده از رابطه فوق می‌توانید طول یک برج بلند را با استفاده از طول سایه آن بدست آورید. در مثال ۳ چنین کاری انجام شده است.

مثال ۳

فرض کنید می‌خواهیم ارتفاع اهرام ثلاثه مصر را بدست آوریم. در این حال شخصی که قدش برابر با ۱.۸ متر است، در فاصله‌ای از برج می‌ایستد، به نحوی که نوک سایه‌ی اهرام و سایه‌ی شخص در یک نقطه قرار می‌گیرند (شکل زیر).

Thales-theorem

با فرض این‌که طول سایه شخص برابر با ۹ متر و طول سایه اهرام برابر با ۶۹۵ متر باشد، ارتفاع اهرام چند متر خواهد بود؟

با توجه به این‌که نوک سایه اهرام و شخص در یک نقطه قرار دارند، بنابراین شعاع نور عبوری روی اهرام و شخص، وتر مثلثی قائم الزاویه مطابق با شکل زیر است.

Thales-theorem

قضیه تالس برای مثلث بالا را می‌توان در قالب رابطه‌ی زیر بیان کرد:

Thales-theorem-2

با جایگذاری مقادیر در رابطه‌ی بالا داریم:

Thales-theorem

با استفاده از ضرب متقاطع، مقدار x برابر با عدد زیر بدست می‌آید.

Thales-theorem

بنابراین ارتفاع اهرام ثلاثه با استفاده از قضیه تالس برابر با ۱۳۹ متر بدست آمد. قضیه‌ی تالس مفهومی پرکاربرد در ریاضیات و علوم تجربی محسوب می‌شود. این قضیه حتی در مباحث اپتیک در فیزیک نیز کاربرد دارد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ی ریاضیات و فیزیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

6 نظر در “قضیه تالس — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *